CONCURSO NACIONAL DE MATEMATICAS DE TERCERO DE SECUNDARIA EXAMEN FINAL CON RESPUESTAS CONAMAT PDF

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Concurso de matemáticas cesar vallejo de TERCER año de secundaria
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1. En un bus, en el que viajan n personas, se observa
que el a% de la cantidad de mujeres es igual
al b% de la cantidad de varones. ¿Qué tanto por
ciento de la cantidad de varones son mujeres?
A)
a
b
×100% B)
b
a
×100%
C)
b
a
% D)
a
b
%
2. Una misma obra se puede realizar de tres formas
diferentes.
• Primera forma: trabajando solo Vladimir en 8
días.
• Segunda forma: trabajando juntos Vladimir y
Mariano en 6 días.
• Tercera forma: trabajando juntos Mariano y
Cristian en 4 días.
Si los tres realizaran una obra que es el triple de
la anterior, ¿en cuántos días la terminarían?
A) 6 B) 7
C) 8 D) 9
3. De un recipiente con 80 L de alcohol puro, se
extrae la cuarta parte y se reemplaza por agua,
luego, se extrae la quinta parte y se reemplaza
por agua. ¿Cuántos litros de agua se deben
agregar a esta última mezcla para obtener alcohol
de 40º?
A) 40 B) 20
C) 60 D) 120
Tercer grado de secundaria
4. Con una calculadora, tal como se muestra en
el gráfico, de cuántas formas se puede obtener
un resultado mayor a cero si primero se digita
un número de dos cifras; luego, se digita una
de las dos operaciones que tiene la calculadora
(adición o sustracción) y, finalmente, se digita
otro número de dos cifras.
A) 13 122
B) 10 441
C) 12 456
D) 10 477
5. En un colegio se forman dos equipos de matemáticas;
uno de ellos formado por 4 mujeres y el
otro, por 4 varones. Del equipo de las mujeres,
respecto a sus edades, se sabe que su media,
mediana y moda son 13,25; 13 y 12, respectivamente;
mientras que la media, mediana y moda
de los varones son 12; 13 y 14, respectivamente.
Calcule la suma de la media y mediana considerando
a las 8 personas en conjunto.
A) 25,875 B) 25,625
C) 25,5 D) 25,265
6. Sean a, b y c números reales no nulos que verifican
la ecuación a2+2b2+2c2=2a(b+c)
Calcule el valor de S
a b c
abc
= 3 + 3 + 3
.
A) 3 B) 10/3
C) 10 D) 5
7. Sean x; y números reales.
Si S

8. Si el polinomio definido sobre Z
P(x)=x4 – 2ax3+(a2 – 2)x2+1; a > 0
admite una raíz racional, indique lo incorrecto
respecto a dicho polinomio.
A) Admite dos factores primos.
B) Admite un factor primo lineal.
C) Admite un factor primo cuadrático.
D) Admite un factor primo cúbico.
9. Respecto a la ecuación polinomial
(m –1)x2 – 2mx+2=0; m ∈ R,
indique lo incorrecto.
A) Tiene raíces positivas si m > 1.
B) Tiene raíces negativas si 0 < m < 1. C) Sus dos raíces son reales. D) Tiene al menos una raíz positiva. 10. La inecuación lineal en x (m+1)x2 – 2x < nx+m; n ∈ Z– tiene conjunto solución S tal que S ⊂ R+. Halle el conjunto S. A) S=R+ B) S=〈0; 1〉 C) S= + 1 2 ; D) S=〈1; +∞〉 11. Sea {x; y} ⊂ R, tal que ax+y=2 ∧ x – ay=–1. Si xy < 0, calcule los valores de a. A) a ∈ 〈– 2; 1〉 B) a − 1 2 ; 2 C) a ∈ 〈–1; 2〉 D) a −2 1 2 ; 12. Escriba el conjunto S en forma de intervalo. S x x x =  + + −  − x    R 1 4 1 4 41 2 A) S=[0; 1] B) S=[–1; 0] C) S=[–1; 1] D) S = −      1 2 1 2 ; 13. Si f(x)=mx+b es una función lineal tal que f(–1)=m ∈ Z ∧ f(m) < 0, esboce su gráfica. A) X Y – 2 – 2 B) X Y 2 1 C) X Y D) – 2 – 1 X Y 14. Sea f: S → R una función tal que f(x)=– x2+4x –1; x ∈ S=〈1; 3〉. Halle su rango. A) Ran( f )=〈2; 3] B) Ran( f )=〈2; 3〉 C) Ran( f )=〈– 2; 3〉 D) Ran( f )=〈– 3; 2] 15. Sea f(x)=– x2+5x+c una función cuadrática, cuya gráfica se muestra. X Y x0 h x0+3 k Calcule el valor de |h×c|. A) 15 B) 10 C) 8 D) 4 16. Sea f(x)=x3 – ax+b una función, cuya gráfica se muestra. X Y b – b 2 – 1 3 Calcule el valor de f(– b). A) – 2 B) – 3 C) – 1/2 D) 0 17. ¿En cuántos puntos se intersecan las gráficas de las funciones f y g? f x x ( x) = 3 2 ; x ≠ 0 g( x) = − x + 2 ; x > – 2
A) 0 B) 1
C) 2 D) más de 2
18. En un triángulo ABC, se traza la mediana CM y
la altura BH.
Si AB=2(CH) y la m  BAC=2(m  BCM),
indique la naturaleza del triángulo ABC.
A) isósceles
B) rectángulo
C) equilátero
D) escaleno y acutángulo
19. En un triángulo isósceles ABC de base AC,
se traza la altura BH y la ceviana AP tal que
AP=2(BH). Si la m  BAP=42º, calcule la
m  HBC.
A) 42º B) 45º
C) 46º D) 48º
20. En un cuadrado ABCD de centro O, M y N son
puntos medios de BC y CD, respectivamente. Si
AM y BN se intersecan en P y la prolongación de
PO interseca a AD en Q, calcule AQ sabiendo
que (PQ) · (OQ)=36.
A) 6 B) 8
C) 9 D) 18
21. En un triángulo rectángulo ABC recto en B. En
BC se ubica el punto P, desde el cual, se traza
la perpendicular PH a AC (H en AC). Calcule el
área de la región ABC si la m  PAB=m  ACB y
BC=AP+PH=6.
A) 6 B) 6 2
C) 6 3 D) 12
CLAVES 3 AÑO SECUNDARIA
Nro Clave P Clave Q Nro Clave P Clave Q
1 B D
2 C A
3 A C
4 D B
5 B D
6 D B
7 B D
8 C A
9 B D
10 D B
11 D B
12 C A
13 A C
14 A C
15 B D
16 A C
17 B D
18 C A
19 C A
20 A C
1. Sea la operación lógica
p ♣ q ≡ (∼ q → p) ♣ p
Respecto a lo anterior, indique el valor de verdad de las
siguientes proposiciones.
I. (∼ p → q) ♣ p ≡ p ∨ q
II. (q ♣ ∼ p) ♣ ∼ q ≡ q
III. ( p ♣ q) ♣ r ≡ (r ♣ p) ♣ q
A) FVV B) FFV
C) VFV D) VFF
2. Para ver una obra teatral se disponían de tres tribunas;
dos laterales cada una con capacidad para 100 personas
y una tribuna central con capacidad para 200 personas.
El precio de las entradas a las tribunas laterales (del mismo
precio) costaba 40% menos que el costo de la entrada
a la tribuna central; además se recaudó lo mismo
en la tribuna central que en las laterales y la cantidad
de asientos vacíos de la tribuna lateral izquierda es el
25% de los asientos vacíos que hay en la tribuna central.
Si en la tribuna lateral derecha había 12 personas más
que en la otra y se esperaba un lleno completo, ¿qué
porcentaje se dejó de recaudar?
A) 20% B) 25%
C) 30% D) 40%
3. La cuadrilla A de 24 obreros avanza el x% de una obra
en 12 días y la cuadrilla B de 18 obreros realiza el x% de
la obra que quedaba en 8 días. Si para terminar lo que
falta de la obra en 32 días trabajaron 16 obreros de la
cuadrilla A y 8 de la cuadrilla B, ¿qué cuadrilla tiene obreros
más eficientes y qué tanto por ciento más eficientes
son respecto a la otra?
Tercer grado de secundaria
A) B; 60%
B) A; 60%
C) B; 40%
D) A; 40%
4. Se tiene tres recipientes que contienen alcohol de 40º,
60º y 80º; en los dos primeros hay la misma cantidad
de alcohol puro. A los tres recipientes se les agregan x,
2x y 3x litros de agua, respectivamente, y se obtienen
alcoholes de la misma pureza. ¿Qué grado de alcohol se
obtiene al mezclar los contenidos iniciales del primer y
del tercer recipiente?
A) 40º B) 48º
C) 50º D) 55º
5. Siguiendo las líneas de la figura, ¿cuántos caminos hay
para ir del punto A al punto B considerando que no
pasen dos veces por el mismo punto y que solo avancen
hacia abajo y hacia los lados pero no hacia arriba?
B
A
A) 768
B) 3840
C) 15 360
D) 30 720
6. De las edades de 8 amigos se sabe que la media, la mediana
y la moda son iguales a 20; además, la media y la
mediana de las edades de los cinco menores son iguales
a 18. Calcule la mayor diferencia de edades que pueden
tener 2 de los 8 amigos.
A) 14 B) 15
C) 16 D) 17
7. Un experimento aleatorio consiste en lanzar 3 dados de
colores diferentes. Se definen los eventos
• A: Se obtienen puntajes diferentes entre sí.
• B: El producto de los puntajes obtenidos es divisible
entre 5.
Calcule n(AC ∩ BC) + n(A D BC).
A) 125 B) 130
C) 156 D) 190
8. Se tiene que
 = − 
( + )
 = − − ( )
+
4 2 2
2 2
2 2
2 4
5
5 2
5 2
5
Halle el valor de ab+2a+2(b+3)
A) 2 B) 5 2
C) 0 D) 4
9. Dado el polinomio
P x y z ax by cz
a
bc
a b
ac
b c
ba
c
( ; ; ) = + +

 

 

 

 

 

 
,
Determine el valor reducido de
P P
P
a b c b c b
a b c
( ; ; ) ( ; ; )
( ; ; )
− + − +
− +
1 1 + 1 1
2 2
.
A) 3 B) 4
C) 2 D) 1
10. Luego de factorizar el polinomio homogéneo
f(x; y)=x6+x4y2+x3y3+x2y4+y6
se obtiene solo dos factores primos de los cuales el producto
de sus términos de primer grado respecto a x es
A) – xy5.
B) – x3y3.
C) – x2y4.
D) x2y4.
11. Si mm=( abc )–1, tal que m ∈ Z, y se define el polinomio
P(x+1)=cx2+bx+a, calcule el producto de coeficientes de
P(x).
A) –126 B) –136
C) – 72 D) –160
12. Respecto al polinomio
P(x)=(x – a)(x – b)(x – c) –1,
considere que a, b y c son números enteros diferentes.
De lo anterior, indique verdadero (V) o falso (F) según
corresponda en las siguientes proposiciones.
I. Existen los números m y n ∈ Z, tal que f(x)= x2+nx+m
sea un factor de P(x). ( )
II. Puede aceptar un factor lineal mónico de término
independiente entero. ( )
III. 2 –1 puede ser una raíz de P(x). ( )
A) VVV B) FVF
C) FFV D) FFF
13. Si f(x) es una función polinomial de coeficiente principal
uno, tal que
f f x x ( (x)+ − ) 3 = 2 + 3,
determine el valor numérico de f f( ) ( 2 ).
A) 8 B) 4
C) 6 D) 10
14. Si la función cuadrática f es mónico, tal que f 2
3
1
9 
 
 
= ,
calcule el valor de 2 1
2
1
3
f f 
 
 
 
 
− .
A)
2
15
B) − 1
6
C)
1
3
D)
1
18
15. Dada la ecuación cuártica
P(x) = ax4 + bx2 + cx + d = 0; {a; b; c; d} ⊂ Q
se cumple que P(3)=P(7) = 1 y P(1) = –1.
Entonces podemos afirmar que
A) sí posee raíz entera.
B) posee raíz entera positiva.
C) no posee raíz entera.
D) posee raíz entera negativa.
16. Cuando la sangre se mueve por una vena, su velocidad v
es mayor a lo largo del eje central y disminuye a medida
que se incrementa la distancia r desde el eje central (ver
el gráfico). La fórmula que da v como una función de r
es denominada ley de flujo laminar. Para una arteria
con radio 0,5 cm se tiene
v(r)=k(0,25 – r2); k > 0; 0 ≤ r ≤ 0,5
0,5 cm r v
Determine la gráfica aproximada de v(r).
A) v
r
B) v
r
C) v
r
D) v
r
17. ¿Cuánto es la suma de los valores de x para que los números
(2x+x3) y (3x+x3 –1), al ser ubicados en la recta
real, equidisten del número (x3+1)?
A) 1/2 B) 1
C) 8/5 D) 9/4
18. Juan debe ubicarse fuera del jardín, de tal forma que la
suma de cuadrados de las distancias desde P hacia las
esquinas A y B menos el triple del cuadrado de la distancia
desde P hacia la esquina C sea lo máximo posible.
Calcule dicho valor máximo.
C
jardín
P
B
A
4
5
3
A) 34 B) 90
C) 86 D) 102
19. Determine las soluciones no enteras de la ecuación
( −x − x) = −x − x
2 2
.
A) 〈0; +∞〉 – Z+
B) [0; +∞〉 – Z+
C) 〈– ∞; 0〉 – Z–
D) 〈– ∞; 0]– Z–
20. En un triángulo isósceles ABC, de base AC, se traza la
bisectriz interior CD, tal que BD = CD. Halle la mBDC.
A) 90º
B) 96º
C) 102º
D) 108º
21. Del gráfico, L

es la mediatriz de AN; además DI=IN y la
m  DIN=80º. Calcule el valor de a.
α
L
A N
I
D
A) 95º
B) 100º
C) 105º
D) 110º
22. Un prisma cuadrangular regular tiene su diagonal igual
a 5; además, la longitud de la arista lateral toma su máximo
valor entero. Halle el volumen de dicho prisma.
A) 3 B) 6
C) 12 D) 18
23. Del gráfico, ABCD y COF son un cuadrado y un triángulo
equilátero, respectivamente. Calcule la razón de las
áreas de las regiones que limitan ABCD y COF. Considere
que O es el centro de ABCD.
A D
O
B C
F
A)
4 3
3
B) 8 3
3
C) 16 3
9
D) 32 3
9
24. En la cima de una colina situada sobre un terreno llano
se tiene un poste PQ de 3,5 m de altura. Desde el
punto A, en el terreno llano, los ángulos de elevación
del extremo superior Q y del extremo inferior P son,
respectivamente, 53º y 37º. Halle la altura de la colina
aproximadamente.
A) 3,5 m B) 4 m
C) 4,5 m D) 5 m
25. En el gráfico, AC=m y CD=n.
B D C
A
x x
¿A qué será igual sec x?
A)
m
n
B)
m n
m
2 + 2
C)
m n
mn
2 + 2
D)
m n
n
2 + 2