CONCURSO NACIONAL DE MATEMATICAS DE QUINTO DE SECUNDARIA EXAMEN FINAL CON RESPUESTAS CONAMAT PDF

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Concurso de matemáticas cesar vallejo de Quinto año de secundaria
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1. Si la proposición
[( p ∧ ∼q) ∧ (q ↔ r)] → ( p ∧ s)
es falsa, halle el valor de las siguientes proposiciones.
I. p ↔ r
II. ∼ r ∨ q
III. ( p ∧ q) → ∼ t
A) FVV B) FVF
C) VVV D) FFF
2. Los minutos de tardanza de un alumno de 5.º de
secundaria en una semana de clase se muestran
en la siguiente tabla:
Lunes Martes Miércoles Jueves Viernes
1 minuto 2 minutos 2 minutos 4 minutos 1 minutos
Calcule la varianza de los minutos de tardanza.
A) 1,5 B) 1,2
C) 0,8 D) 0,75
3. Una variable aleatoria discreta x toma valores
enteros entre 0 y 6; su función de probabilidad
está dada por p(x)=k · x. Calcule la esperanza
matemática de x.
A) 3 B) 4,3
C) 3,3 D) 3,6
4. Si f es una función definida por
f
x x ( x) = log

1
3 1
Quinto grado de secundaria
entonces, la figura que mejor representa la gráfica
de f es
A)
X

5. Sea la recurrencia
2xn+2+xn=3xn+1; n ≥ 0
x0=1 ; x1=
5
2
Determine x50.
A)
3 2 4
2
50
50
· −
B)
4 2 3
2
50
50
· −
C)
2 3 4
3
50
50
· −
D) 3 · 250 –1
6. En el gráfico, se muestra la gráfica de la función
f(x)=ln(ea – x)+1.
5
b X
Y
Si e=2,7182…, determine el valor de b.
A) 1 B) e
C) e4 D) e5
7. Sea f x
x x
( ) = 4 − 2 +1; x > 0.
Indique el valor de verdad (V) o falsedad (F) de
las siguientes proposiciones.
I. La función es inyectiva.
II. La función no tiene inversa.
III. La función inversa es
f
x
( x)
* = log + − 
 

 2
1 2
2
4 3
2
.
IV. La función inversa es
f
x
( x)
* = log − − 
 

 
2
1 2
4
2 3
4
.
A) FVFF B) VFFV
C) VFVF D) VFFF
8. Siendo máx f: S ⊂ R2 → R tal que
f(x, y)=ax+by. Considere que S es un cuadrado,
cuyos lados son paralelos a los ejes coordenados.
D
B C
A
Y
X
Si A=(n, n), determine el valor de verdad (V) o
falsedad (F) de las siguientes afirmaciones.
I. Si a=b y a > 0, entonces C es la solución
óptima.
II. Si a+b=0 y a > 0, entonces B es la solución
óptima.
III. Si a=b y a < 0, entonces A es la solución óptima. A) VVV B) VFV C) FFF D) VVF 9. Indique cuál de las siguientes proposiciones es verdadera. A) Por dos puntos se pueden trazar más de dos rectas. B) Un cilindro es un poliedro. C) Los planos que se intersecan se llaman planos paralelos. D) Tres puntos no colineales determinan un plano. 10. En un tetraedro regular N-MWD, se ubica el punto A en WD tal que 5(WA)=3(AD)=15. Calcule la distancia de A hacia el punto medio de la arista alabeada respecto a WD. A) 2 7 B) 2 6 C) 33 D) 30 11. Se tiene el plano H, en él se traza la recta L, la cual es arista de un semiplano R, el cual no está en el plano H. Si las medidas de los diedros determinados se diferencian en 40º, calcule la menor medida angular determinada por uno de los diedros determinados. A) 70º B) 40º C) 80º D) 50º 12. En un hexaedro regular ABCD - PQRS, se ubica M en AP. Si 12(AM)=7(AD)=84, calcule la distancia de S hacia MR. A) 156 313 313 B) 165 313 313 C) 105 313 313 D) 150 313 313 13. En un paralelepípedo ABCD-EFGH, su base es una región cuadrada cuyo lado mide 6. Si AE=HG, m  AEH=m  DHG=60º, calcule la distancia de A hacia la base de dicho sólido. A) 2 B) 3 2 C) 2 3 D) 3 14. Se tienen dos esferas cuyos radios son 7 y 5, respectivamente, y la distancia entre sus centros es 10. Calcule el área de la intersección entre dichas esferas. A) 169 25 ≠ B) 144 25 ≠ C) 132 5 ≠ D) 264 25 ≠ 15. El centro C de una circunferencia se encuentra ubicado en el primer cuadrante del plano cartesiano. Se traza el segmento tangente OT, donde O es el origen de coordenadas, T es el punto de tangencia, y la prolongación de CT interseca al eje de las abscisas en el punto B. En el triángulo OCB, la mediana CM y OT determinan un ángulo cuya medida es 53º. Si B=(20; 0), y la pendiente de la recta OC es 1, halle la ecuación de dicha circunferencia. A) (x –18)2+( y –18)2=72 B) (x –10)2+( y –10)2=20 C) (x –15)2+( y –15)2=90 D) (x –12)2+( y –12)2=60 16. En el gráfico, se cumple que AB=15, AD=13, BD=4 y CD=10. Calcule tan θ 2 . θ B A C D A) 1/12 B) 5/12 C) 2/3 D) 3/5 17. Si se cumple que tan2 cot2 cot2 2 11 3 x + x + x = , calcule el valor de cos4x. A) – 2/3 B) – 3/4 C) –1/2 D) − 3 2 18. Calcule el valor numérico de la expresión. M=cos18º+cos12º – 4cos15ºcos21ºcos24º A) − +       3 1 2 B) 3 1 2 − C) 1 3 2 − D) 3 1 2 + CLAVES 5 AÑO SECUNDARIA Nro Clave P Clave Q Nro Clave P Clave Q 1 A C 2 B D 3 D B 4 C A 5 B D 6 C A 7 C A 8 B D 9 D B 10 C A 11 A C 12 A C 13 B D 14 D B 15 C A 16 B D 17 C A 18 A C 1. Dados los conjuntos A = {2; 5; 7; 8} y B = {1; 2; 3; 5; 6}, indique verdadero (V) o falso (F) según corresponda en las siguientes proposiciones. I. ∀ x ∈ A; ∃ y ∈ B / x2 < y3 ( ) II. ∃ x ∈ A / ∀ y ∈ B: x > 2 → y ≠ 3 ( )
III. ∃ x ⊂ B / ∃ y ⊂ A / P(A ∩ B)=x ∪ y ( )
A) VVF
B) VVV
C) FVF
D) FFV
2. El salario promedio semanal de un grupo de 7 trabajadores
es S/.170 y la varianza de estos salarios es S/.1400;
luego se contratan 2 trabajadores que ganarán S/.160 y
S/.190, y después de un mes a todos se les aumenta el
10% de su pago semanal. Calcule la desviación estándar
aproximada de los nuevos salarios semanales.
A) 37,19
B) 60,85
C) 62,52
D) 70,75
3. Sea la función de probabilidad
f k
a
b x
x
( ) = 
 
 
, x: 1; 2; 3; . . .
Si se cumple que f(x  ) 2 =
17
81
,
calcule E(x).
(E(x): esperanza matemática)
A) 6 B) 7,5
C) 9 D) 12
Quinto grado de secundaria
4. Si el conjunto
A x y y x y x = × + − + 


( ; )R R/  3  5 
  −   − − 



y 5 x y x
3
( 5) 3
representa una región poligonal, entonces la suma de
componentes de las abscisas de todos los vértices es
A) 2. B) 3.
C) 4. D) 5.
5. La gráfica representa la región admisible de un problema
de programación lineal.
1
1 2 3 4 5 6
2
4
5
6
D(5; 4)
E(4; 1)
F(2; 0)
A(0; 3)
C(3; 6)
B(1; 5)
Y
X
Indique verdadero (V) o falso (F) según corresponda en
las siguientes proposiciones.
I. Si f (x; y)=4x+4y, entonces el máximo de f(x; y) se encuentra
en todo el lado CD.
II. Si f(x; y)=3x+5y, entonces el mínimo de f(x; y) se encuentra
en F.
III. Si f(x; y)=ax+by tiene infinitas soluciones en todo el
lado CD, entonces a
b
= 1
2
; a ∧ b > 0.
A) FVV B) VVV
C) FVF D) VVF
6. Determine la gráfica que representa la función inversa de
f
x a b c
x a b c
x a
b c
+ + +
+ − −
 
 
= +
+
.
A)
–1
1
1
Y
X
B) Y
X
1
C)
–1
1
1
Y
X
D)
–1
–1
Y
X
1
7. Se tiene el sistema
2 1 1
1 2 1
1 1 2
ny n x n
n x nz n
n z n y n
+ + = −
− + = +
+ + − =

 
 
( )
( )
( ) ( )
Calcule el valor de z, si se sabe que n ∈ N y n > 1.
A) –1 B) 2
C) 1 D) n
8. Halle el número de soluciones de la ecuación
(16x)log2x (2/ x) = 16−logx 2 .
A) 1 B) 2
C) 3 D) 4
9. Indique verdadero (V) o falso (F) según corresponda en
la siguiente inecuación.
2x · x − x2 + x  −4x (x2 − x)+ x − x2
I. Tiene como CS = 
 

 
 1
4
2
3
; {0; 1}. ( )
II. Su CS tiene solo dos elementos. ( )
III. Su CS=[0; 1] ( )
A) VFF
B) FVF
C) FFV
D) FFF
10. Sea x0=– 2 ∧ y0=1; se define
xn+1 = xn + yn + xn + yn
2 2
yn+1 = xn + yn − xn + yn
2 2
Calcule x2012.
A) −22011 + 21006 22011 + 2
B) −22011 − 21006 22010 − 2
C) −22011 + 21006 22010 + 2
D) 22011 − 21006 22010 + 2
11. Indique verdadero (V) o falso (F) según corresponda en
las siguientes proposiciones.
I. Si dos rectas son paralelas a un plano, el plano determinado
por ellas será paralelo al plano inicial. ( )
II. Si una recta es perpendicular a un plano, cualquier
recta que pase por su pie será perpendicular a dicha
recta perpendicular al plano. ( )
III. Los planos que contienen a dos rectas alabeadas
siempre son secantes. ( )
A) VVV
B) VFV
C) VFF
D) FFF
12. Por el baricentro G de un triángulo equilátero ABC se
traza PG perpendicular al plano del triángulo ABC, tal
que la medida del diedro entre las regiones ABC y ABP
es igual a la medida del ángulo GPC. Si AB=6, halle PG.
A) 2 3
B) 2 6
C) 3 2
D) 6
13. Calcule la razón entre las sumas de la cantidad de aristas
y la cantidad de caras del tetraedro regular, hexaedro
regular y octaedro regular.
A) 1 B) 2/3
C) 5/3 D) 4/5
14. Se muestra un cilindro de revolución, donde R=2 y
OA = 4 2. Calcule el volumen de dicho cilindro. Considere
que T es punto de tangencia.
T
O R
45º
A
A) 6 3p
B) 8 3p
C) 9 3p
D) 12 3p
15. Del gráfico, T es punto de tangencia; además AM=MO=2.
Halle la ecuación general de L

.
T
Y
A M O X
L
A) x − 3y + 2 3 = 0
B) x 3 − y + 4 3 = 0
C) x − 3y + 6 3 = 0
D) x 3 − 3y + 8 3 = 0
16. Si cos2x=1/3, calcule el valor de
tan2 tan2
2
 + 
 
 
x − x .
A) 1
B) 2
C) 3/2
D) 5/2
17. Si x ∈ 〈0; p/2〉, además
cot x + 2cot2x + tanx + 3 = 3,
entonces sen2x – 2cos2x es igual a
A) –1/2. B) –1/4.
C) –1/8. D) –1.
18. Si ABCDE es un pentágono regular de lado igual a la
unidad y BM=MC, calcule MF.
A
E
F
D
B M C
30º
A) 2cos236ºcos18ºsec6º
B) 2cos236ºsec6º
C) 2cos236ºcos18º
D) 2cos36ºsec6º
19. En un triángulo ABC se cumple que AB=c, BC=a y AC=b;
además, el área de la región triangular ABC es a2 15
4
y
cos A=7/8. Calcule
b c
bc
2 2
4
+ .
A) 1/2 B) 1
C) 2 D) 4
20. Calcule el valor de
(1– 2cos20º)(tan50º+tan70º).
A) −2 3 B) −3 3
C) −4 3 D) − 3
21. Calcule el mínimo valor de
4(sen4x + cos4x) – 4(sen6x+cos6x) – sen24x,
si x ∈R.
A) – 9/8 B) –1
C) – 3 D) – 9/16
22. En el gráfico, BC = a y AC = b; además se cumple
a2sen2b + b2sen2a = ab.
Calcule sen(a+b).
β α
B A
C
A) 1/3 B) 1/8
C) 1/2 D) 1/4
23. Se define la función f mediante
f
x x (x) sen cos
=
+
+
+
1
3 4
1
2 3 4 2 .
Calcule la suma del máximo y del mínimo valor de f(x).
A) 89/105 B) 92/105
C) 2/5 D) 29/25
24. A partir de la condición
4sen3x + 4sen2x+3sen2x+6cos x=0,
calcule el mayor valor de cos2x.
A) 1/2 B) –1/2
C) 1 D) 3/2
25. De acuerdo al gráfico, ABC es un triángulo acutángulo.
Además se cumple que AB = AM y BM=MC. Calcule el
mínimo valor de tanb+3cotq.
β θ
B M C
A
A) 2 3 B) 6
C) 3 D) 4
26. Si CE = BH, entonces
AD
BC
será igual a
θ
A F
H
D E
C
B
A) sen3q.
B) cos3q.
C) sen2qcosq.
D) cos2qsenq.
27. Calcule el número de valores enteros que adopta la expresión
16
4
4
1
1
2 4
4 1 2
1
4
2
2 cos
tan
tan
sen
( sen )
x
x
x
x
x
+ 
 
 
− −
+

 

 
+



.
A) 1 B) 2
C) 3 D) 4
28. Si x ∈ 〈0; 2p〉, calcule la suma de soluciones de la ecuación
sen4 x – cos4 x=1+4(sen x – cos x).
A) 2p B) 3p/2
C) 5p/2 D) 7p/4
29. Si se cumple que 0 > sen x > cos x, entonces x puede ser
igual a
A) 7p/5. B) 4p/3.
C) 9p/8. D) 5p/4.
30. Si se cumple que
tan xº=tan66º+tan36º+tan6º, además 0 < x < 90º, ¿a qué será igual la suma de cifras de x? A) 6 B) 8 C) 9 D) 11