CONCEPTOS FUNDAMENTALES DE GEOMETRIA PROBLEMAS RESUELTOS PARA PROFESORES PDF

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Plano , recta,punto , semiplano y semIrrecta , segmentos , Movimientos
en el plano , Angulos , Paralelismo y perpendicularidad, Poligonal y
potígono , Medida de los ángulos de los poligonos regulares,EJERCICIOS
RESUELTOS

1. Plano, recta, punto. semiplano y semirrecta
PLANO Es un conjunto de infinitos puntos.
El tablero de una mesa, la pared de una habitación, el suelo de la clase
nos dan idea de plano
Los planos no tienen grosor
Los planos por ser infinitamente grandes no se pueden dibUjar enteros,
por eso dibujamos una parte que se suele representar utilizando un paralelogramo
a
Los planos se nombran por medio de letras griegas a, {3, 1′.
RECTA Es un subconjunto de infinitos puntos del plano situados en la
misma dirección
Las rectas se nombran por medio de letras minúsculas: r, s, t
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Si consideramos dos planos t.r y (3 en esta posición
,
su intersección está formada por un conjunto de puntos . este conjunto de
puntos situados en la misma dirección constituyen una recta.
Como es imposible representar los infinitos puntos de una recta, lo hacemos
sobre un paralelogramo utilizado para representar el plano.

En un punto hay infinitas recias.
PUNTO F.~ la intersecci6n de dos rectas. Se nombran por medio de letras
mayúsculas A, B, e, …
Si nos fijamos en dos rectas r V s colo~adas en esta posición
l’
r n s = P
se cortan en un punto P. tienen un punto común.
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Por un punto pasan infinitas rectas.
Por dos puntos pasa una sola recta.
Si señalamos tres puntos y los unimos con una regla solo se obtiene una
recta cuando los tres puntos est~n alineados.
Q
Por tres puntos allneados pasa una sola recta.
SEMIPLANO Es cada una de las dos partes en que uno recta divide 01
plano .
Toda recta divide a un plano en dos semiplanos.
SEMIRRECTA. Es cada uno de los dos partes en que un punto divide a
una recta
,
Todo punto divide a una recta en dos semirrectas
Utilizando el plegado una cuartilla representa un plano. al doblarla se obtiencn
dos scmiplanos, el doblcz cs la rccta . Al hacer otro doblez que se cruce
con el anterior se obtiene el punto .
Otra forma más rigurosa de introducir estos conceptos fundamentales es
utilizando una axiomática Para ello elegimos la dada por el Prof. P Puig
Adam en su libro «Geometría métrica,..
AXIOMAS DE EXISTENCIA Y ENLACE
Axioma 1 Reconocemos la existencia de infinitos entes llamados -puntos
.. cuyo conjunto llamaremos espacio.
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Axioma 2. Los puntos del espacio se consideran agrupados en ciertos
conjuntos parciales de infinitos puntos llamados «planos» y los de cada plano
en otros conjuntos parciales de infinitos puntos llamados “rectas».
Axioma 3 Por dos puntos distintos pasa una recta y sólo una
Axioma 4 Por tres puntos no alineados pasa un plano y s610 uno.
Axioma 5. Si dos puntos de una recta están en un plano, todos los demás
puntos de la recta 10 están también.
De estos axiomas se puede deducir:
1) Una recta y un punto exterior determinan un plano que pasa por
ellos.
2) Dos rectas distintas que tienen un punto común determinan un plano
que las contiene
2. Segmentos
DEFINICION Si en una recta r señalamos dos puntos A y B El coniunto
de puntos de la recta situados entre ambos es un segmentos. Los puntos
A y B se llaman extremos
A B
El primer punto que se nombra es el que se encuentra en primer lugar y
el último punto nombrado es el que se encuentra en el último lugar del segmento.
Para trazar segmentos se utiliza la regla que sirve también para medirlos
Dados dos segmentos puedes compararlos colocando uno sobre el otro
por medio de ~m p;¡pel que !>irva de tran~portador o por medio de la regla,
pudiendo ocurrir que el primero sea menor que el segundo, iguales o el primero
mayor que el segundo
Dos o más segmentos se dicen concatenados o sucesivos cuando cada
uno tiene un extremo común con el que le sigue.
B o
E
A
e
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Cuando dos O más segmentos son concatenados y están en la misma
recta, se llaman consecutivos.
M N p Q
Para sumar dos segmentos los colocamos concatenados sobre unii miSma
recta, es decir, los ponemos consecutivos
Para sumar varios segmentos hay que colocarlos consecutivos. El segmento
suma te ndrá como primer extremo el primer extremo del primer segmento
y como segundo extremo el segundo extremo del último de los segmentos
que se suman.
MEDlATRIZ DE UN SEGMENTO. Es lo recto perpendicular trazada por
su punto medio.
Una forma de hacerlo es tomando una regla , midiendo el segmento y señalando
el punto medio. Con la escuadra y cartabón se puede trazar la recta
perpendicular
Otro procedimiento más sencillo consiste en utilizar solamente el compás
. Trazando el segmento AS y pinchando el compás en cada extremo del
segmento trazamos dos arcos de circunferencia del mismo rad io, que siempre
será u~ poco menor que la lo ngitud del segmento. Los dos arcos de circunferencia
se cortan en dos puntos. La recta que pasa por dichos puntos es
la mediatriz del segmento dado
A B A ”
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Una vez trazada la medialriz del segmento AB se puede comprobar que
tomando puntos de la mediatrlz y uniéndolos con los extremos A y S se obllenen
segmentos de igual longitud . Las distancias de cadCl punto de la medidtrlz
a los extremos del segmento es la misma
Siempre que se une un punto de la mediatriz con los extremos del segmento
se obtendrán distancias iguales.
Todos los puntos de la mediatriz son equidistantes de los extremos del
segmento
3. Movimientos en el plano
SIMETRIA AXIAL. Dos figuras son simétricas cuando al doblar por su
eje de simetría coinciden en todos sus puntos.
Considerando el segmento AS y la mediatriz trazada,
B
doblando por la mediatriz, Jos puntos A y B coinciden . La mediatriz es el eje
de simetría Los puntos A y B son simétricos_
La simetría axial es un movimiento que no altera ni el tamaño ni Jo forma
de las figuras _
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B
Estas son simetrías axiales
I
A
I ,
~.J punto sim~lrico d ~ A es A
,
A’
A ____ 1 ____ A
I
i
–t-
I
~Ie
I (
i,
R
L” figura sm”~tric ,, del In! ngulo ABe es el Inán
gulo A-B e
B
I
‘~t7′
El segmen!Q 5lmétrico de AB es A H
I
A -f– A
—– -t- —-I
F F
D-ti o
c —–i—– c
I ‘
L” figura slmétriu, del (uadnláhm.J ABCD es d
cU3driIMI’r<) A'B C'I) R Para que dos figuras sean simétncas respecto de un eje todos los puntos de la primera deben de coincidir con los de la segunda al doblar por el ele de simetría El simé_tnco de un punto que pertenece al eje de simetría es el mIsmo p~mto El simétrico de un segmento que pertenece al eje de Simetría es el mismo segmento Para construir una figura, simétrica de una dada hay que utilizar la regla, escuadra y cartabón y también el compás Para dibujar la simétrica de un triángulo ABe hay que tomar los puntos notables de la figura, aquí son los vértices A, B y e y trazar perpendiculares a[ eje de simetría Después utilizando el compás llevar [a distancia de A al eje, pinchando en el punto M con el compás y con radio MA obtener el punto A I Otro tanto se hace con B y e obteniendo los B I Y e I Por último uniendo los puntos A', B I Y e' obtienes el triángulo simétnco al dado www.Matematica1.com B EJE DE SIMETRIA DE UNA FIGURA. Es una recta que divide a una figura en dos partes iguales, de tal modo que los puntos situados a una parte de la recta tengan su simétrico en la otra. Los siguientes cuadrados al trazar las rectas e y e I respectIvamente han qu edado divididos en cada caso en dos partes iguales . I L '-. A_ A ' B I B ' 1""-,,,,, I , "" . B L-___ ~ c - c B' , Hay figuras que tienen un eje de simetrta_ www.Matematica1.com Hay figuras que ti—-
B
La medida de la suma es
Á + B – 45′ + 30′ ~ 75′
/
/
/
/
/
/
Cuando la medida de los ángulos vienen dadas en grados . minutos y segundos
sexagesimales hay que recordar que cada 60 segundos es 1 minutos
y cada 60 minutos es 1 grado.
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Ejemplo 3. Sumar 48° 53′ 29 W y 16° 42′ 38 W
48′ 53′ 29″
+ 16° 42′ 3B w
64″ 95′ 67″
64° 96′ 7″”‘”
65° 36′ 7 w
b) Pesta Para restar dos ángulos los superponemos El ángulo diferen”
cia es el determinado por los lados no comunes. La amplitud o abertura será
la diferencia de las amplitudes de los ángulos dados
Así
45′
Á ~-‘—-
il”,c;…l-;3;0;°” ‘_ _ C~ __ _
Á B ~ e
La medida de la resta es 45° – 30° = 15°
Cuando las medidas de los ángulos vienen expresadas en grados, minutos
y segundos sexagesimales recordamos lo dicho en la suma.
Ejemplo 4. Restar 85° 45′ 16 W y 42° 38′ 29″
Como los segundos no se pueden restar pasamos 1 minuto a 60 segundos
quedando
85′ 45′ 16″
42° 38′ 29″ ~
85′ 44′ 76″
42″ 38′ 29″
43′ 6′ 47 ”
el Multiplicar por un número Al multiplicar un ángulo por un número
natural n se obtiene otro ángulo de amplitud el producto de n por la amplitud
del ángulo dado.
x 3
900
A “”‘–‘—- B
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Cuando la medida del ángulo viene expresada en grados, minutos y segundos
se procede así-
Ejemplo S Multiplicar por 4 el ángulo de medida 18° 25′ 43″
ISO 25′ 43 ”
x 4
72° 100′ 172″ =< _ 72° 102' 52" - 73' 42' 52" d) División por un número El codente de un ángulo por un número natural es otro ángulo de medida el cociente de dividir la medida del ángulo por o. Ejemplo 6 Dividir por 5 el ángulo de medida 86° 37' 40" 860 37' 40 ' 5 36 17' 19' 32" l ' - 60' 97' 47' 2' - 120" 160' 10 O BISECTRIZ DE UN ANGULO. Es la semirrecta que lo divide en dos ángulos iguales Utilizando el plegado basta con dibujar sobre una cuartilla el ángulo y doblando se hace coincidir un lado con el otro. El doblez es la bisectriz www.Matematica1.com La bisectriz de un ángulo es eje de simetría del ángulo Otra forma de hallar la bisectriz es con el compás Una vez dibujado el ángulo con un compás trazamos un arco pinchando en el vértice y determinando dos puntos A y B en los dos lados del ángulo. Con centro en estos puntos se trazan dos arcos de igual abertura de compás cortándose en un punto P. Uniendo el vértice con P se obtiene la bisectriz A La medida de cada uno de los ángulos obtenidos al trazar la bjsectriz es la mitad de la medida del ángulo dado Ejemplo 7. Calcular cada uno de los ángulos obtenidos al trazar la bisectriz del ángulo de medida Á = 1250 36' 125" 36' 2 05 62" 48' ¡o 60' 96' 16 O Cada uno de los dos ángulos mide 62° 48' ANGULOS COMPLEMENTARIOS Y SUPLEMENTARIOS a) Dos ángulos son complementarios cuando su suma es un recto, es decir 90"" Los ángulos Á = 300 y B = 600 son complementarios porque su suma es un recto www.Matematica1.com Ejemplo 8 Los ~ngulos de medida M -= 15<> 48′ 37″ y
N – 74 ° 11 ‘ 23″ son complementarios porque
M – IS’ 48 ‘ 37″
Ñ _ 740 11′ 23~
M + Ñ = 89<> 59 ‘ 60 ” ~ 900
Complemento de un ángulo es lo que le falta para valer un recio .
Así el complemento de Á = 36° es
Cuando el ángulo está e><.presado en grados, minutos y segundos se calcula así Ejemplo 9 Hallar el complemento del ángulo F "'" 25° 37' 48" 90' ~ 89' S9' 60" ~ - 2S' 37' 48" b) Dos 6ngulos son suplementarios cuando su suma es un 6ngtJlo llano. es decir 180<>
Los ángulos Á = 85° Y é – 95° son suplementarios porque
Á + B – 85′ + 95′ ~ 180′
Ejemplo 10 Los ángulos P “” 48° 27 ‘ 35″ y
~ “” 13 JO 32′ 25 “” son suplementarios porque
P – 48′ 27′ 3S”
él – 131 ‘ 32′ 2S”
P + él – 179′ S9′ 60 ‘ – 180′
Suplemento de un ángulo es lo que le falta para valer un ángulo llano.
Así el suplemento de F = 45° es
180′ – F ~ 180′ – 45′ ~ 135′
Cuando el ángulo está expresado en grados, minutos y segundos se cal cula
así
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Ejemplu 11 Hallar el suplemento del ángulo M
180″
M
5. Paralelismo y perpendicularidad
179″ 59′ 60″
lOS” 42′ 37 ”
105″ 42′ 37″
RECTAS PARALELAS Y PERPENDICULARES Dos rectas son parale·
las cuando su intersección es el conjunto vacío, no tienen ningún punto
común
—————,
Las rectas paralelas no se cortan,
Cuando dos rectas se cortan pueden formar ángulos iguales o ángulos
distintos, En el caso de que los cuatro ángulos sean iguales, las rectas son
perpendiculares
M
r~ctas no perpendiculares rectas perpendiculares
Dos rectas son perpendiculares cuando se cortan formando cuatro ángulos
iguales.
Para trazar rectas paralelas o perpendiculares disponemos de regla, escuadra,
cartabón y compás,
ANGULOS FORMADOS EN DOS PARALELAS AL SER CORTADAS
POR OTRA RECTA
Dos rectas, paralelas r y s al ser cortadas por una secante m forman ocho
ángulos que los enumeramos así
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m
definiéndose
-Angulas internos son los que están entre las paralelas’ 3,4, 5 y b
-Angulos externos son los que están fuera de las paralelas i, 2, ‘7 y 8.
-Angulas alternos-internos son dos ángulos internos no adyacentes y situados
a distintos lado de la secante :3 y 5 4- y b
-Angulas alternos”externos son dos ángulos externos no adyacentes y
situados a distinto lado de la secante: i y 7 2 y 8.
-Angulas correspondientes cuando uno es Interior y otro exterior situados
a un mismo lado de la secante y no son adyacentes’ 1″ y ” :J 2 Y o
:iy7 4 ys
-Angulas conjugados internos son dos ángulos internos situados a un
mismo lado de la secante: 4- y 5 3 y 6
-Angulas conjugados externos son dos ángulos externos situados a un
mismo lado de la secante- i y 8 2 y .,
Fácilmente se puede comprobar que
a) Dos ángulos alternos-internos son iguales: :3 = Él y 4, – 6.
b) Dos ángulos alternos-externos son iguales i “” ‘7 y .2 = 8
ángulos correspondientes son iguales: i
4 – 8
d) Dos ángulos conjugados internos son suplementarios’ <1 + 5 1800 3 + (, 180 0 el Dos ángulos conjugados externos son suplementarios ¡ + 8 1800 2 + 'i 1800 Conocida la medida de uno de los 8 ángulos se puede conocer el resto www.Matematica1.com Ejemplo Si el ángulo i "'" 600 el resto de ángulos es 2 es suplementario de 1, luego 2 = 1200 3 es opuesto por el vértice con i, vale- 3 = 60° 4- es opuesto por el vértice con 2, vale 4, - 120Q ; es correspondiente a i, son iguales, vale,5 - 60" b es suplementario a ;, vale 1200 ., es correspondiente a 3, vale lo mismo, ., = 60° 8 es alterno-externo con 2, vale lo mismo, 8 '" 1200 ANGULaS DE LADOS PARALELOS 1 Angulas de lados paralelos y del mismo sentido son iguales Basta prolongar uno de los lados de cada ángulo formándose la figura siguiente Á i por correspondientes al ser cortadas r y r I por s' B i por correspondientes al ser cortadas s y s I por r Luego Á 8 www.Matematica1.com 2 Angulas de lados paralelos y de sentido contrario son iguales Prolongando los lados de cada ángulo se forma la figura siguiente: Á i por el caso anterior , ' X / , , B = i por opuestos por el vérticE.'. Por tanto Á B , , " 3. Angulas de lados paralelos, uno del mismo sentido y otro de sentido contrario son suplementarios www.Matematica1.com Prolongando los lados de cada ángulo se forma la siguiente figura s' " Á " , / " / X / " " i Á por el caso anterior i es suplementario de B Por tanto A y B son suplementarios ~NGULOS DE LADOS PERPENDICULARES 1. Que los lados de uno sean perpendiculares a los lados del otro. Prolongando los lados se forma la siguiente figura www.Matematica1.com que es un cuadrilátero ACBD dos de cuyos ángulos son rectos (en C y en D) . Como la suma de los cuatro ángulos de un cuadrilátero es cuatro recto ~ y ya hay dos que son rectos A + B = 2 rectos A y B son suplementarios 2 . Que Jos lados de uno sean perpendiculares a las prolongaciones por el lI~rtice de los lados del otro . Prolongando los lados de B por el vértice se forma un cuadrilátero ACBO dos de cuyos ángulos son rectos. Como la suma de los cuatro ángulos es cuatro recios y dos de ellos son rectos, la suma de los otros dos san dos rectos. Como B - i resulla Á + B .., 2 recios A y t3 son suplementarios www.Matematica1.com 3. Que uno de los lados del primero sea perpendicular a un lado del se gundo y el otro perpendicular a la prolongación por el vértice del otro lado del segundo. Prolongando un lado de Á por el vértice se forma un cuadrilátero ACBD dos de cuyos ángulos son rectos. ~\ I '\ e I i \ 1"--- ~ B --1-_L~..I......::""-__ D, I Por tanto la suma de los otros dos vale 2 rectos i+Á - 2rectos Como i es suplementario de B también i es suplementario de Á Se deduce que Á y B son iguales 6. Poligonal y polígono LINEA POLIGONAL. Las líneas polígonales están formadas por segmentos concatenados. www.Matematica1.com Cada segmento es un lado de la línea poligonal o poligonal. Los extremos comunes a dos lados se llama vértice . Las líneas poligonales pueden ser abiertas o cerradas según que tengan dos extremos libres o no . No hay que confundir una línea poligonal de dos lados con los lados de un ángulo. Los lados de la poligonal son segmentos. mientras que los lados del ángulo son semirrectas. Las líneas poligonales abiertas están formadas por dos O más segmentos y tienen dos extremos libres. l as líneas poligonales sin extremos libres son cerradas La medida de una línea poligonal es su perímetro. las líneas poligonales cenadas pueden ser convexas o c6ncavas. Línea poligonal convexo es la que no puede ser cortada por una recta en más de dos puntos. Línea poligonal c6ncava es la que puede ser cortada por una recta en más de dos puntos. conVIl/.e C6rlCQVa www.Matematica1.com POLlGONO. Es la porción del plano comprendida dentro de una poligonal cerrada. La medida de un polrgono es su área. Los lados. vértices y ángulos de la línea poligonal cerrada que forma el borde del polígono son también lados. vértices y ángulos del polígono Todos los pol"igonos tienen el mismo número de lados que de ángulos que de vértices. -Un polígono de 3 lados tiene 3 vértices y 3 ángulos, se llama trián gulo. -Un polígono de 4 lados tiene 4 vértices y 4 ángulos, se llama cuadrilá· tero . -Un polígono de 5 lados tiene 5 vértices y S ángulos. se llama pentágono. -Un polígono de 6 lados tiene 6 vértices y 6 ángulos. se llama exógano. -Un polígono de 7 lados tiene. 7 vértices y 7 ángulos. se llama heptágono. -Un polígono de 8 lados tiene 8 vértices y 8 ángulos, se llama octó· gano. -Un polígono de 9 lados tiene 9 vértices y 9 ángulos. se llama eneágono. -Un polígono de la lados tiene 10 vértices y 10 ángulos. se llama decágono - Un polígono de 11 lados tiene 11 vértices y 11 ángulos. se llama en · decágono - Un polígono de 12 lados tiene 12 vértices y 12 ángulos. se llama do· decágono . - Un polígono de 15 lados tiene 15 vértices y 15 ángulos , se llama pentadecágono . -Un polígono de 20 lados tiene 20 vértices y 20 ángulos. se llama leos6gono Los polígonos que tienen todos sus lados y ángulos iguales son polígo · nos regulares. El centro de un polfgono regular es un punto que equidista de los vértices. Un polígono se llama convexo cuando su borde es una línea poligonal convexa . Se llama cóncavo cuando su borde es una línea poligonal cóncava. www.Matematica1.com polígono con vello polfgono c6nc.avo El perímetro de un polígono irregular se obtiene sumando la medida de lodos sus lados. El perímetro de un polígono regular se obtiene multiplicando lo que mide un !;,do por el número de I;,dos . Ejemplo 1 El perímetro de un octógono regular de lado 15 cm es p - 15 x 8 - 120 cm . DIAGONAL Llamamos diagonal al segmento que une dos vértices no consecutlllos_ Un triángulo no tiene diagonales. Un cuadrado tiene dos diagonales. Un pentágono tiene cInco diagonales Un exágono tiene nueve diagonales. En general el número de diagonales de un poHgono viene dado por la expresión D = n(n - 3) siendo n = número de lados 2 www.Matematica1.com Ejemplo 2 El número de diagonales de un decágono es D - 10(10 ~ 31 2 - 35 diagonales CIRCUNFERENCIA. Las líneas pueden ser abiertas y cerradas. En las líneas cerradas se puede distinguir el inte rior, el borde y el extenor . La circunferencia es una línea cerrada un tanto espeCIal porque hay un punto O en su interior situado de tal forma que uniendo todos 105 puntos de la circunferencia con él se forman segmentps todos ellos de igual medida Circunferencia es una línea cerrado plana cuyos puntos eqUldlslan de uno Inferior lIomado centro. Cada uno de los segmentos iguales que unen el centro con los puntos de la circunferencia se llama radio . Cuerda es el segmento que une dos puntos de la circunferencia . Arco es un trozo de circunferencia comprendido entre dos puntos Di6metro es una cuerda que pasa por el centro AB - d iámetro A {--.....,,,,..----f B CD cuerda MO = radlo arco Una semicircunferencia es la mitad de una circunferencia Un radio es la mitad de un diámetro. Ejemplo 3 Observando esta figura escribir el nombre de lo .. ele mentos fundamentales de la circunferencia [ D AB - dlámelro e , AS = semICI rcunferencia '\ M CD - cuerda A '- ~1\-: B EF - diámetro OM - radio I ON - radio MN - cuerda Mf'I = arco N www.Matematica1.com 7. Medida de los ángulos de los polígonos regulares SUMA DE LOS ANGULOS DE UN TRlANGULO. La suma de los ángulos de un triángulo es un ángulo llano La demostración es inmediata, basta con trazar una recta r paralela a un lado por el v~rtice opuesto, teniendo la figura. A / i (: ! B~L---------~~~c La recta que pasa por Be y la recta r son paralelas cortadas por dos secantes, la que pasa por AB y la que pasa por AC. Por tanto: (; j por ángulos alternos internos íi 2 por ángulos alternos internos La suma A + íi + (; ~ A + :2 + j - 1800 SUMA DE LOS ANGULOS DE UN POLlGONO. La suma de los ángulos de un polígono es igual a tantos ángulos llanos como lados tiene menos do, Sea el polígono de seis lados y un punto interior cualquiera 0, que lo unimos a los vértices dividi~ndolo en tantos triángulos como lados tiene el polígono. Sumando los ángulos de todos estos triángulos se obtiene la suma de todos los ángulos del polígono más los del vértice O que suman 3600 • www.Matematica1.com Por tanto, en el caso del exágono 6 180' - 360' - 6 180' - 2 180' - ISO' (6 - 2) Como 1800 es la amplitud de un ángulo llano y 6 es el número de lados del exágono, se tiene que: Lo sumo de Jos ángulos de un polígono es igualo tontos ángulos llanos como fados tiene menos dos s = 180(" - 2) (n __ n o de lados) - Si el polfgono es un cuadrilátero s = 180(4 - 2} - 360' -Si el pollgono es un pentágono s = 180(5 2) 540' - Si el polígono es un octógono s = 180 (8 - 2) = l OSO' Ejemplo 1 ¿Cuánto vale la suma de los ángulos interiores de un icoso§ono? Se trata de un polígono dp 20 lados s - 180 (20 - 2) - 3240' MEDIDA DE CADA ANGULO DE UN POUGONO REGULAR. Los polígonos regulares tienen todos sus ángulos iguales . Conocida la suma de todos los ángulos de un polfgono y siendo todos ellos iguales. para conocer la medida del ángulo basta con dividir la suma por el número de lados del polígono regular A = 180(" - 2) " -Si el polígono regular es un triángulo Á = 180 (3 - 2) = 60' 3 (n n° de lados) www.Matematica1.com -Si el polígono regular es un cuadrado 180{4 - 2) ~ 90" 4 -Si el polígono regular es un pentágono Á - 180{5 - 2) 5 -Si el polígono regular es un exágono 180 (6 - 21 _ 1200 6 -Sí el polígono regular es un octógono 180{8 - 2) 8 MEDIDA DEL ANGULO EXTERIOR DE UN TRIANGULO. Peolongando uno de los lados se obtiene la figura Se tiene Por tanto A~~----------~~~~----e y i + e - 1800 f Ji + ¿ Un ángulo exterior de un triángulo es igual a la suma de los dos ángulos interiores no adyacentes a él, www.Matematica1.com Ejemplo 2 En un triángulo equilátero un ángulo exterior i _ 60° + 60° - 120" SUMA DE LOS ANGULOS EXTERIORES DE UN POLlGONO. La 'u· ma de los 6ngulos exteriores de un polígono obtenidos prolongando fos Ta dos de un mismo sentido del contorno es igual a dos llanos Considerando el mismo exágono anterior / / / Cada ángulo exterior es adyacente de uno del po lígono , sumando con él un ángulo llano. La suma de los ángulos exteriOres e interiores es tantos ángulos llanos como número de lados tiene el pol5gono. Como los interiores suman tantos llanos como lados menos dos, es precisamente estos dos llanos lo que miden los ángulos exteriores Si ~ 180(n Si + Se=n · Se ~ 2 180 2) - 180 180 n - 2 . 180 Cualquier que sea el número de lados del polígono, bien sea regular como irregular la suma de los ángulos exteriores vale dos ángulos llanos, es decir 360°. Ejemplo 3 ¿Cuánto vale la suma de los ángulos exteriores de un decágono?' Se 360" www.Matematica1.com EJERCICIOS RESUEL TOS 1. Efectuar las siguientes operaciones de medidas de ángulos a) 48° 37' 28" + 16° 15' 29" + 54° 16' 9" b) 27' 45' 13" - 16' 18' 29" e) (820 16' 32" - 16° 15' 18"') - 43° 17' 59" Solución al 48°37' 28" + 16° 15' 29" 54° 16' 9" 118° 68' 66""", - 119° 9' 6" 82' 16' 32' - 16' 15' 18' 66° l' 14"= - 65' 60' 74' b) 27" 45' 13" - 16° 18' 29" '=>
65′ 60′ 74′
– 43° 17′ 59″
22° 43′ 15″
27° 44′ 73′”
16° 18′ 29′”
11″ 26′ 44′
2. Efectuar las siguientes operaciones de medidas de ángulos
a) 45° 37′ 28″ X 3
b) 96′ 45′ 16′ . 2
e) (730 12′ 45″ – 13° 48′ 39″) x 2
Solución
,) 45′ 37′ 28′ b) 96″ 45′ 16 ‘ 2
x 3 16 05 48″ 22′ 38
O 1 – 60
135′ 111′ 84′ –
1360 52′ 24′ 76
16
O
e) 73″ 12′ 45″ 72′ 72′ 45′ 59′ 24′ 6″
– 13’48’39’ ~ – 13′ 48′ 39′ ~ x 2
59° 24′ 6′ 118′ 48′ 12′
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3. Sea el cuadrado ABCO de la figura
E Dr—-,r-“””‘””‘/C /1\
11\
/ I \
/ I \
/ I \
/ I \ / \
F / 1M \ —-6..’.____ G A’-_____ –IB
siendo E el punto medio de CD, EFG es un triángulo equilátero de altura EM
Calcular los ángulos F”EG, F”EO, “CEG y EF…D
Solución
FEG
FED
dG
… 60° por ser un ángulo de un triángulo eqUilátero
60′
60′
Por el teorema de la suma de los ángulos de un triángulo
EFD _ FÉM – 30° por ser la mitad de un ángulo del triángulo equilátero
4, En la figura adjunta r y s son paralelas
4
,/””
11 ‘
10
1 3
‘3
el ángulo 1 =: 60° y b = 30° ¿Cuánto valen el resto de ángulos?
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Solución
í _ 60°
~ – 30′
j~b-30′
~ – 180′ – (i + ji – 90′
S-i~60′
10 – <\ ~ 120' fI -S-60' S-6-30' 4 - ~ + ~ - 90' + 300 ~ 120' , - 180' - [, - 150' <) _ , _ 150' 12 _ 180' - ¡ _ 120' 13 - 180' - 12 - 60' 5 . En la figu ra adjunta B . , A "-"'---,'-___ .i....,;:o, e o Indicar cuáles de las igualdades son siempre ciertas a) i + 2 = 90 ° d) :1 ~ 4 ,) f ~ j AC .1 BD b) 2 + j ~ f + 4 cJ i+j=2+4 J) f + 2 + j + .j ~ 180' Solución Son c¡ert(l.lj Al y f) 6. En el siguiente cuadri/6teTo se han numerado los ángulos Establecer las re · laclones que puedas en/re estos ángulos . www.Matematica1.com Solución a) i + 2 + 3 + 4 + 5 + b + 1 + 8 = 3600 bl 8 ~ 4 el 2 ~ 6 c)~ - 7 f)3+4 - 1+8 di ¡ - 5 gl ¡ + 2 ~ 5 + 6 hl ¡ + 8 - .) + 5 iI2+3 - 6+1 7. En la figura adjunta i 2 ¿Cuáles de las siguientes igualdades son siem · pre ciertas? Solución a) 5 = 6 b) 5 + " = ¿ e) 3 + i = 7 Son ciertas b) y e) , 3 1 6 d) i + 2 = 5 + 4 + 3 + 6 e) 3 = 4 f) 5+4=3+6 Cuando 2 - i - 90° son ciertas además a), d) y f) 8. En un triángulo rectángulo un áng~do mide 620 48' 15" ¿Cuánto valdrá el ángulo exterior correspondiente? Solución Vale su suplemento. 1800 -620 48' 15" 179° 59' 60" 62° 48' 15" 117° 11' 45 ~ www.Matematica1.com 9. En un triángulo isósceles el ángulo desigual mide 64" 12' 30" ¿Cuánto miden cada uno de los dos ángulos iguales? Soluci6n La suma de los dos ángulos iguales vale 180" - 64° 12' 30 " - 11S" 47' 30" Cada uno de los dos ángulos iguales vale la mitad 115" 47' 30" 2 ~ 57" 53' 45" 10. El ángulo formado por un cateto y la prolongación de la hip6tenusa en un triángulo rectángulo es de 1250 3' 47" Hallar los ángulos del triángulo Solución Al ser un ángulo exterior su suplemento es un ángulo del triángulo El otro ángulo es lo que le falta para valer un recto 11. El ángulo A de un triángulo mide 64° 15' y el ángulo B 74" 17' Se pide el ángulo que forman las bisectrices de los ángulos B y C de dicho ángulo Soluci6n El ángulo que forman las bisectrices es el suplemento de Á+!""Á+B 2 2 2 Á + B - 64° IS' + 740 17' - 1380 32' Á + Él -"-~"- - 69" 16' 2 El ángulo formado por las bisectrices es www.Matematica1.com 12. ¿Cuál es el polígono que tiene 77 diagonales? Solución Sabemos que o n(n - 3) 2 siendo n - n o de lados 77 n(n 3) 2 154 - n2 - 3n => n2 – 3n 154 “” O
n – 14 y n – -11
La solución válida es n – 14
Se trata de un polígono de 14 lados
13. ¿Qué polígono tiene 4 y media veces más diagonales que lados;>
Solución
Sabemos que
o _ n(n 3)
2
o = 4,5 n luego 4,5 n _
9n ‘”” n2 – 3n
n2 – 12n _ O => n(n – 12)
Es un polígono de 12 lados, un dodecágono
n(n – 3)
2
O => n – 12
14. ¿Cuál es el polígono cuyo número de diagonales es
a) Igual al número de lados
b) Triple del número de sus lados
c) Cuadrado del número de sus lados?
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Solución
De la fórmula
D ~
nln – 3)
2
a} n'” n(n – 3) “. nZ _ 3n _ 2n ‘== O .. n(n – 51 .. O ~ n .. 5
2
Se trata de un pentágono
b) 30 – nln – 3) ,.,. O” _ 30 .. 6n ~ nln – 9) _ O .. n = 9
2
Se Iral” de un polígono de 9 I”dos
nln – 3) el n2 – -“”‘-,,–“‘- ” 2n1 .. n” – 3n ~ ntn + 3) .. O
2
No hay ningún polígono que cumpla estas condiciones
15. ¿Cudl es el polfgono que al triplicar el número de lados obtiene otro que
Irene 27 ueces el número de diagonales que conlenfa el primero?
Solución
Sabemos que
divIdiendo m a m.
D ~
27 D –
27 “”
nln – 3)
2
3n(3n – 3)
2
3(3n – 3)
n 3
270 – 81 .. 9n
El por190nO dado es un cuadrilátero
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16. ¿Cuál es el polfgono regular en el cual sucede que el número que expresa
el o%r del ángulo interior (en grados) es igual a 20 oeees el número de sus lados?
Solución
Sabemos que
Á 180(n – 21
n
20 n _ 18O(n 2)
n
20n2 _ 1800 360 => nZ – 9n + 18 – O _
n -6 y n – 3
El polígono regulen que cumple la condkión es el exágono y el triángulo
17. Si el n.:ímero total de diagonales que pueden trazarse en un polígono re gular
es 170_ ¿Cuánto mide un ángulo Interior de dicho polrgono?
Soluci6n
Sabemos que
D –
170 –
nln – 3)
2
nln – 3)
2
340 = n2
– 3n => n2
– 3n – 340 – O “‘” n – 20 y n – – 17
El polígono tiene 20 lados y su ángulo Interior mide
Á –
180(n – 2)
2
18. Hallar el polígono regular
a} Cuyo ángulo interior vale 60°
b} Cuyo ángulo exterior vale 30″
180 18
20
eJ Cuya suma de 6ngulos interiores es 1440°
d) Cuya suma de óngulos exteriores es 3600
162′”
e) Cuya suma de ángulos interiores y exteriores es 900°
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Solución
a) Como Á = 180(n – 2) “” 60 => n _ 3
n
Es un triángulo equilátero
b) Si el ángulo exterior es 30° el suplemento 1500 es interioL Repitiendo el
razonamiento
A 180{n – 2) = 150 => n _ 12
n
e) S – 180{n – 2) – 1440 .,. n – lO
d) Cualquier polígono cumple esta condición
el Si + S. = 9000 como S. – 3600 entonces Si “‘” 5400
s, ~ 180(n – 21 540
180n – 360 – 540 ~ n = 5