COMPOSICION DE FUNCIONES EJERCICIOS RESUELTOS DE FUNCION COMPUESTA

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PROPIEDAD ASOCIATIVA DE LA COMPOSICION DE FUNCIONES

FUNCIONES COMPUESTAS -composición de funciones
Además de la adición , multiplicación y división de funciones , hay otra operación fundamental llamada composición , la cual se considera como una función de función y se define así:
La función de f con g, denotada por f o g y que se lee «f composición g» es la función cuyo dominio consiste en los elementos tales que g(x) y cuya regla de correspondencia es:

Ejemplo :
* Del gráfico adjunto determinar F o G

Se consideran sólo los elementos asociados a líneas que hacen el recorrido completo de A hacia C , pasando por B.

dEFINICIÓN :
Si f y g son dos funciones en sus dominios respectivos, se define la composición de funciones denotados por fog ‘‘f compuesta con g’’ , así :

* Sean los conjuntos A , B y C y las funciones f y g tal que :

* Los siguientes diagramas ilustran la definición anterior .

* De esta representación gráfica se tiene :

nota
La composición de funciones es una operación no conmutativa es decir :

Ejemplo 1 :
Determina la función f o g siendo :

Resolución:
*Para que exista la función f o g es necesario , según la definición , que el rango de g se encuentre contenido en el dominio de f, esto es, que exista . Si g tiene dominio en A y rango en B , y f tiene rango en C, entonces
f o g tiene dominio en A y rango en C . La figura da un diagrama de f o g para este ejemplo.

La función compuesta será :

Ejemplo 2 :
Dadas las funciones:

Hallar : A) f o g B) g o f
Resolución:
A) Veamos si existe f o g

* Entonces existe f o g
* Nos interesa los pares ordenados de g y f que tengan como segundas y primeras componentes A : –1 ; 2 y 5 respectivamente . Luego :

* También :

B) De manera similar , se halla g o f

* Luego :

Ejemplo 3 :
Determine f o g si :

Resolución :

* Si x = 0

* Si x = 1

* Si x = 2

* Si x = 3; no existe

Ejemplo 4 :
Dadas las funciones :

Halle la función f tal que: h = f o g
Resolución :
* Como : h(x) = (f o g)(x) = f(g(x))
* Entonces:

* También :

Ejemplo 5 :
Dadas las funciones :

Hallar el producto de los elementos del rango de la función : h = (f o g) + (g o f)
Resolución :
* En este caso es posible seguir el siguiente procedimiento :
* En caso de f o g : entonces y en caso g o f : entonces
* Así:
Para f o g :

* Por consiguiente

* Para g o f :

* Para x = 3: no existe g(f(3))
x = 4: no existe g(f(4))
* Por lo tanto g o f =
* Como entonces

, entonces 4× 6 = 24
observación :
Volviendo ahora la manera de ver a las funciones como máquinas , podemos entender la operación de composición como un acoplamiento de una máquina con otra . Por ejemplo, si tenemos la función f(x)=x2, la cual es una máquina que recibe x y la eleva al cuadrado , la función
g(x) = 2x + 3 es una máquina que recibe x ; la multiplica por 2 y luego suma 3 , componer f con g consiste sólo en acoplar la máquina de g con la de f. Le suministramos a f, la «producción» de g.

La expresión o regla de correspondencia de f o g es:

Ejemplo 6 :
Dadas las funciones:. g(x)= x – 2. Hallar f o g.
Resolución:
* Calculamos los dominios de cada función:
* Para f(x):

*Para g(x):es una función lineal
* Como los dominios tienen infinitos elementos, aplicamos el método analítico para resolver el problema.
* Tenemos :

* Trabajamos con
* De g(x) se tiene :

* En (2) :
* En (1) : Domf o g =
* Además :

* Hemos determinado f o g indicando su regla de correspondencia y su dominio.
Ejemplo 7 :
Dadas las funciones f y g , tales que :

Hallar : f o g si existe .
Resolución :
A) Primero veamos si existe f o g
Dom f :
Ran g : –1