COMPENDIO DE GEOMETRIA PREUNIVERSITARIA – PREGUNTAS CON RESPUESTAS PDF

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Segmentos ,
Ángulos Consecutivos,
Ángulos entre Paralelas ,
Triángulos I: Propiedades Básicas,
Triángulos II: Líneas y Puntos Notables,
Congruencia de Triángulos,
Polígonos y Cuadriláteros ,
Circunferencia I: Propiedades de Tangencia,
Circunferencia II: Ángulos en la Circunferencia,
Proporcionalidad y Semejanza de Triángulos ,
Relaciones Métricas en la Circunferencia y en los Triángulos Rectángulos,
Relaciones Métricas en los Triángulos Oblicuángulos ,
Áreas I ,
Áreas II ,
Geometría del Espacio,
Geometría Analítica,
El desarrollo del curso se ha dividido en 16 unidades que comprenden los temas más importantes que se piden conocer en todas las universidades.
Cada unidad consta de una primera parte (teórica) compuesta de conceptos, definiciones y propiedades.
La segunda parte (práctica) está conformada por un bloque de problemas aplicativos, presentados en forma didáctica y de menor a mayor grado de dificultad con la finalidad de mejorar el entendimiento de cada tema.
También se presentan problemas con aplicaciones en otras ciencias.
Así mismo, otros cuya finalidad es la de reforzar y asimilar la teoría aprendida, desarrollando la imaginación y creatividad del alumno.
No pretendemos que este libro sea un tratado completo de la Geometría Moderna, pero sí esperamos sinceramente que señale el camino hacia una enseñanza más inspirada de la Geometría.
Deseamos expresar nuestro agradecimiento a todos los alumnos que integran nuestra institución y que nos inspiran cada día para presentarles un mejor libro.
Segmentos
Geometría
Es una parte de la matemática que tiene
por objeto el estudio de las propiedades y
relaciones de las figuras geométricas.
División
a) GEOMETRÍA PLANA o PLANIMETRÍA,
que se ocupa de todas aquellas
figuras cuyos puntos que lo constituyen
se hallan en un mismo plano. Ejemplo:
el ángulo, los triángulos, la circunferencia,
etc.
b) GEOMETRÍA DEL ESPACIO o ESTEREOMETRÍA,
que se ocupa del
estudio de todas aquellas figuras cuyos
puntos que lo constituyen no se hallan
en un mismo plano. Ejemplo: el prisma,
el cono, la esfera, etc.
Figura geométrica
Se define como figura geométrica al conjunto
infinito de puntos, las pueden ser
planas o del espacio (sólidas). Ejemplos:
Figuras planas:
Figuras sólidas:
Línea recta
Concepto matemático no definible. Se
considera como un conjunto de puntos
ubicados en una misma dirección e ilimitada
en ambos sentidos.
AB : se lee, recta AB ó
L : se lee, recta L
Segmento
Porción de línea recta limitada por dos puntos
llamados extremos del segmento.
AB : se lee, segmento AB
Medida del segmento
Número de veces de una unidad de
longitud.
AB o AB : se lee, medida del segmento
AB.
Ejemplo:
AB = 8
A B
A
Extremos
B
A B
A
8
B
Punto medio de un segmento
Punto del segmento que equidista de los
extremos.
Si “M” es punto medio del AB , entonces
AM = MB = a.
Operaciones con longitudes de
segmentos
Para el gráfico:
Suma: AB + BC + CD = AD
Resta: AB = AD – BD
Multiplicación: AC = 5CD
División: AB = 2
BD
A
a a
M B
A B D
4 6 2
C
Problemas Aplicativos
1. Sobre una línea recta se ubican los
puntos consecutivos A, B, C y D; de
tal manera que: AB=a ; BC=b. Calcular
CD.
Si: AB AD
BC CD
=
a) b(a b)
(a b)
+
− b) b(a b)
(b a)

− c) a(a b)
(b a)
+

d) (a b)
(a b)
+
− e) (a b)
(a b)

+
2. Sobre una recta se ubican los puntos
consecutivos A, B, C y D. Calcular
BC, si: AD=30; AC=18 y BD=20.
a) 6 b) 8 c) 10
d) 12 e) 14
3. Se tienen los puntos colineales y
consecutivos A, B, C y D. Calcular
AD, si: AC=26; BC=12; BD=32.
a) 32 b) 36 c) 40
d) 46 e) 50
4. En una recta se ubican los puntos
consecutivos P, Q, R, S y T; tal que:
(PS)(QT)=63. Calcule: PS–QT
Si: PR+QR+RS+RT=16 ; (PS>QT)
a) 1 b) 2 c) 3
d) 4 e) 5
5. Sobre una recta se ubican los puntos consecutivos
A, B, C y D. Si: AB=3BC=5CD
y AD = 46. Calcular BD.
a) 20 b) 24 c) 25
d) 16 e) 32
6. Sobre una recta se ubican los puntos
consecutivos A, B, C, D y E si se
cumple que:
AB =
BC CD DE
2 5 9
= = ; AE=51
Calcular: AC
a) 9 b) 10 c) 12
d) 15 e) 18
7. Sobre una recta se ubican los puntos
consecutivos A, B, C y D; Sabiendo
que AC=18 y BD=34. Calcular la longitud
del segmento que une los puntos
medios de AB y CD .
a) 20 b) 23 c) 25
d) 26 e) 30
8. Sobre una recta se ubican los puntos
consecutivos A, B, C y D; si AB=x-y;
BC=x+y; CD=2y-x y AD=24. Calcular
la suma del mínimo y máximo valor
entero que puede tomar x.
a) 14 b) 16 c) 18
d) 20 e) 24
9. Sobre una recta se ubican los puntos
consecutivos A, B, C y D. Calcular
AC, si: CD=4AB; AD+4BC=80
a) 12 b) 15 c) 16
d) 18 e) 20
10. Sobre una recta se ubican los puntos
consecutivos A, B, C y D. Calcular:
BC; AD=40; BD=28 y AC=15.
a) 1 b) 2 c) 3
d) 4 e) 5
11. Se tienen los puntos colineales y consecutivos
A, B, C, D y E. Calcular CD,
si: AE=30; AD=26; BE=14 y BC=3.
a) 3 b) 4 c) 5
d) 6 e) 7
12. Sobre una recta se dan los puntos
consecutivos A, B, C y D; tal que:
BC= CD
3 ; y 3AB+AD=20
Calcular AC.
a) 5 b) 6 c) 8
d) 10 e) 12
13. Sobre una recta se ubican los puntos
consecutivos A, B, C y D que forman
una cuaterna armónica.
Calcular AD, si:
2 1 1
AC AB 10
− =
a) 6 b) 8 c) 10
d) 12 e) 14
14. Se tienen los puntos colineales y
consecutivos A, B, C y D. Calcular
BD, si: BC=6, AB 2
CD 3
= y AB AD
BC CD
=
a) 12 b) 16 c) 18
d) 22 e) 24
15. Sean los puntos colineales y consecutivos
A, B, C y D; tal que: BC=AB+3
y CD=AB-1. Calcular AD, si AB toma
su mínimo valor entero.
a) 6 b) 8 c) 10
d) 12 e) 15
Problemas Propuestos
1. En una recta se ubican los puntos
consecutivos A, M, B, C, N y D; siendo
M y N puntos medios de AB y
CD respectivamente. Si BC=3m y
MN=9m; halle AD.
a) 12 m b) 15 m c) 9 m
d) 8 m e) 18 m
2. En una recta se ubican los puntos
consecutivos A, B, C y D. Si AB=4m;
BC=2m y AB·CD=BC·AD. Halle: CD
a) 4 m b) 2 m c) 6 m
d) 3 m e) 8 m
3. En una recta se tienen los puntos
consecutivos A, B, C, D y E. Si:
AE=110 m y AB= BC CD DE
5 7 9
= = .
Halle: CE.
a) 68 m b) 50 m c) 70 m
d) 60 m e) 80 m
4. En una recta se tienen los puntos
consecutivos A, B, C y D; luego se
ubican los puntos medios M y N
de AB y CD respectivamente. Si:
AC=8m y BD=16m. Halle: MN.
a) 8 m b) 9 m c) 11 m
d) 12 m e) 13 m
5. En la figura, AC=2AB+40. Halle “x”.
a) 30 m b) 10 m c) 15 m
d) 20 m e) 40 m
6. En una recta se tienen los puntos
consecutivos A, B y D, entre los
puntos B y D se toma el punto C. Si:
CD=4AC y BD–4AB=20. Halle: BC
a) 3 b) 5 c) 4
d) 2 e) 1
7. En una recta se tiene los puntos consecutivos
A, B y C; luego se ubica M
punto medio de BC . Si: BC=4m y
AB·AC=3. Halle: AM
a) 3 m b) 5 m c) 4 m
d) 7m e) 1 m
A a B a+x C
8. En la figura, M es punto medio de
AC y BC-AB=12 m. Halle: BM
a) 4 m b) 1 m c) 2 m
d) 6 m e) 3 m
9. En una recta se ubican los puntos
consecutivos A, B, C, D, E y F; E
es punto medio de DF . Si: AB=DE;
DE=3BC; AD=18 m y BF=27 m.
Halle: CD
a) 6 m b) 8 m c) 4 m
d) 7 m e) 5 m
10. En una recta se tienen los puntos consecutivos
A, B, C y D. Si: 3AB=2BC;
AD=96 m y CD=AB+AC; halle: BC
a) 21 m b) 28 m c) 56 m
d) 40 m e) 24 m
11. En la figura M es punto medio de
AB. Si: AC+BC=20 m, halle MC.
a) 12 m b) 6 m c) 8 m
d) 10 m e) 15 m
12. En una recta se tienen los puntos
consecutivos A, B, C y D. Si: AB=4m;
CD=6m y 1 1 2
AB AD AC
+ = , halle: BC
a) 3 m b) 2 m c) 3,5 m
d) 1,5 m e) 2,5 m
13. Se tienen los puntos colineales y
consecutivos A, B, C, D y E. Si:
2AE=3BD y AC+BD+CE=45 m.
Halle: AE
a) 21 m b) 23 m c) 25 m
d) 27 m e) 29 m
14. Los puntos A, B, C y D son colineales
y consecutivos. Si: BC=2AB;
CD=AB+BC y BD=10 m. Halle: AD
a) 15 m b) 18 m c) 14 m
d) 12 m e) 16 m
15. En una recta se tienen los puntos
consecutivos A, B, C y D. Si: CD=2BC
y 2AB+AD=21. Halle AC.
a) 6 m b) 10 m c) 8 m
d) 7 m e) 9 m
A B M C
A M B C
CLAVES
1.a 2.b 3.d 4.b 5.d
6.a 7.d 8.c 9.c 10.c
11.e 12.a 13.c 14.d 15.b
1.a 2.c 3.e 4.d 5.e
6.c 7.d 8.d 9.a 10.e
11.d 12.b 13.d 14.d 15.d
Ángulos Consecutivos
UNIDAD 2
Ángulo
Definición
Reunión de dos rayos no colineales con
un mismo origen. Dicho origen se llama
vértice y los rayos se denominan lados.
mAOB = α
Elementos
* Vértice: O
* Lados: OA y OB
Clases de ángulos
I. Según su medida
1. Ángulos convexos
 Agudo  Recto  Obtuso
0°<α<90º α=90º 90º<α<180º 2. Ángulos no convexos 180º < α < 360º II. Según su característica 1. Ángulos consecutivos - Ángulos adyacentes - Ángulos complementarios - Ángulos suplementarios (par lineal) - Perígono 2. Ángulos complementarios Dos ángulos son complementarios si sus medidas suman 90º. α+β = 90° Donde: Cα : Complemento de α Cα=90º – α C : Complemento de C = 90º – O A B α° lado vértice lado α° α° α° α° O A B C vértice común lado común α° β° α° β° Adyacentes complementarios α β α + β = 90° α β α + β = 180° α β φ α + β + φ = 360° Problemas Aplicativos 1. La relación entre el complemento y suplemento de la medida de un mismo ángulo es un tercio. Calcular la medida del ángulo. a) 55 b) 37 c) 60 d) 30 e) 45 2. El suplemento del complemento de un ángulo es el sextuplo de la medida de dicho ángulo. ¿Calcule la medida de dicho ángulo? a) 10 b) 15 c) 16 d) 12 e) 18 3. En la figura, calcule “x”. Si: S : Suplemento C : Complemento a) 24 b) 18 c) 36 d) 15 e) 12 4. En la figura, calcule “x”. a) 15 b) 10 c) 18 d) 12 e) 24 5. En la figura, calcule el ángulo formado por las bisectrices de los ángulos AON y MOC. a) 30° b) 45° c) 25° d) 22,5° e) 15° 6. Calcule “x”. Si: S : Suplemento C : Complemento SC3x = 5(x+8) a) 25 b) 30 c) 60 d) 50 e) 35 3. Ángulos suplementarios Dos ángulos son suplementarios si sus medidas suman 180º. α+β = 180° Donde: Sα : Suplemento de α Sα=180º– α S : Suplemento de S = 180º – 4. Ángulos opuestos por el vértice Bisectriz Es el rayo que parte del vértice y biseca al ángulo. OX  : Bisectriz del AOB Teorema mXOY = 90 α° β° α° β° Adyacentes suplementarios o par lineal α° α° β° β° α° A B X O α° X Y O α° α° β° β° S3x C2x A C B O M N α α θ θ 60° S7x C3x 7. Calcule “x”. Si: S : Suplemento C : Complemento x + Sx = 3(Cx) a) 25 b) 15 c) 45 d) 40 e) 30 8. Calcule “x”. Si: S : Suplemento C : Complemento x – Cx = Sx a) 80° b) 70° c) 60° d) 90° e) 45° 9. Calcule el mayor valor entero de “x”. Si: mBOC es obtuso. a) 21 b) 22 c) 20 d) 19 e) 18 10. Calcule el máximo valor entero de “x”. a) 30 b) 28 c) 15 d) 31 e) 29 11. Calcule el máximo valor entero de “x”. a) 18° b) 44° c) 29° d) 30° e) 58° 12. Calcule “x”. Si: mAOC+mAOB=100° a) 80° b) 30° c) 60° d) 45° e) 50° 13. En la figura, calcule “x”. OP  es bisectriz de la mAOC. Si: mAOB–mBOC=40° a) 10° b) 30° c) 15° d) 45° e) 20° 14. Calcule “x”, OP  es bisectriz de la mMON. Si: mBOC–mAOB=36° a) 9° b) 18° c) 12° d) 6° e) 10° 15. Calcule “x”. Si: mAOB–mCOD=24 y OP  es bisectriz de la mMON. a) 6° b) 8° c) 12° d) 9° e) 10° Problemas Propuestos 1. En la siguiente figura, calcule “x”. a) 36° b) 54° c) 72° d) 20° e) 100° 2. Dados los ángulos consecutivos AOB, BOC y COD; de manera que: mAOD=90° y mBOC=50°; calcule la suma de las mAOC y mBOD. a) 150 b) 100 c) 110 d) 120 e) 140 3. A la medida de un ángulo se le quita las 3/5 partes del total menos 4°, luego la cuarta parte del resto mas 3° y enseguida los 2/5 del nuevo resto 3x 3x α α θ θ A O B C x 3x x α α A C B O M α α θ θ A C B O M P x N α α θ θ A C B O M P x N α α ω ω θ θ C Q N B A O D M P x x 3α 3ω 2ω 2α mas 12°. Si aún le quedan 24°, ¿cuál es su medida? a) 200 b) 120 c) 180 d) 240 e) 150 4. El complemento de la diferencia que existe entre el suplemento y complemento de x°; es igual al duplo del complemento de x°, calcule el complemento de x°. a) 90° b) 0° c) 45° d) 70° e) 20° 5. En la figura, calcule “x”. a) 30° b) 24° c) 18° d) 42° e) 45° 6. Calcule “x”. Si: a°-b°=12° a) 6° b) 12° c) 24° d) 18° e) 9° 7. El doble del complemento de un ángulo, más el triple del suplemento del mismo, es 500°. Calcule la medida del ángulo. a) 48° b) 22° c) 54° d) 24° e) 44° 8. El doble de la medida de un ángulo es igual al triple de la medida de su complemento. Calcule la medida del ángulo. a) 54° b) 36° c) 32° d) 27° e) 58° 9. Se tiene los ángulos consecutivos AOB, BOC y COD; tal que OP; OQ; OR y OS son las bisectrices de los ángulos AOB, COD, AOC y BOD respecticamente. Si: mPOQ+mROS=144°, calcule la mAOD. a) 144° b) 72° c) 288° d) 128° e) 124° 10. Calcule “x”, si: OC es bisectriz de la mBOD. a) 18° b) 36° c) 14° d) 42° e) 21° 11. En la figura, calcule “x”. a) 27° b) 72° c) 28° d) 36° e) 54° 12. Calcule el menor valor entero que puede tomar “x”. a) 37° b) 53° c) 59° d) 62° e) 36° 13. La suma de las medidas de dos ángulos es 80° y el complemento de la medida del primero es igual al doble de la medida del segundo. Calcule la diferencia de dichos ángulos. a) 50° b) 60° c) 65° d) 70° e) 72° 14. El complemento de un ángulo es menor que 50°, calcule el mínimo valor entero que puede tomar dicho ángulo. a) 48° b) 40° c) 41° d) 61° e) 59° 15. Calcule el mínimo valor entero que puede tomar “x”, si: mBOC es agudo. a) 27° b) 36° c) 15° d) 18° e) 16° x 2x b° a° x 6x 48° x x x A O B C P Q D 2α 3α x αα x+y y 2x–y A B O C D 2x 4x CLAVES 1.e 2.e 3.c 4.e 5.b 6.a 7.e 8.d 9.b 10.e 11.e 12.e 13.e 14.a 15.a 1.c 2.e 3.a 4.b 5.c 6.b 7.b 8.e 9.a 10.a 11.e 12.a 13.b 14.c 15.e Ángulos entre Paralelas Ángulos entre dos rectas paralelas Ángulos correspondientes Uno interno y el otro externo, a un mismo lado. α = θ Ángulos alternos internos Ambos internos, uno en cada lado. α = θ Ángulos conjugados internos Ambos internos y en un mismo lado. α+θ=180º Propiedades 1. x = α + θ 2. x = 90º 3. α + θ = a + b + c 4. α + β + θ + φ = 180º 5. α + β + γ + θ + φ = 180·Nº Segmentos 6. Ángulos de lados paralelos θ° α° θ° α° θ° α° α x θ α α x θ θ a b c α θ β α θ φ β α θ γ φ α° θ° α° θ° α = θ α + θ = 180º UNIDAD 3 Problemas Aplicativos 1. En cada uno de los gráficos, calcule “x”. Si: L1//L2   a) 18° b) 12° c) 29° d) 30° e) 20° 2. a) 12° b) 18° c) 15° d) 10° e) 9° 3. a) 10° b) 8° c) 9° d) 12 e) 15° 4. a) 36° b) 8° c) 6° d) 12° e) 24° 5. a) 15° b) 18° c) 12° d) 20° e) 10° 6. a) 8° b) 9° c) 12° d) 10° e) 15° 7. a) 10° b) 20° c) 30° d) 40° e) 50° 8. a) 45° b) 30° c) 60° d) 25° e) 50° 9. a) 15° b) 12° c) 10° d) 18° e) 8° 10. a) 37° b) 53° c) 60° d) 45° e) 30° 11. a) 12° b) 20° c) 10° d) 30° e) 15° 12. a) 18° b) 20° c) 15° d) 12° e) 10° 20° x L1 L2 2x 3x L1 L2 x 2x 3x L1 L2 x x x x x 120° L1 L2 x 50° 30° L1 L2 α+θ α+θ 2x 3x 7x 20° 40° 2x x L1 L2 20° 30° 30° 40° x L1 L2 α θ θ α θ α x L1 L2 θ ω ω α θ α β β L1 L2 θ α+θ α 140° 2x 2x 3x L1 L2 α+θ θ x α x 60° 40° 2x 3x 60° 20° 30° 3x 4x 4x 13. a) 30° b) 20° c) 10° d) 15° e) 12° 14. a) 30° b) 45° c) 15° d) 20° e) 40° 15. Calcule el menor valor entero de “x”. Si: q es obtuso a) 60° b) 59° c) 29° d) 23° e) 24° Problemas Propuestos 1. En cada uno de los gráficos, calcule “x”. Si: L1//L2   a) 54° b) 84° c) 56° d) 72° e) 90° 2. a) 12° b) 8° c) 10° d) 9° e) 6° 3. a) 18° b) 36° c) 52° d) 45° e) 22,5° 4. a) 45° b) 55° c) 65° d) 75° e) 35° 5. a) 12° b) 18° c) 20° d) 15° e) 30° 6. a) 130° b) 140° c) 120° d) 100° e) 110° 7. Si: m + n = 200° a) 6° b) 32° c) 28° d) 17° e) 34° 8. a) 16° b) 14° c) 28° d) 29° e) 32° 20° 10° 10° x x x x 80° x 2α 2θ θ L1 L2 α 120° x x x x θ L1 L2 L1 L2 126° x 2θ θ α α 11x 4x 7x 8x 2x L1 L2 x L1 L2 5θ 5θ 5α 2θ 5α 2α 2α+5° 50° x α+30° L1 L2 2x x L1 L2 x 100° 3α L1 L2 α m° n° 6x 4x L1 L2 x θ α α θ 32° L1 L2 9. a) 80° b) 60° c) 120° d) 100° e) 70° 10. a) 15° b) 35° c) 75° d) 25° e) 50° 11. a) 135° b) 145° c) 125° d) 115° e) 105° 12. a) 10° b) 20° c) 30° d) 70° e) 40° 13. a) 24° b) 32° c) 64° d) 78° e) 38° 14. a) 12° b) 18° c) 15° d) 9° e) 10° 15. a) 119° b) 129° c) 100° d) 104° e) 106° 30° x α α L1 L2 150° x 2x L1 L2 45° x L1 L2 x 2x 5x 7x 3x L1 L2 x 244° 258° L1 L2 x 6x L1 L2 x x 58° L1 L2 CLAVES 1.e 2.b 3.e 4.e 5.d 6.e 7.c 8.a 9.c 10.d 11.b 12.e 13.a 14.e 15.d 1.b 2.d 3.e 4.d 5.e 6.a 7.e 8.d 9.c 10.e 11.a 12.e 13.e 14.b 15.a Triángulos I: Propiedades Básicas Definición Dados los puntos A, B, C; se define triángulo como la reunión AB∪BC∪ AC . P = punto interior Q = punto exterior Notación ΔABC → se lee: triángulo ABC Elementos Vértices: A, B, y C Lados: AB, BC y AC. Del gráfico se observa Longitud de sus lados: a, b y c m internos: α, β y φ m externos: 1 eˆ , 2 eˆ y 3 eˆ Perímetro: 2p = a + b + c Semiperímetro: 2 p = a + b + c Clasificación I. Por la medida de sus lados Equilátero Isósceles Escaleno 3 lados ≅ 2 lados ≅ 3 lados ≠ II. Por la medida de sus ángulos Acutángulo Obtusángulo Es aquél que tiene Es aquél que tiene sus tres ángulos un ángulo interno internos agudos. obtuso. (0 < αn < 90º) (90º < α < 180º) Rectángulo: Es aquél que tiene un ángulo interno recto. a y b: catetos c: hipotenusa α a P Q A B C c b φ β 1 eˆ 2 eˆ 3 eˆ 60° 60° 60° α° α° base α1 α3 α2 α Oblicuángulos a b c α° 90°–α° UNIDAD 4 Propiedades básicas 1. Existencia del triángulo b – c < a < b + c 2. Suma de medidas de ángulos internos a+b+c = 180º 3. Suma de medidas de ángulos externos x + y + z = 360º 4. Medidas de un ángulo externo x = b + c y = a + c z = a + b 5. A mayor ángulo se opone mayor lado y viceversa. Si: α > β > φ ⇔ a > b > c
Propiedades particulares
6.
a + b = x + y
7.
a + b = x + y
8.
x = a + b + c
9.
a + b = x + y
10. Si: AB = BC → El triángulo ABC es
equilátero.
11.
x = 180º – (α + β)
12.
x = 90º – α
13. Si:
a b
c









c° z°

a
c b
α
β φ
a° x°
b° y°


x° y°


x° c°
a° b°
x° y°
60° 60° 60°
60°
B B
A A
C C
α° β°

x° x°
2α°
2α° α° 2α° 2α° α°
α°
Problemas Aplicativos
1. En la figura, calcule “x”.
a) 12°
b) 22,5°
c) 30°
d) 15°
e) 18°
2. En la figura, calcule “x”.
a) 36°
b) 18°
c) 24°
d) 12°
e) 15°
3. En la figura, calcule “x”.
Si: mABC–mADC=48°
a) 8°
b) 10°
c) 12°
d) 14°
e) 16°
4. Calcule “x”. mABC=110°
a) 10°
b) 40°
c) 50°
d) 25°
e) 15°
5. Calcule “x”.
a) 20°
b) 10°
c) 30°
d) 40°
e) 15°
6. Según la figura, calcule el valor entero
de “x”.
a) 1
b) 2
c) 3
d) 4
e) 5
7. Calcule el valor entero de “x”.
a) 1
b) 2
c) 3
d) 5
e) 6
8. En la figura: b – q = 20
Calcule “x”.
a) 45°
b) 30°
c) 60°
d) 25°
e) 10°
9. Calcule “x”, en la figura.
a) 30°
b) 40°
c) 60°
d) 70°
e) 80°
10. En la figura, calcule “x”.
a) 9
b) 18
c) 15
d) 12
e) 22,5
4x
x
3x
x
D
A C
B
x x
θ θ
α α α
θ
A
B C
x
40° α
2 x
2α α
1
6
x
α
β
θ
α
x
α 2α
x
x
11. Si los triángulos ABC y PQR son
equiláteros, calcule “x”.
a) 24 b) 12 c) 18
d) 15 e) 10
12. En la siguiente figura, calcule “x”.
a) 20°
b) 10°
c) 15°
d) 12°
e) 18°
13. En la figura, calcule “x”.
a) 16°
b) 15°
c) 12°
d) 10°
e) 18°
14. Calcule “x”, si el triángulo AEB equilátero
y a+q = 140°.
a) 20°
b) 40°
c) 60°
d) 75°
e) 80°
15. Calcule el máximo valor entero de
“x”. Si: a y q son obtusos.
a) 1
b) 2
c) 3
d) 4
e) 5
Problemas Propuestos
1. En el gráfico, calcule “x”.
a) 25°
b) 20°
c) 30°
d) 15°
e) 37°
2. Calcule “x”.
a) 20°
b) 30°
c) 40°
d) 10°
e) 15°
3. En el gráfico, calcule “x”.
a) 1
b) 2
c) 3
d) 4
e) 5
4. Según la figura, calcule el mayor valor
entero que puede tomar “x”.
a) 20
b) 14
c) 10
d) 15
e) 16
2x 3x
A C
B
P Q
R
110°
130°
2θ θ

α
x
3x
4x
A
B
θ E
β
α β
x
16
12
3x
x
α θ
α α
x
100°
130°
10°
x
x
4
7
x
α α
4x
3x
5x
5. En la figura, calcule “x”.
a) 12° b) 30° c) 20°
d) 15° e) 18°
6. Calcule AD, si: BD=5 y BC=7
a) 12 b) 11 c) 13
d) 14 e) 10
7. En el gráfico AB=BC y el triángulo
PQC es equilátero, que afirmación
es correcta.
a) a=b b) 2a=b c) 2a=3b
d) a=2b e) a=b+60
8. En la figura, AB=BC y EF=DF. Calcule
x/y.
a) 1 b) 1/2 c) 1/3
d) 3/4 e) 2/3
9. En la figura, el triángulo MBN es
equilátero y AQ=AM y QL=NL. Calcule
“x”.
a) 32° b) 62° c) 30°
d) 60° e) 50°
10. En la figura, AB=BC=BD y ED=DC
Calcule “x”.
a) 18°
b) 20°
c) 30°
d) 22°
e) 28°
11. En la figura, AB=AM+NC, calcule “x”
a) 25°
b) 60°
c) 30°
d) 45°
e) 35°
12. En la figura, calcule “x”. Si: a-b=6°
a) 73° b) 72° c) 60°
d) 62° e) 59°
x 30°
40°
130°
B
A D C

α 2α
B
a
b
Q
P
A C
y
x
B
D
C
E
A
F
x
A L
B
M
N
Q
B
E
C
A D

40°
B
A N C
M x

θ
a
b
70°
x
θ θ
α α
CLAVES
1.b 2.a 3.a 4.b 5.a
6.c 7.e 8.e 9.c 10.e
11.a 12.a 13.e 14.a 15.e
1.c 2.a 3.c 4.b 5.b
6.a 7.d 8.b 9.d 10.b
11.d 12.a 13.b 14.d 15.b
13. En su triángulo ABC, se sabe que
AC+BC=11, exterior y relativo a AB
se toma el punto “P”, tal que: PA=4 y
PB=5. Calcule la diferencia entre el
mayor y menor valor entero que toma
PC.
a) 9 b) 6 c) 7
d) 8 e) 3
14. En la figura, calcule “x”.
a) 110° b) 140° c) 150°
d) 120° e) 130°
15. En la figura, calcule “x”. Si: AB=AP
a) 10° b) 18° c) 12°
d) 16° e) 14°
a a
x
b
5b
3x
x
n n
m m
A
B
P

α θ θ
α
Triángulos II: Líneas y Puntos Notables
1. Altura
Segmento que parte de un vértice y corta
en forma perpendicular al lado opuesto o
a su prologación.
Ortocentro
Es el punto donde se intersectan las tres
alturas de un triángulo.
H : Ortocentro
PARA RECORDAR
Todo triángulo tiene un solo ortocentro.
– Es un punto interior si el triángulo es
acutángulo.
– Es un punto exterior si el triángulo es
obtusángulo.
– Si es rectángulo está en el vértice del
ángulo recto.
2. Mediana
Segmento que une un vértice con el punto
medio del lado opuesto a dicho vértice.
Baricentro
Es el punto donde se intersectan las tres
medianas de un triángulo.
G : Baricentro
Teorema
B G = 2 G M
AG=2GN
CG=2GS
PARA RECORDAR
– Todo triángulo tiene un solo baricentro.
– Divide a cada mediana en relación
como 1 es a 2.
– El baricentro es siempre un punto
interior.
– Es llamado también gravicentro o
centro de gravedad de la región triangular.
Int.
Ext.
Coincide
con un cateto
H
H
H
A M C
B
Mediana BM
N
A M C
S
B
G
UNIDAD 5
3. Bisectriz
Segmento que divide a un ángulo interior o
exterior en dos ángulos de igual medida.
Incentro
Es el punto donde se intersectan las tres
bisectrices interiores de un triángulo.
PARA RECORDAR
– Todo triángulo tiene un solo incentro.
– El incentro equidista de los lados del
triángulo.
– El incentro es siempre un punto interior
al triángulo.
Excentro
Es el punto donde se intersectan dos
bisectrices exteriores con una bisectriz
interior en un triángulo.
E : Excentro relativo a BC
PARA RECORDAR
– Todo triángulo tiene tres excentros.
– Los excentros son siempre puntos
exteriores al triángulo.
4. Mediatriz
Es una recta que pasa por el punto medio
de un lado cortándolo en forma perpendicular.
↔L
: Mediatriz de AC
Circuncentro
Es el punto donde se cortan las tres mediatrices
de un triángulo.
C: Circuncentro
PARA RECORDAR
– Todo triángulo tiene un solo circuncentro.
– El circuncentro equidista de los vértices
del triángulo.
– Es un punto interior si el triángulo es
acutángulo.
– Es un punto exterior si el triángulo es
obtusángulo.
– Si es rectángulo está en el punto medio
de la hipotenusa.
interior
exterior
β
α β α
A D C E
B
β β
γ
αα γ
C
I
I = incentro
A
B
α
α
β
β
φ
A φ
E
B
C
L
A
B
C
O
O
O
O
O
Propiedad
Si: “O” es circuncentro
⇒ x = 2α
5. Ceviana
Segmento que une un vértice con un
punto cualquiera del lado opuesto o de
su prolongación.
Cevacentro
Es el punto donde se intersectan tres
cevianas de un triángulo.
C: Cevacentro o punto ceviano
PARA RECORDAR
Todo triángulo tiene infinitos cevacentros.
Observaciones
– Para ubicar un punto notable sólo es
necesario trazar dos líneas notables
de la misma especie.
– En todos los triángulos isósceles, si se
traza una de las cuatro primeras líneas
notables hacia la base, dicha línea
cumple las mismas funciones que las
otras.
– En todo triángulo equilátero el ortocentro,
baricentro, incentro y circuncentro
coinciden.
– En todo triángulo isósceles, el ortocentro,
baricentro, incentro y el excentro
relativo a la base, se encuentran alineados
en la mediatriz de la base.
Propiedades con
líneas notables
1. Ángulo formado por dos bisectrices
interiores.
x = 90º + 2
a
2. Ángulo formado por dos bisectrices
exteriores
x = 90º – 2
a
3. Ángulo formado por una bisectriz
interior y una bisectriz exterior.
x = 2
a
O
A
B
interior exterior
D C E
A
B
M D
S N
C

α
α β β

α
α
a

β
β
α
α
β β
a° x°
4.
x = 45º –
4
a
5.
x = 2
a + b
6.
x = 2
a + b
7. Ángulo formado por una altura y una
bisectriz interior.
x = 2
α − β
α°
α°


ω° φ°
ω° φ°
β°
β°
α°α°

a° b°
β° β°
α°
α°



β°
β°

A H
B
D C
a a
Problemas Aplicativos
1. Calcule “x”. Si: I: Incentro
a) 45°
b) 35°
c) 75°
d) 65°
e) 55°
2. Calcule “x”. Si: E: Excentro
a) 60°
b) 50°
c) 70°
d) 40°
e) 55°
3. Calcule “x”, si G es baricentro.
a) 30°
b) 60°
c) 53°
d) 45°
e) 53
2
4. Calcule “x”. Si: O es circuncentro del
triángulo.
a) 30°
b) 70°
c) 60°
d) 50°
e) 80°
5. Calcule “x”. Si: H es ortocentro.
a) 8°
b) 9°
c) 15°
d) 12°
e) 18°
6. Calcule “x”. Si: E: Excentro
a) 15
b) 25
c) 30
d) 60
e) 50
7. Calcule del mayor valor entero de “x”.
Si: E: Excentro
a) 3
b) 4
c) 5
d) 6
e) 2
8. Calcule “x”. Si O es circuncentro.
a) 12
b)6 2
c)6 3
d) 18
e) 24
9. Calcule “x”. Si O es circuncentro.
a) 12
b) 6 2
c) 8 2
d) 16
e) 24
10. Calcule “x”. Si: G es baricentro.
AB=2GM
a) 70°
b) 80°
c) 50°
d) 20°
e) 60°
40°
I
x x
x
80 E
x
G
A C
B
O
x
80°
x 2x
α α
A
B
H
C
x x
E
40°
x
3 E
4
60°
O
6
x
45°
O
x 8
20° G
A
B
M
C
x
11. En la siguiente figura, calcule “x”. Si:
G es baricentro.
a) 6 b) 8 c) 10
d) 12 e) 15
12. Calcule “x”, si I es incentro.
a) 25° b) 36° c) 72°
d) 45° e) 90°
13. Calcule “x”. Si I es incentro y E es excentro
del DABC.
a) 8 b) 12 c) 13
d) 20 e) 15
14. Calcule “x”, si E es excentro del
DABC.
a) 45° b) 15° c) 20°
d) 30° e) 40°
15. ABCD es un romboide. Calcule “x”, si
C es excentro de DABD.
a) 130° b) 140° c) 160°
d) 120° e) 150°
Problemas Propuestos
1. En la figura, calcule “x”. Si: O es circuncentro.
a) 10° b) 12° c) 15°
d) 8° e) 9°
2. En la figura, calcule “x”. Si: H es ortocentro.
a) 15 b) 12 c) 8
d) 9 e) 10
3. En la figura, calcule “x”. Si: G es baricentro.
a) 9 b) 15 c) 12
d) 10 e) 18
4 3G
x
I
x
A C
B
x
5
12
E
I
B E x
C
A
θ
θ
B
D
x
C
A
8x
x
O
H
3x
6x
2x 2m
8x
3m
G
4. En la figura, calcule “x”. Si: I es incentro.
a) 24° b) 18° c) 15°
d) 10° e) 20°
5. En la figura, calcule “x”. Si: E es excentro
del DABC.
a) 55° b) 65° c) 75°
d) 60° e) 53°
6. Calcule “x”. Si: I es incentro del
DABC.
a) 71,5° b) 63,5° c) 22,5°
d) 53,5° e) 27,5°
7. En la figura, calcule “x”. Si BR es bisectriz
del ángulo ABC.
a) 19 b) 26 c) 13
d) 15 e) 18
8. En la figura, calcule “x”. Si:
mBDC=70°
a) 30 b) 20 c) 40
d) 35 e) 45
9. En la figura, calcule “x”.
a) 10 b) 4 c) 8
d) 12 e) 6
10. En la figura, calcule “x”. Si: I es incentro
del DABC.
a) 71,5° b) 63,5° c) 53,5°
d) 53,5° e) 27,5°
11. En la siguiente figura, calcule “x”.
a) 35° b) 18° c) 20°
d) 30° e) 15°
80°
x
B
A C
E
B
I
x
A C
α θ
α θ
x
52°
B
A R C
ω α α
ω
B
x
D
C
α α
θ
θ
3x
3x
4x
2x
B
A C
x
I
x

α
α
θ
ω
θ
40°
x
I
CLAVES
1.e 2.c 3.e 4.b 5.e
6.b 7.b 8.c 9.c 10.b
11.c 12.e 13.c 14.d 15.e
1.a 2.e 3.d 4.e 5.b
6.c 7.a 8.c 9.e 10.a
11.d 12.c 13.d 14.a 15.e
12. En la siguiente figura, calcule “x”.
a) 20° b) 25° c) 50°
d) 40° e) 30°
13. En la siguiente figura, calcule “x”.
Si: “O” es circuncentro del triángulo
ABC.
a) 120° b) 100° c) 96°
d) 90° e) 80°
14. En un triángulo ABC, donde mA=78°
y mB=24. Si: O es circuncentro e I
es incentro. Calcule la mOAI.
a) 27° b) 14° c) 23°
d) 32° e) 37°
15. En un triángulo ABC, AB=BC,
mB=44°.
I : incentro
H : Ortocentro
Calcule la mIAH.
a) 4° b) 6° c) 8°
d) 10° e) 12°
80°
x 30°
10°
A
B
C
x
O
θ
θ
Congruencia de Triángulos
Definición
Dos triángulos son congruentes, si tienen
sus tres lados congruentes y sus tres ángulos
congruentes respectivamente.
⇒ ΔABC  ΔPQR
Nota.- En un problema dado se podrá
afirmar que dos triángulos son congruentes,
si tienen como mínimo tres elementos
iguales, de los cuales uno de ellos debe
ser un lado.
Postulados de congruencia
en triángulos
I. (L.A.L.)
II. (A.L.A.)
III. (L.L.L.)
IV. (L.L.A.m.)
α : Opuesto al mayor lado
Propiedades en congruencia
de triángulos
1. De la bisectriz
Todo punto situado en la bisectriz, siempre
equidista de los lados del ángulo.
PA=PB
OA=OB
A
B
C P
Q
R
A P
α α
B Q
C R
A P
α β α β
B Q
C R
A P
B Q
C R
A
α α
P
B Q
C R
A
α
α
P
O B
UNIDAD 6
2. De la mediatriz
Todo punto situado en la mediatriz de
un segmento, siempre equidista de los
extremos de dicho segmento.
PA = PB
3. De la base media de un triángulo
El segmento que une los puntos medios
de dos lados de un triángulo, es paralelo
al tercer lado y mide la mitad de lo que
mide el tercer lado.
Si: MN//AC Si: M y N son puntos
medios
4. De la mediana relativa a la
Hipotenusa
La mediana relativa a la hipotenusa,
siempre mide la mitad de lo que mide la
hipotenusa.
2
BM = AC
A
P
B
A C
B
M N
A C
B
M N
BN = NC
2
MN= AC
A M C
B
α°
α° β°
β°
Problemas Aplicativos
1. En la figura, calcule “x”.
a) 15°
b) 18°
c) 10°
d) 20°
e) 12°
2. En la figura, calcule “x”.
a) 9° b) 18° c) 12°
d) 15° e) 10°
3. En la figura, calcule “x”.
a) 8
b) 15
c) 12
d) 10
e) 9
4. En la figura, calcule “x”.
a) 5
b) 4
c) 1
d) 2
e) 3
5. En la figura calcule “x”, si: AP=2PD
a) 10°
b) 20°
c) 30°
d) 50°
e) 60°
6. En la siguiente figura, calcule “x”.
a) 24
b) 12
c) 4
d) 8
e) 16
7. En la siguiente figura, calcule “x”.
a) 18,5°
b) 37°
c) 26,5°
d) 53°
e) 30°
8. En la siguiente figura, calcule “x”.
a) 2
b) 4
c) 3
d) 5
e) 6
9. En la figura, calcule “x”.
a) 2
b) 3
c) 4
d) 1
e) 6
10. En la figura, calcule “x”.
a) 28°
b) 30°
c) 32°
d) 38°
e) 45°
α α
x
4x
α
α α
α
10° x
3x
3x
x
12
A P
B
x
C
D
α α
θ
θ
8
x
3α 2α
α
3
5
x
α
α
2
x
α
α
2
3x x
x
11. En la figura, calcule AC. Si: AP=8
a) 16
b) 12
c) 14
d) 18
e) 10
12. En un triángulo ABC (AB=BC) trazamos
la bisectriz interior AD. En el
triángulo ADC trazamos las bisectrices
interior DE y exterior DF. Calcule
EF. (AD=6)
a) 9 b) 12 c) 15
d) 18 e) 24
13. Calcule “x”.
a) 24
b) 21
c) 15
d) 12
e) 18
14. Se tienen los triángulos equiláteros
ABC y BMN, tal que M, C y N sean
colineales (N exterior y relativo a
BC). Si: BM=6 y AB=5.
Calcule el perímetro de la región
triangular AMC.
a) 9 b) 11 c) 10
d) 13 e) 12
15. Calcule “x”. Si: AC=BP
a) 20°
b) 18°
c) 22°
d) 24°
e) 38°
Problemas Propuestos
1. En la figura, calcule “2x”.
a) 9 b) 8 c) 12
d) 6 e) 4
2. En la figura, calcule “x”. Si: BC=2AD
a) 53° b) 45° c) 30°
d) 37° e) 60°
3. En la figura, calcule “NP”.
Si: MR-RQ=10
a) 10 b) 8 c) 12
d) 6 e) 14
4. En la figura, calcule “x”. Si: BC//DF
a) 8 b) 3 c) 4
d) 6 e) 5
B
P
A C



6
x

α
3x 4x
2x
A P C
B
4x 5x
13x
9x
θ θ
x
A B
D C
α
α
N P
90–2θ
M
Q
R
θ
A
B
6
C
D
x
F
E
5. Si: AM=MC y AC=BE. Calcule “x”.
a) 45° b) 37° c) 53°
d) 30° e) 60°
6. En la figura, calcule “x”.
a) 9° b) 18° c) 12°
d) 30° e) 15°
7. En la figura, calcule “x”.
a) 12° b) 18° c) 30°
d) 22,5° e) 15°
8. En la figura BM=BD y CD=AM. Calcule
“x”.
a) 25° b) 35° c) 15°
d) 30° e) 37°
9. En la figura MN=NC. Calcule BM
MR
a) 1 b) 2 c) 3
d) 1/2 e) 1/3
10. En un triángulo ABC, las mediatrices
de AB y BC se intersectan en
“O”, tal que 8(BO)=5(AC). Calcule la
mABC.
a) 53° b) 37° c) 60°
d) 30° e) 45°
11. En un triángulo ABC, la mediana
AM y la altura BH se intersectan en
“N”, tal que AN=MN; BC=10; AH=4.
Calcule “HN”.
a) 1 b) 1,5 c) 2
d) 2,5 e)1/2
12. En la figura, AB=EC y CD=AE. Calcule “x”.
a) 30° b) 40° c) 50°
d) 80° e) 60°
13. En la figura, calcule MN.
a) 10 b) 8 c) 12
d) 6 e) 4
x
A M C
B
E
M
2x x
45°–x
a 2a
x
2x
x
B C
D
A
M
45° 35°
A
B
Q
M N
R
C
30°
θ θ
B
E
D
A C
x
θ θ
M
12
12
N
33°
27°
CLAVES
1.d 2.e 3.d 4.e 5.c
6.e 7.b 8.a 9.a 10.e
11.a 12.b 13.e 14.b 15.b
1.a 2.b 3.a 4.d 5.e
6.e 7.d 8.b 9.a 10.a
11.b 12.e 13.d 14.a 15.e
14. En la figura, calcule “x”.
a) 60° b) 70° c) 50°
d) 65° e) 30°
15. Calcule “x”.
a) 30° b) 15° c) 45
2
°
d) 37
2
° e) 53
2
°
x 3
x x
5
Polígonos y Cuadriláteros
Polígono
Definición
Es la reunión de tres o más segmentos
consecutivos y coplanares, tal que el extremo
del primero coincida con el extremo
del último; ningún par de segmentos se
intercepten, excepto en sus extremos,
y dos segmentos consecutivos no son
colineales.
Elementos
Vértices : A, B, C, D, …
Lados : AB,BC,CD, DE,…
m  internos : α, β, φ, …
m  externos : x, y, z, …
Diagonales : AC, AD, AE, …
Diagonales medias : PQ, PR, PS, …
Polígono convexo
Es cuando tienen todos sus ángulos internos
convexos, es decir mayores que cero
y menores que 180º.
Clasificación de los polígonos
convexos
1. Polígono equiángulo
Cuando tienen todos sus ángulos
internos congruentes.
2. Polígono equilátero
Cuando tienen todos sus lados congruentes.
3. Polígono regular
Cuando tienen todos sus ángulos
internos congruentes, y todos sus lados
congruentes.
A
B
α°
β°
φ°
C
D
E



F
Q
P
R
S
G
H
I
108° 108°
108°
108° 108°
120° 120°
120° 120°
120° 120°
108° 108°
108°
108° 108°
120° 120°
120° 120°
120° 120°
UNIDAD 7
Polígono no convexo
Cuando tienen uno o más ángulos internos
no convexos, es decir mayores que 180º
y menores que 360º.
Denominación de los polígonos
Triángulo……………………………… 3 lados.
Cuadrilátero………………………….. 4 lados.
Pentágono……………………………. 5 lados.
Hexágono…………………………….. 6 lados.
Heptágono……………………………. 7 lados.
Octógono……………………………… 8 lados
Nonágono o Eneágono………….. 9 lados
Decágono…………………………… 10 lados
Endecágono…………………………11 lados
Dodecágono……………………….. 12 lados
Pentadecágono…………………… 15 lados
Icoságono…………………………… 20 lados
Enégono………………………………. n lados
Propiedades para todo
polígono convexo
Si “n” es el número de lados de un polígono
convexo, se cumple que:
1. Suma de las medidas de sus ángulos
internos:
Smi = 180º (n – 2)
2. Suma de las medidas de sus ángulos
externos:
Sme = 360º
3. Diagonales trazadas desde un sólo
vértice:
D1 = (n – 3)
4. Número total de diagonales:
DT = 2
n(n − 3)
5. Número total de diagonales medias:
Dm = 2
n(n −1)
6. Diagonales trazadas desde “v” vértices
consecutivos:
Dv = vn – 2
(v +1)(v + 2)
En polígonos regulares y equiángulos
7. Medida de un ángulo interno:
m i = n
180(n − 2)
8. Medida de un ángulo exterior:
m e = n
360
Cuadrilátero
Definición
Es un polígono de 4 lados.
x + y + z + w = a + b + c + d = 360º
Clasificación general
Convexos No convexos
x° a°






α
Clasificación de los
cuadriláteros convexos
1. Trapezoide
Aquéllos que no tienen lados opuestos
paralelos.
SIMÉTRICO ASIMÉTRICO
2. Trapecios
Tienen dos lados opuestos paralelos
llamados bases, y los otros lados llamados
lados no paralelos.
Trapecio isósceles Trapecio escaleno
Trapecio rectángulo
PROPIEDADES DEL TRAPECIO
– Mediana de un trapecio
x = 2
a + b
– Segmento que une los puntos medios
de las diagonales.
x = 2
b − a
3. Paralelogramos
Aquéllos de lados opuestos paralelos
y congruentes ángulos opuestos de
igual medida y dos angulos consecutivos
siempre suplementarios. Sus diagonales
se bisecan.
Romboide Rombo
Rectángulo Cuadrado
Propiedades generales
1.
2
x = θ + φ
2.
2
x = θ − φ
α° α°
β° β°
φ° φ°
θ° θ°
180°–α 180°–α
α α
180°–α 180°–β
α β
180°–α
α
b
a
x
b
a
x
45°
45°
45°
45° 45°
45°
45°
45°
A
B
C
α β
D
α β
x
θ
φ
A
B
C
α
β
D
α
β
θ x
φ
3.
PQ RS
PQ//RS
=
4.
x = 2
a + b
5. En trapecios isósceles
x = 2
b − a
y = 2
b + a
6. En triángulos
7. En trapecios
8. Segmento que une los puntos medios
de las bases de un trapecio.
Si: α + β = 90º ; x = 2
b − a
9. En paralelogramos.
x=b – a
10. En paralelogramos.
4
a b c d
2
b c
2
x = a + d = + = + + +
P
Q
S
R
a
b
x
a
b
x y
x
2x
3x
4x
5x
x
x+r
x+2r
x+3r
b
a
x
α° β°
α°α
°
a
b
x
a
b
c
d
x
Problemas Aplicativos
1. ¿Cuántos lados tiene aquel polígono
cuyo número total de diagonales es
igual al número de lados?
a) 7 b) 4 c) 5
d) 8 e) 12
2. ¿Cuántos lados tiene aquel polígono
cuyo número total de diagonales es
el doble del número de lados?
a) 12 b) 8 c) 6
d) 7 e) 15
3. Cuántos lados tiene aquel polígono,
si se triplica el número de lados, la
suma de sus ángulos internos se
quintuplica.
a) 4 b) 8 c) 12
d) 10 e) 15
4. En el hexágono regular ABCDEF,
calcule “x”.
a) 75°
b) 45°
c) 30°
d) 60°
e) 37°
5. En el pentágono regular ABCDE, calcule
“x”.
a) 15°
b) 12°
c) 14°
d) 36°
e) 18°
6. En un polígono convexo el número
de diagonales medias y el número
de diagonales trazados de un sólo
vértice suman 18. ¿Cuántos lados
tiene?.
a) 6 b) 4 c) 8
d) 9 e) 12
7. En un romboide ABCD, se traza BP
y DQ perpendiculares a AC , tal que:
AB=PQ y mABP=53°. Calcule la
mPCB.
a) 37
2
b) 53
2
c) 45
2
d) 8 e) 15
2
8. En el romboide ABCD, calcule “x”.
a) 4 b) 3 c) 2
d) 5 e) 6
9. En el romboide ABCD, calcule “x”.
a) 5 b) 8 c) 6
d) 7 e) 4
10. En el romboide ABCD, calcule “x”.
(BR = Bisectriz de la mABC)
a) 3 b) 4 c) 1
d) 2 e) 5
A
C D
E
F R
B
x
A
C
D
E
B
x
A
C
P D
B
2x
12
x
α α
A P
N
C
D
B
x
10
6
α α
R
4 x
A
C
D
B
11. En el trapecio ABCD. Calcule “x”, si:
BC+AD=12
a) 5 b) 4 c) 6
d) 2 e) 3
12. En el trapecio ABCD, calcule el máximo
valor entero de CD. Si; AB=6;
BC=4 y AD=11.
a) 12
b) 10
c) 8
d) 9
e) 11
13. En el rectángulo ABCD. Calcule PR.
a) 1 b) 3 c) 4
d) 5 e) 2
14. En el rombo ABCD, calcule su perímetro.
a) 20 b) 25 c) 30
d) 28 e) 34
15. En el cuadrado ABCD, calcule “x”.
(DAPD y CRD son equiláteros)
a) 18°
b) 12°
c) 8°
d) 9°
e) 15°
Problemas Propuestos
1. ¿Cuántas diagonales tiene el polígono
regular cuyos ángulos internos
miden 120°?
a) 6 b) 9 c) 12
d) 27 e) 54
2. ¿Cuántos lados tiene el polígono regular,
si al disminuir en 3 el número
de lados, la medida de su ángulo
central aumenta en 6°?
a) 20 b) 15 c) 12
d) 13 e) 18
3. Si en un polígono regular la medida
de un ángulo interior se le disminuye
en 9°, el número de lados disminuye
en 2. ¿Cuántas diagonales quedan?
a) 20 b) 10 c) 30
d) 25 e) 32
4. Los números de diagonales de dos
polígonos regulares se diferencian
en 36° y las medidas de sus ángulos
centrales están en relación de 4 a 5.
Calcular la diferencia entre el número
de lados.
a) 6 b) 4 c) 3
d) 2 e) 7
5. Al triplicar el número de lados de un
polígono, la medida de su ángulo
interior aumenta en 40°. Calcular el
número de diagonales del polígono
menor.
a) 20 b) 54 c) 27
d) 12 e) 9
A H x D
B C
A D
B C
A P
B
8
10
45°
22,5°
R
C
D
A O
B
4
3
D
C
B
x
D
R
P
A
C
6. En la figura, calcule “x” si los polígono
son regulares.
a) 130 b) 120 c) 150
d) 110 e) 140
7. Si los polígono son regulares, calcule
“x”.
a) 48 b) 24 c) 32
d) 16 e) 18
8. En el romboide ABCD, calcule “x”.
a) 15 b) 20 c) 30
d) 10 e) 40
9. En el cuadrado ABCD, calcule “x”.
a) 22,5 b) 15 c) 12
d) 30 e) 18
10. En el rectángulo ABCD, calcule PQ.
a) 2 b) 3 c) 5
d) 7 e) 2 2
11. En el trapecio ABCD, calcule el segmento
formado por los puntos medios
de las diagonales.
a) 6 b) 4 c) 3
d) 2 e) 1
12. En la figura, calcule “x”. Si: a+b+c=30;
G es baricentro.
a) 24 b) 18 c) 15
d) 10 e) 12
13. En el romboide ABCD, calcule “x”.
a) 2 b) 4 c) 8
d) 12 e) 6
x
x
50°
A
B
E
C
D
x
50°
A
B
x
C
D
A
B C
P D
Q
45°
10
6

α
A
B
12
C
D
a
x b c
G
B
D
C
A
4 x
14. Del gráfico, calcule “x”. Si: 2a+b=90°
a) 5 b) 3 c) 3 3
d) 2 2 e) 2
15. En el romboide ABCD, calcule “x”.
a) 3 b) 4 c) 5
d) 6 e) 8
β α
4
x
7
37°
10
x
B
D
C
A
CLAVES
1.c 2.d 3.a 4.d 5.e
6.a 7.a 8.a 9.d 10.d
11.c 12.a 13.e 14.a 15.e
1.b 2.b 3.a 4.c 5.e
6.c 7.b 8.e 9.a 10.a
11.a 12.d 13.e 14.d 15.b
Circunferencia I: Propiedades de Tangencia
Circunferencia
Definición
Es un conjunto infinito de puntos de un
plano, que equidistan de otro punto fijo
del mismo plano llamado centro.
Círculo
Es la reunión de una circunferencia y su
región interior.
Del gráfico observamos
1. Centro : “O”
2. Radio : OA
3. Diámetro : AB
4. Cuerda : PQ
5. Arco : BC
6. Flecha o sagita : EF
7. Recta tangente : 1 L 
8. Recta secante : 2 L 
9. Punto de tangencia : “T”
10. Sector circular : BOC
11. Segmento circular : MN
RADIO
Segmento que une el centro de la circunferencia
con cualquiera de sus puntos.
CUERDA
Segmento que une dos puntos cualesquiera
de la circunferencia.
DIÁMETRO O CUERDA MÁXIMA
Es una cuerda que pasa por el centro de
la circunferencia.
Propiedades
1. Si “T” es punto de tangencia, entonces:
2. Si A y B son puntos de tangencia,
entonces:
PA = PB
También: si “O” es centro.
PO es bisectriz de APB
3. Si OM ⊥ AB entonces:
AM = MB
M
N
O
F
P
Q
A B
C
T
L2
L1
E
O T
L1
P O
A
B
α
α
OT ⊥ L1
A M B
O
UNIDAD 8
4. Si AB = CD entonces:
a = b
5. Tangentes comunes interiores.
6. Tangentes comunes exteriores.
7. Si A, B y C son puntos de tangencia.
8.
α = β
9. Si “M” es punto medio de AB.
10. En circunferencias concéntricas:
11. En circunferencias concéntricas:
AB = CD
12. Teorema de Poncelet
a+b=c+2r
13. Teorema de Pithot
a+b = x+y = p
Donde:
p : semiperímetro del cuadrilátero.
O
a b
A
B
C
D
A
B
C
D AB = CD
A
B
C
D
AB = CD
A
C
B

x = 90
α
β

A
M B
x = 90º
A
B
C
D
a b
c
r
a
b
x
y
Problemas Aplicativos
1. Calcule “x”. Si: A y B son puntos de
tangencia.
a) 1
b) 2
c) 3
d) 4
e) 5
2. En el gráfico, calcule “x”. Si: a+b=28
a) 18 b) 19 c) 21
d) 22 e) 23
3. En el gráfico, calcule “x”.
a) 4
b) 3
c) 6
d) 2
e) 5
4. En el gráfico, calcule “x”. Si: A es
punto de tangencia.
a) 5
b) 6
c) 3
d) 2
e) 4
5. En la figura, calcule “x”. Si: A y B son
puntos de tangencia.
a) 70°
b) 80°
c) 30°
d) 20°
e) 10°
6. En el gráfico, calcule “x”. Si:
AB=2OH
a) 30°
b) 60°
c) 45°
d) 37°
e) 53°
7. En el romboide ABCD, calcule el inradio
del triángulo ABP
a) 4 b) 3 c) 2
d) 1 e) 5
8. En el gráfico, calcule “r”.
Si: BC=2; AB=AE; CD=DE
a) 1
b) 2
c) 3
d) 4
e) 5
9. En la figura, calcule “x”. Si: A es punto
de tangencia.
a) 53°
b) 30°
c) 15°
d) 45°
e) 60°
10. En un triángulo rectángulo, calcular la
longitud de la hipotenusa si los exradios
relativos a los catetos miden 2 y 3.
a) 2 b) 3 c) 4
d) 5 e) 6
A
4x
6-2x
P
B
a 3 b
x
O
5
6
11
53°
O
x
A
5
O x
3
A
B
40°
x
B
A
H
O
x
A
B C
D
P
3
4
θ
θ
αα
A
B
C
D
E
r
A
O
x
11. En la figura: AB=MN+2; BM=NC y
AC=2BM. Calcule “r”.
a) 1 b) 2 c) 3
d) 4 e) 5
12. Calcule “x”.
a) 2
b) 3
c) 4
d) 6
e) 1
13. En el gráfico, calcule BE.
a) 1 b) 2 c) 3
d) 4 e) 5
14. En la figura, calcule “x”. Si: EF=6 y
BCDE es un rombo.
a) 1 b) 2 c) 3
d) 4 e) 5
15. En el rectángulo ABCD, O es centro.
Calcule: 1
2
r
r
a) 1
3
b)35
c) 3
3
d) 2
3
e) 2
Problemas Propuestos
1. En la figura, calcular “x”, si: O es centro.
a) 30° b) 15° c) 45°
d) 53° e) 37°
2. Calcule “x”, en las semicircunferencias.
a) 15° b) 100° c) 75°
d) 80° e) 90°
3. En la figura, calcule “x”, O es centro.
a) q b) 5
θ c) 4
θ
d) 2
θ e) 3
θ
A C
M
B N
r
6
x
3
1
O1
O
A
E C
D
B
x
A E F
C
D
B
14
A
r1
r2
O
C
D
B
x
O
x
x
O θ
4. En la figura, calcule BC. Si: AB=6
a) 2 b) 1 c) 4
d) 3 e) 1/2
5. En la figura, calcule “x”. O es centro.
a) 2 b) 3 c) 5
d) 4 e) 6
6. En la figura, calcule “x”.
a) 1 b) 2a
3 c) 3a
4
d) a
4
e) 5a
4
7. En la figura, calcule “x”.
a) 4 b) 3 c) 5
d) 1 e) 2
8. En la figura, calcule “x”, si L//AB. P es
punto de tangencia.
a) 37° b) 45° c) 30°
d) 60° e) 53°
9. En la figura, calcule “x”.
a) 5 b) 4 c) 1
d) 3 e) 2
10. El cuadrilátero ABCD es circunscriptible
y ACBD, calcule c+d. Si:
a+b=12
a) 12 b) 6 c) 8
d) 9 e) 4
11. En el cuadrado ABCD, calcule “x”.
a) 53° b) 67,5° c) 37°
d) 45° e) 54°
B
5
A
C D
O
O
2
x
a–r a
a+r
r
a–x
a–1
a+1
a+2
O
x
A
P
L
B
6
2x 3x
4 8
x
a b c
d
B
A D
C
B
A D
x
C
12. En la figura, calcule “AC”.
a) r1-r b) r1+r c) r1-r2
d) 1
2
r
r
e) 2
1
r
r
13. En las circunferencias congruentes,
calcule “x”.
a) 60° b) 90° c) 110°
d) 100° e) 120°
14. En el gráfico, calcule “x”. Si: c=a+b
a) 37° b) 53° c) 60°
d) 30° e) 45°
15. En la figura, calcule “x”.
a) 45° b) 60° c) 37°
d) 53° e) 30°
B
A
r1
r
C
x
O1 O
O
b
a
c
x
a
2a
x
O
CLAVES
1.a 2.d 3.a 4.e 5.e
6.c 7.d 8.a 9.b 10.d
11.a 12.b 13.e 14.d 15.c
1.a 2.e 3.d 4.a 5.d
6.d 7.e 8.b 9.d 10.a
11.b 12.a 13.e 14.e 15.e
Circunferencia II: Ángulos en la Circunferencia
Ángulos en la
circunferencia
1. Ángulo central
2. Ángulo inscrito
3. Ángulo semi-inscrito
4. Ángulo ex-inscrito
5. Ángulo interior
6. Ángulo exterior
a
b
c
A
B
O x° x° x = mAB
A
B
C x° 2x° 2
x = mAB
A
B

2x°
2
x = mAB
A
C B

2x°
2
x = mABC
A
D
m° n°
B
C
x° 2
x = m+ n
A
n° m°
B
P x°
2
x = m− n
A


B
C
P

2
x = m− n
A
D


B
C
P x°
2
x = m− n
UNIDAD 9
Propiedades
1. De un ángulo exterior.
x + y = 180º
2. Si AB = CD ; entonces:
AB ≅ CD
.
3. Si: AB//CD entonces AC ≅ BD o
PQ// AB , entonces
AT ≅ TB
.
4. En toda circunferencia.
mA