COMPENDIO DE ARITMETICA PREUNIVERSITARIA – PREGUNTAS CON RESPUESTAS PDF

Share Button






Razones y proporciones,
Promedios,
Magnitudes,
Reparto Proporcional,
Regla de tres,
Interés Simple,
Teoría de conjuntos,
Operaciones con conjuntos,
Numeración,
Conteo de números,
Adición y sustracción,
Multiplicación y División,
Teoría de la Divisibilidad,
Criterios de Divisibilidad,
Números Primos y Compuestos,
MCD y MCM,
El texto, que ahora tienes en tus manos, COMPENDIO ACADÉMICO DE ARITMÉTICA, es fruto del esfuerzo conjunto y organizado del equipo docente de Aritmética. Esto significa, entonces, que debe convertirse en una efectiva ayuda en el objetivo que te has trazado
La experiencia adquirida en la práctica docente en los diferentes centros pre universitarios nos demuestra que un texto que contenga una teoría extraída de una bibliografía coherente, aunada a modelos de preguntas explicadas detalladamente y complementados con una variedad de problemas propuestos, se constituye en una herramienta fundamental en el aprendizaje de aquella “parte de la Matemática que se encarga del estudio del número en su formación, representación, operaciones, propiedades y algunas aplicaciones”, que se conoce con el nombre de ARITMÉTICA.
Confiamos en que el presente texto se convierta en una contribución al objetivo que esperamos logres a muy corto plazo, pues no hay mayor satisfacción para un verdadero docente que aportar con un grano de arena en la formación de nuevos profesionales involucrados con el desarrollo de nuestro país.
UNIDAD 1
Razones y proporciones
OBJETIVO
· Establecer el concepto de «Razón».
· Definir una proporción aritmética y una proporción geométrica.
· Estudiar las consecuencias de las definiciones anteriores.
· Establecer una serie de razones geométricas equivalentes.
· Aplicar las propiedades de las proporciones geométricas y de
una SRGE, en la resolución de problemas.
1 RAZON
Es una comparación establecida entre dos cantidades. Esta puede
hacerse mediante la sustracción y la división, las mismas que se
denominan razón aritmética y razón geométrica respectivamente.
Sin embargo hay otras formas de comparar dos cantidades; como «la
diferencia de inversas», «la diferencia de cuadrados», etc.
1.1 Razón Aritmética
Es el resultado obtenido al comparar dos cantidades mediante la
sustracción.
La forma sencilla de escribir una razón aritmética es la siguiente:
a − b = r donde



r valordelarazón
b con uente
a antecedente
:
: sec
:
1.2 Razón Geométrica
Es el resultado obtenido al comparan dos cantidades mediante la
división.
La forma sencilla de escribir una razón geométrica es la siguiente:
q
b
a = donde



r valordelarazón
b con uente
a antecedente
:
: sec
:
Cuando en un ejercicio se proponen el término «razón» ó «relación» se debe
entender que se esta haciendo referencia a la razón geométrica.
2 PROPORCIÓN
Así se denomina a la igualdad establecida entre dos razones del mismo
valor y de una misma clase.
2.1 proporción aritmética
Se forma cuando igualamos dos razones aritméticas del mismo valor.
Es decir:
a – b = c – d
Para que la igualdad mostrada sea una Proporción
aritmética, necesariamente debe cumplirse, que:
a + d = b + c
Los números «a» y «d» se denominan términos extremos mientras que
los números «b» y «c» se denominan términos medios.
Por lo tanto: en una proporción aritmética «la suma de los extremos
es igual a la suma de los medios»
Tipos de proporciones aritméticas
Dependiendo del valor que pueden tener los términos medios. Las
proporciones aritméticas son de dos formas:
I. proporción aritmética discreta
Es aquella proporción aritmética donde los términos medios
son diferentes, es decir:
a – b = c – d
Observación:
Los cuatro términos son diferentes entre sí y cada uno de
ellos se denomina «cuarta diferencial»
II. proporción aritmética continua
Es aquella proporción aritmética donde los términos medios
son iguales, es decir:
a – b = b – c
Observación:
· a, b y c son diferentes entre sí.
· «b» es la «media diferencial» de «a» y «c» y su valor
esta dado por la siguiente relación:
2
b a c +
=
· Y generalmente «c» es la «tercera diferencial» de «a»
y «b»
2.2 proporción geométrica
Se forma cuando igualamos dos razones geométricas del mismo valor.
Es decir:
d
c
b
a =
Los números «a» y «d» se denominan términos extremos mientras que los
números «b» y «c» se denominan términos medios.
Para que la igualdad mostrada sea una Proporción
geométrica, necesariamente debe cumplirse
axd = bxc
Por lo tanto:
En una proporción geométrica; el producto de los extremos es igual al
producto de los medios.
Tipos de proporciones geométricas
Dependiendo del valor que pueden tener los términos medios. Las
proporciones geométricas son de dos formas:
I. proporción geométrica discreta
Es aquella P.G. donde los términos medios son diferentes, es
decir:
d
c
b
a =
Los cuatro términos son diferentes entre sí y cada uno
de ellos se denomina «cuarta proporcional»
II. proporción geométrica continua
Es aquella P.G. donde los términos medios son iguales, es
decir:
c
b
b
a =
 a, b y c son diferentes entre sí.
 «b» es la «media proporcional» de «a» y «c» y su valor
esta dado por la siguiente relación:
b = axc
 Y generalmente «c» es la «tercera proporcional» de «a»
y «b».
3. SERIE DE RAZONES GEOMÉTRICAS EQUIVALENTES
Es la igualdad establecida entre más de dos razones geométricas
equivalentes, es decir todas iguales a un mismo valor «k».
k
b
a
b
a
b
a
b
a
n
n
3
3
2
2
1
1 = = == =
a1 = b1xk
a2 = b2xk

a3 = b3xk
Donde:
a1, a2, a3, …, an son los antecedentes.
b1, b2, b3, …, bn son los consecuentes.
«k» es la constante ó razón de la serie.
Propiedades
 «la suma de los antecedentes es a la suma de los consecuentes,
como cada antecedente es a su respectivo consecuente». Es
decir:
=
+ + + +
+ + + +
n
n
b b b b
a a a a


1 2 3
1 2 3 k
b
a
b
a
b
a
b
a
n
= = == n =
3
3
2
2
1
1
 «El cociente entre el producto de los antecedentes y producto de
los consecuentes, es igual a la razón elevado al número de razones
consideradas». Es decir:
n
n
n k
b xb xb x xb
a xa xa x xa =


1 2 3
1 2 3
3. SERIE DE RAZONES GEOMETRICAS EQUIVALENTES CONTINUAS
Ocurre cuando; «fija una razón inicial, las otras tienen como antecedente
el consecuente de la razón anterior» es decir:
k
z
y
y
x
e
d
d
c
c
b
b
a = = = = = = = 
EJERCICIOS DE APLICACIÓN
1. Hallar la cuarta proporcional de m; 52 y n; sabiendo que «m» es la media
proporcional de 52 y 13; y «n» es la tercera proporcional de 25 y 15.
Si «x» es la cuarta proporcional de m; 52 y n ⇒
x
n
52
m = …(α)
si «m» es la media proporcional de 52 y 13 ⇒
13
m
m
52 =
Entonces m2 = 52×13 m = 26
Se nota que: a = z.k(número de razones)
Si «n» es la tercera proporcional de 25 y 15 ⇒
n
15
15
25 =
Entonces n =
25
15×15
n = 9 Finalmente en (α)
x
9
52
26 =
∴x = 18
2. Dos números son entre si como 8 es a 5. si la razón aritmética de sus
cuadrados es 351. hallar el mayor de los números.
Si los números son entre si como 8 es a 5, ⇒ a = 8k y b = 5k
Luego: a + b = 13k y a – b = 3k
Pero a2 – b2 = 351 entonces (a + b)(a – b) = 351 …(a)
Al reemplazar los valores de la suma y la diferencia de «a» y «b» en (a), se
obtiene: 13k.3k = 351
k.k = 3.3
∴ k = 3
Finalmente: El mayor de los números es: a = 8×3 = 24
3. Dos números están en la relación de 2 a 7. agregando a uno de ellos 73 y 138
al otro se obtienen cantidades iguales. Hallar la suma de los números.
Si los números están en la relación de 2 a 7, ⇒ a = 2k y b = 7k
Agregamos «al menor 138 y al mayor 73», es decir:
a + 138 = b +73
Reemplazando los valores de «a» y «b»
2k + 138 = 7k + 73
∴k = 13
Finalmente: la suma: a + b = 9k, es decir: a + b= 117
4. Las edades de Antonio y beto están en la razón de 5 a 3. las edades de
beto y cesar están en la razón de 4 a 7. si la suma de las tres edades es
159 años. Hallar la edad de cesar.
Si
5 3
a = b y
4 7
b = c ⇒
5 4 3×4
b
x
a = y 4 3 7×3
c
x
b =
∴ a = b = c = k
20 12 21
Luego 3
53
159
53
= = =
+ + a b c k
Finalmente la edad de cesar será c = 21×3 = 63 años
5. Si
k
5!
c
4!
b
3!
a = = =
y además el producto de los antecedentes es 3×6!
Hallar el mayor de los 3 antecedentes.
a.b.c = 3×6! Entonces k3
3!x4!x5!
3×6! = ∴k =
2
1
Finalmente el mayor de los antecedentes es: c = 5!xk = 60
2
120 =
1. Dos números son entre sí como
7 es a 9. Si la media diferencial
entre ellas es 24, calcular la razón
aritmética entre ellos.
A) 2 B) 3 C) 4
D) 5 E) 6
2. En 50 litros de agua agregamos 2
Kg. de azúcar. ¿cuántos litros de
agua debemos adicionar para que
cada litro tenga 25 gr. de azúcar.
A) 20 B) 25 C) 30
D) 40 E) 50
3. Sabiendo que = 4

+
a b
a b . Y la
media aritmética de a y b es 8;
calcular el mayor de los números.
A) 6 B) 5 C) 9
D) 15 E) 10
4. Si Rebeca le diera 5 nuevos soles
a milagritos tendría tantos soles
como 5 es a 4; Pero si recibiera
10 nuevos soles de milagritos
la relación sería de 4 a 3. ¿Que
cantidad de nuevos soles tiene
Rebeca?
A) 530 B) 440 C) 380
D) 220 E) 525
5. Lo que gana y gasta un obrero
semanalmente es como 3 es a 2,
cuando gana 1320 nuevo soles.
Pero cuando gana 1400 nuevos
soles la relación es de 4 a 3.
¿Cuánto habrá ahorrado al cabo
PROBLEMAS PROPUESTOS
de seis semanas, si en cada una de
las tres primeras gano 1320 nuevos
soles?
A) 1050 B) 1870 C) 2320
D) 2370 E) 1320
6. En una urna hay 180 bolas, por
cada 4 bolas rojas hay 7 bolas
amarillas y 9 blancas. Entonces el
numero de bolas rojas es:
A) 9 B) 10 C) 36
D) 20 E) 90
7. Si :
7
= 13

+
a b
a b y
6
= 9

+
a c
a c ,
calcule la razón aritmética de a y
b si c = 24.
A) 11 B) 13 C) 78
D) 12 E) 84
8. Si: 9
9
7
7
5
5
4
4

+
=

+
=

+
=

+
d
d
c
c
b
b
a
a
Además a + b + c + d = 125; calcular
el «axd»
A) 200 B) 300 C) 400
D) 900 E) 600
9. A una fiesta acuden 120 personas.
Al sonar «el embrujo» ocurre que
las personas que bailaban y las que
no bailaban estaban en la relación
de 7 a 5. Si la relación de hombres y
mujeres que no bailaban era de 3 a
2. ¿Cuánto hombres no bailaban?
A) 25 B) 30 C) 48
D) 52 E) 60
10.Si k
n
v
v
r
r
p
p
e
e
c = = = = 3 = =
32
calcular «c + e + p + r + v + n»
además c < 3 A) 29 B) 53 C) 48 D) 35 E) 62 11. En un salón de clases la quinta parte de las mujeres es igual a la tercera parte de los hombres. ¿Qué parte del total representan las mujeres? A) 2/5 B) 3/8 C) 7/8 D) 5/2 E) 5/8 12. La edad de Rebeca es a la edad de Milagritos como 10 es a 7, ¿Cuál será la relación de sus edades dentro de 5 años, si hace 5 años fue como 3 es a 2. A) 11/8 B) 13/8 C)27/8 D) 5/12 E) 8/11 13. Ana comparte el agua de su balde con rosa y esta con lucy. Si lo que le dio ana a rosa es a lo que no le dio como 4 es a 5, y lo que dio rosa a lucy es a lo que no le dio como 5 es a 4. ¿en que relación se encuentra lo que no le dio ana a rosa y lo que recibió lucy? A) 4/9 B) 9/4 C) 5/4 D) 5/12 E) 4/5 14.En la siguiente proporción geométrica d c b a = , se cumple que a + d = 24; b + c= 18 además la suma de los cuadrados de los cuatro términos es 580. hallar (a + c) si a > d y b < c A) 18 B) 38 C) 30 D) 52 E) 81 15. En una reunión de camaradería por cada 5 hombres adultos que entran, ingresan 6 niños y por cada 3 mujeres adultas que entran ingresan 8 niñas. Si en total ingresaron 286 niños de ambos sexos y el número de hombres adultos es al de mujeres adultas como 7 es a 4. ¿Cuántas mujeres adultas asistieron? A) 48 B) 28 C) 37 D) 52 E) 60 16. La cuarta proporción de a, b y c es 3; y la tercera proporción de a y b es 9. Hallar el valor de «a + b + c» si b – c = 4 A) 14 B) 12 C) 15 D) 20 E) 17 17.En la serie k a d d c c b b a3 = = = = se cumple que a 12 c b + = hallar b+c+d A) 351 B) 375 C) 495 D) 550 E) 615 18.Se tienen dos terrenos de igual área, el primero es de forma cuadrada y el segundo, rectangular. Si uno de los lados del primero es al lado menor del segundo como 3 es a 2. ¿en que relación están sus perímetros? A) 17/18 B) 15/16 C) 12/13 D) 13/14 E) 49/50 19. Dos números son entre si como 9 es a 8. si el mayor de los números se triplica y el menor aumenta en 24, la razón se duplica. Hallar el mayor de los números. A) 60 B) 54 C) 48 D) 65 E) 45 20.Si = = = 3 f e d c b a y 27 2 2 = + df a c , Calcular: 2 2 ce b + d A) 3 B) 6 C) 9 D) 15 E) 18 21.Si: a b b c = , tal que: a – c = 12 y a3 − c3 = 4032 H a l l a r : a2 + b2 + c2 A) 306 B) 456 C)499 D) 336 E) 218 22.La suma de cuatro números enteros es 320 y los 2 primeros son entre si como 3 a 1, mientras que los dos últimos están en la relación de 9 a 5. Si la diferencia entre los dos primeros es 20,¿Cuál es el valor de la razón aritmética del mayor con el menor? A) 118 B) 130 C) 270 D) 150 E) 170 23. En una carrera de 200 metros Anita la gano a Juanita por 20 metros. En una carrera de 180 metros Juanita le gano a Rebeca por 30 metros. ¿Por cuantos metros ganara Anita a Rebeca en una carrera de 400 metros? A) por 100m B) por 110m C) por 50m D) por 75m E) por 150m 24. Si la suma de los cuadrados de 2 números es a la diferencia de los cuadrados de los mismos, como 29 es a 21. ¿Qué porcentaje del mayor es el menor? A) 48% B) 30% C) 50% D) 40% E) 60% 25.En una proporción geométrica de razón 3/5 la suma de los cuatro términos es 168 y la diferencia de los consecuentes es 35. Halle el menor de los antecedentes. A) 18 B) 13 C) 21 D) 15 E) 17 26. En una serie de 4 razones geomé t r i cas i g u a l e s , l o s antecedentes son a, 2a, 3a, 4a y el producto de los dos últimos consecuentes es 48. hallar la suma de los consecuentes. A) 10 B) 15 C) 25 D) 20 E) 35 27. La suma, diferencia y producto de dos números enteros están en la misma relación que los números 7; 1 y 48. Halle el mayor de los números. A) 12 B) 14 C) 16 D) 20 E) 18 28. La suma y diferencia de los términos de una razón geométrica están en la relación de 5 a 3. Si el producto de dichos términos es 64. Indicar al mayor de los números. A) 16 B) 14 C) 12 D) 10 E) 8 CLAVES 01. E 02. C 03. E 04. A 05. D 06. C 07. E 08. D 09. B 10. C 11. E 12. A 13. B 14. C 15. E 16. B 17. A 18. C 19. B 20. A 21. D 22. E 23. A 24. D 25. C 26. D 27. C 28. A 29. D 30. D 29. En un barco hay 9 hombres por cada 6 mujeres y en total 630 tripulantes. Al llegar al callao deben bajar 60 hombres y 30 mujeres. ¿Cual será la nueva relación entre hombres y mujeres que quedan en el barco? A) 13/16 B) 12/17 C) 35/53 D) 53/37 E) 37/61 30. En una fiesta hay 420 personas, entre hombres y mujeres. Si en determinado momento se nota que bailan 30 parejas. ¿Cuál sería la relación entre los hombres y mujeres que no bailan? Sabiendo que por cada 3 hombres hay 4 mujeres. A) 1/6 B) 2/7 C) 5/3 D) 5/7 E) 3/7 Concepto Denominamos PROMEDIO, a un número representativo de un conjunto de datos numéricos finitos o numerables. Esta comprendido entre el menor y mayor valor de los datos. a1< a2 < a3…… 60 % anual
* 7% bimestral < > 42 % anual
* 10 % Trimestral < > 40 % anual
2. En Interés Simple, el capital permanece constante a lo largo de todo
el proceso, por lo que en los mismos tiempos generan los mismos
intereses.
Ejemplo: Caso General:
Se presta S/. 100 en 3 años al 10% anual. Calcular el interés y el monto.
1 año 1 año 1 año

I = S/. 10

I = S/. 10

I = S/. 10
C = 100 r = 10%
Entonces: I = 30
M = 100 + 30 M = 130
* Siempre se gana S/. 10 por año (10% de 100)
  
3. Se debe tener en cuenta que:
Mes Comercial : 30 días
Año Comercial : 360 días
Año Común : 365 días
Año bisiesto : 366 días
PROBLEMAS RESUELTOS
1. ¿Qué interés produce un capital de S/. 120 000 durante 2 meses y 10 días,
colocado al 12% trimestral?
C = 120 000 ; t = 2 meses 10d < > 70 días.
r = 12% trimestral < > 12 x 4 = 48% anual.
Fórmula: I = 36000
c.t.r. ; «t» en días
I = 36000
120000 .70.48 I = 11 200
2. Un capital se impone al 20% semestral. ¿Luego de cuántos años se ha de
quintuplicar?
C M=5C

I = 4C
t = ?
Si: r = 20% semestral < > 20 x 2 = 40% anual.
Por fórmula: I : 4C = 100
C.t.40 («t» en años)
10 años = t
3. Un capital es impuesto al 50%. ¿En cuántos meses produce el 25% del
monto?
r = 50% anual ; t =?
El «C» produce un interés: I = 25% M
I = 1K
4
1
100
25
M I
= = M = 4k
Si = I + C = M C = 3k
En la formula de Interés simple («t» en meses)
I : 1k =
1200
3k.t.50 Resolviendo: t = 8 meses
4. La tercera parte de un capital se coloca al 9% de interés simple. ¿A qué
tanto por ciento deberá colocarse el resto para obtener un beneficio total
del 11% anual de dicho capital?
Capital = 3k
Beneficio: I = 11% (3k) ; t = 1 año
De los datos: I1 + I2 = I total.
Reemplazando: (3k)
100
1
100
210.1.x
100
k.1.9 + =
9k + 2k x = 33 k
2k x = 24k x = 12
5. Se impuso un capital por dos años y el monto fue 6000. Si se hubiera
impuesto por 3 años más, el monto hubiera sido 9000. ¿Cuál fue la tasa de
interés?



C1 = k ; r = 9%
C2 = 2k ; r = x%   
I

I

I

I

I

1 año 1 año 1 año 1 año 1 año
M1=6000 M2=9000
C
En «I» simple en tiempos iguales (1 año) le ganan los mismos intereses; luego,
del gráfico:
C + 2 I = 6000 … (1)
C + 5 I = 9000 … (2)
Restando: 3 I = 3000 I = 1000
En (1): C = 4000
Luego el «I» en 1 año:
I : 1000 =
100
4000.1.r r = 25%
1. Dos capitales que estan en relación
de 21 a 10 se han colocado al 6%
y 8%. Si los capitales e intereses
suman s/. 105260 al cabo de 10
años y 6 meses. Encontrar la
diferencia de los capitales
A) 20000 B) 21000 C) 22000
D) 24000 E) 25000
2. Calcular el interés producido por s/.
6000 impuestos al 0,5% mensual
durante 2 años, 8 meses y 6 días.
A) s/. 696 B) s/.1922 C) s/. 966
D) s/.1026 E) s/.1251
3. Un capital de s/. 55900 se divide en
3 partes las cuales son impuestas al
30%, 45% y 25% respectivamente
y resulta que producen un mismo
interes anual. ¿Calcular la parte
impuesta al 25%?
A) s/.23100 B) s/.23400
C) s/.23520 D) s/.23800
E) s/.24320
4. Determinar el capital depositado
en el regimen de interes simple a
una tasa del 8% bimestral, si se
sabe que despues de 6 trimestres
el monto generado fue s/. 9288.
A) 15975 B) 6275 C) 13746
D) 5400 E) 5200
5. Un capital colocado durante cierto
tiempo al 4% produce un montode
14400 soles. Colocando el mismo
capital al 5% durante un año menos
daría un interés de 2400 soles.
calcular el capital.
A) 11500 B) 12000 C) 12500
D) 13000 E) 13500
PROBLEMAS PROPUESTOS
6. ¿Durante cuanto tiempo se
debe colocar un capital al 60%
semestralpara que el monto sea el
180% del capital?
A) 8 meses B) 9 meses
C) 8 años D) 12 meses
E) 9 años
7. Una persona luego de imponer
un capital por un año y 8 meses
al 6% decide repartir los intereses
producidos entre sus 3 sobrinos. a
uno de ellos le dá 1/3, al segundo
los 3/8 y al tercero el resto. Calcular
el capital de dicha persona sabiendo
que si el tercer sobrino impone su
parte al 80% de interes simple
ganaría en un año y 3 meses,
50 soles menos que la parte del
segundo sobrino.
A) 8000 B) 1000 C) 6000
D) 2000 E) 9000
8. Un capital se impone al 20% anual
. al final del primer año se retiran
los intereses y una parte del capital
igual a los intereses lo mismo
se hace al final del segundo año
quedando el capital disminuido en
s/. 108000 ¿Cuál es el valor del
capital?
A) S/.200000 B) S/.100000
C) S/.400000 D) S/.500000
E) S/.300000
9. Un capital produce un interes al
cabo de cierto tiempo en el cual
se observa que la diferencia entre
el capital y el interés equivale al
32% de dicho capital. calcular que
interés produce un capital de s/.
480 en la cuarta parte del tiempo
anterior con una tasa del 25%
menor que el anterior
A) 68 B) 72,4 C) 51,6
D) 92 E) 48,6
10. Dos capitales cuya diferencia es
de s/. 15000 producen un interés
de s/. 3750 anualmente y estan
colocados al 5% y al 4%. ¿Cuales
son dichos capitales?
A) 35000 y 50000
B) 40000 y 55000
C) 38000 y 53000
D) 25000 y 40000
E) 45000 y 60000
11. Hallar el capital de una persona
sabiendo que los 2/5 impuestos al
4% y los 3/7 al 5% dan una renta
anual de s/. 5200.
A) s/.112000 B) s/. 120000
C) s/.140000 D) s/. 148000
E)s/. 150000
12. Un capital impuesto al 15%
trimestral de interés simple produce
anualmente s/. 3000 mas de
interés que si se impusiese al 55%
anual. ¿Cual es dicho capital?
A) 60000 B) 65000 C) 68000
D) 69000 E) 70000
13.Una persona coloca 3/7 de su
capital al 30% mensual y el resto
al 20% mensual obteniendose
luego de 3 meses un monto de
s/. 121000. ¿Cual era el capital
inicial?
A) 11000 B) 100000 C)90000
D) 80000 E)70000
14. Se ha colocado a interés simple
una cantidad al 6% y otra al 8%.
el primero es al segundo como 3/2
es a 7/5, los capitales e intereses
reunidos al termino de 10 años y 6
meses dá: s/. 100420. ¿Cual es el
menor de los capitales?
A) 40000 B) 30000 C)28000
D)33000 E) 14000
15. Andrea tiene s/. 400 que presta
al 10% mensual. Fabiola tiene s/.
600 que presta al 10% bimensual.
¿Dentro de cuantos meses los
montos seran iguales?
A) 30 B) 20 C) 16
D) 24 E) 27
16. Un capital de s/. 30000 estuvo
impuesto durante cierto tiempo al
8% anual; al cabo del cual se retira
la totalidad del monto y se impone al
10% durante un tiempo que supera
en 5 mese al anterior; produciendo
un interés de s/. 11590. Hallar el
tiempo de esta última imposición.
A) 3años 1 mes
B) 3años 2meses
C) 2años 9meses
D) 3 años 5 meses
E) 2años 10 meses
17. Dos capitales fueron impuestos
al mismo tiempo a dos tasa que
estan en relación de 5 a 4; despues
de un tiempo se observa que los
intereses producidos hasta ese
momento estan en razon inversa
al de las tasas. ¿En que relación
estaban los capitales?
A) 5:4 B) 25:9 C) 25:7
D) 25:16 E) 36:49
18. Un negociante presta s/. 4800 al
2,5% trimestral y al momento del
reembolso recibe un total de s/. 5880.
¿Cuánto tiempo duró el prestamo?
A) 2 años
B) 2 años y 3 meses
C) 2 años y 4 meses
D) 2 años y 6 meses
E) 3 años
19. Una persona coloca los 3/7 de
su herencia al 5% y el resto lo ha
dividido en dos partes, colocando
la primera al 6% y la segunda al
3% produciendo ambos el mismo
interés. Si se obtiene una renta
de s/.1860. Calcular el valor de la
herencia
A) 40000 B) 41000 C) 42000
D) 43000 E) 44000
20. Si a un capital se le suma sus
intereses de 15 meses, se halla
un nuúmero que es a este capital
como 682 es a 620. ¿ A que tanto
por ciento fué colocado?
A) 6 B) 6,66 C) 8
D) 8,5 E) 9,3
21. La R.A de dos capitales es de s/.
1500; se impone el mayor al 3%
y el otro al 4% de interes simple
durante 18 meses, luego de ese
tiempo los montos son iguales. El
menor capital es:
A) 300000 B) 25500 C) 2650
D) 600000 E) 104500
22. Un capital prestado al 5% mensual
durante 4 meses, produce un interés
de s/.800; ¿Que interés producirá
el mismo capital a una tasa del 3%
bimestral en 8 meses?
A) 450 B) 480 C) 2800
D) 3200 E) 3600
25. A dos estudiantes se les dejo que
calcularan los intereses producidos
por un capital al 4% durante 219
días y presentaron los resultados
con una diferencia de 3 soles
debido a que uno de ellos hizo
el calculo con un año comun.
Determinar el capital.
A) s/.10000 B) s/.6000 C)s/.9000
D) s/.12000 E) s/. 7000
26.¿Que interés produce un capital
de s/. 120000 durante 2 meses
y 10 días, colocando al 16%
cuatrimestral?
A) s/.12000 B) s/.11200
C)s/.10000 D) s/.11800
E) s/.13500
27. Si se hubiese depositado un capital
al 5% en lugar de 3% se hubiese
ganado 200 soles mas. ¿Cual es el
interés que se hubiese ganado en
el mismo plazo si la tasa hubiera
sido 10%?
A) s/.1000 B) s/.1200 C)s/.2000
D) s/.3000 E) s/.3400
23. Se impone s/. 36000 en dos
bancos una parte al 8% y la otra
al 6% obteniendose anualmente
s/. 2620 de ganacia. Hallar la
segunda parte
A) s/.12000 B)s/.13000
C) s/.14000 D) s/.16000
E) s/. 26000
24. ¿En cuanto tiempo un capital
impuesto al 1% quincenal, se
triplicará?
A) 6años y 2 meses
B) 7años y 4 meses
C) 7 años y 6 meses
D) 8 años
E) 8 años y 4 meses
CLAVES
01. C 02. C 03. B 04. D 05. B 06. A 07. C 08. E 09. C 10. A
11. C 12. A 13. E 14. C 15. B 16. E 17. D 18. B 19. C 20. C
21. E 22. B 23. B 24. E 25. C 26. B 27. A 28. B 29. E 30. B
28. ¿En cuánto se convertirá s/. 7200
impuesto al 17% trimestral en 5
meses?
A) s/.84200 B) s/.9240
C)s/.942000 D) s/.9500
E) s/.9540
29. 3 persona imponen sus capitales
que estan en la misma relación
que sus edades que son: 20, 25
y 21 años. al 15%, 20% y 22/7%
respectivamente. Calcular la suma
de los intereses que produciran los
capitales en un año. Si la suma de
los capitales es s/. 1320
A) s/.169,42 B) s/.178,85
C) s/.165,2 D) s/.163,8
E) s/.173,2
30. ¿Cuanto tiempo ha estado
impuesto un capital de s/. 4000
para que al 9% produzca 23
soles?
A) 20 días B) 23 días C) 26 días
D) 39 días E) 46 días
I. CONCEPTO
Hablando estrictamente, se considera al «Conjunto» como un concepto no
definido, acostumbrándose a usar como sinónimos de conjuntos a las palabras:
«colección», «reunión», «agregado», etc.
Es por ello que podemos afirmar que la palabra «conjunto» nos da la idea
de agrupación de objetos homogéneos de posibilidades reales o abstractas.
Los integrantes que pertenecen a la agrupación se les llaman «ELEMENTOS»
del conjunto.
II. NOTACIÓN
«A» es el conjunto cuyos elementos son las letras del alfabeto.
A = {a, b, c, ………., z}
III.CARDINAL DE UN CONJUNTO (n)
El cardinal de un conjunto viene a ser el número de elementos que posee
un conjunto.
n(A) …. Se lee: «Numero de elementos del conjunto A»
EJEMPLO:
A = {2; 4; 6; 8; 10} n(A) = 5
B = {1; 1; 2; 2} n(B) = 2
C = {{2; 3}; {7; 8}} n(C) = 2
IV. RELACIÓN DE PERTENENCIA (∈):
Es aquella que relaciona a todos y cada uno de los elementos de un conjunto,
dicho conjunto.
Elemento ∈ Conjunto
Ejemplos:
* A = {5, 10, 15, 20, 25} 5 ∈ A : «5 pertenece al conjunto A»
También: 10 ∈ A ; 20 ∈ A ; 21 ∉ A.
* B = {2; 3; {4}; 5} 2 ∈ B ; 3 ∈ B ; 5 ∈ B ; 4 ∉ B ; {4} ∈ B
UNIDAD 7
Teoría de conjuntos
V. DETERMINACIÓN DE CONJUNTOS:
1. Por Comprensión o de forma constructiva. Cuando se define al conjunto
enunciando una o más propiedades comunes se caracterizan a los elementos
de dicho conjunto.
2. Por Extensión o de forma tabular: Es cuando se enumeran uno a uno
todos o algunos de los elementos del conjunto.
Ejemplo:
A) Determinar el conjunto de las vocales.
B) Determinar el conjunto de los números impares menores que 16.
SOLUCIÓN
* Por Extensión: * Por Comprensión:
A = [a, e, i, o, u] A = [x /x es una vocal]
B = [1, 3, 5, 7, 9, 13, 15] B = [x/x es un numero impar, x < 16] OBSERVACIÓN: x/x se lee: «x es un elemento del conjunto tal que x «. VI. RELACIONES ENTRE CONJUNTOS 1. INCLUSIÓN (⊂). Se dice que un conjunto «A» está incluido en un conjunto «B»; todos los elementos de «A» pertenecen a «B». Ejemplo: Si: A = {a, b, {c}} y B = {a, b, {c}, d} * A ⊂ B También: «A está incluido en B» * {a, b} ⊂ A ; * {c, d} ⊄ B «A es parte de B» * {b, {c} } ⊂ A ; * {A} ⊄ A «A está contenido en B» «A es subconjunto de B» OBSERVACIÓN: Convencionalmente se considera que el conjunto vacío (φ) está incluido en todo conjunto. φ ⊂ A ; φ ⊂ B * SUBCONJUNTO: Sea el conjunto A, es subconjunto de A todo conjunto incluido en el conjunto A. Ejemplo: Si: A = {a, b, c} Subconjuntos de A: {a}; {b}; {c}; {a, b}; {a, c}; {b, c}; {a, b, c}; φ Entonces «A» tiene 8 subconjuntos. Nº de Subconjuntos de A = 2n(A) 2. SUBCONJUNTO PROPIO. Dado un conjunto «A», un subconjunto propio de «A» es todo aquel subconjunto de «A», excepto el que es igual a él. Nº de Subconjuntos Propios de A = 2n(A) – 1 IGUALDAD DE CONJUNTOS. Se dice que dos conjuntos son iguales si tienen los mismos elementos. A = B ⇔ A ⊂ B y B ⊂ A EJEMPLO: Si: A = {1, 3, 5, 7, 9} A = B B = {x ∈ N / X impar < 10} EJEMPLO: Si A y B son conjuntos iguales, hallar X+Y Si: A = {2x – 1; 27} y B = {3 y-1; 31} RESOLUCIÓN Los elementos de A son los mismos que los del conjunto B; entonces se deduce: * 2x-1 = 31 * 27 = 3y-1 2x = 32 33 = 3y-1 x = 5 3 = y-1 y = 4 ∴ x + y = 9 3. CONJUNTOS DISJUNTOS. Dos conjuntos son disjuntos cuando no tiene elementos comunes. EJEMPLO: P = {2; 4; 6; 8} ; I = {1; 3; 5; 7} VII. CLASES DE CONJUNTOS POR EL NÚMERO DE ELEMENTOS: 1. CONJUNTO UNITARIO. Es aquel conjunto que consta de un solo elemento. S = {X ∈ N / 3 < X < 5} X = 4 S = {4} n (S) = 1 EJEMPLO: Si: A = {a2 – 6; a + b; 10} es Unitario. Hallar: a x b; si aN RESOLUCIÓN Los 3 elementos son los mismo (iguales). * a2 - 6 =10 * a + b = 10 a2 =16 a x b = 24 a = 4 2. CONJUNTO VACÍO (φ; { }). Es aquel conjunto que no posee elementos; también se le denomina conjunto nulo. Por convención se acuerda que el conjunto vacío es un subconjunto de cualquier otro conjunto. (V A; φ A). R = {x ∈ N / 5 < x < 6} no hay valor para «x» R = { } = φ n(R) = 0 3. CONJUNTO FINITO. Es un conjunto con una limitada cantidad de elementos. Se puede determinar por extensión. F = {x ∈ Z / 3 < x < 12} F = {4; 5; 6; .......; 11} 4. CONJUNTO INFINITO. Es aquel conjunto que tiene una cantidad ilimitada de elementos: A = {x / x ∈ Z; x > 0}
A= {1, 2, 3, 4, ……} n(A) = ∞
VIII. OTROS CONCEPTOS:
1. CONJUNTO UNIVERSAL (U). Es un conjunto de referencia; para el análisis
de una situación particular, se elige en forma arbitraria.
Ejemplo:
A = {x / x es una gallina}
4 6
Puede tomar:
U = {x / x es un ave} o U = {x / x es un vertebrado}
2. CONJUNTO POTENCIA [P(A)]. Dado un conjunto A, el conjunto potencia
de A [P(A)] es aquel que está formado por todos los subconjuntos de A.
Si: A= {a, b, c}
P(A) = {{a}, {b}, {c}, {a, b}, {a, c}, {b, c}, {a, b, c}, φ}
Luego: P(A) tiene 8 elementos
n [P(A)] = 2 n(A)
Ejemplo:
¿Cuántos elementos tiene el conjunto potencia de C?
C = {2, 4, 6, 8, 10}
Resolución:
Como n(C) = 5 n [P(C)] = 2 5 = 32
IX.DIAGRAMAS DE VENN–EULER
Son regiones planas cerradas, circulares, rectangulares, etc. Que nos
permitirán representar gráficamente a los conjuntos.
Ejemplo:
Dados los conjuntos:
A = {2, 4, 6} ; B = {3, 4, 5} ; C = {7, 8, 9} ; U = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10}
3
5
4
A C
9
7
8
B
2
6
X. DIAGRAMA DE CARROLL
Con mayor utilidad para conjuntos distintos.
APLICACIÓN:
En un salón de 90 alumnos, 35 son mujeres, 62 son deportistas, y 12 son
mujeres no deportistas. ¿Cuántos hombres no son deportistas?
Resolución:
M = 35 H = 55
Dep. = 62
No Dep.= 28 12 X No Deportistas:
90 12 + X = 28
X = 16
PROBLEMAS RESUELTOS
1. Dado: C = {m + 3/ m ∈ Z; m2 < 9} Calcular la suma de elementos del conjunto C Si: m ∈ z y m2 < 9 ↓ ↓ -2 4 -1 1 0 0 1 1 2 4 Si: Elementos: (m + 3) C = {1; 2; 3; 4; 5} ∴ Σ elementos: 15 2. Se tiene dos conjuntos donde uno está incluido en el otro; la diferencia de los cardinales de sus conjuntos potencias es 112. Indique el número de elementos que posee el conjunto que incluye al otro. Conjuntos A y B (B ⊂ A) Si: n(B) = x y n(A) = x + n Dato: n [P(a)] – n [P (B)] = 112 2x+ n – 2x = 112 = 16.7 2x . (2n – 1) = 24 . (23 – 1)   Luego: X = 4 y n = 3 ∴ n(B) = 4 y n (A) = 4 + 3 = 7 3. Si: A = {x/x ∈ Z ^ 10 < x < 20} B = {y+5 / y ∈ Z ( y + 15) ∈ A} ¿Cuál es la suma de los elementos de B? El Conjunto A, determinado por extensión, es: A = {11; 12; 13; 14; 15; 16; 17; 18; 19} En el conjunto B, como ( y +15) ∈ A 10 < y +15 < 20 -5 < y < 5 y = 0, 1, 2, 3, 4 porque y ∈ Z y = 0, 1, 4, 9, 16 Luego: B = {5; 6; 9; 14; 21} ∴ Suma de elementos de B = 55 1. Dado el conjunto B = {14; {2};φ ; {7; 15}} {2} ⊂ B {14} ∈ P(B) {7; 15} ∈ B φ ∈ Β φ ⊂ Β {14; φ} ⊂ B 14 ⊂ B 14 ∉ B {{2}; 14} ∈ P(B) ¿Cuántas proposiciones son falsas? A) 3 B) 1 C) 5 D) 4 E) 6 2. Determinar por extensión el siguiente conjunto: A = {(3x – 3) / x ∈N ∧ 0 ≤ x ≤ 4} A) {0; 1; 2; 3} B) {1; 2; 3} C) {0; 3; 6} D) {0; 3; 6; 9} E) { -3; 0; 3; 6} 3. Si A = {(x2 + 4) / x ∈Z ∧ -4 < x < 6}. Hallar n(A) A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 E) 8 4. Si B = {(x + 1) / x ∈N ∧ 3x < x + 14}. Dar como respuesta el cardinal de B. A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 E) 8 5. Calcular (b - a) si E es un conjunto unitario. E = {4a+1; 2b+a; 3a+4} A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 6. Dados los conjuntos A = { 1; 2; 3; 4; 5; 6} y B = { 0; 1; 4; 6; 7; 8; 9}. Sea «m» el número de subconjuntos no vacios de A que son disjuntos con B y «n» lo análogo de B a A. Hallar «m + n» A) 7 B) 7 C) 22 D) 24 E) 26 PROBLEMAS PROPUESTOS 7. Una señora sale a pasear todos los días con dos o mas de sus perritos. Con mucho cuidado, procuró llevar cada día un grupo diferente. Si en total tiene 10 perritos. ¿Al cabo de cuantos días tendrá que llevar necesariamente a un grupo repetido? A) 10 B) 11 C) 12 D) 13 E) 14 8. dados los conjuntos: A = { 3 2a +1 / 2 a ∈N ∧ 1 ≤ a ≤ 9} B = { 3 2b −1 / b ∈ N; 2 < b ≤ 6} Determinar: E = [n(B)]n(A) + n(A). A) 270 B) 120 C) 200 D) 180 E) 260 9. Dado los conjuntos iguales: A = { a+2; a+1}, B = {b+1; c +1}, C = {7 -a; 8-a} y D = {b+2; d+3}. Hallar «a+b+c+d» si además b ≠ d A) 10 B) 11 C) 12 D) 13 E) 14 10. ¿Cual es la suma de los elementos del conjunto A? si: A = {2x / (3x+1) ∈ N y 4 < x < 8} A) 36 B) 165 C) 116 D) 160 E) 132 11. Sean 2 conjuntos comparables cuyos cardinales se diferencian en 3. ademas la diferencia entre los cardinales de sus conjuntos potencia es 112. Indique el número de términos que posee el conjunto que incluye al otro. A) 5 B) 4 C) 7 D) 6 E) 9 12.¿Cuántos subconjuntos ternarios tiene un conjunto cuyo cardinal es 12? A) 220 B) 224 C) 218 D) 216 E) 200 13. Dados los conjuntos: A = {x / x ∈ Z ∧ -3 ≤ x ≤ 10} B = x / x ∈ N ∧ y = 2x – 3 ∧ y ∈ A} C = {x / x ∈ B ∧ 4 < x + 3 < 7} hallar la suma de los elementos del conjunto C A) 2 B) 3 C) 5 D) 8 E) 11 14. El conjunto A tiene 14 subconjuntos ternarios más que binarios. ¿Cuántos conjuntos unitarios tiene A? A) 5 B) 6 C) 7 D) 8 E) 9 15. Hallar la suma de los elementos de M = {a / 2 a −1 ∈ N; a < 73} A) 111 B) 113 C) 110 D) 115 E) 116 16. dado el conjunto: A = {4; 8; φ; {4}; {2; 7}; {φ} } Determinar cuántas de las siguientes proposiciones son verdaderas: {2; 7} ∈ A {{4}} ∈ A {4; 8; φ } ⊂ Α {4; 8} ⊂ Α {2; 7} ⊂ Α {{ φ}} ⊂ Α φ ∈ A {{4}; {2;7}}⊂A A) 5 B) 4 C) 7 D) 3 E) 6 17. Dado el conjunto unitario: A = {3a - 3b + 2;a + b; 14}; Determinar el número de subconjuntos propios de B = {a; 2a; b; 2b - 1} A) 7 B) 15 C) 31 D) 63 E) 8 18. Dar la suma de los elementos de A = {2x/ x ∈ N; 10< 3x + 2 < 18} A) 19 B) 18 C) 24 D) 26 E) 23 19. Si P = {x2-1/-6< 5 5x + 2 <6;x∈ Z+} Determinar el número de subconjuntos. A) 16 B) 64 C) 32 D) 8 E) 128 20. si: Q = { 4 3x −1 ∈Z/1< x < 3; x ∈ N} hallar la suma de elementos de Q A) 35 B) 15 C) 12 D) 11 E) 7 21. Sea A = {m + n; 4} un conjunto unitario y B = {2m-2n; m+n} tiene un cardinal igual a 1. Hallar el valor de m/n. A) 3 B) 4 C) 6 D) 5 E) 0 22. Hallar la suma de elementos de: B = { 4 2 16 − − n n / n ∈ Z; 0 < n ≤ 5} A) 35 B) 36 C) 27 D) 0 E) 25 23. Sean los conjuntos: A = {2x / x ∈ Z; 0 < x < 6} B = { 2 x + 4 / x∈A} C = { 3 2y +1 ∈Z / y∈B} Hallar el cardinal de P(C) A) 4 B) 8 C) 9 D) 16 E) 32 24. dado el conjunto: A = {x + 4 / x ∈ N; x2 < 16} calcular la suma de los lementos de A. A) 10 B) 16 C) 19 D) 27 E) 28 25. ¿Cuántos subconjuntos propios tiene aquel conjunto que tiene 35 subconjuntos ternarios? A) 127 B) 63 C) 31 D) 1023 E) 511 26. Dado el conjunto: A = { x −1 x / x ∈ Z; -3 < 1 2 1 + − x x ≤ 1} ¿Cuál es la suma de los elementos de A? A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6 27. Un «gordito» ingresa a un restaurante en el cual sirven 6 platos distintos y piensa «me gustan todos pero debo llevar como mínimo 2 platos y 5 como máximo» ¿De cuántas maneras puede escoger el «gordito»? A) 64 B) 56 C) 32 D) 26 E) 120 28. Si A y B son conjuntos unitarios ¿Cuántos elementos tiene C? A = {a+2b; 17} B = {3a+b; 16} C = {x / x ∈ N; a ≤ x ≤ b} A) 5 B) 6 C) 7 D) 4 E) 2 29. Considere los conjuntos: A = {x / x ∈ Z; 0 ≤ x < 10} y B = {2n ∈ A / (n/3) ∈ A } ¿Cuántos subconjuntos tiene el conjunto P(B)? A) 16 B) 4 C) 8 D) 32 E) 64 30. Dados los conjuntos: A = {x / x ∈ Z; 8 ≤ x ≤ 19} B = {y+4 / y∈ N; (2 y - 1) ∈ A} Hallar la suma de elementos del conjunto B A) 350 B) 379 C) 129 D) 252 E) 341 CLAVES 01. A 02. E 03. C 04. D 05. B 06. C 07. E 08. E 09. B 10. E 11. C 12. A 13. C 14. C 15. D 16. E 17. A 18. C 19. B 20. E 21. A 22. C 23. A 24. E 25. A 26. A 27. B 28. A 29. A 30. B I. UNIÓN (A∪B) Se llama unión de dos conjuntos «A» y «B» al conjunto formado por aquellos elementos que pertenecen por lo menos a uno de dichos conjuntos «A» o «B». El conjunto unión de «A» y «B» lo denominaremos A∪B. A ∪ B = {x/x ∈ A ∨ x ∈ B} Ejemplo: Dados los conjuntos: A = {4; 6; 8} B = {8; 9; 11} DIAGRAMAS: A∪B = {4; 6; 8; 9; 11}    II. INTERSECCIÓN (A∩B) Se llama intersección de los conjuntos «A» y «B» al conjunto de todos los elementos que pertenecen a la vez a los conjuntos «A» y «B».. En símbolos: A ∩ B = {X / X ∈ A ^ X ∈ B} Ejemplo: Dados: A = {3; 5; 8} B = {1; 2; 3; 5; 6; 9} A∩B = {3; 5}    A B=B A ∩B= ∅ UNIDAD 8 Operaciones con conjuntos III.DIFERENCIA (A – B) Se llama diferencia de dos conjuntos «A» y «B» (A – B) al conjunto formado por todos los elementos de «A» que no pertenecen a «B». En símbolos: A – B = {X / X ∈ A ^ X ∉ B} Ejemplo: Dados: A = {6; 8; 10; 12; 15} B = {5; 6; 12; 14} DIAGRAMAS: A – B = {8; 10; 15}    IV. DIFERENCIA SIMÉTRICA (AΔB) Se llama diferencia simétrica de los conjuntos «A» y «B» (AΔB) al conjunto formado por todos aquellos elementos que pertenecen solamente a uno de dichos conjuntos. En símbolos: A Δ B = (A – B) ∪ (B – A) o también AΔB = (A ∪ B) – (A ∩ B) Ejemplo: Dados: A = {6; 4; 2; 8} B = {3; 4; 5; 6; 7} DIAGRAMAS: A Δ B = {2; 8; 3; 5; 7}    A – B V. COMPLEMENTO (A’); (AC); C(A) Si U es un conjunto universal y A ⊂ U, llamaremos complemento de «A» al conjunto diferencia: U - A A’ = {x/x ∈ U ∧ X ∉ A} Ejemplo: Si: U = {0; 1; 2; 3; 4; ...; 9} y A = {3; 5; 8; 9} DIAGRAMAS: A’ = {0; 1; 2; 4; 6; 7} LEYES: * A ∪ A’ = U * A ∩ A’ = φ * (A’)’ = A LEYES DE MORGAN: * (A ∪ B)’ = A’ ∩ B’ * (A ∩ B)’ = A’ ∪ B’ PROBLEMAS RESUELTOS 1. Para 2 conjuntos A y B se conoce: n(A) – n(B) = 2 n(A – B) = n(A’) n([P(A’)]) = 128 n[U] = 17 Si: U: Conjunto Universal Hallar: n[P(B)] Si: n[P(A’)] = 128 2n(A’) = 27 ⇒ n(A’): y + z = 7 Total: 7 + x + y + z =17 ⇒ x = 3 n(A) = 10 Si: n(A) – n(B) = 2 ⇒ n(B) = 8 ∴ n[P(B)] = 28 = 256 A B 7 x y 17 z n(A’) = 7 y n(A – B) = 7  2. En una ciudad el 60% de la población va al cine y el 35% va al teatro. Si el 20% de la población va al cine y también al teatro, ¿Qué porcentaje no va al teatro ni al cine? U = población 〈 〉 100% C = van al cine T = van al teatro X = (C ∪ T)’ = No A o B Graficando: x = 100% - (40%+20%+15%) x = 100% - (75%) x = 25% 3. De un grupo de 100 alumnos; 49 no llevan curso de Aritmética, 53 no llevan Álgebra y 27 no llevan Álgebra ni Aritmética. ¿Cuántos alumnos llevan un solo curso? Graficando: X = Aritmética y Algebra No Arit. = b + 27 = 49 b = 22 No Alg. = a + 27 = 53 a = 26 ∴ Llevan sólo uno de los cursos: a + b = 48 4. En un grupo de 55 personas; 25 hablan Inglés; 32 Francés; 33 Alemán y 5 los tres idiomas. Si todos hablan por lo menos un idioma, ¿Cuántas personas del grupo hablan exactamente 2 de estos idiomas? Graficando: I: P + X + Z = 20 F: Q + X + Y = 27 A: R + Y + Z = 28 (P+Q+R)+2(X+Y+Z) = 75 .... 1 TOTAL: (P+Q+R) + (X+Y+Z) = 50 ..... 2 Resta (1)-(2): (X+Y+Z) = 25    + 5. En cierta universidad se requiere que los estudiantes del primer ciclo de Economía cursen Matemática, Contabilidad y Economía. En un grupo de 500 de estos estudiantes, se conoce que 300 cursan Matemáticas, 200 Contabilidad y 250 Economía. Si 140 cursan Matemática y Economía, 90 Matemática y Contabilidad, 50 Contabilidad y Economía, ¿cuántos cursan las 3 materias? M: (a+140–X) + 90 = 300 a = 70 + X C: (b + 50- X)+ 90 = 200 b = 60 + X E: (c+140–X)+ 50 = 250 c = 60 + X TOTAL:  300 (60 x) (50 - x) (60 x) 500 M b c + + + + + =   470 + X = 500 X = 30  210  110  200 1. En una escuela de 600 alumnos, 100 no estudian ningun idioma extranjero, 450 estudian frances y 50 estudian frances e ingles. ¿Cuántos estudian solo ingles? A) 150 B) 100 C) 50 D) 200 E) 60 2. En un grupo de 55 personas, 25 hablan ingles, 32 frances, 33 aleman y 5 los tres idiomas. Si todos hablan por lo menos un idioma ¿Cuántas personas del grupo hablan exactamente 2 de estos idiomas? A) 21 B) 22 C) 23 D) 24 E) 25 3. Del total de damas de una oficina. 2/3 son morenas, 1/5 tienen ojos azules y 1/6 son morenas con ojos azules ¿Que fracción no son morenas ni tienen ojos azules? A) 1/3 B) 2/5 C) 3/10 D) 7/10 E) 3/5 4. En un grupo de 35 personas, 24 hablan ingles, 21 frances y 21 aleman, y 8 hablan los 3 idiomas . ¿Cuántas personas hablan solo 2 de estos idiomas? A) 15 B) 13 C) 14 D) 22 E) 23 5. En una encuesta realizada se obtuvieron los siguientes resultados: El 50% usa el producto A El 60% usa el producto B El 50% usa A ó B pero no ambos 60 personas no usan estos productos. El númeo de personas encuestadas es. PROBLEMAS PROPUESTOS A) 200 B) 150 C) 350 D) 300 E) 250 6. En un aula 40 alumnos tiene el libro de Aritmética, 30 el de Física, 30 el de Geometría. ademàs: -A 12 de ellos les falta solo el libro de Física. -A 8 solo el de Geometría. -A 6 solo el de Aritmética. -5 alumnos tienen los tres libros y 6 no tiene ninguno. ¿Cuántos alumnos hay en el aula? A) 50 B) 70 C) 90 D) 60 E) 80 7. En un salon de 40 alumnos el número de los que estudian Aritmética es el doble del número de los que estudian Aritmética y Algebra y el número de los que estudian Algebra es el quintuple de los que estudian Aritmética y Algebra. Si hay 10 que no estudian estos cursos ¿Cuántos estudian ambos? A) 25 B) 5 C) 35 D) 20 E) 15 8. En un salon de clases el 60% de alumnos trabaja, el 32% son mayores de edad y la quinta parte de los que trabajan son mayores de edad. ¿Que porcentaje son menores de edad y no trabajan? A) 20% B) 30% C) 40% D) 50% E) 10% 9. Si: A = {x ∈ N / 9 ≤ x2 ≤ 300} y B = {x ∈ N / x ≤ 3x – 2 ≤ 20} hallar: n[(A∪B) – (A∩B)] A) 10 B) 12 C) 14 D) 16 E) 17 10. dados los conjuntos A, B y C tales que A ⊂ B y C∩A = ∅ simplifique: [A∪(B – C)]∩[B∪(C – A)] A) A∩B B) A - B C) B - A D) B - C E) C - B 11. De una muestra recogida a 200 secretarias, 40 eran rubias, 50 eran morenas y 90 tiene ojos azules; de estas últimas, 65 no son rubias y 60 no son morenas. ¿Cuántas de las secretarias no eran rubias, ni morenas, ni tienen ojos azules? A) 35 B) 48 C) 75 D) 60 E) 56 12. De un grupo de 100 estudiantes se obtuvo la siguiente información: 72 no estudian inglés, 70 no estudian alemán, 58 no estudian francés, 18 estudian inglés pero no alemán, 37 estudian francés pero no alemán, 22 inglés pero no francés, 20 ninguno de los tres idiomas. Calcule cuántos estudiantes estudian uno de estos cursos solamente. A) 61 B) 51 C) 41 D) 53 E) 59 13. En una reunión donde asistieron 200 personas, se observa que 75 no tienen hijos; 35 mujeres están casadas; 140 son hombres; 80 personas casadas tienen hijos; 15 madres solteras. ¿Cuántos son padres solteros? A) 15 B) 25 C) 30 D) 45 E) 35 14. Los conjuntos A y B que tienen 3 elementos comunes se inscriben en un universo U, si: n(A∪B) + n(A∩B) = 33 n(A) – n(B) = 17 n(B-A) = n[(A∪B)C], entonces n(U) es: A) 33 B) 35 C) 37 D) 39 E) 40 15. Sabiendo que U es el conjunto universal respecto a los conjuntos A, B y C y además: n[(A∪B) – C] = 30 n(A∪B∪C)C = 25 n(A∩B∩C) = 20 n(C – A) = 45 n(U) = 150 hallar: n[(A∩C) – B] A) 5 B) 10 C) 15 D) 20 E) 30 16. Dados los conjuntos A, B y C incluidos en U, donde se cumple: B – A = ∅ n(C – A) = 12 n[A – B) – C]= 2n(A∩B∩C) n[C – B)∩A] = 2n(B – C) n[Cc∩Αc ] = n(A∪C) Si n(U) = 48, halle n(B) A) 8 B) 7 C) 6 D) 3 E) 4 17. Sean A, B y C tres conjuntos contenidos en un universo finito de 60 elementos, además se tiene: n(BΔC) = 40 n[A∩(Bc∩Cc)] = 10 n(A∩B∩C) = 5 B∩C∩Ac = ∅ calcule: n(Ac∩Bc∩Cc) A) 10 B) 0 C) 5 D) 4 E) 3 18. En una reunion de 500 personas las 3/4 partes de las mujeres presentes usan sombreros y tambien lo hacen la mitad de los hombres presentes. Por otro lado la mitad de las mujeres y la totalidad de los hombres usan pantalones. si 260 personas usan sombrero y 20 mujeres usan pantalones y sombrero. ¿ Cuántas mujeres no usan ni pantalon ni sombrero? A) 20 B) 40 C) 25 D) 10 E) 15 19. A un evento asistieron 24 mujeres con falda; 28 varones con reloj, 49 portaban casaca, 9 mujeres tenian casaca pero no falda. ¿Cuántos varones con casaca no llevaban reloj?, si 16 mujeres no llevaban falda ni casaca y 28 mujeres no tenian casaca. El numero de varones con casaca y reloj son la tercera parte de los varones sin casaca y con reloj. A) 21 B)82 C)1 2 D) 11 E) 10 20. En un censo se determinó que el 60% de los niños de una ciudad toman leche, el 70% no come carne; los que toman leche y comen carne sumados con los que no toman leche ni comen carne son el 40% y 9000 niños comen carne pero no toman leche. ¿Cuántos niños hay en la ciudad? A) 24000 B) 12000 C) 30000 D) 18000 E) 60000 21. En un zoológico se observa que hay pumas leopardos y tigres, de los cuales se sabe que: hay tantos felinos cachorros ebfermos como felinos adultos sanos. hay tantos felinos adultos enfermos como pumas cachorros sanos. hay 7 cachorros sanos y 13 felinos sanos. Si en total hay 23 felinos, halle cuántos cachorros sanos que no son pumas hay en dicho zoológico. A) 2 B) 8 C) 7 D) 4 E) 3 22. De un grupo de 100 personas, 40 son mujeres, 73 estudian matemática, 12 mujeres no estudian matemática. ¿Cuántos hombres no estudian matemática? A) 10 B) 20 C) 18 D) 24 E) 15 23. A es un conjunto que tiene 8n elementos, B es un conjunto de 5n elementos y tienen (2n - 1) elementos comunes. Si n(A - B) - n(B - A) = 12. ¿Cuántos subconjuntos tiene A∩Β? A) 8 B) 16 C) 32 D) 64 E) 128 24. Si A ⊂ B y A ∩D = ∅; simplificar: [(A∩Dc) ∩ Bc] ∪ [B∪(A – D)] A) B - D B) A C) D D) B E) D - B 25. En un club de 61 personas: 5 mujeres tienen 17 años, 16 mujeres no tienen 17 años, 14 mujeres no tienen 18 años, 10 hombres no tienen 17 ó 18 años. ¿Cuántos hombres tienen 17 ó 18 años? A) 25 B) 30 C) 28 D) 31 E) 32 26. 80 alumnos rindieron una prueba que contiene los cursos A, B, C, donde: se anulo 8 pruebas y el resto aprobó por lo menos un curso. Los que aprobaron A, desaprobaron B y C. hay 15 alumnos que aprobaron B y C. ¿Cuántos aprobaron un solo curso? A) 58 B) 53 C) 51 D) 57 E) 52 27. dados los conjuntos A, B, C contenidos en U tales que: n(A∪B∪C) = 93 n[A – (B∪C)] = 18 n[(A∩B) – C] = 7 n(A) = n(B) = 41 n(C) = 46 n[(B∩C) – A] = 7 calcule n[(Ac∪Bc∪Cc)c ] A) 5 B) 9 C) 10 D) 2 E) 1 28. De un grupo de 70 estudiantes se sabe lo siguiente: 10 fuman pero no van a la academia, 25 van a la academia pero no tienen 17 años, 16 que no van a la academia no fuman y tienen 17 años, 5 van CLAVES 01. C 02. E 03. C 04. A 05. D 06. B 07. B 08. A 09. B 10. D 11. C 12. A 13. C 14. B 15. E 16. E 17. C 18. D 19. A 20.E 21. E 22. E 23. E 24. D 25. B 26. D 27. A 28. A 29. D 30. E 29. En una sección de 4to año formada por 42 alumnos entre hombres y mujeres se sabe que: 13 hombres aprobaron geometría; 8 hombres aprobaron trigonometría; 4 hombres y 6 mujeres no aprobaron ninguno de los dos cursos; 24 aprobaron geometría; hay 24 hombres en la sección, 7 aprobaron los dos cursos. El número de mujeres que aprobaron trigonometría es: A) 1 B) 2 C) 5 D) 7 E) 4 30. Si: A∩B ≠ ∅; n(A∩D) = 0; D ⊂ B n(A) = 17; n(B) = 22; n(D) = 6 n(A∪B∪D) = 30 calcular: n(BΔD) – n(A∩B) A) 9 B) 8 C) 5 D) 6 E) 7 a la academia, tienen 17 años pero no fuman; 2 fuman van a la academia y tienen 17 años. ¿Cuántos alumnos no tienen 17 años, no fuman ni van a la academia? A) 12 B) 13 C) 14 D) 15 E) 16 Denominamos Numeración al capítulo de la Aritmética que estudia la correcta formación, lectura y escritura de los números. Número Es la idea que tenemos sobre la cantidad de los elementos de la naturaleza. Numeral Es la representación figurativa del número mediante un conjunto de símbolos. Cifra (Dígito) Son los símbolos que convencionalmente utilizamos para escribir los numerales; es decir: 0; 1; 2; 3; 4; ... SISTEMA DE NUMERACIÓN Es el conjunto de normas, leyes, principios, reglas y convenios que nos permiten la correcta formación, lectura y escritura de los números. Base de un Sistema de Numeración Es un número natural mayor que la unidad e indica la cantidad de cifras que se emplean para escribir a todos los números en dicho sistema de numeración. Observación En un sistema de numeración de base «n»; con «n» unidades de cualquier orden, se puede formar una unidad de orden inmediato superior. En los sistemas mayores que la base 10, convencionalmente se ha establecido lo siguiente: La cifra 10 se denota por α o A La cifra 11 se denota por β o B La cifra 12 se denota por γ o C UNIDAD 9 Numeración Clasificación de los Principales Sistemas de Numeración Base Sistema de Cifras o Dígitos Numeración 2 Binario 0; 1 3 Ternario 0; 1; 2 4 Cuaternario 0; 1; 2; 3 5 Quinario 0; 1; 2; 3; 4 6 Senario 0; 1; 2; 3; 4; 5 7 Heptanario 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6 8 Octanario 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7 9 Nonario 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8 10 Decimal 0; 1; 2; 3; 4, 5; 6; 7; 8; 9 11 Undecimal 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; α 12 Duodecimal 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; α ; β 13 Trece-esimal 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; α ; β ; γ    n Enesimal 0; 1; 2; 3; .....................; (n – 1) Representación literal de un numeral Consiste en representar a las cifras de un numeral por letras minúsculas, teniendo en cuenta que toda expresión entre paréntesis representa una cifra. Números de dos cifras: En base 10: ab = 10, 11, 12, ........, 99 En base 6: ab 6 = 106, 116, 126, ......., 556 Consecutivas: (n)(n + 1) : 12; 23; 34; ...... Números de tres cifras: En base 10: abc = 100, 101, ......., 999 En base 9: abc 9= 1009, 1019, ........., 8889 )(2a) 2 a(a : 214; 428; .... Número Capicúa Es aquel numeral cuyas cifras equidistantes son iguales. aba : 101; 323; 454; ... abba :1001; 5885; ... Aplicación: Hallar un número de 3 cifras tal que la 1ra. sea los 3/5 de la 3ra. cifra, y la 2da. cifra la semisuma de las otras 2. Nº: abc c 5 3 a = 5a = 3c 2 b = a + c b = 4 ∴ abc = 345 Valor Absoluto y Valor Relativo de una cifra Toda cifra en un numeral tiene dos valores: valor absoluto y valor relativo. Descomposición Polinómica: Es la suma de los valores relativos de un numeral.    = = c 5 a 3 Valor Abs.: 2 Valor Abs.: 4 Valor Relat.: 40 Valor Relat.: 200 VALOR ABSOLUTO. Es el valor que representa la cifra por su forma o símbolo. VALOR RELATIVO. Es el que adopta la cifra por su orden dentro del numeral. Ejemplo: 5247 = 5000 + 200 + 40 + 7 = 5.103 + 2.102 + 4.101 + 7 3246 = 3.62 + 2.61 + 4 13579 = 1.93 + 3.92 + 5.91 + 7 En general: abcden = axn4 + bxn3 + cxn2 + dxn1 + e abc = 100a +10b + c ab = 10a + b APLICACIÓN Hallar un número de 2 cifras que si es leído al revés, es el doble del número que sigue al original. N = ab ba = 2( ab +1) 10b + a = 2(10a + b + 1) 10b + a = 20a + 2b + 2 8b – 2 = 19a 2(4b – 1) = 19 a ∴ ab = 25    = = b 5 a 2 DESCOMPOSICIÓN POLINÓMICA EN BLOQUE: Ejemplo: abab abx10 ab 101ab = 2 + = n n 2 ababn = 101n.ab = (n +1)ab n n 3 abcabc n = 1001nabc = (n +1).abc APLICACIÓN: Si: abcd = 2.ab.cd Hallar: a + b + c + d. Descomponiendo en bloque: ab.102 + cd = 2.ab.cd 100 ab = 2.ab.cd- cd 25 . 4 . ab = cd (2 ab -1) 2 x ab - 1 = 25 ab = 13 y 4 ab = cd cd = 52 ∴a + b + c + d = 1 CONVERSIÓN DE SISTEMAS DE NUMERACIÓN: 1er CASO: De base «n» a base 10 Método: Descomposición Polinómica Ejemplo: Convertir 3421(5) a base 10 3421(5) = 3.53 + 4.52 + 2.51 + 1 3421(5) = 486  13  375  100  11 2do CASO: De base 10 a base «n» Método: Divisiones Sucesivas Ejemplo: Convertir 265 a base 5. Se divide sucesivamente entre 5 formando el último cociente y los residuos hallados. ∴265 = 20305 3er Caso: De base «m» a base «n» (n y m ≠ 10) Método: Indirecto I. El numeral en base «m» se convierte a base decimal. II. Seguidamente el resultado se convierte a base «n». Ejemplo: Convertir 4327 a base 9. I. 4327 = 4.72 + 3.7 + 2 = 196 + 21 + 2 = 219 II. 219 a base 9. 219 9 OBSERVACIONES: Las cifras empleadas en un sistema de numeración son siempre menores que la base. Ejemplo: 3a2b(8) Siendo a y b < 8 2c08(n) Siendo c < n Si un número se expresa en dos Sistemas distintos; en la representación: 3 24 9 6 2 4327 = 2639 APLICACIÓN: Si: 203(n) = 104(m) ; n < m aob(8) = boa ; a > b
Bases Sucesivas
Condición: Que sean numerales de 2 cifras y que su primera cifra sea 1:
n + a + b + c +………. + z
APLICACIÓN:
Si los siguientes numerales están correctamente escritos:
31m(4) ; 21n(m) ; pp0(n) ; Hallar: m + n + p
31m(4) ; 21n(m) ; pp0(n) ; m < 4 ; n < m ; p < n ; p > 0
Ordenando: 0 < p < n < m < 4 ↓ ↓ ↓ 1 2 3 Luego: m + n + p = 6 APLICACIÓN (2): Hallar: a×b×n; si: a2b(9) = a72(n) 7 < n ; (Nº mayor base menor): n < 9 7 < n < 9 n = 8 Reemplazando: a2b9 = a728 a . 92 + 2 . 91 + b = a . 82 + 7.81 + 2 81a + 18 + b = 64a + 58 17a + b = 40 2 6 Luego: a x b x n = 96    = = b 6 a 2 1. Al convertir el número 2478 al sistema decimal se obtiene un número cuyo producto de cifras es: A) 40 B) 35 C) 46 D) 42 E) 50 2. Hallar «n» si: 443(n) = 245(11) A) 5 B) 6 C) 7 D) 8 E) 9 3. Si: a55(b) = (a −1)aa(7) hallar «a.b» A) 20 B) 16 C) 15 D) 32 E) 24 4. El mayor número de 3 cifras de la base «n» se escribe en el sistema senario como 2211. hallar «n» A) 9 B) 8 C) 7 D) 6 E) 16 5. Si 1050(n) = 24n hallar n2 A) 4 B) 9 C) 16 D) 36 E) 49 6. Sabiendo que 1331(n) = 260(9). convertir 43(n) al sistema decimal y dar como respuesta la suma de sus cifras. A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 E) 8 7. Si n n0n =12110 hallar «n2» A) 9 B) 16 C) 25 D) 36 E) 49 8. Si aban = m1n9 determinar el valor de «b» sabiendo que m > 5
a) 3 b) 5 c) 6
d) 7 e) 8
PROBLEMAS PROPUESTOS
9. Convertir el número: 3 1( 2)3 + + n n a
base «n + 2». dar como respuesta
la cifra de primer orden.
A) 1 B) 2 C) 3
D) 4 E) 5
10. Si aaa14 = ( )
( 2 ) 10 a n n determinar
el valor de «a + n»
A) 6 B) 7 C) 8
D) 9 E) 10
11. Si 
“k”cifras
111 111(2) = 255 hallar «k2»
A) 49 B) 64 C) 81
D) 100 E) 121
12. Si
hallar «n – a»
A) 6 B) 10 C) 13
D) 15 E) 19
13. Si mnmnmn(3) = mnn0(7) . hallar
(m + n)2.
A) 4 B) 9 C) 16
D) 25 E) 36
14. Si: 280 = aa0(b) hallar «a + b»
A) 10 B) 12 C) 13
D) 14 E) 15
15. Si (8)
“k”cifras
777…7

= 51216 – 1
Determinar el valor de «k»
A) 37 B) 39 C) 47
D) 48 E) 53
16. determine «a + b + n»
si: ab0ab(n) = 715
A) 8 B) 9 C) 10
D) 11 E) 12
17. Si: a00a(6) = bc1 determinar:
«a + b + c»
A) 14 B) 15 C) 16
D) 17 E) 18
18. Expresar E en base 11 y determine
la suma de sus cifras.
E=7×114+12×115+15×113+8×11+49
A) 18 B) 21 C) 30
D) 25 E) 14
19. Si 33221(7) se expresa en otro
sistema de numeración, se escribe
con 6 cifras diferentes, siendo una
de estas la cifra 5 ¿Cuál es la suma
de las cifras restantes?
A) 9 B) 10 C) 11
D) 12 E) 13
20. Si 226(9) = 272(n) representar 107
en base «n»
A) 143(n) B) 121(n) C) 153(n)
D) 165(n) E) 163(n)
21. El número 201(8) se convierte a
base «n» y se obtiene un número
de tres cifras iguales. hallar «n»
A) 5 B) 6 C) 7
D) 9 E) 11
22. Si 2345(n) = 1442(n+1). hallar «n»
A) 25 B) 36 C) 49
D) 16 E) 64
23. Sabiendo que:
2541 = 3a + 3b + 3c + 3d + 3e
hallar «a + b + c + d + e»
a) 16 b) 17 c) 18
D) 19 E) 20
24. Al convertir 7161 del sistema
decimal a base «n» se obtiene
ababab, determinar «a + b + n»
A) 5 B) 7 C) 8
D) 9 E) 10
25. calcular «a» si
A) 4 B) 5 C) 6
D) 7 E) 8
26. Si : abc(6) =1abc(5) escr ibi r el
mayor número abd(6) en base 5.
A) 131(5) B) 213(5) C) 414(5)
D) 313(5) E) 210(5)
27. Convertir el mayor número de la
forma (8) a(a + b)b a la base 6.
Dar como respuesta la suma de
sus cifras.
A) 4 B) 5 C) 6
D)7 E) 3
28. Se convierte el número 15015 a
base «n» y resulta escrito como
3xy 27 . Hallar «x + y + z».
A) 11 B) 10 C) 12
D) 13 E) 14
29. Jorge tenía cab soles y durante
«c» días gastó ab soles por día,
entonces le quedó abc soles.
¿Cuánto tenía al inicio?
A) 218 B) 316 C) 214
D) 812 E) 324
CLAVES
01. D 02. D 03. E 04. B 05. D 06. B 07. B 08. C 09. C 10. D
11. B 12. E 13. B 14. B 15. D 16. B 17. A 18. B 19. B 20. C
21. B 22. B 23. E 24. C 25. D 26. A 27. A 28. A 29. A 30. A
30. Hallar «a + b + n»; si:
(n) (n2 ) 11ab = 79
A) 10 B) 11 C) 12
D) 13 E) 9
PROGRESIÓN ARITMÉTICA (P.A.)
Es un conjunto de números ordenados, de tal manera que cada uno de ellos
(a excepción del primero) se obtiene incrementando a su inmediato anterior en
una cantidad constante llamada razón de la progresión aritmética.
Ejemplos:
I. 15 ; 19 ; 23 ; 27 ; ………. Razón = 4
4 4 4
II. 274 ; 271 ; 268 ; 265 ; ………. Razón = – 3
-3 -3 -3
NOTA:
Si la razón es positiva, la progresión es CRECIENTE.
Si la razón es negativa, la progresión es DECRECIENTE.
CÁLCULO DEL NÚMERO DE TÉRMINOS
Dada una progresión aritmética finita, el número de términos se puede
calcular:
Razón
Nº de términos = (último Nº ) – (Anterior al 1º )
o también:
1
Razón
Nº de términos = último – primero +
APLICACIÓN:
Cuantos términos tiene la siguiente progresión:
34; 38; 42; …; 162
Último término: 162 Razón: 4
Anterior al 1º: 34 – 4 = 30
UNIDAD 10
Conteo de números
Aplicando la 1ra. fórmula:
Nº t. = 4
162 − 30
= 33 términos
CÁLCULO DE UN TÉRMINO CUALQUIERA
Toda progresión aritmética, se podría representar por:
t1 ; t2 ; t3 ; t4 ; ……………; tk ; tn
r r r
FÓRMULA PARA CALCULAR EL TÉRMINO DE LUGAR «N»
tn = t1 + (n – 1) . r
APLICACIÓN:
Hallar el término de lugar 40 en la progresión aritmética:
17; 20; 23; 26; …
Reconociendo términos observamos que:
t1 = 17
r = 20 – 17 = 3
n = 40 (lugar 40)
t40 = t1 + (40 – 1)r
t40 = 17 + (39) (3) = 134
MÉTODO COMBINATORIO
Principio Fundamental
La cantidad de números o combinaciones que pueden formarse con varios
órdenes o variables independientes entre sí, es numéricamente igual al producto
de las cantidades de valores que pueden tomar dichas órdenes o variables.
Ejemplo 1:
¿Cuántos números de 3 cifras que siempre empiecen y terminen en cifra par
existen?
Algunos números que cumplen la condición son: 202; 212; 214; 270; 694;
etc.
Para calcular cuántos números son, se plantea:
Forma General:
a b c
↓ ↓ ↓
2 0 0
4 1 2
6 2 4
8 3 6
8

9
4 10 5 = 200
Total de valores Total de números
de cada orden que cumplen la condición
Ejemplo 2:
¿Cuántos números de la forma abba existen en el sistema decimal?
Forma General:
a b b a
↓ ↓ ↓ ↓
1 2
2 1
3 2
 3
9 
9
9 × 10 = 90 números
Valores que
puede tomar
cada cifra
   

  


Valores que
pueden tomar
las órdenes
independientes
  

  


Cifras dependientes
no se cuentan.
PROBLEMAS RESUELTOS
1. ¿Cuántos números de 4 cifras mayores de 4650 terminan en 25 ó 75?
Los números son:
4675; 4725; 4775; 4825; …; 9975
y forman una P.A. de razón 50; por fórmula:
Nº términos = 107
50
5350
50
9975 – 4625 = = números
2. En una P.A. desde el número 29 al 120 hay la mitad de los términos que
desde el siguiente al 120 hasta 316. Hallar el término vigésimo.
“n” términos “2n” términos
29;………………………; 120;(120 + r);……………………….; 316  
r
n = 120 – (29 – r)
r
2n = 316 -120
Reemplazando:
r
196
r
r 91 2 =  
 
+
182 + 2r = 196
2r = 14 r = 7
Luego: T(20) = 29 + (20-1)7 = 162
3. Dada la siguiente P. A. que tiene 3b términos y «r» como razón; hallar (b+r)
111; …; 514
Nº términos:
r
3b = 514 – (111- r)
r r

3b ·r = 403 + r
3b . r – r = 403
r ( 3b – 1) = 13 · 31 r = 13
3b = 32 b = 2
∴ b + r = 15
4. ¿Cuántos números de la forma (6) ab(b+2)c(c – 3) existen?
5
4 3
3 2 5
2 1 4
1 0 3
a b (b 2) c (c – 3)(6)
↓ ↓ ↓
+
5 · 4 · 3 = 60 números
5. ¿En qué sistema de numeración existe 180 números capicúas de 5 cifras?
Dar la base.
(n – 1) (n – 1) (n – 1)
3 2 2
2 1 1
1 0 0
a b c b a(n)
  
↓ ↓ ↓
(n – 1) . n . n = 180
n2(n-1) = 62 (6-1)
 
∴ n = 6
1. ¿Cuántos numeros de tres cifras
existen, tales que empiecen en cifra
par?
A) 200 B) 215 C) 220
D) 205 E) 210
2. ¿Cuántos numeros de la forma
abba existen en el sistema
decimal?.
A) 50 B) 80 C) 70
D) 60 E) 90
3. ¿Cuántos números capicúas de 6
cifras existen en base 7?
A) 297 B) 294 C) 295 D)
293 E) 296
4. hallar el término vigésimo:
1×7 ; 7 1(2x) ; 7 (x −1)(x −1) ; …
A) 68 B) 69 C) 67
D) 66 E) 65
5. ¿Cuál es el número de términos en la
siguiente progresión aritmética?
4, 6, 11, 19, 30, …, 555
A) 10 B) 30 C) 40
D) 20 E) 50
6. ¿Cuántos números de la siguiente
forma: ( ) (2b)(5 a)
5
b 5 a − 


+ 
existen en el sistema de base 20
A) 35 B) 38 C) 36
D) 39 E) 40
7. Hallar el vigésimo término de una
P.A. de 53 términos, sabiendo que
su primer y último término son 21
y 437 respectivamente.
A) 215 B) 217 C) 213
D) 219 E) 173
PROBLEMAS PROPUESTOS
8. ¿Cuántos números impares de la
forma: c
2
b 3 a 2 b a 


( + )( − )
existen en el sistema decimal?
A) 140 B) 150 C) 180
D) 200 E) 240
9. ¿En que sistema de numeración
existen 648 números de 3 cifras
diferentes entre sí? dar la base del
sistema.
A) 9 B) 10 C) 11
D) 12 E) 13
10. ¿Cuántas cifras se ha empleado para
escribir la siguiente sucesión:
13, 17, 21, 25, …, 1ab se sabe
además que a + b = 16.
A) 117 B) 116 C) 115
D) 118 E) 119
11. ¿Cuántos números se pude escribir
de tal manera que se use las cifras:
0, 1, 3, 5, 8 y 9, que sean mayores
de 3000 pero menores que 9000?
A) 221 B) 300 C) 647
D) 625 E) 453
12. Determinar cuántos números de 3
cifras utilizan la cifra 4 en el sistema
octanario?
A) 154 B) 140 C) 170
D) 160 E) 180
13. determinar la suma de los términos
vigésimo cuarto y trigésimo segundo
de la siguiente P.A: 81, 85, 89,
……
A) 378 B) 240 C) 702
D) 165 E) 980
14. ¿Cuántos números de la forma:
( ) ( ) ( ) 12 a a + 4 b b − 3 existen, tales
que a ≠ b.
A) 58 B) 84 C) 70
D) 56 E) 80
15. ¿Cuántos números de 4 cifras
menores que 600 existen tales
que acaben en las cifras 1, 5, 9
y ademas el producto de las tres
cifras restantes sea impar?
A) 425 B) 225 C) 125
D) 525 E) 325
16. ¿Cuántos términos de la secuencia
en P.A.: 25, 42, 59, 76, … tiene tres
cifras?
A) 56 B) 54 C) 57
D) 53 E) 55
17. ¿Cuántos números capicuas del
sistema octanario tiene una sola
cifra 4 en su escritura?
A) 140 B) 168 C) 42
D) 56 E) 84
18.- ¿Cuántos números de la forma;
( )
( ) ( )
14
c 9 b
b
c c a + 


−  existen?
A) 273 B) 215 C) 231
D) 233 E) 220
19. ¿Cuántos numerales de 3 cifras
existen en el sistema decimal, tales
que la suma de sus cifras siempre
sea par?
A) 470 B) 450 C) 415
D) 430 E) 460
20. ¿Cuántos numerales de 6 cifras
consecutivas crecientes existen en
base 12?
A) 12 B) 15 C) 14
D) 13 E) 16
21.En que sistema de numeración cuya
base es par, existen 72 numerales
de la forma:
(n) 2
x
2
y xy 







A) 10 B) 14 C) 16
D) 12 E) 18
22. Si 25(n), 40(n), 53(n) estan en P.A.
hallar: 100(n).
A) 65 B) 68 C) 64
D) 69 E) 67
23. La siguiente P.A. tiene 3m términos.
Hallar: m + r.
111, (111+r), (111+2r), …
A) 15 B) 18 C) 16
D) 19 E) 17
24. Cuántos números que terminan en
1 ó 6 se escriben con tres cifras en
el sistema heptanario.
A) 56 B) 59 C) 61
D) 63 E) 65
25. ¿Cuántos numeros capicúas de
cinco cifras hay en base 8, tales
que contengan al menos un 7 en
su escritura?
A) 153 B) 152 C) 151
D) 154 E) 155
26. ¿Cuántos números de 3 cifras
pertenecen a la siguiente P.A.
a2 + 1; 7a; 9a – 1; …
A) 227 B) 226 C) 100
D) 228 E) 229
27. ¿Cuántos números de 3 cifras
existen, que tengan una sola cifra
impar?
A) 322 B) 323 C) 326
D) 324 E) 325
28. hallar el número de términos de la
siguiente serie aritmética, sabiendo
que es descendente.
xxy ; xy8 ; xz 9; …; z2z
A) 50 B) 40 C) 30
D) 45 E) 35
29. En una P.A. de 35 términos, el
último término es 22(a + 3) y el
primero 2(a −1) . hallar el decimo
tercer término si la razón es «a».
a) 53 y 62 b) 54 y 82
A) 89 B) 93 C) 95
D) 97 E) 101
30. En la siguiente P.A. existen 15
términos que acaban en 5. ¿cuántos
terminos como máximo puede
tener?
11; 15; 19; 23; 27; …
A) 70 B) 72 C) 74
D) 76 E) 77
CLAVES
01. A 02. E 03. B 04. C 05. D 06. E 07.E 08. A 09. B 10. E
11. C 12. A 13. A 14. A 15. B 16. D 17. C 18. A 19. B 20. D
21. E 22. C 23. A 24. B 25. D 26. C 27. E 28. C 29. D 30. D
ADICIÓN
Es la operación aritmética que asocia cantidades de la misma especie
(homogéneas) en una sola, llamada suma.
a1 + a2 + a3 + ………… + an = s
sumandos suma
SUMAS NOTABLES
Suma de términos de una sucesión aritmética:
t1 ; t2 ; t3 ; ……………………; tn
r r
2
Suma S n(t1 + tn)
= =
Ejemplo (1):
Calcular R en:
R = 24 + 27 + 30 + ……………… + 366
Calculamos el número de términos:
# Térm. = 366 – 21= 345 = 315
3 3
Luego:
R
2
115 x 390
2
115(24 366) =
+
=
R = 22 425
 
UNIDAD 11
Adición y sustracción
CASOS PARTICULARES:
S1: suma de los «n» primeros números naturales.
2
S 1 2 3 4 ………. n n(n 1) 1
+
= + + + + + =
S2: suma de los «n» primeros números pares.
S2 = 2 + 4 + 6 + 8 + ……….. + 2n = n(n + 1)
S3: suma de los «n» primeros números impares
S3 = 1 + 3 + 5 + 7 + ………….. + (2n-1) = n2
Ejemplo (2):
La suma de los «n» primeros números pares es un número de forma a00 .
Hallar: a×n
2 + 4 + 6 + …………….. + 2n = a00
n (n+1) = 100a
n (n+1) = 25 · 4a ⇒ 4a= 24
Luego: n = 24 y a = 6
∴ a . n = 144
Otros casos:
S4: suma de los «n» primeros cuadrados perfectos.
6
S 12 22 32 ………. ……… n2 n(n 1)(2n 1)
4
+ +
= + + + + =
S5: suma de los «n» primeros cubos perfectos.
S5 = 13+23+33+ ……………… +n3 =
2
2
n(n 1)



 +

S6: suma de los «n» primeros números oblongos.
3
S 1.2 2.3 3.4 ………. …. n(n 1) n(n 1)(n 2) 6
+ +
= + + + + + =
S7: Si A ∈ Z+, y A > 1, entonces:
n+1
AO +A1 +A2 +A3 +……………An = A -1
A -1
Ejemplo (3):
Calcular:
Y = 27 + 297 + 2997 + …………….. +
“n 1″cifras
299……….997
+
Dividiendo entre 3 ambos lados:
“n”términos
y 9 99 999 …………………… 99…………….99
3
= + + + +

3
y
= (101-1)+ (102-1)+ (103-1)+…………..…+ (10n-1)
3
y
= (10º + 101 + 102 +………+10n) – n – 1
9
10 9n 10
3 Y
n 1 − − =
+
3
Y 10 9n 10
n 1 − − =
+
Ejemplo (4):
La suma de 500 números consecutivos es igual a 999 veces el menor de dichos
sumandos. Entonces, el mayor de dichos números es:
500 #s
a;a +1;a + 2;……………………;a + 499 
S = 2
(a1 + an)n
999a = 2
(a + a + 499)500
999a = (2a + 499) . 250
999a = 500a + 499 . 250
499a = 499 . 250
a = 250
∴ Nº mayor: a + 499 = 749
SUSTRACCIÓN
Es la operación aritmética inversa a la adición, en la que dados el «minuendo
(M)» y el «sustraendo (S)», se busca un tercero llamado «diferencia (D)»;
de tal modo que al adicionar la diferencia al sustraendo nos reproduce el
minuendo.
Es decir:
M – S = D
Propiedades
1. En toda sustracción:
M + S + D = 2M
2. En todo número de tres cifras abc donde a > b; si se tiene:
mnp
cba
abc –
  
+ =
=
m p 9
n 9 También:
a – c = m + 1
Ejemplo (1):
¿Cuántos numerales abc , cumplen que: abc − cba =mn (2m) ?
Luego:
a b c
9
9 5
8 3 4
7 2 3
6 1 2
5 0 1

↓ ↓ ↓
5×10 = 50 Nros.
COMPLEMENTO ARIMÉTICO (C.A.)
C.A.(7) = 10 – 7 = 3
C.A.(38) = 100 – 38 = 62
C.A.(547) = 1000 – 547 = 453
C.A.( abcd ) = 10 000 – abcd
Si N es un número entero de «K» cifras:
C. A. (N) = 10k – N
MÉTODO PRÁCTICO:
C.A.(35082) = 64918
9 10
Entonces: a – c = 4
5 1
6 2
7 3
8 4
9 5
n = 9
m + 2m = 9
3m = 9
m = 3  

 


5 casos
 

 



C.A.(4607300) = 5392700
9 10
C.A.( abcd ) =(9 − a)(9 − b)(9 − c)(10 − d)
9 10
Donde d ≠ cero
Ejemplo (2):
Hallar el valor de a + b, si el complemento aritmético de a7b es igual al producto
de sus cifras de mayor y menor orden.
Por dato: C.A.( a7b )=a.b (como máximo es 81)
O sea, a.b es un número de 2 cifras, por tanto a = 9
Luego: C.A.( 97b ) = 9b
1000 – 97b = 9b
1000 – 970 – b = 9b 30 = 10b
b = 3
∴ a + b = 12
Ejemplo (3):
Se tiene un número de 4 cifras significativas que sumadas dan 32, entonces
la suma de cifras de su C.A. es:
Dado: abcd a + b + c + d = 32
C.A. abcd = (9 – a)(9 – b)(9 – c)(10 – d)
Σcifras = 9 – a + 9 – b + 9 – c + 10 – d
Σcifras = 37 – a – b – c – d
Σcifras = 37 – (a+ b + c + d)
Σcifras = 37 – 32
Σcifras = 5


Ejemplo (4):
La suma de los tres términos de una resta es 1480. Si el sustraendo es el C.A.
del minuendo, calcular el cuádruplo de la tercera parte de la diferencia.
M + S + D = 1480
Propiedad: 2M = 1480
M = 740
Luego: S = C.A. (M) M – S = D
S = C.A. (740) 740 – 260 = D
S = 260 D = 480
Piden: 4 ) 640
3
( 480 =






1. Si:
3xy + z4x = ppp4
hallar : «x + y + z – p»
A) 24 B) 15 C) 31
D) 33 E) 20
2. Si el C.A de:
pua es (p + 3)(2u)(a − 2)
hallar: «p + u + a»
A) 17 B) 12 C) 15
D) 13 E) 14
3. Si el C.A. de
xyz = bbb
b < 3. hallar: «z.b + x.y» A) 67 B) 65 C) 68 D) 69 E) 66 4. y hallar: «x – y» A) 3 B) 6 C) 5 D) 4 E) 7 5. Si < 400 y además = hallar «x + y + z» A) 10 B) 8 C) 6 D) 9 E) 7 6. hallar las tres últimas cifras de «S»: S =6+64+643+6436+…+ A) 573 B) 474 C) 578 D) 564 E) 473 PROBLEMAS PROPUESTOS 7. La suma de los números de dos cifras diferentes que se puede formar con tres cifras consecutivas es igual a 396. Hallar el mayor de los números. A) 86 B) 65 C) 87 D) 98 E) 76 8. Hallar: «x.y.z» en la siguiente adición: A) 90 B) 105 C) 120 D) 84 E) 72 9. hallar 2 números de 3 cifras cada una sabiendo que suman 1019 si se sabe que el C.A. de uno de ellos es el doble del C.A. del otro. Dar la suma de cifras del mayor. A) 15 B) 16 C) 17 D) 18 E) 19 10. Si: y = 261 hallar: a.b.c A) 172 B) 180 C) 224 D) 220 E) 195 11. La suma de los 3 términos de una resta es 6 veces el sustraendo. si la diferencia es 42, hallar el minuendo. A) 57 B) 48 C) 72 D) 60 E) 63 12. En el triángulo numérico. hallar la suma de términos de la fila 30. A) 27050 B) 27060 C) 27030 D) 27010 E) 27090 13. La suma de dos números excede a la diferencia de los mismos en 256. Si los números están en relación de 45 a 20. hallar el mayor A) 270 B) 260 C) 273 D) 288 E) 279 14. Calcular: S=1×7+2×8+3×9+4×10+…+20×26 A) 4145 B) 4135 C) 4150 D) 4140 E) 4130 15. El último campeonato de la copa américa duró 39 semanas, si en cada semana se jugó 4 partidos. ¿Cuántos equipos participaron, sabiendo que han jugado de visita y de local? A) 13 B) 1270 C) 14 D) 15 E) 16 16. Si ambas sumas tienen la misma cantidad de sumandos: s1 = 40 + 41 + 42 + … + n s2 = 10 + 12 + 14 + … + m y además s1 = s2. hallar «m + n» A) 230 B) 240 C) 250 D) 260 E) 270 17. Hallar: a + b + x + y; si: A) 11 B) 12 C) 13 D) 14 E) 15 18. Calcular el valor de «S» si tiene 30 sumandos: S = 3+100+6+98+9+96+12+94+… A) 1575 B) 1600 C) 1625 D) 1650 E) 1675 19. Si la suma de los elementos de una sustracción es igual a 840, en donde el minuendo es el triple del sustraendo. Hallar la suma de cifras de la diferencia. A) 9 B) 8 C) 6 D) 10 E) 7 20. Si: hallar: « » A) 81 B) 100 C) 64 D) 144 E) 121 21. Si: además: x ≠ y ≠ z. Calcular: x.y.z A) 503 B) 506 C) 505 D) 504 E) 507 22. Hallar el valor de «x» si: 2+14+16+38+…+x = 816 A) 134 B) 138 C) 136 D) 130 E) 150 23. ¿Cuántos números de 4 cifras tales que su C.A. de su C.A. tienen 2 cifras? A) 60 B) 81 C) 50 D) 30 E) 97 24. Hallar a.b.c; si: b = a + c A) 56 B) 63 C) 72 D) 48 E) 81 25. Calcular el máximo valor que puede asumir: m + n + p. A) 17 B) 27 C) 7 D) 37 E) 47 26. La diferencia de dos números es 158. Si el minuendo disminuye en 33 unidades, entonces la diferencia aumenta en 17. ¿Cómo varió el sustraendo? A) aumento 41 B) disminuyó 50 C) aumento 39 D) disminuyó 40 E) no varió 27. El C.A. de un número escrito en base 10 es el mismo número pero escrito en base 8. ¿Cuál es la suma de cifras de dicho número sabiendo que son dos? A) 14 B) 15 C) 10 D) 12 E) 13 28. Se tiene un número de 4 cifras significativas que sumadas dan 32; entonces la suma de cifras del C.A. es: A) 3 B) 2 C) 4 D) 5 E) 6 29. Hallar «a + b + c»; si el C.A. de: mas el C.A. de resulta 1031. A) 10 B) 11 C) 12 D) 13 E) 14 30. La suma de los C.A. de los números: es 3915. Hallar el valor de «a» A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 E) 8 CLAVES 01. E 02. B 03. B 04. B 05. B 06. A 07. E 08. A 09. B 10. C 11. E 12. C 13. D 14. E 15. A 16. A 17. A 18. D 19. D 20. E 21. D 22. A 23. B 24. C 25. A 26. B 27. C 28. D 29. C 30. C MULTIPLICACIÓN Es la operación aritmética donde una cantidad llamada multiplicando (M) se repite tantas veces como indica el multiplicador (m), para obtener a un tercero llamado producto (P). Origen: Una adición del tipo: a + a + a + ……………. + a = a × n Es decir: M × m = P producto Multiplicador (factor) Multiplicando (factor) OBSERVACIÓN: N abc c × N b × N a × N P × Producto final 1) (# par) (# entero) =(# par) 2) ( # impar) ( # impar) = (# impar) 3) (# impar) (………..5) = (………..5) 4) (# par) (………..5) = (………..0) 5) n x (n + 1) =    ………..6 ………..2 ………..0  “n” veces Productos parciales    UNIDAD 12 Multiplicación y División DIVISIÓN Es la operación inversa a la multiplicación, donde dados dos cantidades llamadas dividendo (D) y divisor (d) (d ≠ 0), se busca un tercero llamado cociente (q); de tal modo que al multiplicarlo por el divisor nos reproduce el dividendo. D dq D = d . q d ≠ 0 División Entera En este caso todos los términos son números enteros; es decir, por lo que puede ser de 2 clases. 1. D.E.Exacta Resulta cuando el residuo de la división entera es cero. D dq 0 D = d . q 2. D.E.Inexacta: El residuo es diferente de cero. Por defecto Por exceso D d D d rd q re q +1 0 < rd < d 0 < re < d D = dq + rd ….. (1) D = (q+1) – re ….. (2) Ejemplo: Ejemplo: 37 5 37 5 2 7 3 8 35 = 5 . 7 + 2 37 = 5 . 8 – 3 Dividendo Divisor Cociente Propiedades: 1. Si una división inexacta se realiza por defecto y por exceso, cumple: rd + re = divisor 2. rmáximo = divisor – 1 3. rmínimo = 1 4. Si: D = dq + r D×n = d×n(q) + r×n PROBLEMAS DE APLICACIÓN 1. Aumentando en 9 los 2 factores de una multiplicación, el producto aumenta en 549. Hallar uno de los factores si la diferencia de ellos es 18. Sea: a . b = P y (a + 9) (b + 9) = P + 549 ab + 9a + 9b + 81 = P + 549 P + 9(a + b) = P + 468 Luego: a + b = 52 y: a – b = 18 Resolviendo: a = 35 y b = 17 2. En cierto producto, si al multiplicando se le disminuye 4 unidades, entonces el producto disminuye en 640; pero si al multiplicador se le aumenta 4 unidades, entonces el producto aumenta en 120. ¿Cuál es el producto? Producto: a x b = P (a – 4) x b = P – 640 a x b – 4b = P – 640 P + 640 = P + 4b b = 160 a x (b + 4) = P + 120 a x b + 4a = P + 120 P + 4a = P + 120 a = 30 Producto: a × b = 4800 3. Hallar: A+B+C+D Si: ABCDx7 = 1CDDD 6 5 5 5 1 C D D D 7 A B C D 2 4 3 ↓ ↓ ↓ ↓ × 4. Si: abc ×873 = ………241 Dar como respuesta la suma de las cifras del producto. 8 7 3 × a b c 6 1 1 1 8 7 3 6 9 8 4 P = 7 1 3 2 4 7 Unidades: C·3 =…….1 C = 7 Decenas: b·3 =……..3 b = 1 Centenas: a·3 =……..4 a = 8 ∴ Suma de cifras del producto = 24 5. Hallar la suma de las cifras de un número de 4 cifras, sabiendo que al ser multiplicado por 43, se obtiene como suma de sus productos parciales un número que termina en 5543. a b c d × 4 3 1er. Producto parcial: 3( abcd ) 2do. Producto parcial: 4( abcd ) Sumando los productos parciales: 7( abcd ) = ……..5543 Luego: a b c d × 7 ….…5 5 4 3 Multiplicando en forma ordenada: d = 9 ; c = 4 b = 6 ; a = 3 Suma de cifras de abcd : 22 6. La suma de 2 números es 341, su cociente es 16 y el residuo el más grande posible. Hallar la diferencia de los números. A + B = 341 …… (1) A B A = 16B + B – 1 (B-1) 16 A = 17B – 1 …. (2) Reemplazando (2) en (1): (17B – 1) + B = 341 18B – 342 B = 19 Reemplazando en (1): A = 322 ∴ A – B = 303 7. En una división inexacta el cociente y el residuo son, respectivamente, 58 y 15. Si se quita 376 unidades al dividiendo, el cociente disminuye en 16 y el residuo se hace máximo. Hallar el dividiendo D d D-376 d 15 58 d-1 42 D = 58d + 15 ….. (1) D – 376 = 42d + d – 1 D = 43d + 375 …… (2) Haciendo (1) = (2): D: 58d + 15 = 43d + 375 15d = 360 d = 24 En (1): D = 1407 8. Al dividir dos números por defecto y por exceso se obtuvo como residuo: 31 y 21, respectivamente. Si la suma del dividendo, divisor y cociente es 984. Hallar el dividendo. r + re = d Como: r = 31 y re = 21 d = 52 D = 52q + 31 ….. (1) Dato: D + d + q = 984 D + q = 932 ….. (2) Reemplazando (1) en (2): 52q + 31 + q = 932 53q = 901 q = 17 En (1): D = 52 × 17 + 31 D = 915 9. La suma de los 4 términos de una división es 425. Si se multiplica por 5 el dividiendo y el divisor, y se vuelve a efectuar la operación, la suma de los términos sería 2073; hallar el cociente respectivo. D + d + q + r = 425 … (I) (dato) se sabe que: D = dq + r 5D = 5dq + 5r (Dato) 5D + 5d + q + 5r = 1073 ….. (II) Multiplicando (1)×5: 5D + 5d + 5q + 5r = 2125 …… (III) Restando (III) – (II): 4q = 52 q = 13 10. El cociente de una división entera es 11 y el resto es 39. Hallar el dividendo si es menor que 500. Dar como respuesta el número de soluciones posibles. D d 39 11 D = 11d + 39 Donde: D < 500 11d + 39 < 500 11d < 461 d < 41,9 Si: r < d 39 < d Luego: 39 < d < 41,9 Entonces: d 40 y 41 Existen 2 números: D = 11 × 40 + 39 D = 479 D = 11 × 41 + 39 D = 480 1. Se dan para multiplicar los numeros 32 y 14, (en este orden) pero la cifra de las decenas en el multiplicando la confunden con 8. ¿Cuál es la diferencia del producto obtenido con el producto verdaero? A) 650 B) 700 C) 750 D) 600 E) 800 2. En que cifra termina : E = (2x7x11x13x18)4681 A) 2 B) 4 C) 6 D) 8 E) 9 3. La suma de los términos de una división entera exacta es 404. Si el dividendo es el cuadruplo del divisor. ¿Cuál es el dividendo? A) 320 B) 340 C) 360 D) 220 E) 280 4. Se ha efectuado la división de un par de números por defecto y por exceso resultando 12 y 23 los residuos respectivos. Si el cociente por exceso fué 21. ¿Cuál es el valor del dividendo? A) 711 B) 714 C) 712 D) 812 E) 716 5. Determinar el valor de «a + m» si: 762×999 = 483×999 = A) 6 B) 7 C) 8 D) 9 E) 5 6. Si = 736 (a < b) calcular el valor de: A) 406 B) 407 C) 410 D) 412 E) 408 PROBLEMAS PROPUESTOS 7. ¿Cuántos enteros positivos existen, tales que divididos entre 64 dejan un residuo que es el triple del cociente? A) 12 B) 14 C) 23 D) 21 E) 27 8. En una división entera inexacta de residuo máximo el divisor es 37. Si el cociente es el C.A. de 88. ¿Cuál es el valor del dividendo? A) 440 B) 480 C) 450 D) 410 E) 540 9. En una multiplicación, si al multiplicando se le aumenta 5 unidades el producto aumenta en 200. Si al multiplicador se le aumenta 7 unidades el producto aumenta en 91. Calcule la suma de las cifras del producto inicial. A) 12 B) 13 C) 7 D) 6 E) 8 10. La suma de los tres términos de una multiplicación es 47. Si se multiplica por 6 al multiplicando, la nueva suma de términos es 207. Calcular el multiplicador. A) 5 B) 6 C) 7 D) 8 E) 15 11. En una división entera inexacta, al resto le falta 8 para ser máximoy le sobran 3 para ser mínimo.Si el cociente es numéricamente igual al axceso de divisor sobre 3. ¿Cuál es el dividendo? a) 132 b) 131 c) 133 d) 135 e) 134 12. El cociente y el residuo de una división inexacta son respectivamente 43 y 27. Si se la aumenta al dividendo 108 unidades y se efectua nuevamente la división el cociente aumenta en 3 y el residuo disminuye en 12. ¿Cuál es el divisor respectivo? A) 28 B) 32 C) 40 D) 45 E) 50 13. Si: Además: c – a = 5. Calcular el valor de N. A) 886 B) 416 C) 728 D) 736 E) 816 14. Calcular E = (b + c) – (a + d) dado el producto donde la diferencia de sus productos parciales es 15372 A) 3 B) 6 C) 8 D) 10 E) 12 15. En una división inexacta el cociente por defecto es 9, los residuos por defecto y por exceso son iguales y la suma del dividendo y el divisor es 210. Hallar el dividendo A) 210 B) 270 C) 180 D) 190 E) 250 16. En cierta división se cumple que el residuo por exceso es igual al cociente por defecto y el residuo por defecto es igual al cociente por exceso. si el divisor es 37, hallar el dividendo. A) 625 B) 685 C) 705 D) 715 E) 745 17. Si Nx17 t.ermina en 2581. ¿como términa Nx8? A) 4477 B) 4744 C) 4747 D) 4774 E) 4474 18. Si letras diferentes representan cifras diferentes y 0 = cero hallar la suma de las cifras de ; SI: A) 16 B) 17 C) 18 D) 19 E) 20 19. Hallar el cociente que se obtiene de dividir el C.A. de entre ; si el residuo obtenido es máximo. A) 5 B) 6 C) 7 D) 8 E) 9 20. Se divide entre , el cociente es y el residuo es (10+b). calcular el valor de (a + b + x) A) 7 B) 12 C) 9 D) 8 E) 10 21. Un numeral de 3 cifras se divide entre 27 y su doble un número de 4 cifras entre el cociente anterior dando 55 de cociente y 3 de residuo. ¿Cuántos de estos números existen? A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) 9 22. Al resto de una cierta división le faltan 8 unidades para ser máximo. si se le suma 6416 unidades al dividendo, el cociente aumenta en 89 y el residuo se vuelve máximo. ¿Cuál es el divisor? A) 54 B) 65 C) 72 D) 84 E) 90 23. Si: calcular: a + b + c + m + n . A) 13 B) 14 C) 16 D) 17 E) 18 24. Al multiplicar un entero positivo por 137 se obtuvo productos parciales que adicionados exactamente uno debajo del otro resulta 528. Calcule la suma de las cifras que componen dicho numeral. A) 11 B) 12 C) 13 D) 10 E) 14 25. hallar el mayor número de tres cifras tal que al dividirlo entre el número formado por sus dos primeras cifras el resto es 5 y al dividirlo entre el número formado por sus dos últimas cifras la división resulta exacta. Dar como respuesta la suma de sus cifras. A) 24 B) 21 C) 20 D) 18 E) 17 26. La división de dos números da 254 de cociente y 2713 de resto. ¿En cuántas unidades como máximo puede aumentar tanto el dividendo como el divisor sin que varíe el cociente?. A) 4 B) 6 C) 8 D)10 E) 12 27. Si: Hallar: a + b + c + d + e + f A) 20 B) 21 C) 22 D) 23 E) 24 28.Se multiplica por 124 obteniendose 3 productos parciales que al multiplicarlos entre si resultó 64×1293. Determine el producto que se obtiene al multiplicar por 5. A) 1290 B) 4260 C) 4280 D) 1140 E) 2380 29. La suma de los términos de una división inexacta es 427. Se multiplica el dividendo y el divisor por 5 y se realiza nuevamente la operación, la suma de términos es ahora 2043. Calcular la suma de cifras del cociente. A)3 B) 4 C) 5 D) 6 E) 7 30. Al dividir entre se obtiene por cociente 175 y por residuo . Calcular el menor valor de . dar como respuesta la suma de cifras. A)3 B) 4 C) 5 D) 6 E) 7 CLAVES 01. B 02. C 03. A 04. C 05. B 06. E 07. D 08. B 09. C 10. E 11. E 12. C 13. C 14. B 15. D 16. B 17. B 18. D 19. B 20. D 21. E 22. C 23. E 24. B 25. B 26. D 27. C 28. B 29. C 30. B DIVISIBILIDAD Es aquella parte de la aritmética, que estudia las condiciones que debe reunir un número, para ser considerado divisible entre otro, así como también las consecuencias que de este hecho se derivan. Se dice que un número entero «A» es divisible por otro entero positivo «B» (módulo), cuando al dividir «A» entre «B», la división resulta entera y exacta. A es divisible entre B A B # entero (+) (módulo) 0 q Ejemplo: 40 5 0 8 40 es divisible por 5 NOTACIÓN Para denotar que «A» es divisible por «B», escribiremos: A = B A = mB Ejemplo: A = B × q ; q ∈ Z Números múltiplos de 6: N = 6 = 6K (K ∈ Z) K ……. -3 -2 -1 0 1 2 3 ……. N = 6 ……. -18 -12 -6 0 6 12 18 ……. Múltiplos (–) Múltiplos (+) es divisor de es múltiplo de A es múltiplo de B B es divisor de A      UNIDAD 13 Teoría de la Divisibilidad PRINCIPIOS DE LA DIVISIBILIDAD 1. La adición o sustracción de números múltiplos de n, da por resultado un n . n + n + n = n Ejemplo: 30 + 18 = 48 6 + 6 = 6 n – n = n Ejemplo: 48 – 16 = 32 6 + 6 = 6 2. Si multiplicamos un n por una constante entera (K), el producto sigue siendo un n . n × k = n Ejemplo: 20 x 3 = 60 4 × k = 4 n × n = n Ejemplo: 15 x 10 = 150 5 × 5 = 5 3. Si un múltiplo de «n» se eleva a un número entero positivo (K), el resultado es n . ( n )k = n Ejemplo: (4)3 = 64 ( 2 )3 = 2 4. Si el producto de dos números es n y uno de ellos no admite divisores comunes con «n», entonces el otro es n . (Principio de Arquímides) Ejemplos:  4 x A = 3 A = 3  3 x B = 7 B = 7  6N =  10 (÷2) → 3N = 5 N = 5 5. Todo número es múltiplo de sus factores o de cualquier combinación de estos. Ejemplos: 30 = 2 x 3 x 5 30 =    0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 6 10 15 30 1;2;3;5;(2×3);(2×5);(3×5);( 2x3x5)  APLICACIÓN Un número de 2 cifras donde la primera es el doble de la segunda cifra, es siempre divisible entre: a) 2 y 3 b) 3 y 5 c) 3 y 7 d) 5 y 7 e) 3 y 4 Sea el Nº: (2a)a (2a)a = 10 (2a) + a (2a)a = 21a (2a)a = 3 x 7 x a (Factores 3 y 7) (2a)a = 3 ; 7 ;  21 NÚMEROS NO DIVISIBLES Expresar A en función de 0 B a) D.I. por defecto: b) D.I. por exceso: A B A B r q re q+1 A = Bq + r A = B (q+1) – re A = B + r A = B – re Ejemplo: Expresar 31 en función de 7 . 31 7 31 7 3 4 4 5 31 = 7 x 4 + 3 31 = 7 x 5 – 4 31 = 7 + 3 31 = 7 – 4 1) Si un número «N»: N N =  mcm(a,b) Ejemplo: Si: N = 8 y N =  12 2) Si un número «N»: Si: N =  20 + 5 N = o 30 + 5 APLICACIÓN La edad en años que tiene un individuo es múltiplo de 2 años más 1, múltiplo 7 más 6 y múltiplo de 10 menos 1. ¿Cuál es dicha edad? Sea la edad «N»: 2 1 2 -1 0 0 + ⇒ N 7 6 7 – 1 0 0 + ⇒ 10 – 1 10 – 1 0 0 ⇒      b a          0 0 0 N= (2;7;10) – 1 N = 0 mcm(2;7;10) – 1 N = 0 70 – 1 N = 69 N = 0 mcm(8;12) N = 0 24 N = 0 mcm(20;30) + 5 N = 0 60 + 5          PROBLEMAS RESUELTOS 1. Al naufragar un barco en el que viajaban 180 personas, se observa que, de los sobrevivientes: 2/5 fuman, 3/7 son casados y los 2/3 son ingenieros. Determinar cuántas personas murieron en dicho accidente. S + M = 180……………….. (1) Fuman = 5 2S S = 5 Casados = 7 3S S = 7 S = 0 105 Ingenieros = 3 2S S = 3 S: 105; 210; 315; ………. Sólo: S = 105 Reemplazando en (1): M = 75 2. ¿Cuántos números de 4 cifras son múltiplos de 7 y terminan en 1? Números 7 = 7K (K ∈ Z) 1000 ≤ 7K < 10000 (÷ 7) 142.8 ≤ K < 1428.5 K → 143; 144; 145; …; 1428 Pero: 7K = termina en 1 K = termina en 3 Sólo: K → 143; 153; 163; …; 1423 Número térm.= 129 10 1423 -133 = #s 3. ¿Cuántos de los números de 1 a 720 son múltiplos de 4 pero no de 5? 180 4 n(4) 720 0 = = 144 5 n(5) 720 0 = = 36 20 n(20 ) 720 0 = = n(4 5) 144 0 0 ∴ ≠ = 1. En la siguiente secuencia: 1, 2, 3, 4, … , 760 I Cuántos son divisibles entre 4. II Cuántos son divisibles entre 6 y 4. III Cuántos son divisibles entre 4 pero no entre 6. Dar como respuesta la suma de los resultados que se obtienen. A) 320 B) 350 C) 360 D) 380 E) 400 2. ¿Cuántos numerales de 3 cifras son divisibles entre 19 A) 46 B) 47 C) 48 D) 49 E) 50 3. ¿Cuántos numerales de 4 cifras son multiplos de 23 y terminan en 8? A) 48 B) 72 C) 28 D) 36 E) 39 4. Si: N = entonces N siempre será divisible por: A) 7 B) 11 y 7 C) 19 D) 31 E) 59 5. Calcular (a + b + c + d) si: y A) 16 B) 18 C) 20 D) 21 E) 24 6. halle la suma de los posibles valores de «n» si: A) 16 B) 18 C) 19 D) 20 E) 21 PROBLEMAS PROPUESTOS 7. y m+c+d+u = 18 calcular A) 21 B) 36 C) 26 D) 56 E) 66 8. En la secuencia: 21×89; 21×90; 21×91; …; 21×2008 ¿Cuántos términos no son ? A) 1746 B) 1763 C) 1740 D) 1780 E) 1450 9. A una fiesta de carnaval asistieron 105 personas entre niños, mujeres y hombres. La cantidad de niños era la septima parte de las mujeres que asistieron y los hombres que no bailaban era la octava parte de las mujeres que asistieron ¿Cuántas mujeres no bailaban? A) 20 B) 21 C) 22 D) 24 E) 32 10. Al multiplicar por 120 a un número de dos cifras iguales se obtiene un -1. halle el valor de la cifra empleada A) 1 B) 2 C) 3 D) 5 E) 7 11. ¿Cuántos números de 5 cifras que terminan en 28 son (m19 + 12)? A) 45 B) 46 C) 47 D) 48 E) 49 12.¿Cuántos de los números de 1 al 720 son múltiplos de 4 pero no de 3 ni de 5? A) 48 B) 84 C) 96 D) 180 E) 108 13. Si: ; calcular (x + y + z + w) para el mayor número que cumple dicha condición. A) 14 B) 16 C) 18 D) 20 E) 22 14. En la siguiente serie: 8; 15; 22; 29; …;351. Determinar la suma de todos los (m8 + 6). A) 972 B) 980 C) 988 D) 996 E) 1004 15.hale la suma de cifras del menor número, mayor que 1200, tal que al restarle su C.A. se obtenga un «m23». A) 5 B) 6 C) 7 D) 8 E) 9 16. ¿existen números de la forma que sean divisibles por 19?, ¿Cuántos cumplen dicha condición? A) 11 B) 9 C) 6 D) 7 E) 4 17. ¿que día de la semana fué 30 de mayo de 1960, sabiendo que en el año 1988, 30 de mayo fué sabado? A) lunes B) Martes C) jueves D) Viernes E) Sabado 18. Entre los 1512 primeros números naturales. ¿Cuántos son múltiplos de 3 pero no de 9. A) 108 B) 336 C) 504 D) 520 E) 1072 19. Al expresar el menor número de 3 cifras en base 3, las cifras de menor orden fueron 2 y 1 respectivamente. hallar el número. A) 95 B) 105 C) 205 D) 305 E) 405 20.- Halle el menor númerode 4 cifras tal que al expresarlo en bases 2, 3 y 7 terminan en 101, 12 y 5; dar como respuesta la suma de cifras. A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 E) 8 21. Sabiendo que: N= Calcule el residuo al dividir N entre 8. A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 22. En una reunión se cuenta entre 400 y 450 personas de las cuales los 3/7 son varones; los 2/5 usan lente y los 2/3 son profesionales. ¿Cuántas mujeres habia en la reunión? A) 180 B) 200 C) 240 D) 105 E) 315 23. Halle el mayor número de 3 cifras tal que al dividirlo entre 5, 6 y 8 se obtiene residuos máximos. A) 939 B) 949 C) 959 D) 969 E) 979 24 ¿Cuántos números de la sucesión: 7; 15; 23, …, 399 son m11. A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 25. Si: = m13 + 5. calcule la suma de los posibles valores de A) 131 B) 413 C) 513 D) 613 E) 713 26.Calcule el residuo al dividir: N = 30 + 31 + 32 + … + 3401 entre 5 A) 2 B) 9 C) 1 D) 3 E) 0 27. Si es divisible entre 37 y es divisible entre 14 ¿cuál es el valor de «m + n + p»? A) 13 B) 14 C) 15 D) 16 E) 17 28. Si: = 66(a + c – b); calcular el valor de: (a2 + b2 + c2) A) 74 B) 136 C) 125 D) 89 E) 182 29. Un número de l a f o r m a : es siempre divisible entre: A) 7 B) 13 C) 19 D) 17 E) 23 30. ¿Cuántos números de la forma son múltiplos de 17 A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 CLAVES 01. D 02. B 03. C 04. E 05. C 06. D 07. C 08. A 09. C 10. D 11. C 12. D 13. C 14. A 15. D 16. B 17. A 18. B 19. B 20. B 21. C 22. C 23. C 24. E 25. B 26. E 27. B 28. D 29. E 30. D Concepto Son condiciones que consisten en analizar las cifras de un número, para determinar si es divisible o no respecto a cierto módulo. En caso de no serlo, nos dará a conocer el residuo. Divisibilidad por 2 Un número es divisible por 2 cuando termina en cero o cifra par. Si: …abc = 2  c → 0, 2, 4, 6 u 8 Ejemplo: 999998 = m2 Divisibilidad por 5 Un número es divisible por 5 cuando la cifra de sus unidades es cero o cinco. Si: …abc = 5  c → 0 ó 5 Ejemplo: 12345 0 = m5 Divisibilidad por 4 Un número es divisible por 4 cuando sus 2 últimas cifras son ceros o forman un número múltiplo de 4; también si el doble de la penúltima más la última resulta un 04 . Si: …abc = 4  bc = 00, 04, 08,…, 96 o también: 2b + c = 4 Ejemplo: 14 352 = 4 ya que: 2(5) + 2 = 12 = m4 Divisibilidad por 25 Un número es divisible por 25 cuando sus 2 últimas cifras son ceros o forman un número  25 . Si: …abcd = 25   cd = 00 ó 25 Ejemplo: 36975 = m25 ya que 75 = m25 UNIDAD 14 Criterios de Divisibilidad Divisibilidad por 8 Cuando sus 3 últimas cifras son ceros o múltiplo de 8. Si: …abcd = 8  8 bcd = 000 ó o también: 4b + 2c + d = 8 Ejemplo: 15432 = 8 ; ya que: 4(4) + 2(3) + 2 = 24 = 8 Divisibilidad por 125 Cuando sus 3 últimas cifras son ceros o múltiplo de 125. Si:  abcd = 125  bcd = 000 ó 125 Ejemplo: 87375; ya que: 375 =  125 Divisibilidad por 2n ó 5n Un número es divisible por 2n ó 5n si sus últimas «n» cifras son ceros, o forman un número que sea divisible por 2n ó 5n, respectivamente. Divisible por 3 Un número es divisible por 3 si la suma de sus cifras es un múltiplo de 3. Si: a + b + c + d + e + f = 3 Ejemplo: 123450 = m3 ya que Σ = = 3 cfs 15 Divisible por 9 Un número es divisible por 9 cuando la suma de sus cifras es múltiplo de 9. Si: 9 abcdef = a + b + c + d + e + f = 9 Ejemplo: 12345067890 = m9 ya que Σ = = 9 cfs 45 Divisibilidad por 11 Un número es divisible por 11 cuando la suma de sus cifras de orden impar menos la suma de las cifras de orden par resulte cero ó  11. Si: a b c d e f g h 8º 7º 6º 5º 4º 3º 2º 1º – + – + – + – + = 11 ordenes (h+f+d+b)–(g+e+c+a) = 0 0 ó 11 (Σ de cifras orden impar) – (Σde cifras orden par) Ejemplo: 1836547295 Donde: (5+2+4+6+8) – (9+7+5+3+1) = 0 el Nº es 0 11 Divisibilidad por 7 Un número será divisible por 7 cuando se le aplique la siguiente regla: De derecha a izquierda y cifra por cifra, se multiplique por los siguientes factores: 1, 3, 2, -1, -3, -2, 1, 3, 2, -1, …; después de realizar estos productos, se efectúa la suma algebraica, y si este resultado es 0 ó 7 , el número será efectivamente múltiplo de 7. Si: a b c d e f g h = 7 3 1 2 3 1 2 3 1 h+3g+2f–(2e+3d+2c)+2b+3a = 7 Ejemplo: 760493636 es múltiplo de 7. Comprobación: 2 3 1 2 3 1 2 3 1 7 6 0 4 9 3 6 3 6 6 + 9 + 12 – (3 + 27 + 8) + 0+18+14 27 – 38 + 32 = 21 = 7 +  −  +  +  −  +    + Divisibilidad por 13 Regla práctica: Si: a b c d e f g h = 13 3 1 4 3 1 4 3 1 h – (3g + 4f + e) + (3d + 4c + b) – 3a =  13 Ejemplo: 283756174 es  13 4 3 1 4 3 1 4 3 1 2 8 3 7 5 6 1 7 4 4 – (21 + 4 + 6) + (15 + 28 + 3) – (24 + 8) 4 – 31 + 46 – 32 = -13 =  13 APLICACIÓN: ¿Qué valor debe tomar «b» en el numeral 128b306 si es divisible entre 13? 1 2 8 b 3 0 6 = 13 1 4 3 1 4 3 1 1 + 8 + 24 – b – 12 – 0 + 6 =  13 27 – b =  13 ∴ b = 1 Divisibilidad por 33 Si: a b c d e f = 33  ef + cd + ab = 33 −  +  − +  −  +  − +     +  − +    Divisibilidad por 99 Si: a b c d e f g = 99 0 fg+ de + bc + a = 99 Ejemplo: ¿Es: 2935647 = 0 99 ? Separando grupos de 2 cifras de derecha a izquierda: 47 + 56 + 93 + 2 = 198 = 0 99 El Nº es 0 99 APLICACIÓN: Hallar: a x b; si:  6a74b14 = 99 Separando grupos de 2 cifras de derecha a izquierda:  14 + 4b + a7 + 6 = 99 Unidad: b = 2 Decena: a = 3 ∴axb = 6 PROBLEMAS RESUELTOS 1. Hallar: a + b – c; si: abc = 45 y ca = 8  abc = 45 Si:  abc = 45 5 c  99 6 a7 4b 14 + 0 5     5 9 Si: ca = 8 c ≠ 0 c = 5 Luego: 5a = 8 a = 6 Si: 9 abc = a + b + c = 9 6 7 5 ∴a + b – c = 8 2. ¿Cuántos números capicúas de cuatro cifras son divisibles por 63?  abba = 63 Si: abba = 7 1231 – + a + 3b + 2b – a = 7 5b = 7 b abba = 09 a + b + b + a = 09 2(a + b) = 09 a + b = 09 2 7 9 0 abba ∴ Hay 2 números.    9 7  0 7 9009 2772 3. ¿Cuál es la suma de las cifras que deben sustituir al 2 y al 3 en el número 52 103 para que sea divisible por 72?  5a10b = 72 8 5a10b = 421 4(1) + 2 (0) + b = 8 b = 4 Reemplazando: 9 5a10b = 5 + a + 1 + 0 + 4 = 9 10 + a = 9 a = 8 a + b = 12 4. ¿Cuántos valores puede tomar «a» si N es múltiplo de 9? N = 179 cifras a 23a 23a 23…  Agrupando: 179 cifras en grupos de 3. 179 cifras 3 2 cifras 59 grupos Número N = a23a23…a23a2 Aplicando divisibilidad por 9. (a + 2 + 3) 59 + a + 2 = 9 60a + 297 = 9 (9 x 6 + 6) a + 297 = 9 9 + 6a + 9 = 9 6a = 9 2a = 3 a = 3 a = 3, 6, 9    9 8  5. Hallar el resto de dividir: 29 cifras 312321321… ÷ 7  29 cifras 3 2 cifras 9 grupos 2 3 1 2 31 Hay 9 grupos completos (iguales). 5 positivos y 4 negativos. Se cancelan 4(+) con 4(-) quedando 1 grupo positivo y 2 cifras con (-). Queda: 3 2 1 3 2 = 7 + r ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ 3 1 2 3 1 2 + 9 + 2 – 2 – 9 = 7 + r 2 = 7 + r r = 2 −  +  + 