CIRCUNFERENCIA GEOMETRICA EJERCICIOS RESUELTOS DE MATEMATICA 2 SECUNDARIA – MEDIA PDF

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PROPÓSITO DE LA UNIDAD
La circunferencia es una figura conocida por los y las estudiantes y ha significado desde siempre un
aporte al desarrollo de distintos ámbitos, como científicos en la invención y construcción de objetos
de forma circular, y artísticos con su presencia en importantes obras de arte.
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En esta unidad, los alumnos y alumnas conocerán los elementos presentes en una circunferencia,
aprenderán algunas de sus propiedades y su aplicación. Como, por ejemplo, la relación existente
entre un ángulo del centro y los ángulos inscritos en la circunferencia que subtienden el mismo arco,
así como también lo correspondiente a ángulos semi-inscritos, interiores y exteriores. También en
esta unidad, se aplicarán los conocimientos de semejanza aprendidos anteriormente para ver las
propiedades de las cuerdas, secantes y tangentes en una circunferencia.
El propósito de esta unidad es que los alumnos aprendan a observar y analizar los ángulos presentes
en una circunferencia y puedan establecer relaciones entre ellos.
Para las mediciones de arcos o ángulos del centro, una actividad muy instructiva
es el cálculo de ángulos formados por el horario y el minutero de un reloj.
En un comienzo, los alumnos y alumnas pueden creer que el ángulo que se forma
cuando el reloj indica las 3:00 es el mismo ángulo que cuando indica las 3:30.
Un análisis sobre el funcionamiento del reloj muestra que tal suposición es
equivocada.
Esta actividad puede desarrollarse hasta un grado de precisión de segundos. Lo
cual requiere una gran habilidad de cálculos.
En esta sección es importante resaltar las características de los ángulos que se
relacionan con la circunferencia.
Ángulo del centro: vértice en el centro de la circunferencia.
Ángulo inscrito: formado por dos cuerdas y con el vértice en la circunferencia.
Ángulo semi-inscrito: formado por una cuerda y una tangente y con el vértice en
la circunferencia.
Ángulo interior: vértice en el interior de la circunferencia (por tanto, el ángulo del
centro es un caso particular de este).
Ángulo exterior: vértice en el exterior.
Destacar que los teoremas del ángulo interior y del ángulo exterior resultan de
que la suma de dos ángulos interiores de un triángulo es igual al ángulo exterior
del tercer ángulo.

Medición de arcos
ANALICEMOS…
En el reloj se ha marcado el arco , que corresponde al recorrido del
segundero durante 20 segundos.
AB
La razón entre el ángulo α y el ángulo completo, 360º, forman una proporción
con la longitud del arco y la longitud de la circunferencia. Luego, se
puede obtener la medida de longitud si se conoce la medida del radio de la
circunferencia de la siguiente manera. Observa.
Medir un arco de una circunferencia no es una tarea fácil; a continuación,
veremos dos métodos para hacerlo.
En unidades de longitud
El arco de circunferencia es una curva; luego puede medirse en las unidades
de longitud que correspondan (metros, centímetros, kilómetros, etc).
Por lo general, esta medida se calcula como una fracción de la longitud
de la circunferencia, proporcional a su medida en grados. Observa.
• Si mides con una regla el arco , ¿cuánto obtienes?
• ¿Obtuvieron tus compañeros y compañeras la misma medida?, ¿por qué?
• Si midieras con la regla el arco correspondiente al recorrido del segundero
durante 40 segundos, ¿medirá el doble?, ¿por qué?
• ¿De qué otra manera se puede medir un arco? Explica.
AB
• Los en una circunferencia
se leen en sentido contrario de los
punteros del reloj; en la figura,
con rojo se marca el arco AB y
con verde el arco BA.
RECUERDA QUE…
O
B
A
α α
α
π
π α
360 2
2
° 360
= ⇒ =
°
AB
r
AB
 r
i i
 i i
GLOSARIO
Se llama al
formado por dos radios de
una circunferencia.
A
B
189
Unidad 5
1. Mide en unidades de longitud los arcos marcados con rojo.
a. b. c. d.
EN TU CUADERNO
O
A
B
B
A
x x
3πcm
4 cm
4 cm
141º
150º
5 cm
O O O
A
B
• Un ángulo del centro subtiende el arco que determinan los radios sobre la circunferencia.
En la figura, AOB subtiende el arco .
• La medida de un arco (en grados) es directamente proporcional a su longitud (en cm, m, etc.).
AB
EN RESUMEN
O
B
A
α α
α
π
π α
360 2
2
° 360
= ⇒ =
°
AB
r
AB
 r
i i
 i i
30º
En grados sexagesimales
Observa que los lados del AOB intersecan a la circunferencia en los puntos
A y B. Se dice que el AOB subtiende el arco AB. La medida de un arco
también se puede expresar en grados sexagesimales, así, el arco de la
circunferencia mide lo mismo que el ángulo del centro que lo subtiende.
96º
96º
B
A
O
Ángulos del centro y ángulos inscritos
ANALICEMOS…
Considera las siguientes figuras, en las que se han determinado ángulos
a partir de los arcos que subtienden.
En las figuras, como el AOB tiene su vértice en el centro de la circunferencia,
es un ángulo del centro. Además, subtiende al arco AB.
Por otro lado, el ACB tiene su vértice en la circunferencia, luego, es un
ángulo inscrito. Observa que este ángulo también subtiende al arco AB.
Tal como se comprueba al medir cada ángulo, si subtienden el mismo arco,
el ángulo inscrito mide la mitad de la medida del correspondiente ángulo
del centro. La pregunta es si esto ocurre
siempre.
Para realizar la demostración, en el primer
caso, se puede dibujar el diámetro CD.
Observa que se forman dos triángulos
isósceles, como en el dibujo.
• ¿Qué tienen en común ACB y AOB?, ¿cuál es la diferencia entre
ellos?, ¿dónde está ubicado el vértice del ángulo, en cada caso?
• Con la ayuda de un transportador, mide ACB y AOB; ¿existe una
relación entre ambas medidas en cada caso?
• En tu cuaderno traza una circunferencia, marca el centro O y tres puntos
en la circunferencia: A, B y C. Traza los segmentos AC, AO, CB y OB y,
con la ayuda de un transportador, mide ACB y AOB. ¿En este caso
existe una relación entre ambas medidas?
• Comenta tus resultados con tus compañeros y compañeras; ¿qué
puedes concluir?
• El arco AB se lee en sentido
al del reloj.
• La medida de un
de un triángulo es igual a la suma
de las medidas de los dos ángulos
interiores no adyacentes a él.
α’ = β + γ
RECUERDA QUE…
C
A
O
B
C
A
O
D
B
β
α β
α
β’
α α’
β
γ
γ’
B
C A
O
A B
C
β
α
GLOSARIO
segmento que une
el centro con cualquier punto de
la circunferencia.
ángulo formado por dos cuerdas y su
vértice sobre la circunferencia.
ángulo formado
por dos radios y que tiene su vértice
en el centro de la circunferencia.
191
Unidad 5
Solo una matemática
permite aseverar que una proposición
se cumpla para todos los casos.
Justificarla a través de algunos
casos no basta.
En cambio, para justificar que una
proposición es falsa, sí basta con
mostrar un ejemplo que satisfaga
las premisas, pero no cumpla con
la conclusión.
Sean α y β los ángulos basales en cada uno de estos triángulos. Luego, NO OLVIDES QUE…
los ángulos exteriores, esto es, AOD del ΔAOC y DOB del ΔBOC
miden 2α y 2β, respectivamente.
De la imagen anterior, se concluye claramente que:
AOB = AOD + DOB = 2α + 2β = 2 · (α + β) = 2 · ACB
En el caso de que el ángulo inscrito no contenga al centro de la circunferencia,
no se puede justificar con la demostración vista anteriormente. Sin embargo,
es posible usar una idea similar, trazando el segmento OC, como muestra
la figura.
Observa que ACB = BCO – ACO y, por lo tanto, BOC = 180º – 2(α + γ).
Por otro lado, en AOC, se tiene la relación:
2γ + β + 180º – 2α – 2γ = 180º
De donde se obtiene la relación β = 2α, es decir, AOB = 2 · ACB.
Por lo tanto, en esta situación también se concluye que la medida del ángulo
inscrito en una circunferencia es la mitad de la medida del ángulo del centro,
si ambos ángulos subtienden al mismo arco.
O
B
C
A
β γ α
γ
α +γ
Ejemplo 1
Observa la figura siguiente. Los ángulos están inscritos en una
semicircunferencia.
Independiente de la posición del ángulo, si un ángulo está inscrito en una
semicircunferencia, necesariamente es un ángulo recto, ya que mide la
mitad del ángulo del centro correspondiente, que en este caso mide 180º.
O
A B
EN TU CUADERNO
1. Calcula el valor del ángulo pedido en cada caso.
Ejemplo 2
Si α = 50° y β = 60°, ¿cuánto mide el ángulo x? El dibujo está desproporcionado
intencionalmente. La solución debe fundamentarse en las ideas.
Si se dibuja el radio que une el centro O con el vértice del ángulo x,
los triángulos que se forman son ambos isósceles, cuyos ángulos basales
son α y β, ya que ángulos opuestos por el vértice son iguales. Además,
como ambos triángulos formados son isósceles, se tiene la relación:
x = α +β
Por lo tanto, x = 50º + 60º = 110º.
a. c. e.
b. d. f.
O
O
α
O O O
O
α β
x
75º
132º
120º
21º
136º
α
α
α
β
α
x
O
38º
• Si un ángulo del centro y un ángulo inscrito subtienden el mismo arco de circunferencia, la medida
del ángulo inscrito es la mitad de la medida del ángulo del centro.
• No depende de las medidas de otros ángulos.
• Esto se cumple tanto si el centro de la circunferencia está dentro o fuera del ángulo inscrito.
• Todo ángulo inscrito en una semicircunferencia es un ángulo recto.
EN RESUMEN
193
Unidad 5
g. h. i.
O
36º
β
α O
A B
25º α A B
C
O
2. En la circunferencia de centro O, los arcos BC, CD, DE, EF, FG, GH y HI son congruentes. Si el ángulo
BAI = 84º, determina la medida del ángulo COH.
3. En la figura, AC es un arco de circunferencia de centro P, donde ACB = 45º. Determina qué tipo de
triángulo es el ΔAPB.
4. En la figura, ABCDEF es un hexágono regular. Determina la medida de α.
A O
O
B C
D
E
F
G
I H
P
A C
B
α
E
F
D
B C
A α
AB es diámetro AB es diámetro
Ángulos semi-inscritos
ANALICEMOS…
Considera ahora la tangente a la circunferencia en uno de los puntos de un
ángulo inscrito, como indica la figura.
Primero, observa que el ángulo α no es ángulo del centro ni inscrito, pese a
que el vértice está sobre la circunferencia, ya que uno de sus lados está
fuera de la circunferencia, razón por la cual se llama ángulo semi-inscrito.
Por ahora, observa el siguiente ΔAOB. Si la medida del ángulo del centro
es, por ejemplo, γ, la medida de los otros ángulos es fácil de determinar.
Como el ΔAOB es isósceles, OAB y OBA son iguales, y miden:
OAB = OBA = · (180 – γ) = 90 – .
A partir de la figura anterior, γ = 2β. Además, la tangente AT es perpendicular
al radio OA y, por tanto, OAB = OBA = 90 – α, de donde 2α = γ.
Por lo tanto, se tiene α = β. Es decir, la medida determinada por el ángulo
semi–inscrito es igual a la del ángulo inscrito correspondiente y a la mitad
del ángulo del centro correspondiente.
• ¿Se puede determinar la medida del ángulo α?
• Supón que conoces la medida del ánguloα, ¿existe alguna relación con
el ángulo inscrito β?
• ¿Existe alguna relación con el ángulo del centro correspondiente
(es decir, que subtiende el mismo arco)?
1
2
γ
2
β
α
O
β
α
γ
O
A B
T
GLOSARIO
segmento que une dos
puntos de la circunferencia.
es
una recta que interseca a una
circunferencia en un solo punto,
llamado punto de tangencia. Si se
dibuja el radio que une el centro con
el punto de tangencia, se obtiene un
trazo perpendicular a la tangente.
en una
circunferencia, se le llama al ángulo
formado por una tangente y una
cuerda, en el punto de tangencia.
1. Calcula la medida de los ángulos α, β y γ marcados en cada caso.
a. e.
b. f.
c. g.
d. h.
• La tangente a una circunferencia es perpendicular al radio en el punto de tangencia.
• El ángulo semi–inscrito mide la mitad del arco que subtiende.
EN RESUMEN
195
Unidad 5
EN TU CUADERNO
43º
β
50º
94º
α β
γ
α
α
β
α
α
O
O
A
C B
A C
AB  BC
O
O
B
D
O
O
E
F
D
C
B
A
126º
256º
A
132º
B
C
O
T
γ
β
α
ABCDEF es hexágono regular.
61º
73º
MI PROGRESO
1. Clasifica los ángulos α, β, γ en: ángulo del centro, inscrito o semi-inscrito, según corresponda.
a. b. c.
2. Determina la medida de los ángulos indicados, en cada caso.
a. b. c.
3. Justifica por qué de la construcción de la tangente a una
circunferencia que pasa por un punto P fuera de ella,
que se presenta a continuación, se obtiene que las
rectas PQ y PR son tangentes a la circunferencia inicial.
• Se dibuja un segmento OP.
• Se marca punto medio M de OP.
• Se traza la circunferencia con centro en M y radio OM.
• Se nombra Q y R a las intersecciones de ambas circunferencias.
CRITERIO PREGUNTA EJERCICIOS CORRECTOS
• Revisa tus respuestas y, luego, escribe la cantidad de ejercicios correctos en tu cuaderno.
¿Cómo voy?
Reconocer ángulos en la circunferencia. 1 /9
Aplicar propiedades según el tipo de ángulo. 2 /6
Justificar a partir de una construcción geométrica. 3 /1
O
50º
O
α
β
β
γ
O
30º
60º
α
α γ
γ
O
O
200º
40º
R P
M
O
Q
α
β
C
O
α α β
β
197
Unidad 5
Observa las siguientes figuras:
Estos ángulos se nombran dependiendo de dónde está el vértice del ángulo.
En la primera figura, el vértice P es interior a la circunferencia, luego los
ángulos APB, BPD, APC y CPD son ángulos interiores.
En cambio, en la segunda figura, el vértice P está en el exterior de la
circunferencia, luego CPD es un ángulo exterior.
En el caso del ángulo interior, ΔBDP nos muestra que x = α + β.
Como los ángulos α y β son ángulos inscritos, que miden la mitad de los
respectivos ángulos del centro que subtienden a los mismos arcos,
entonces, α = y β = y luego,
x =
• En cada caso, APB y CPD ¿son ángulos inscritos?, ¿son ángulos
semi-inscritos?, ¿por qué?
• ¿Qué característica tiene el vértice P en cada caso?
• Si se conocieran las medidas de los arcos AB y CD, ¿se podría calcular
la medida del ángulo x, en cada caso?, ¿por qué?
• Copia las figuras en tu cuaderno y traza la cuerda BD en la primera
figura y la cuerda BC en la segunda figura. Llama α y β a los ángulos
inscritos que se formaron. ¿Cuál es la relación entre α, β y x? Explica.
ANALICEMOS…
Ángulos interiores y ángulos exteriores
a una circunferencia
• La medida del
es igual a la suma de
las medidas de sus dos ángulos
interiores no adyacentes.
α’ = β + γ
β’ = α + γ
γ’ = α + β
RECUERDA QUE…
x
P
C
P
x
B
A
C
D
D
B
A
P
C
D
B
A
x β
α
β’
α α’
β
γ
γ’
B
C A
GLOSARIO
una recta secante corta a la
circunferencia en dos puntos.
Si dos secantes a una circunferencia
se cortan en un punto forman un
, cuando este punto
es interior a la circunferencia, y
un , si dicho punto
es exterior.
DC AB DC AB
2 2 2
+ =
( + )
DC
2
AB
2
1. Calcula la medida de los elementos pedidos en cada una de las figuras siguientes.
a. c. e.
b. d. f.
EN TU CUADERNO
• Un ángulo interior a una circunferencia puede definirse como el ángulo formado por dos cuerdas
que se cortan.
• Un ángulo interior mide la semi-suma de los arcos que subtiende.
• Un ángulo exterior de una circunferencia es aquel cuyo vértice está en el exterior de la circunferencia
y cuyos lados son secantes o tangentes.
• Un ángulo exterior mide la semi-diferencia de los arcos que subtiende.
EN RESUMEN
En el caso del ángulo exterior, ΔPBC nos muestra que x = α – β.
Como los ángulos α y β son ángulos inscritos, que miden la mitad
del arco que subtienden, entonces, α = y β = y luego,
x =
O
O
O
O
75º
31º
121º 117º
37º
β 15º
α
β γ
β
α
35º
α
α
β α
O
87º
43º
113º
O
A
B
33º
71º
P
x
B
α
β
A
C
D
AB es diámetro.
DC
2
AB
2
DC AB DC AB
2 2 2


=
( )
199
Unidad 5
Proporcionalidad entre las cuerdas
de una circunferencia
Observa la siguiente figura. AB y CD son cuerdas de la circunferencia.
Para determinar la proporción en que el punto P divide ambos segmentos,
se debe demostrar la semejanza de los triángulos correspondientes.
Considera formar dos triángulos trazando las cuerdas AC y BD.
Observa:
APC = BPD, ya que son opuestos por el vértice,
ABD = ACD, ya que subtienden al mismo arco AD,
ΔAPC ~ ΔDPB, por el criterio AA de semejanza,
= , ya que ΔAPC ~ ΔDPB;
de donde se obtiene AP · BP = CP · DP.
CP
BP
AP
DP
• Mide con una regla los segmentos AP, PB, CP y PD. ¿Hay alguna
relación entre estas medidas?
• ¿En qué razón están los segmentos AP y PB?, ¿y los segmentos CP y PD?
• ¿Estos valores se pueden ordenar en una proporción?, ¿por qué?
• Traza una circunferencia en tu cuaderno. Marca en ella cuatro puntos y
traza las cuerdas correspondientes, de modo que se intersequen en un
punto. Mide y compara los segmentos tal como lo hiciste en la figura
anterior. ¿Estas medidas se pueden ordenar en una proporción?,
¿por qué?, ¿qué puedes concluir?
• ¿Cómo se demuestra que esto se cumple siempre? Explica.
ANALICEMOS…
• :
Si dos triángulos tienen dos
ángulos correspondientes iguales,
entonces son semejantes.
RECUERDA QUE…
O
P
D B
A
C
A
C
P
O
D
B
• Si dos cuerdas de una circunferencia se intersecan, su punto
de intersección las divide en segmentos proporcionales.
De aquí se concluye que AP · BP = CP · DP.
EN RESUMEN
1. En los siguientes ejercicios, determina la medida de PC.
a. b. c.
2. Considera la figura siguiente y determina:
a. la medida de PD, si AP = 10, PB = 6, CP = 12.
b. la medida de CP, si AB = 15, PB = 8, PD = 4.
c. la medida de PB, si AP = 6, PD = 4, CD = 13.
d. la medida de AP, si PD = 5, PB = 2 · AP, CD = 15.
3. En la figura siguiente, el diámetro CD es perpendicular a la cuerda AB. (Ayuda: en este caso, los segmentos
AP y PB tienen igual medida).
a. Determina AB, si OD = 10, OP = 8.
b. Determina OD, si AB = 24, OP = 5.
c. Determina AB, si OD = 25, PC = 18.
d. Determina PC, si AB = 8, OD = 5.
EN TU CUADERNO
O
P
D B
A
C
B
C
A A
O O
P
C
A D
B
12
3
4
9
18
P 12
B
C
A D
B
P
O
C
D
D
P
O
2 5
3
A
C
P B
O
D
201
Unidad 5
Tal como en la sección anterior, para establecer la proporcionalidad,
primero se debe establecer la semejanza. Para esto, se trazan las cuerdas
AD y BC, para formar los triángulos necesarios.
Observa:
PBC = PDA, ya que ambos subtienden el arco AC;
APD = CPB, ángulo en común de ΔAPD y ΔCPB,
ΔAPD ~ ΔCPB por el criterio AA de semejanza;
= , ya que ΔAPD ~ ΔCPB;
de donde se obtiene PA · PB = PC · PD.
PD
PB
PA
PC
ANALICEMOS…
Observa la siguiente figura. AP y CP son secantes de la circunferencia,
que la intersecan en los puntos B y D, respectivamente.
• Mide con una regla los segmentos AP, PB, CP y PD. ¿Hay alguna
relación entre estas medidas?
• ¿En qué razón están los segmentos AP y PB?, ¿y los segmentos CP y PD?
• ¿Estos valores se pueden ordenar en una proporción?, ¿por qué?
• Traza una circunferencia en tu cuaderno. Traza dos secantes, de modo
que se intersequen en un punto exterior. Mide y compara los segmentos
tal como lo hiciste en la figura anterior. ¿Estas medidas se pueden
ordenar en una proporción?, ¿por qué?, ¿qué puedes concluir?
• ¿Cómo se demuestra que esto se cumple siempre? Explica.
O
C D
B
A
P
P
A
C
D
B
Proporcionalidad entre las secantes
de una circunferencia
• Si dos secantes a una circunferencia se cortan en un punto fuera de ella, los puntos de intersección
de cada una con la circunferencia determinan segmentos proporcionales.
De aquí se concluye que PA · PB = PC · PD.
EN RESUMEN
1. Determina la medida de x.
a. b.
2. En la figura siguiente, los segmentos PB y PC son secantes a la circunferencia.
a. Determina PC, si PB = 14, PA = 4, PD = 7.
b. Determina BA, si PC = 8, PD = 6, PA = 3.
c. Determina PC, si BA = 5, PA = 7, PD = 4.
d. Determina PA, si PA = AB, DC = 14, PD = 4.
3. En la figura siguiente, los segmentos PB y PC son secantes a la circunferencia, CP es diámetro.
a. Determina PB, si OC = 3, PD = 6, PA = 8.
b. Determina OC, si BA = 7, PA = 7, PD = 2.
c. Determina PD, si OC = 11, PB = 15, PA = 5.
d. Determina PA, si OC = 5, PD = 6, BA = 4.
EN TU CUADERNO
D
D
A
x
4
6 B C
3
P
O
B
P
P
D
A
C
B
P
D
A
C O
B
x –1 32
22
x + 1
O
C D
B
A
P
203
Unidad 5
ANALICEMOS…
En el caso de una tangente con una secante a la circunferencia, tenemos
que considerar al ángulo exterior que ellas forman.
Primero, debes notar que el vértice de CPA está fuera de la circunferencia,
por lo que es un ángulo exterior. Ahora, se trazan las cuerdas AB y AC,
obteniendo triángulos como se muestra en la figura.
Observa:
PAB = BCA, ya que subtienden al mismo arco AB;
CPA = CPA ángulo en común de ΔAPB y ΔCPA;
ΔAPB ~ ΔCPA, por el criterio AA de semejanza;
= , ya que ΔAPB ~ ΔCPA;
de donde se obtiene PA2 = PB · PC.
Es decir, si una tangente y una secante se trazan desde un mismo punto,
la tangente es la media proporcional de los segmentos determinados por
la secante hasta cada punto de intersección con la circunferencia.
PC
PA
PA
PB
• ¿Cuál es la medida de CPA?, ¿se relaciona con alguno de los ángulos
inscritos?
• Entonces, ¿es posible relacionar las medidas de los segmentos?
• Supón que conoces la medida del segmento AP, ¿puedes determinar
las medidas de PB o de PC?
• Suponiendo que conoces todas las medidas, ¿existe alguna relación
entre estas?
P A
B O
C
A
C
B
P
Proporcionalidad entre las secantes
y tangentes de una circunferencia
1. Calcula la medida del segmento pedido en cada caso.
a. b. c.
2. En la figura siguiente, el segmento PA es tangente a la circunferencia.
a. Determina PA, si PC = 16, PB = 4.
b. Determina PA, si CB = 5, PB = 4.
c. Determina PC, si PA = 6, PB = 3.
d. Determina PB, si PC = 20, PA = 10.
e. Determina CB, si PA = 12, PB = 9.
3. En la figura siguiente, el segmento PA es tangente a la circunferencia y CB es diámetro.
a. Determina PA, si PB = 6, OB = 9.
b. Determina CB, si PB= 2, PA = 8.
c. Determina OB, si PB = 5, PA = 10.
d. Determina OB, si PA = 12, PC = 18.
e. Determina PB, si OB = 5, PA = 12.
4. En el dibujo, O es el centro de la circunferencia.
Prueba que se cumple la relación a2 = x · (x + 2r)
EN TU CUADERNO
• Si una tangente y una secante se trazan desde un mismo punto, la tangente es la media proporcional
de los segmentos determinados por la secante hasta cada punto de intersección con la circunferencia.
EN RESUMEN
A 5
6
C
x
x
r
O
O
x
r a
O
B
P
T
10
8
P
B
P
A
B
C
C
O
A
P
B
O
D
A
B
8 4
C
205
Unidad 5
MI PROGRESO
1. Determina el valor desconocido en los siguientes casos.
a. b. c.
2. Determina el valor de α y β en cada caso.
a. c.
b. d.
CRITERIO PREGUNTA EJERCICIOS CORRECTOS
• Revisa tus respuestas y, luego, escribe la cantidad de ejercicios correctos en tu cuaderno.
¿Cómo voy?
Aplicar propiedades de cuerdas, secantes y tangentes.
Calcular ángulos interiores y exteriores.
1
2
/3
/4
O
O
O
O
68º
54º
130º
25º
69º 29º
β 32º α 96º
α
α
α
β
β
A
C
P
B
O
x
D
O
E
G
F
B
A
C
x
O
75
10 5
4
3x
D
H
y
x
3 7
2
5
1
Cómo resolverlo
EN TU CUADERNO
1. Determina las medidas de los ángulosα y β para el caso que el cuadrado ABOC se remplaza por:
a. un pentágono regular.
b. un hexágono regular.
2. Con el dibujo de arriba, fija la medida del BOC arbitrario, y muestra que siempre se cumple la relación
BOC = 4 · OBD.
206 Problema resuelto 1
En la figura, ABOC es un cuadrado y los arcos CD y BD son iguales.
¿Qué valores tienen los ángulos α y β?
Solución:
Como el ángulo α es un ángulo inscrito, se tiene la relación α = · .
Además, es el arco subtendido por el ángulo del centro COB.
Luego, si el arco = 90º, entonces α = 45º.
Por otro lado, para determinar β, ya que + + = 360º,
de donde se obtiene 90º + 2 · = 360º, y por tanto, = = 135º.
Uniendo B con C se observa que el arco corresponde al arco que
subtiende el ángulo inscrito CBD. Luego, se tiene CBD = · 135º.
Pero CBD = 45º + β, obteniendo finalmente,
β = CBD – 45º = 67,5º – 45º = 22,5º.
Por lo tanto, α = 45º y β = 22,5º.
1
2
1
2
O
A
B
C
D
β
α
COB que es ángulo recto.
Como CD = BD y CB = 90º,
se remplaza en la igualdad.
La diagonal de un cuadrado
es bisectriz del ángulo
respectivo.
CB
CB
CB
CB
DC
DC
BD
BD BD CD
207
Unidad 5
EN TU CUADERNO
1. Comprueba, basado en estos cálculos, que BQ = 5 cm.
2. Si las medidas del triángulo están dadas por AB = c, BC = a, CA = b, comprueba que las medidas de x, y, z
están dadas por x = , y = , z = .
Problema resuelto 2
En la figura, se considera una circunferencia tangente al ΔABC en
los puntos P, Q, y R. Si las medidas de los lados del triángulo son
AB = 14 cm, BC = 7 cm, CA = 11 cm, muestra que las medidas de
AR y CP son 9 cm y 2 cm, respectivamente.
Solución:
Es evidente, a partir de la figura, que los lados del triángulo satisfacen las
relaciones
En primer lugar, los segmentos AB y AC son tangentes a la circunferencia en
Q y R, respectivamente. Por lo tanto, las medidas de AR y AQ son iguales.
De la misma manera, las medidas de CR y CP son iguales entre sí,
y las medidas de BP y BQ son iguales entre sí.
Restando la tercera ecuación de la primera se obtiene la ecuación 7 = x – z,
la que, junto con la segunda ecuación, forman un sistema de dos ecuaciones
con dos incógnitas, cuya solución es x = 9, z = 2. Por lo tanto, la medida de
AR es de 9 cm, y la medida de CP es de 2 cm.
b + c – a
2
a + c – b
2
a + b – c
2
AQ + QB = AB
AR + RC = AC
BP + PC = BC
x + y = 14
x + z = 11
y + z = 7
O
A Q y B
P
C
R
x
z
Como hay más incógnitas
que ecuaciones, es necesario
determinar cuáles son las
relaciones entre estos
segmentos.
Se asigna AR = x, BQ = y,
CP = z
208 En terreno
Medición de la Tierra
Uno de los más espectaculares logros de la ciencia matemática de la Antigüedad fue la
determinación de la medida de la circunferencia de la Tierra, es decir, la distancia alrededor de
la Tierra medida a lo largo de cualquier círculo que pase a través de los polos. El más preciso
de estos cálculos fue el de Eratóstenes, cerca del año 200 a. C. Observa.
Se sabía que, en un momento determinado, el Sol estaba exactamente encima de Siene (actualmente
Asuán), en Egipto, (el punto S en la figura). En ese mismo momento, en Alejandría, situada
directamente al norte de Siene (el punto A), se midió la posición del Sol y fue de de círculo.
1. ¿A cuántos grados corresponde el arco de de circunferencia?
2. ¿Se puede considerar que los rayos de sol son paralelos?, ¿por qué?
3. Considerando los datos, ¿cuánto mide ACS?, ¿por qué?
4. Si la distancia entre Alejandría y Siene es de 845 km, ¿cuánto mide el perímetro de la Tierra?
Justifica tus cálculos.
EN TU CUADERNO
1
50
1
50
1
50
Medida de de un círculo completo
Rayos de sol
de la circunferencia
A
S
C
1
50
Ahora trabaja en grupos de tres personas:
Cuando Galileo observó la Luna, vio “altas montañas y profundos valles”. Midió la sombra que proyectaban las
montañas para calcular su altura aproximada. Galileo concluyó que tenían 6,4 km de altura (y pensó que eran
más altas que cualquier montaña en la Tierra).
1. Galileo determinó que la razón entre el diámetro de la Tierra y el de la Luna era 7 : 2, y creía que el diámetro
de la Tierra era 11 256 km. Usando estos datos, calculen:
a. el diámetro de la Luna.
b. la circunferencia de la Tierra.
c. la circunferencia de la Luna.
2. Dibujen una figura que muestre una vista de la Luna parcialmente iluminada. Marquen un punto T, que
represente la cima de la montaña lunar, cuya altura deseaba encontrar Galileo, y tracen la recta AT, tangente
a la Luna en A, que representa un rayo de luz.
a. ¿La superficie de la Luna que está inmediatamente bajo el segmento AT está en la sombra de la montaña?
Justifiquen su respuesta.
b. Marquen en la figura el punto C, el centro de la Tierra, dibujen el segmento TC y llamen B a la intersección
de este segmento con la superficie de la Luna. Galileo determinó que la medida del arco AB era del
diámetro de la Luna. Pensó que su longitud sería aproximadamente igual a la longitud del segmento AT.
¿Qué dato utilizó Galileo para la longitud AT?
3. ¿Qué antecedente permitió a Galileo establecer que el triángulo ACT era un triángulo rectángulo?
4. Pueden hacer ahora lo que él hizo y calcular la longitud de CT, es decir, la distancia desde el centro de la Luna
hasta la cima de la montaña.
5. Finalmente, pueden calcular la longitud del segmento BT, que es la altura de la montaña lunar. Comparen
sus cálculos con los de Galileo.
• La figura que realizaron ¿les permitió establecer las relaciones necesarias para calcular la altura de la montaña
lunar?, ¿por qué?
• ¿Obtuvieron un resultado similar al de Galileo?
209
Unidad 5
EVALUEMOS NUESTRO TRABAJO
INVESTIGUEMOS…
1
20
210 Síntesis de la Unidad
A continuación, se presentan los conceptos fundamentales trabajados en la unidad. Construye con
ellos un mapa conceptual en tu cuaderno. No olvides agregar las palabras de enlace que indican
las relaciones que hay entre los conceptos.
1 Determina si las expresiones siguientes son verdaderas o falsas. Justifica tu respuesta.
a. Si un ángulo del centro subtiende el mismo arco que un ángulo inscrito, el ángulo del centro mide
la mitad del ángulo inscrito.
b. Se puede calcular la medida de un ángulo interior a una circunferencia a partir de la suma de los
arcos que subtiende.
c. Dada la medida de un ángulo exterior formado por dos tangentes a una circunferencia, se obtiene
la medida de los arcos que determinan las tangentes sobre la circunferencia.
d. Si dos secantes se trazan desde un mismo punto, la suma de las medidas de cada secante hasta cada
punto de intersección es constante.
e. Si un ángulo inscrito es tal que la cuerda que une los extremos del arco subtendido pasa por el centro
de la circunferencia, el ángulo es recto.
f. Todo cuadrilátero formado por dos tangentes a una circunferencia es inscriptible a esta.
g. Dada la medida de un ángulo exterior formado por dos secantes a una circunferencia, se obtiene
la medida de los arcos que determinan las secantes sobre la circunferencia.
Circunferencia
Medición de arcos Ángulos interiores
Ángulo semi-inscrito Ángulos exteriores
Ángulo del centro
Proporcionalidad
Cuerdas
Tangentes
Secantes
Ángulo inscrito
2 Aplica lo que aprendiste en la unidad para resolver los siguientes problemas:
a. En la figura, M es punto medio del arco AX y N punto
medio del arco YA. ¿Qué tipo de triángulo es ΔABC?
b. Si en la figura, PQ = 72 cm, ¿cuánto es PR · PS?
c. En una circunferencia se trazan dos cuerdas que resultan ser del mismo tamaño. Prueba que están
a la misma distancia del centro.
d. Calcula la medida del ángulo x.
e. El triángulo ABC es rectángulo en B. diámetro
de la circunferencia de radio 6 cm.
Si m( ) = 16 cm, calcula la medida de .
211
Unidad 5
h. Si la cuerda que une los extremos de un arco subtendido por un ángulo inscrito pasa por el centro de
la circunferencia, entonces el ángulo es recto.
i. Si una tangente y una secante se trazan desde un mismo punto, la medida hasta el punto de
tangencia es la suma de las medidas de la secante hasta cada punto de intersección.
87°
28°
x
O
A
O
B
C
D
AB
BC AD
N
M
X
Y
A
C
B
Q P
R
S
212 Evaluación de la Unidad
1. Con respecto a la figura, es falso que:
A. EB es cuerda.
B. EBA es inscrito.
C. CD es cuerda.
D. OA es radio.
E. AB es diámetro.
2. En la figura , entonces es verdad
que:
I. α = β
II. α + β = γ
III. γ =
A. Solo I
B. I y II
C. II y III
D. I y III
E. I, II y III
3. En la figura AB = 5 cm y AC = 10 cm.
¿Cuánto mide el arco CB?
A. 30º
B. 60º
C. 90º
D. 120º
E. Falta información.
4. En la figura α = 2β y el ángulo α mide:
A. 18º
B. 36º
C. 72º
D. 144º
E. Otro valor.
5. En la figura y la medida del
ángulo α es:
A. 10º
B. 40º
C. 54º
D. 72º
E. Otro valor.
6. Según lo que se observa en la figura,
es falso que:
A. β = δ
B. γ = β
C. α = 2γ
D. δ = α
E. α = 2β
AB = BC
AC = BC
Resuelve los siguientes ejercicios en tu cuaderno y selecciona la alternativa correcta en cada caso.
α
2
B
5x 4x
β
x
O
O
A C
B
3x
4x
D
O
E
A
C
D
C
O
B
B
O
A C
A
α
α
α
γ
α
δ
β
γ
β
213
Unidad 5
7. Con respecto a la figura, es falso que:
A. ACB = 90°
B. α + β = 90°
C. ACO = α
D. COB = 2α
E. OAC = β
8. Las 5 cuerdas formadas en la figura son
congruentes; el valor de DAB es:
A. 108º
B. 72º
C. 60º
D. Otro valor.
E. Falta información.
9. La amplitud de BCD en la figura tiene un
valor de:
A. 55º
B. 125º
C. 148º
D. 157º
E. Otro valor.
10. (Ensayo oficial PSU, 2004) En la figura,
los puntos P, Q, R y S están sobre la
circunferencia de centro O.
Si QT : TP = 3 : 4, QT = 6 cm y ST = 12 cm,
entonces RT mide:
A. 4 cm
B. 6 cm
C. 8 cm
D. 9 cm
E. 10 cm
11. Las medidas de AED y CDF son,
respectivamente:
A. 86º y 60º.
B. 43º y 120º.
C. 78º y 103º.
D. 120º y 78º.
E. 60º y 86º.
12. Las medidas de CBD y CDB son,
respectivamente:
A. 46º y 47º.
B. 50º y 37º.
C. 47º y 37º.
D. 37º y 50º.
E. 46º y 50º.
A
A B
E
32º
23º O
A
B
C
E
C
120º
43º
46º
37º
50º 47º
70º
x
y
B
A D
A D
B C
E
x
y
F
D
C D
O
C
O B
R
P
T
O
Q
S
α β
1. Identifica en la circunferencia los siguientes elementos:
a. diámetro.
b. secante.
c. arco.
d. tangente.
e. radio.
f. cuerda.
2. ¿Cuál es la diferencia entre un círculo y una circunferencia? Comenta
con tus compañeros y compañeras.
3. Calcula el valor de α y β.
4. Encuentra la mayor cantidad posible de parejas de triángulos
semejantes e indica en cada caso el criterio que fundamenta
la semejanza.
Recuerda lo que aprendiste en años anteriores y resuelve en tu cuaderno.
D
F O B
C
C
G
A
70º
88º
59º
65º 65º
68º
β
α
A B
D E
E L
J K
N
O
M
V
R Q
P
T
U S
W
G H
I
X
33º
88º
30º 30º
50º
8 8
5
4
7
8
10
8
14
16
Compara tus respuestas con las de tus compañeros y compañeras.
¿Te equivocaste en alguna?, ¿cuál fue el error? Explícalo y resuelve
correctamente el ejercicio.
¿QUÉ DEBES RECORDAR?
• Un ángulo es la unión de dos semirrectas, llamadas lados, con el extremo común, llamado vértice.
• La circunferencia es el lugar geométrico de los puntos del plano que están a igual distancia o
equidistan de un punto fijo llamado centro. Algunos de sus elementos son:
– Radio: es cualquiera de los segmentos que unen el centro con un punto de la circunferencia.
– Cuerda: segmento que une dos puntos de la circunferencia.
– Diámetro: cuerda que contiene al centro de la circunferencia.
– Recta secante: recta que corta la circunferencia en dos puntos.
– Recta tangente: recta que corta a la circunferencia en un punto.
– Arco: parte de la circunferencia comprendida entre dos puntos de ella.
• Dos figuras son semejantes si todos sus correspondientes ángulos son iguales y la razón entre
sus correspondientes lados es constante.
• Dos triángulos son semejantes si todos los lados correspondientes son proporcionales y si las
medidas de los ángulos correspondientes son iguales.
• Para establecer la semejanza entre dos triángulos, se pueden utilizar los siguientes criterios:
– Criterio AA o primer criterio de semejanza: si dos triángulos tienen dos de sus ángulos
iguales, entonces los triángulos son semejantes.
– Criterio LLL o segundo criterio de semejanza: si dos triángulos tienen todos sus lados
correspondientes en igual proporción, entonces los triángulos son semejantes.
– Criterio LAL o tercer criterio de semejanza: si dos triángulos poseen dos de sus lados
correspondientes en igual proporción y los ángulos comprendidos por dichos lados son
congruentes, entonces los triángulos son semejantes.
O
B
L
T
D
N C
M
A
Páginas 186 y 187 (¿Cuánto sabes?)
3. α = 138º, β = 110º
Página 189
1. a. b. c. d. El radio
mide 18 cm.
Página 192
1. a. α = 150º c. α = 66º e. α = 76º
b. α = 60º d. α = 68º f. α = 42º, β = 21º
Página 193
g. α = 72º, β = 36º h. α = 50º i. α = 90º
2. COH = 120º
3. El APB es isósceles rectángulo.
4. α = 60º
Página 195
1. a. α = 43º e. α = 128º
b. α = 66º, β = 66º, γ = 132º f. β = 54º
c. β = 100º y γ = 40º g. α = 27º
d. α = 43º y β = 86º h.α = 120º
25
6
π 4
3
π 47
15
π
Página 196 (Mi progreso)
1. a. α ángulo inscrito, β ángulo del centro
b. α ángulo del centro, β ángulo inscrito,
γ ángulo semi-inscrito.
c. α ángulo del centro, β ángulo del centro,
γ ángulo semi-inscrito.
2. a. α = 25º
b. α = 120º, β =120º
c. α = 30º, β = 60º, γ = 100º
Página 198
1. a. α = 39º d. α = 74º, β = 106º, γ = 43º
b. α = 47º e. α = 109º, β = 71º
c. α = 61º f. α = 90º, β = 60º
Página 200
1. a. PC = b. PC = 9 c. PC = 6
2. a. PD = 5 b. CP = 14 c. PB = 6 d. AP = 5
3. a. AB = 12 b. OD = 13 c. AB = 48 d. PC = 2
Página 202
1. a. x = b. x = 9
2. a. PC = 8 b. BA = 13 c. PC = 21 d. PA = 6
3. a. PB = 9 b. OC = c. PD = 3 d. PA = 8
Página 204
1. a. x = b. x = 12 c. r = 6
2. a. PA = 8 c. PC = 12 e. CB = 8
b. PA = 6 d. PB = 5
3. a. PA = 12 c. OB = e. PB = 8
b. CB = 30 d. OB = 5
Página 205 (Mi progreso)
1. a. x = 4, y = 13 b. x = 10 c. x =
2. a. α = 61º, β = 119º c. α = 64º, β = 32º
b. α = 80º d. α = 98º, β = 40º
Páginas 210 y 211 (Síntesis de la Unidad)
1. a. F d. F g. F
b. V e. V h. V
c. F f. F i. F
2. a. Isósceles. d. x = 37º
b. 722 e. AD = 7,2 cm
Páginas 212 y 213
1. C 4. C 7. E 10. A
2. B 5. D 8. D 11. C
3. D 6. D 9. B 12. B
Páginas 216 y 217 (¿Cuánto sabes?)
1. a. 1,68 b. 1,74 c. 1,47 y 1,79
2. a. 30 b. 1,9 años c. 1 d. 0 y 3

160
Unidad 6 Datos y azar
b. 79 d. f.
20
5
2
1943
270