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VECTORES EN EL PLANO CARTESIANO Y EL ESPACIO EJERCICIOS RESUELTOS DE SECUNDARIA EN PDF

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vector: toda magnitud en la que, además de la cantidad, hay que considerar la dirección y el sentido.
En resumen
• Un vector es un objeto matemático caracterizable mediante una magnitud o módulo, una dirección y un sentido.
• Dos vectores son iguales solo si son, a la vez, paralelos, con igual sentido y con la misma magnitud o módulo.
• El vector 0 →
corresponde a un vector, pero de magnitud 0, y sin dirección ni sentido.
• La suma de dos o más vectores es un vector. La adición de vectores es asociativa, conmutativa,
tiene un elemento neutro y elemento inverso para cada vector.
• La resta de vectores, a → – b→ , consiste en sumar aa → el vector opuesto deb → .
• Para representar la suma o resta de vectores, se pueden utilizar las diagonales de un
paralelogramo como representación de ellas.
• La traslación de una figura en el plano cartesiano da origen a una nueva figura, que es
congruente con la anterior; es decir, mantiene la misma forma y medidas.
• Una composición de traslaciones resulta de aplicar una traslación a otra traslación ya realizada.
• Si T

x, y es una traslación en el plano cartesiano, entonces T –1 →
x, y es su traslación inversa,
y corresponde a la trasformación que tiene la misma magnitud y dirección, pero sentido
contrario. O sea, T –1 →
x, y = T

–x, –y.
• Una homotecia es una transformación geométrica que no afecta la forma de la figura, pero
sí puede cambiar su tamaño y orientación.
• Una homotecia de centro O y razón k, con k  O transforma un vector OP

en un vector OP’

,
tal que OP’

= k · OP

. Se escribe H(O, k). Algunas de sus características son:
• las figuras generadas mediante homotecia son semejantes a las figuras originales.
• los lados correspondientes entre dos figuras homotéticas son paralelos.
• si la razón es positiva, la homotecia preserva el sentido de las figuras. Si la razón es
negativa, la homotecia invierte las figuras.
• La composición de dos homotecias de centro C es otra homotecia de centro C, y su razón corresponde
al producto de las razones; esto es, si H’ (C, k’) y H (C, k), H º H = H1, donde H1 (C, k · k’).
• El producto punto de dos vectores está dado por la expresión a
con α: ángulo comprendido entre ambos vectores.
• La expresión p

= p0

+ λd →
recibe el nombre de ecuación vectorial de la recta o ecuación de la
recta en la forma vectorial. p0

es el vector posición de la recta, cuando no pasa por el origen
(que no es un vector ponderado de d
es el vector director, paralelo a la recta, y λ es un
parámetro que, al tomar diferentes valores, nos entrega distintos puntos que forman la recta.
• Para representar vectores unitarios que están en los ejes X, Y y Z, en sentido positivo,
utilizamos las letras i^, j^ y k^, respectivamente.
• El producto cruz, de dos vectores u

×v →
, es un vector de módulo | u
→ | · |v
→ | · sen(α), con
dirección perpendicular al plano determinado por u

y v

, y cuyo sentido se puede determinar
mediante la regla de la mano derecha.
• La ecuación vectorial de la recta en el espacio está dada por la expresión
x, y, z = p0

+ λd →
= x0, y0, z0 + λd1, d2, d3, donde d

: vector director de la recta;
p0

x0, y0, z0: vector posición de la recta; λ: parámetro.

• Un plano posee solo dos dimensiones, es ilimitado y contiene infinitos puntos y rectas.
Se le considera un concepto primitivo, que no puede definirse.
• Se puede determinar un único plano a partir, en cada caso, de:
• tres puntos no colineales.
• dos rectas secantes y distintas.
• dos rectas paralelas y distintas.
• una recta y un punto exterior a ella
• Posiciones relativas entre dos planos: las posibles posiciones entre dos planos en el espacio se
pueden describir como paralelos, secantes o coincidentes.
• El ángulo diedro entre dos planos es la porción de espacio comprendida entre dos semiplanos
que tienen una recta común y están situados en planos distintos.
• Las posibles posiciones relativas entre una recta y un plano son:
• la recta está contenida en el plano, si todos los puntos de la recta pertenecen al plano.
• paralelos (y distintos), si ningún punto de esta recta pertenece al plano.
• secantes, si la recta interseca al plano en un solo punto.
• Las posibles posiciones relativas entre dos planos en el espacio son:
• coincidentes, si tienen todos los puntos en común.
• paralelos (y distintos), si no tienen ningún punto en común.
• secantes, si los planos se intersecan en una sola recta.
• La recta en el espacio se representa como la intersección de dos planos distintos que la contienen.
Se les llama las ecuaciones cartesianas de la recta, y deben considerarse simultáneamente

Vectores
Conocer y utilizar la operatoria con vectores.
Coordenadas cartesianas en el plano y el espacio
Traslaciones
Homotecias
Rectas y planos en el espacio
Ecuaciones cartesianas
Ecuaciones vectoriales
Realizar traslaciones y homotecias de figuras.
Reconocer vectores en el plano y en el espacio.
Identificar y describir puntos, rectas y planos en el espacio.
Escribir la ecuación de la recta, vectorial y cartesiana.
Escribir la ecuación del plano, vectorial y cartesiana.

El lanzamiento del martillo es una competición de atletismo donde se lanza una bola de metal
unida a una empuñadura mediante un cable de acero, denominado martillo. Gana quien lo arroja
a una mayor distancia. Esta prueba requiere tanto de fuerza como de destreza y velocidad, ya que
el o la atleta debe balancear el martillo y, luego, girar con él para lanzarlo con la mayor velocidad
posible. Se incorporó para hombres en el año 1900 en los Juegos Olímpicos de París y para
mujeres en el año 2000, en Sidney.
1. ¿Qué fuerzas actúan sobre el martillo mientras el atleta gira con él antes del lanzamiento?,
¿cómo las representarías?
2. ¿Qué fuerzas actúan sobre el martillo mientras está en el aire?, ¿podrías señalarlas en la imagen?
¿Cómo las representaste?, ¿por qué?
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OBJETIVOS :
* El tema busca fundamentalmente introducir al estudiante en una nueva visión de la Geometría a través del manejo del concepto de vector libre y de las operaciones que se definen en torno a él, con el fin de capacitarlo para enfrentar problemas de la física, el cálculo y otras disciplinas en una forma más sencilla que la aportada por la Geometría Euclidiana.

* Identificar y establecer la relación existente entre el Algebra y la Geometría como consecuencia de la asociación de ecuaciones y figuras geométricas.

* En el mismo sentido; se refuerza en forma permanente la determinación de diferentes lugares geométricos; no reduciendo su planteamiento únicamente al aspecto vectorial sino haciendo énfasis en el desarrollo cartesiano y su correspondiente estudio analítico.
* Finalmente se presenta un estudio detallado de las cónicas en forma cartesiana.
INTRODUCCIóN :
Vector , en matemáticas, cantidad que tiene magnitud, dirección y sentido al mismo tiempo. Por ejemplo, si una cantidad ordinaria, o escalar, puede ser una distancia de 6 km, una cantidad vectorial sería decir 6 km norte. Los vectores se representan normalmente como segmentos rectilíneos orientados, como B en el diagrama que se muestra a continuación; el punto O es el origen o punto de aplicación del vector y B su extremo. La longitud del segmento es la medida o módulo de la cantidad vectorial, y su dirección es la misma que la del vector.

El vector, se usa desde hace bastante. La idea analítica del vector surgió con la geometría analítica (naturalmente). Es decir, una vez establecido el asunto cartesiano (Descartes combinó la geometría y el álgebra), se empezaron a usar los vectores como representaciones. Pero desde el punto de vista físico existía una necesidad (también dentro de la geometría pura). Un vector es una simple n-upla? .
En las matemáticas de nuestros días, un vector es considerado como un conjunto ordenado de cantidades con determinadas reglas para su utilización. El análisis vectorial (es decir, el álgebra, la geometría y el cálculo de cantidades vectoriales) aparece en las matemáticas aplicadas en todos los campos de la ciencia e ingeniería.

geometría vectorial
El sistema de ejes coordenadas está definido como el producto cartesiano de , mediante el cual se identifica a el conjunto de pares ordenados de números reales o puntos así:

Donde la igualdad de pares ordenados está dado por:

Entonces a los elementos de se denomina puntos que se denotan por : .
Las operaciones a realizar son:
Suma: Dados los puntos ; se
define la suma como el par ordenado de componentes así:

MULTIPLICACIóN DE UN PUNTO POR UN ESCALAR
Dado el punto se define el producto de como el par ordenado cuyas componentes son ra1 y ra2.
Así :
Luego :

ESPACIO VECTORIAL BIDIMENSIONAL REAL
Un conjunto de elementos se denomina espacio vectorial bidimensional real , si para cualquier par de elementos está definido la suma y la multiplicación de donde r es un escalar.
Entonces a los elementos del espacio vectorial se denominan vectores. Sean los vectores: y r, k números reales, luego se cumple los siguientes axiomas. .
1) (ley de clausura)
2) (ley conmutativa)
3) (ley asociativa)
4) Existe un único elemento denominado origen o elemento cero tal que ,a dicho elemento se denomina vector nulo.
5) Para cada vector existe un único vector denotado por en tal que :
Luego : se denomina el opuesto de o el inverso aditivo del vector .
6) (ley de clausura)
7)
8)
9)
Para la resta de dos vectores a , se define la siguiente operación:

VECTOR :
La representación geométrica del vector a es mediante una flecha o segmento dirigido, el siguiente gráfico nos ilustra dicha representación.

El segmento dirigido AB o flecha representa al vector a, donde A es el punto inicial o extremo inicial y B es el punto final o extremo final, su notación correspondiente es:
: se lee vector AB o segmento dirigido que va de A hacia B.
Luego :

¡ Recuerde !
* Sea : se lee vector a cuyas componentes son a1 y a2.

* Sea : P(x0: y0): se lee punto P de coordenadas xo y Yo Es frecuente asociar la palabra vector en el campo de las matemáticas, física. mecánica y otras ciencias. Esto es cuando se refiere a las magnitudes vectoriales, así tenemos por ejemplo la velocidad, la aceleración, la intensidad del campo electromagnético, etc. además de sus valores numéricos estos tienen una dirección y un módulo, se representan mediante un vector o segmento dirigido.

REPRESEnTACIÓN GEOMÉTRICA DE UN veCTOR EN
Geométricamente un vector en es representado mediante un segmento dirigido o une flecha. Cada vector tiene un número infinito de representaciones geométricas en , todos ellos son paralelos entre si, tienen igual módulo y dirección.

Notación:
: vector P0P1
: vector a

donde:
P0 : punto inicial o extremo inicial
P1 : punto final o extremo final
se lee vector a cuyas componentes son a1 y a2.
donde:
a1: se denomina primera componente y es desplazado
paralelamente al eje X. ·
a2: se denomina segunda componente y es desplazado paralelamente al eje Y.

RADIO VECTOR :
Es aquel vector cuyo punto inicial es el origen de coordenadas.
En la figura A
: radio vector (vector posición)
MÓDULO O MAGNITUD DE UN VeCTOR
Para cada vectorexiste un escalar número real denominado módulo, magnitud, norma o longitud de dicho vector.
dénotado por

En la figura:
: aplicando el teorema de Pitágoras

DIRECCIÓN DE UN VECTOR :
A cada vector no nulo , le corresponde una dirección. dada por la medida del ángulo que forma el vector con el eje X.
Así:

Dado el vector:
Del gráfico:

Luego:

Analizando las componentes del vector , se observa
dos elementos muy importantes los cuales son el módulo . Donde es medido en sentido antihorario a partir del eje el cual indica la dirección del vector.
REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE LA SUMA DE VECTORES
Sean: y , luego el vactor suma es:

En el gráfico :

: se denomina resultante
REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE LA MULTIPLICACIÓN DE UN ESCALAR CON UN VECTOR
Dado un número real r (escalar) y un vector ,se tiene:

donde : se lee r veces el vector a y : tienen igual dirección que .

todo vector tiene su Inverso aditivo denotado por , denominado también el opuesto del vector y ambos tienen igual módulo y dirección.

Representación gráfica de la resta de vector
Sean los vectores y , se define la resta
es decir :
Luego :

En la figura : y , luego:

MÉTODOS PARA SUMAR DOS , TRES O MÁS VECTORES MÉTODO DEL TRIÁNGULO
Sean los vectores:

Para obtener la suma de se realiza una traslación respecto a su posición inicial, es decir se realiza un desplazamiento paralelo a su posición Inicial.
Procedimiento :
Se traslada el vector ; luego por su extremo final se traslada al vector , entonces el vector cuyo extremo inicial es el extremo inicial del valor y su extremo final es el extremo final del vector es otro vector que representa al vector , así tenemos en la siguiente figura:

En la figura :
MÉTODO DEL POLÍGONO :
Este método consiste en la aplicación sucesiva del método del triángulo.
Sean los vectores .

En la figura:

MÉTODO DEL Paralelogramo :
Sean los vectores

VECTORES PARALELOS :
Dos vectores no nulos, son paralelos o proporcionales si y solo si uno de los vectores es k veces el otro vector, donde k es un escalar.
Así :

En la figura :

* El vector nulo es paralelo a todo vector

* Todo vector es paralelo a sí mismo.

VECTOR unitario :
Dado un vector , se denomina vector unitario, aquel vector cuyo módulo es uno, se denota: . Así : vector unitario
Luego:

VECTOR unitario que tiene la dirección de un vector
Dado el vector y el vector unitario que tiene la dirección del vector como y tiene igual dirección entonces dichos vectores son paralelos.

En la figura

Luego:

VECTORes unitarios que tiene igual dirección que los semijees
positivos x – y
Los vectores unitarios que tienen igual dirección que los semiejes positivos X e Y se representan por .

Del gráfico :

Sea un radio vector de componentes a1 y a2, luego:

Del gráfico :

PRODUCTO ESCALAR DE DOS VECTORES
Dados los vectores y , el producto escalar o interno de se denota por y se define por :

VECTORES ORTOGONALES :
En el espacio vectorial dos vectores son ortogonales si
sus respectivas líneas de acción son perpendiculares.

En la figura se muestran dos vectores cuyas líneas de acción son perpendiculares, mediante una traslación los vectores son ortogonales en P y se denota por , Así:

Siendo:
Luego :
Suma :

Resta :

En el rectángulo sus diagonales tienen igual longitud ,entonces:

Luego :

Por definición del producto escalar.

Luego: de (1) y (2):

¡ Recuerde !

ORTOGONAL DE UN VECTOR :
Para cada vector se define su correspondiente vector ortogonal denotado por cuyas componentes son , es decir: .
Gráficamente el vector se obtiene haciendo girar el vector sobre su punto inicial un ángulo cuya medida es 90° en sentido antihorario.

En la figura:

Luego :

ANGULO ENTRE DOS VECTORES
Sean los vectores que tienen el mismo origen y forman un ánguIo de medida, luego el Cos se define por:

En el : Por Ley de Cosenos

Despejando Cos:

ÁREA DE UNA REGIÓN PARALELOGRÁMICA
El área de una región peralelográmica cuyos lados tienen por longitud el módulo de los vectores está dado por:

PROPIEDADES :

! recuerde que ¡
Dado el vector no nulo ; su ortogonal denotado por , se obtiene haciendo girar , 90° en sentido antihorario, alrededor de su punto de partida; cumpliéndose que :

Observaciones :

ÁNGULO ENTRE DOS VECTORES
Dados los vectores no nulos:

PROYECCIóN ORTOGONAL DE UN VECTOR SOBRE OTRO
Dados los vectores no nulos ; el vector (ver gráfico adjunto), se denomina la proyección ortogonal de sobre , denotándose y calculándose de la siguiente forma:

Denotándose :
cantidad, cuyo valor indicará la longitud o módulo del vector

ÁREA DE UN TRIÁNGULO FORMADO POR DOS VECTORES
Aprovechando el gráfico de lo anterior, tenemos:

COMBINACIÓN LINEAL DE VECTORES
Dados los vectores , no nulos; se dice que ; es una combinación lineal de si existen ‘‘m’’ y ‘‘n’’, tales que: .

Consideraciones :
1) Se dice que:; son linealmente independientes, si :
2) Se dice que ; son linealmente dependientes, si:

LA RECTA EN EL PLANO CARTESIANO
Elementos :
Dada la recta ‘‘L’’:

PENDIENTE DE UNA RECTA : (m)
Dada la recta ‘‘L’’ con su ángulo de inclinación ‘‘’’; se denomina pendiente de ‘‘L’’ al número ‘‘m’’

OBTENCIÓN DE LA PENDIENTE CON DOS PUNTOS DE PASO
Dada la recta ‘‘L’’ que pasa por los puntos y , su pendiente ‘‘m’’ se calcula, así:

Por ejemplo en el gráfico

POSICIONES RELATIVAS DE DOS RECTAS OBLICUAS
1. Dadas las rectas L1 y L2;

2) Dadas las rectas L1 y L2

ECUACIÓN DE LA RECTA
Es la relación algebraica que deben verificar tanto la abscisa como la ordenada de todo punto perteneciente a una recta. Para hallar esta relación, se requiere de:

POSICIONES PARTICULARES DE UNA RECTA
1) RECTA VERCTICAL 2) RECTA HORIZONTAL

CONSIDERACIONES :
1) GRÁFICA DE UNA RECTA :
Para graficar una recta, se sugiere ubicar dos puntos de paso de ella, de preferencia las intersecciones con los ejes. Así por ejemplo:

2) INTERSECCIONES DE RECTAS :
Para hallar el punto de intersección de dos rectas, se resuelven las ecuaciones como sistema de dos incógnitas. Así por ejemplo:

3) ECUACIÓN SIMÉTRICA :
Dada la recta oblícua ‘‘L’’ cuyos interceptos son ‘‘a’’ y ‘‘b’’; su ecuación es de la forma:

ÁNGULO ENTRE RECTAS
Dadas las rectas ‘‘L1’’ y ‘‘L2’’, ‘‘’’ es el ángulo formado por ‘‘L1’’ y ‘‘L2’’

DISTANCIA DE UN PUNTO A UNA RECTA
Dada la recta L: ax+by+c=0 y el punto del plano:
La distancia ‘‘d’’ de ‘‘P’’ a ‘‘L’’ se determina así:

DISTANCIA ENTRE RECTAS PARALELAS
Dada las rectas paralelas :
L1: ax+by+c1=0
L2: ax+by+c2=0

La distancia ‘‘d’’ entre ellas se calcula así:

ECUACIÓN VECTORIAL
DE UNA RECTA
Dada la recta ‘‘L’’ cuya ecuación cartesiana es fácil de obtener, bajo las condiciones ya mencionadas en el punto anterior, buscaremos representarla de forma vectorial, para ello vamos a necesitar:
: vector paralelo a ‘‘L’’; el cual se denominará ‘‘vector direccional’’
P0(x0 ; y0): punto de paso de la recta ‘‘L’’
Ahora bien, note que: , ya que
Luego:
Es decir:

CONSIDERACIONES :

1) Si el vector direccional es , la pendiente de la recta es

2) Si el ángulo de inclinación de una recta es ‘‘’’; su vector direccional puede elegirse como:

3) De la ecuación vectorial:

Tenemos:

CÓNICAS / CIRCUNFERENCIA
PARÁBOLA – ELIPSE – HIPÉRBOLA
DEFINICIÓN :
Es el lugar geométrico de un punto que se mueve en un plano de tal manera que se conserva siempre a una distancia constante de un punto fijo de ese plano. El punto fijo se llama centro de la circunferencia, y a la distancia constante se llama radio.

En el gráfico:

* Centro: C (h ; k)
* Radio: R
* Punto genérico: P(x; y)
Por definición :
d (P ; C)=R

Caso particular:

ECUACIÓN GENERAL DE LA CIRCUNFERENCIA
Desarrollando la forma ordinaria:
C : (x-h)2+(y-k)2=R2
Obtenemos:

Haciendo que:
A=–2h ; B=–2k ; C=h2+k2–R2
La ecuación de la circunferencia sería:

Si llevamos a su forma inicial obtenemos:

De donde la ecuación representa a una circunferencia de radio diferente de cero, solamente si:

Eje radical de dos circunferencias
Es el lugar geométrico de los puntos equipotenciales respecto a esas dos circunferencias; es decir, que desde cualquier punto del eje radical pueden trazarse tangentes iguales a las dos circunferencias. El eje radical siempre es perpendicualr a la línea de los centros. Si las dos circunferencias son tangentes entre sí( exterior o interiormente), el eje radical es la tangente común. Si ambas circunferencias se cortan, el eje radical es la cuerda común; si son concéntricas, no hay eje radical, o se dice que está en el infinito.

La ecuación del eje radical de dos circunferencias, se obtiene fácilmente restanto las ecuaciones de estas.
Así: C 1: x2+y2 +A1x+B1y+ C1=0

C 2 : x2+y2 +A2x+B2y+ C2=0
Entonces:

PARÁBOLA
DEFINICIÓN :
Es el lugar geométrico de un punto que se mueve en un plano de tal manera que su distancia a una recta fija, situada en el plano, es siempre igual a su distancia de un punto fijo del plano y que no pertenece a la recta.
El punto fijo se llama foco y la recta fija directriz de la parábola.
Según definición:

ELEMENTOS :

FORMAS DE LA ECUACIÓN DE LA PARÁBOLA
I) Ecuación de la parábola de vértice en el origen y eje focal el eje ‘‘x’’.

Así tenemos:

II) Ecuación de la parábola de vértice en el origen y eje focal el eje ‘‘y’’.

III) Ecuación de la parábola de vértice V(h;k)

ELIPSE
DEFINICIÓN :
Es el lugar geométrico de un punto que se mueve en un plano de tal manera que la suma de sus distancias a dos puntos fijos de ese plano es siempre igual a una constante, mayor que la distancia entre dos puntos.
Los dos puntos fijos se llaman focos de la elipse.

ELEMENTOS :

Nota : Los ejes focal y normal de toda elipse son sus respectivos ejes de simetría.

FORMAS DE LA ECUACIÓN DE UNA ELIPSE
I) Forma canónica :
* La ecuación de la elipse de centro en el origen de coordenadas y eje focal en el eje ‘‘x’’ esta dado por:

Demostración:
Por definición :

Elevando al cuadrado y efectuando operaciones y teniendo en cuenta que:

* Luego:

* La ecuación de la elipse de centro en el origen y eje focal en el eje ‘‘y’’ está dado por:

II) Forma ordinaria :

* Ecuación de la elipse de centro en el punto M(h ; k) y eje focal paralelo al eje ‘‘x’’

* Ecuación de la elipse de centro en el punto M(h; k) y eje focal paralelo al eje ‘‘y’’.

III) Rectas directrices :
Se denominan rectas directrices de la elipse correspondiente a los focos F1 y F2 respectivamente, aquel par de rectas perpendiculares al eje focal y no interseca a la elipse, y si existe una constante ‘‘e’’ denominado excentricidad de la elipse tal que para todo punto P (x ; y) que pertenece a la elipse, se cumple:

HIPÉRBOLA
DEFINICIÓN :
En el lugar geométrico de un punto que se mueve en un plano de tal manera que el valor absoluto de la diferencia de sus distancias a dos puntos fijos del plano, llamados focos, es siempre igual a una cantidad constante, positiva y menor que la distancia entre los focos.

Por definición:

ELEMENTOS

Nota : Los ejes focal y normal son sus respectivos ejes de simetría de la hipérbola.

FORMAS DE LA ECUACIÓN DE UNA HIPÉRBOLA
I) Forma canónica :
De eje focal coincidente con el eje ‘‘x’’ y centro en el origen de coordenadas.

Donde :
* Longitud del eje transverso: 2a
* Longitud del eje conjugado: 2b

* Demostración :
Por definición:

Elevando al cuadrado y efectuando operaciones y teniendo en cuenta que : c2=a2+b2
* Luego:

* De eje focal coincidente con el eje ‘‘y’’ y centro en el origen de coordenadas

II) Forma ordinaria :
El eje focal paralelo al eje ‘‘x’’ y centro el punto M(h;k)

* El eje focal paralelo al eje ‘‘y’’, y centro el punto M(h ; k).

Hipérbola Equilátera
Se caracteriza por tener sus ejes transversal y conjugado de igual longitud.

III) Rectas directrices :
Se denominan rectas directrices de la hipérbola correspondiente a los locos F1 y F2, aquel par de rectas perpendiculares al eje local, si existe una constante ‘‘e’’ denominada excentricidad de la hipérbola, tal que para todo punto P(x ; y) que pertenece a dicha cónica, se cumple :

TRANSFORMACIÓN
DE COORDENADAS
Vamos a denominar transformación de coordenadas a la TRASLACIÓN y a la ROTACIÓN de los ejes coordenados originales xy, para los cuales el plano R2 permanece inmóvil, es decir que los puntos, rectas y gráficas en general, no se mueven mediante una traslación y/o rotación de los ejes coordenados sino lo que cambiaran serán sus representaciones (como pares ordenados, ecuaciones) con respecto, a los nuevos ejes coordenados.
Una transformación es una operación por la cual una relación, expresión o figura se cambia en otra siguiendo una ley dada.
Analíticamente, la ley que se expresa por una o más ecuaciones llamadas ecuaciones de transformación.

Traslación de los ejes coordenados
Si se trasladan los ejes coordenados a un nuevo origen P0(h ; k) y si las coordenadas de cualquier punto ‘‘P’’ antes y después de la traslación son (x ; y) y (x’ ; y’), respectivamente, las ecuaciones de transformación del sistema primitivo al nuevo sistema de coordenadas son:

Ejemplo:
Transformar la ecuación: x3 –3×2–y2 +3x+4y–5=0
Trasladando los ejes coordenados al nuevo origen
(1 ; 2). Trazar el lugar geométrico y los dos sistemas.
reSolución :
Agrupando la ecuación dada:

Donde :

En tenemos :

Graficamos :

ROTACIÓN DE EJES COORDENADOS
Si los ejes coordenados giran un ángulo en torno de su origen como centro de rotación y las coordenadas de un punto cualquiera ‘‘P’’ antes y después de la rotación son (x ; y) y (x’ ; y’), respectivamente, la ecuación de transformación del sistema original al nuevo sistema de coordenadas está dada por :

Ejemplo 2:
Transformar la ecuación: . Girando los ejes coordenados un ángulo de 30°. Trazar el lugar geométrico y ambos sistemas de ejes coordenadas.
Resolución:
La ecuación de transformación es:

Sustituimos en la ecuación original:

Desarrollando y simplicando esta última ecuación, obtenemos la ecuación transformada.

Graficamos :

TRASLACIÓN Y ROTACIÓN DE LOS EJES COORDENADOS
Considerando primero el caso en que una traslación de los ejes coordenados a un nuevo origen P0(h; k) es seguida por una rotación de los ejes trasladados en torno de P0 de un ángulo . Si P es un punto cualquiera del plano coordenado, sean (x;y) y (x’;y’) sus coordenadas referido respectivamente, a los ejes originales x e y, a los ejes x’ e y’ trasladados y girados.
Se tiene:

ECUACIÓN COMPLETA DE 2do. GRADO EN LAS VARIABLES ‘‘x’’ e ‘‘y’’
Con respecto a la ecuación general de segundo grado.

Donde los coeficientes A, B y C no pueden ser igual a cero a la vez. Usando una rotación de ejes, se prueba que una ecuación de segundo grado con puede reducirse a otra en donde B =O, en cuyo caso sería fácil identificar el tipo de cónica que representa, y su gráfico obtenerlo de manera inmediata.
Haciendo el cambio :

En la ecuación e igualando a cero el coficiente del término rectangular x’y’ obtenemos que debe ser tal que:

De esta manera, encontraremos la rotación necesaria para eliminar el término rectangular xy.

Ejemplo 3 :
Encontrar la rotación que elimine el término xy de la ecuación : 3×2 +2xy+3y2 -16 =0
Resolución :

* También es posible determinar el tipo de cónica que representa, tan sólo analizando los coeficientes de la ecuación general de segundo grado.
Ax2 + Bxy+Cy2 +Dx+Ey+F=0

PROBLEMA 1

Si:y se sabe que .
Hallar el vector unitario del vector:
Resolución
Dato:

Se pide:

Luego :

PROBLEMA 2 :

Hallar la suma de las coordenadas del punto de intersección de las rectas L1 y L2.

Resolución:
* Si:
* Es decir:

* Resolviendo estas ecuaciones obtenemos:

* Reemplazando ahora cualquiera
de ellos en las ecuaciones de la recta respectivamente.

PROBLEMA 3 :
Sean las rectas L1 y L2 definidos por:
L1 : 2x-5y+3=0
L2 : 3x+4y+5=0
Hallar la suma de los vectores direccionales de L1 y L2
Resolución :
Sean los vectores direccionales de L1 y L2 respectivamente.
Donde : L1 : 2x – 5y+3=0
L2 : 3x+4y+5=0
Sus pendientes son:

* Luego:

Sumando:

PROBLEMA 4 :
Dados los vértices de un triángulo ABC: A=(0; 4), B=(6;7) y C=(8;-2), se traza la altura , Hallar el
módulo de .

Resolución :

Sea: ‘‘m’’ y ‘‘k’’ pendiente de la recta L y L0 que pasa por y respectivamente. Del gráfico.

Luego: L : 3x + 4y –16=0
L0: 4x – 3y –3=0
Entonces:
Resolviendo el sistema obtenemos:

Por lo tanto:
PROBLEMA 45:
Sea el triángulo con vértices: A=(2;–1) ,B=(–1;2), C=(3;3) y baricentro G Además,,calcule .
A)9/5 B)5/9 C)3/5 D)5/3 E)4/9
RESOLUCIÓN:

Recordemos que:
Formado por 2 vectores:.

Se cumple que:
tenemos:

RPTA : ‘‘b’’
PROBLEMA 5 :
Hallar el área de la región paralelográmica del gráfico mostrado si :

Resolución:

Dato:
lo cual también es:

Pero:

También:

Luego:

PROBLEMA 6 :
Hallar la distancia del punto P=(1;1) a la recta L, definida por

Resolución :
Dato:su ecuación general será: L: 2x-3y+12=0
* Luego:

PROBLEMA 7 :
Se tiene un triángulo ABC donde A=(3; -4), B=(10; 20) y ‘‘C’’ se encuentra en el origen de coordenadas,
luego se ubica un punto ‘‘P’’ sobre el segmento tal que . Hallar el producto del punto P.

Resolución :

* Por dato:
* Luego :

Por lo tanto:

PROBLEMA 8 :
Dados los vértices de un triángulo ABC: A=(0;0), B=(18; 24) se traza la mediana tal que AM=BM
y la medida del ángulo formado por y es 30°.
Hallar la ecuación de la recta que pasa por ‘‘M’’ y sea paralelo al lado .

RESOLUCIóN :
Pendiente de la recta ‘‘L’’:

Luego su ecuación será:

PROBLEMA 9 :
Dadas las ecuaciones:
L1 : x+y -4=0
L2 : x-y-2=0

Calcular la distancia del origen de coordenadas a la recta que pasa por las intersecciones de dichas rectas con el eje de las ordenadas y el eje de las abscisas respectivamente.

Resolución :

La pendiente de la recta L es m=-2

Entonces : L : 2x+y-4=0

Luego:

PROBLEMA 10 :
El vector unitario A=(x; y) tiene el mismo sentido que el vector no nulo B, donde . Hallar ‘‘x-y’’en términos de m y n.

RESOLUCIÓN :

Dato:
Luego:

PROBLEMA 11 :
Hallar las coordenadas del punto R sobre el segmento tal que .
Si : P=(3; 5) y Q=(9 ; –7)

Resolución:

Del gráfico:

PROBLEMA 12 :
Hallar las coordenadas del punto de intersección de las rectas .
Si:

Resolución:
Dato:
Entonces:

de donde:
Resolviendo el sistema:

PROBLEMA 13 :
Sean las rectas definidas por:

Hallar la suma de los vectores direccionales de
Resolución:
Tenemos:

Luego los vectores directores son:

Por lo tanto:

PROBLEMA 14 :
Los lados de un triángulo ABC están representados por los vectores .
Si: B=(–3; 6). Hallar la ecuación de la recta que pasa por las coordenadas del baricentro de la región triangular y sea paralela al lado .
RESOLUCIÓN:

Sea ‘‘G’’ baricentro del

Por propiedad:

Sea ‘‘m’’ y ‘‘k’’ las pendientes de las rectas L y L0 (L0 pasa por ).

Por dato:

Pero:

Luego:

PRoBLEMA 15
Calcular el área de la superficie triangular OAR sabiendo que la ecuación vectorial de la recta ‘‘L’’ es:

Resolución :

Dado: . Su ecuación general es: L: 4x-3y-21=0
Además, por una simple inspección L//L1
Luego:

En consecuencia:

PROBLEMA 16
En la figura mostrada la medida del ángulo BCA es 30°, el punto D es punto medio de
y el módulo . Hallar el módulo de .

Resolución :

Del gráfico:

Además se construye el romboide BPFA.

Se pide:
Pero:

En el :

PRoBLEMA 17 :
Dados los vértices de un paralelogramo ABCD :
A=(3; –5) , B=(5; –3) , C=(–1; 3).
Hallar la ecuación vectorial de la recta que pasa por el vértice ‘‘D’’ y es perpendicular a la diagonal .
Resolución :

Hallando las coordenadas de ‘‘M’’, de inmediato se halla las coordenadas del punto ‘‘D’’.

Si:

Luego :

PRoBLEMA 18 :
Los lados de un triángulo son vectores y .

Si:
Hallar

Resolución :

Datos:

Se pide:
Del gráfico:

También:

Reemplazando (2) en (1):

Sabiendo que:

Halle el módulo de:

¿Cuál es el módulo del vector?

Dado los vectores paralelos:

¿Cuál es el módulo del vector?

Sabiendo que el módulo del vector:

Es máximo, además:
Calcule:

Dados los vectores:

Hallar el vector unitario, en la dirección de:

Si los vectores son ortogonales, calcule ‘‘x’’

Si:

Además: calcule ‘‘m’’

Si los vectores:

son ortogonales, calcular el valor de:

Halle la medida del ángulo formado por los vectores:

Calcule el área de la región triangular mostrada.

Señale la ecuación de la recta que pasa por los puntos: A(-1; 2) y B(3; 5)

Si los vértices de un triángulo son:
A(–3; 1) , B(–1;7) y C(3;5)

halle la ecuación de la recta que pasando por ‘‘C’’ sea paralela al lado AB.

Si los vértices de un triángulo son:
A(–1; -3) , B(–5;1) y C(1;3)
halle la ecuación de la recta que pasa por ‘‘B’’ y es perpendicular de AC.

Halle la ecuación de la recta mediatríz del segmento cuyos extremos son: A(-1; 7) y B(3; -1)

Si en el gráfico AB=2BC, calcualr la pendiente de L1.

Determinar el ángulo formado por las rectas:

Sean las rectas :

Halle la medida del ángulo formado por:

Si los vértices de un triángulo son:
A(–4; 1) , B(–3; 3) y C(3; –3)
Halle la longitud de la altura bajada del vértice ‘‘A’’ sobre el lado BC.

Hallar el área de un cuadrado que tiene dos lados colineales a las rectas:

Los vértices del triángulo rectángulo ABC son los puntos: A(-5; 5) , B(1; 1) y C(3; 4). Si L es la recta que pasa por los puntos medios de los catetos de este triángulo y si (x; y) es un punto de L; entonces x e y verifican la ecuación.

Determinar ‘‘m’’ de modo que la recta 12mx-9y+129=0 al intersectar al segmento de extremos A(2;3) y B(11;6).
Determine dos segmentos cuyas longitudes estén en la razón de 2 es a 7.
A) –1 B) –2 C) 1 D) 2 E) 3
Los vértices de un cuadrado son : A(0; –3); B(b1; b2) ; C(3; 4) y D(d1 ;d2).Calcular el área del rectángulo cuyos vértices son los puntos B, P, D y Q donde:
P(d1;b2) y Q (b1;d2)

A) 58 B) 29 C) 25 D) 21 E)19,5
La recta L1 pasa por los puntos A(10;9) y B(2;3); la recta L2 pasa por los puntos A(10;9) y C(3;-15).
Hallar la pendiente de la recta bisectriz del ángulo agudo que forman L1 y L2.