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TRASLACION Y ROTACION DE EJES DE COORDENADAS EJERCICIOS Y PROBLEMAS RESUELTOS EN PDF Y VIDEOS

Uno de los objetivos principales de la Geometría analítica es la determinación de las propiedades de las diversas figuras geométricas .Apoyándonos en algunos de los conceptos fundamentales hemos hecho ya un estudio detallado de la recta y la circunferencia. En adelante continuaremos estas investigaciones con referencia a otras curvas, Encontraremos , sin embargo , que, a medida que progresemos en nuestro estudio, las ecuaciones de las curvas se van haciendo más y más difíciles de analizar ; por esto , se hace necesario en algunas ocasiones introducir ciertos artificios con el fin de facilitar el estudio de estas curvas , Uno de estos artificios, que nos permite simplificar las ecuaciones de muchas curvas , consiste en la transformación de coordenadas.
Hasta ahora todo lo que se ha estudiado está referido al eje «X» y al eje «Y», es decir nuestro sistema de referencia son los ejes coordenados. En este capítulo lo que haremos será cambiar nuestro sistema de referencia de dos maneras básicas , mediante una traslación de ejes y mediante una rotación de ejes.
Otra manera de cambiar el sistema de referencia es mediante una traslación y una rotación simultánea, tomados en cualquier orden. En este capítulo muchas veces se hará referencia a una ecuación de 2° grado



Traslación y
rotación de ejes
COLECTORES CILINDRO PARABÓLICOS
Los colectores cilindro parabó licos (CCP) son captadores
solares de concentración con foco lineal, que convierten
la radiación solar directa en energía térmica y que resultan
idóneos para trabajar dentro del rango de temperaturas
125 “C – 400 oc. Gracias a la concentración de la radiación
solar directa que incide sobre el plano de apertura del captador,
se consigue de forma eficiente elevar la temperatura
del fluido de trabajo hasta valores del orden de los 425 oC,
pudiendo alimentar procesos industriales dentro del rango
de la media temperatura. Estos niveles de temperatura
convierten al CCP en un captador ideal para acoplarlo a
una gran diversidad de procesos industriales.
Un CCP está compuesto, básicamente, por un espejo cilindro
parabólico que refleja la radiación solar directa, concentrándola
sobre un tubo receptor colocado en la línea
focal de la parábola. Esta radiación concentrada provoca
que el fluido que circula por el interior del tubo se caliente,
transformando así la radiación solar en energía térmica
en forma de calor sensible del fluido. La figura adjunta
muestra una fotografía de un CCP e ilustra su modo de
funcionamiento.
Capítulo 11….
Traslación y rotación de ejes
PROBLEMA M.o 1
Se hace rotar un ángulo de 1t/3 y se traslada a
la vez; determine las coordenadas del nuevo
origen si el punto P (6;4)3) tiene coordenadas
en el nuevo sistema (8; – )3).
A) 0;0)
B) (-1; O)
C) (2; 3)
D) (0;-1)
E) (-1;1)
Resolución
Coordenadas del punto P: (6;4)3)
Coordenadas del punto P luego de rotar 60°
(x’, y’).
x’r=xcosíl+ysenb
y’ =-xsenü +ycose
x’ = 6m+4J3 ( ~) -> x’ = 9
~ Y’=-6(~)+4)3(~) ~ y’=-)3
Entonces
P(9; -)3)
Trasladamos el origen a (h; K), en el cual el
punto P tiene coordenadas (8; -)3) .
8=9-h –7 h=l
-)3 = -)3 – K ~ K = O
Por lo tanto, el nuevo origen tiene por coordenadas
O; O).
PROBLEMA M.o 2
Del gráfico mostrado, halle el área de la región
sombreada, si las coordenadas de P en el sistema
X’Y’ son (3J2 ;2J2).
y
X’

X
P(-S;l)
Y’
7J2 2 A) -u
2
C) 4J2 u2
D) 3J2 u2
9J2 2 B) -u
2
Resolución
Nos piden el área de la región ABC.
y
X’
P(-S,l) A
2J2/2t: , I
, I
f<---.DTI
I 1:I
I 1:
I
B
Y'
Del dato: P'(3.fi, 2.fi) ---7 BA = s.Ii
_, AP = 2.fi
Del gráfico:
6.ASB :AS = 3.fi sen a
6.PTA :AT = 2.fi cos a
AS=AT+1
3.fi sena = 2.fi cos a + 1
3.fi sena -1= 2.fi cos a
2 2 (3.fi sena -1) = (2.fi cos a)
26 sen2a - 6.fi sena - 7 = O
.fi
sena=-
2
Nos piden
lA _ (BC) (AS)
ABC - 2
C
X
Entonces
lA _ (3.fi) (3)
ABC - 2
9.fi
.. lAABC =--
2
PROBLEMA N.o 1
Dada la ecuación 3x2+8y+4-4xy-12x=O,
luego de analizarla podemos concluir que corresponde
a
A) una elipse.
B) una parábola.
C) una circunferencia.
D) una hipérbola.
E) dos rectas paralelas.
Resolución
Sea
3x2+8y+4-4xy-12x=0 (1)
Ordenando
3x2-4xy+0/-12x+8y+4=0
Analizamos el discriminante 1!1
1!1 = B2 -4AC
1!1 = (-4)2 - 4(3) (O)
---7 1!1= 16; 1!1 > O
Por lo tanto, la ecuación (1) corresponde a una
hipérbola.
PROBLEMA N.o 4
Para la ecuación dada en el sistema XY, lleve a
cabo una rotación apropiada de ejes para que
la ecuación resultante en el nuevo sistema no
tenga el término xy.
x2-2xy+y2-8x-8y=0
A) J2y’ = x,2
C) 3y,2 = J2x’
D) y,2 = 4J2x’ E) y’ = 3J2x,2
Resolución
Para que la ecuación
x2-2xy+/-8x-8y=0 (1)
no tenga el término xy, debemos girar los ejes
coordenados un ángulo 8 tal que
A-e 1-1
cot 28 = — = — = o B -2
___,cot 28 = O___,8 = 2:
4
Utilizamos las ecuaciones de conversión
x=x’cos8-y’sen8
___,x= (‘x-y ‘) J21 (11)
y =x’sen8+y’cos8
___,y= (‘x+y ‘) J21 (I1I)
De (II) Y (III) en (1)
x2-2xy+/-8(x+y) =0
(x_y)2 -8 (x+y) =0
Luego
.. (y,)2 = 4J2x’
PROBLEMA N.o 5
Determine la ecuación de la circunferencia
tangente a los semiejes positivos que encierra
con estos un área igual a (4-n) u2 al ser trasladado
el origen al punto P (- 1; 3).
A) x,2+y,2_6x’+2y’+6=0
B) x,2+y,2+6x’+2y’+S=0
C) x,2+y,2_8x’+4y’+ 10=0
D) x,2+y’2_6x’+ 10y’+ 12=0
E) x,2+y,2-14x’+8y’+ 10=0
Resolución
y
x
Condición: área sombreada=4-n2
2
2 nr 2 r –=4-Tt -7 r=2
4
La ecuación de la circunferencia será
B171
Al ser trasladado al origen (h; K) =(-1; 3)
Yemplear las ecuaciones de rotación
x=x’+h
-7 y=y’+K
Se obtiene
(x’+h-2)2+ (y’+K_2)2=22
(x’-1-2)2+ (y’+3 _2)2=4
(x’ _3)2+ (y’+ 1)2=4
PROBLEMA N.o 6
Dado el siguiente gráfico, determine la ecuación
de la recta en el nuevo sistema generado al
trasladar el origen al punto M(3; 7), AB=S u.
y Ij’
x
B
o
A) 6y’+2.J3x’+10.J3-4=0
B) 6y ‘- 2.J3x ‘+ 27 – 6.J3 = O
C) 6y’+2.J3x’+S.J3 -2 = O
D) Sy’+ 10.J3x’-8.J3 +2 = O
E) 6y’-2.J3x’+8.J3 -2 = O
Resolución
Nos piden la ecuación de la recta en X’Y’
Y’
Y
5 5
2
O’ (3,7) X’
A 30°
x
Sea la ecuación de la recta en XY
y=mx+b
Según el gráfico
m=tan300=- .J3
3 .J3 5 y=-x+-
( 5) 3 2 B 0-
’2
(1)
El sistema XY se traslada a X’Y’ con centro en
(h; K) = (3,7). Utilizamos las ecuaciones de conversión.
x=x’+h -7 x=x’+3
y=y’+K -7 y=y’+7
Reemplazamos (II) y (III) en (1)
.J3 5 y=-x+-
3 2
.J3 5
(y’+ 7) = 3(x’+ 3) +2″
.. 6y’-2.J3x’+27 -6.J3 = O
(Il)
(III)
PROBLEMA N.o 7
Determine la ecuación de la curva en el nuevo sistema generado al rotar los ejes
un ángulo 45° en sentido antihorario.
A) x,2+ y,2+ 2x' y'+8x'-10 = O
B) 2x,2+ y,2_ 2x' y'+ 8.J2x '- 8 = O
C) x,2+ y,2-2x'y'-8.J2x'+8 = O
D) 3x,2+ y,2_2x'y'+3.J2x'+ 7 = O
E) x,2+y,2_4x'y'-2.J2x'+9=0
Resolución
Sea 0': (x-2)2=4y
x=x'cos8-y'sen8
y=x'sen8+y'cos8
(1)
Donde 8=45°
• x~x'( ~n-Y'(~)
.J2 ---t X = (x'- y')-
2
• y=x ,(."J"22) +y ,(."J2")2
--> y ~ (x’+ y’l( ~)
Al reemplazar en (1), se obtiene
[(X’- y’) ~ -2r~4(x’+ y’) ~
[(x’ ‘) .J2 4J2 – Y – = 2.J2 (x’+ y’)
4
[(x’- y’).J2 -4 J2 = 8.J2 (x’+ y’)
Luego
[(x’- y’)-2.J2J
2 = 4.J2 (x’+ y’)
X,2+ y,2-2x’y'+8-4.J2x’+ J}iy’ =
= 4.J2x’+ 4J2y’
PROBLEMA N.o 8
Determine el área encerrada por la recta
!f: x+y-4=0 y los semiejes X’Y’ en el nuevo
sistema generado al rotar los ejes un ángulo
8=37° en sentido horario.
100 2 A) -u
7
Resolución
Sea y
Y’
x
X’
Del gráfico, para determinar P y Q debemos
hallar la ecuación de la recta en el sistema
X’?, que ha rotado un ángulo de e= -37°.
Utilizamos las ecuaciones de conversión.
x=x’cosü-y’senü
4x’+3y’
—7 x=
5
(1)
y=x’senü+y’cosü
-3x’+4y’
—7 y=
5
(II)
Reemplazamos (1) Y (Il) en la ecuación de la
recta
x+y-4=0
—7 x’+ 7y’-20=0
Determinamos P y Q en el sistema x’y’ utilizando
la ecuación
x’+7y’-20=0
—7 P(O; y’) = ( O; 27
0
)
—7 Q(x’;0)=(20;0)
Entonces
lA _ (OP)(OQ)
APOQ- 2
PROBLEMA M.o 9
Dadalacurva r:’: Ax2+Bxy+cl+x+y=0,siendo
A, B, C lados de un triángulo rectángulo (A:
hipotenusa) de perímetro (3J3 + 3) u, determine
su ecuación al eliminar el término xy, si
A-C= J3B.
3
A) SJ3x,2_J3y,2+J3x’+ y’ = O
B) 4J3x,2+J3y,2+(J3+1)x’+(J3-1)y’=0
C) 3(J3-1)x,2+3(J3+ 1)y,2 -.J6x’-.J6y’=O
D) 2(J3+ 1)x,2-3(J3 -1) y,2+.J6x’-J3y’=0
E) Sx,2+y,2+(J3+1)X’+(J3-1)y’=0
Resolución
Por condición
A + B + C = 3J3 + 3 (1)
yA-C=-B J3
3
(A -C) (A +C) =B2
J3B(A+C)=B2
3
A+C=J3B
Al reemplazar en (1)
J3B+B = 3J3 +3
—7 B = J3
Entonces
A+C=3
A-C=l
Resolviendo
A=2
C=l
re: Ax2+Bxy+C/+X+Y=0
2×2 + J3xy + / +x+ y = O (II)
2-1 M cot28= J3 -7 tan28=,,3 -7 8=30°
x=x’cos8-y’sen8
J3x’-y’
-7 X=–….é.._
2
y=x’sen8+y’cos8
-7 Y = x’+ J3y’
2
Al reemplazar en (I1)
2(~x~- y’ J+~( ~x~- y’ Xx’+~Y)
(
x’J3y,)2 J3x’- y’ x’+J3y’
+ + + =0
222
10x,2+2y’2 (J3+1) , (J3-1) , O
–4–’:___ + 2 x + 2 Y =
PROBLEMA N.o 10
Luego de eliminar el término xy de la ecuación
re: sen(600+a)x2+senaxy+
+ sen(600-a)/+Dx+Ey+F=0; a 1= Ktt; K E Z,
determine el ángulo que hace posible esta
eliminación.
A) 30°
C) 60°
D) arctan (.J2 -1)
Resolución
Nos piden eliminar el término xy de
sen(600+a)x2+senaxy+
+sen(cosO-a)y2+Dx+Ey+F=0
Para eliminar el término xy giramos los ejes un
ángulo 8 tal que
-7 cot28= A-C = sen(600+a)-sen(600-a)
B sena
Mediante transformación trigonométrica
28 2_ser(a cos600
cot =–=—–
_ser(a
cot28 = 2cos600
cot28= 1
28=2:
4
8=2:
8
También podemos expresarlo como
8 = arctan (.J2-1)
Cldve ID
I
PROBLEMA N.o 11
Dada la gráfica
W: senx2+(seno + cose)xy + cos/+
+ x-y+5=0; tano e 1
identifique el tipo de cónica a la cual pertenece
dicha ecuación.
A) parábola
B) elipse
C) hipérbola
D) recta
E) circunferencia
Resolución
senx2+(sen+cose)xy+cos/+x-y+5=0
6=B2-4AC
6 = (seno + coso 2- 4sencoso
6= (seno-coso)? (1)
Como seno e cose, entonces l::,. >0
Por lo tanto, la ecuación corresponde a una hipérbola.
PROBLEMA N.O 12
Dada la curva
é(?: -2×2+Sxy-S/+x+27-5=0
luego de analizarla, esta corresponderá a una
A) elipse.
B) parábola.
C) hipérbola.
D) senoide.
E) circunferencia.
Resolución
Nos piden qué tipo de curva es
-2×2+Sxy-S/+x+2y-5=0 (1)
Giramos los ejes coordenados un ángulo e
para eliminar el término xy.
cot2e= A-C = -2-(-S) 3
B S 4
3 53°
~ cot2e=- ~ e=-
4 2
Utilizamos las ecuaciones de conversión
x=x’cosü-j/senü
(2x’- y’) x = …:…._-=c.__;_ J5 (11)
~ y=x’senü+y’cosü
(x’+2y’)
~ y= J5 (111)
Reemplazamos (111),(11)en (1)
-2×2+Sxy-8/+x+2y-5=0
-fX~l)’ +f~y’r~y’)-
-f~y’)'f~Y}f’~y’)-5~O
Operando y reduciendo
-10(y,)2 +-(14x’+3y’)-5=0 J5
Por lo tanto, completando cuadrados obtenemos
la ecuación de la parábola
( 3)2 4 991
10 y- 20J5 = J5x- 200
PROBLEMA N.o 13
Dada la siguiente ecuación Ax2+Bxy+C/+Dx+y+ 1=0, se cumple que A = B = ~ = K; K*- O.
BCD
Sea <»=45° el ángulo de rotación que permite eliminar el término xy, determine su ecuación.
A) A(3x,2+ y,2)+J2(A+1)x'+J2(l-A)y'+2=0
B) 3Ax,2_Ay,2+J2 CA+ 2)x'-J2(l + A) y'+3=0
C) 3Ax,2+Ay'2+J2 (A -l)x'+J2(A + 1)y'+ 1=0
D) 3Ax,2_Ay,2+J2 (A-1)x'+J20-A)y'+1=0
E) 3Ax,2+ Ay'2_J2 (A+1)x'+J2(l-A)y'+2=0
Resolución
Ax2+Bxy+C/+Dx+y+ 1=0
A = B =~=K --) A=BK; B=CK; C=DK; C=DK; B=DK2; A=DK3
BCD
(1)
Reemplazamos en (1)
DK3x2+DK2xy+DK/+Dx+y+ 1=0 (II)
<»es el ángulo de rotación
3
2th DK -DK
cot ~= --)
DK2
Reemplazamos en (Il)
Dx2+Dxy+D/+Dx+y+ 1=0
x'-y'
• x=x'cosé=y'senó --) x =--
J2
0=DK3 -DK --) K= 1
(III)
• y=x'sene+y'coso --) y = x'J+2y'
Reemplazamos en (III)
D(X-'- y')2 +D (x-'-- y' )(x-'+- y') +D (x-'-+ y,)2 +D (X-'-- y') +(x-'-+ y') +1-_0
J2 J2 J2 J2 J2 J2
_D(3x,2+ y'2)+D (X-'-- y') +(X--'+ y') +1 = O
2 J2 J2
--) D(3x,2+ y,2) + DJ2 (x'- y') + J2 (x'+ y') +2 = O; D=A
.. A(3x,2+ y,2) + J2 (A + l)x'+ J2 O-A) y'+ 2 = O
Cldve I A
PROBLEMA N.o 14
Dada la ecuación de segundo grado 23x2-72xy+2/+ 140x+20y-75=0,
si el sistema XY es rotado un ángulo 9 = arctan ( %) se obtiene un nuevo sistema. En dicho sistema
la nueva ecuación es Ax,2+Bx'y'+Cy,2+Dx'+Ey'+P=0, halle 13B- (A+C).
A) 25 B) 83 C) 80 D) 73 E) 75
Resolución
Nos piden hallar E= l3B- (A+C)
23x2-72xy+2/+ 140x+20y-75=0 (1)
Según dato:
9 = arctan( %) ---7 tan 9 = %
Utilizamos las ecuaciones de conversión
• 2x'-3y
x = x'cos9- y'sen9 ---7 x = .JU (H)
• y=x'sen9+y'cos9 ---7
3x'+2y'
y= .JU (III)
Reemplazamos (H) y (III) en (1)
23x2-72xy+2/+ 140x+20y-75=0
---7 23(2X'-3y')2 _72(2X'-3y' X3X'+2y' )+2(3X'+2y')2 + 140(2X'-3Y' )+20(3X'+2Y')c_ 75=0
.JU .JU.JU .JU .JU .JU
Operando y reduciendo, obtenemos
---3x22 2 +-6y47 2 +-1x0y+8'" = A (,x)2, +Bx y ,+c (,y)2 + ...
13 13 l3
Comparamos términos
A = _ 322. B = 108. C = 647
13 ' 13 ' 13
Nos piden
E=13B-(A+C)
E = (108 )_(_ 322 + 647)
13 13 13
.. E=83
PROBLEMA N.o 15
Halle la excentricidad e y las coordenadas del centro de una hipérbola cuya ecuación
está dada por
7x2+48xy-7l+20x-llOy-100=0
A) e = J3 ; C( -1; 2)
O) e = 12 ; C(l; - 2)
B) e=3/2 ; C(-1;2) C) e =.J5 ; C(2; 1)
E) e = J3 ; C( -2 ; 1)
Resolución
7x2+48xy-7l+20x-llOy-100=0 (1)
cot Zü = 7-(-7) ~
48
cot Zü =-7
24
25
24
~ tane=-
32 5
tan e =-3 e - -8 2e 4 4
25 7
x=x'cosü-y'senü
4x'-3y'
~ x=----=-
5
j=x'senü+j/cosü
3x'+4y'
~ y=
5
Reemplazamos en (I)
7( 4X'~3Y')' +48( 4X'~3Y' )(3X'~ 4y' )_7(3X'~ 4Y')' +4{4x'-3y')-22(3x'+4y') -100 ~ O
--t 625x,2_625l -50x'-100y'-100 = O
25
25x,2 - 25y'2 - 50x' -1 OOy'-l 00 =O --t 5x,2- 5y'2-1 Ox'- 20y' - 20 =O
x,2-y,2-2x'-4y'-4=0 --t (x'-1)2- (y'+2) =32
(x '_12 --,:---- ) (y '+ 2)2 = 1
32 32
• a=b=3 y c.= 3J2 e=~ --t e=J2
a
Por lo tanto, el centro es C(l; -2)
PROBLEMA N.o 16
Determine el gráfico que corresponde a la ecuación
x2 +2xy+ l + 16J2y = O
A) B)
x x
D) y
Resolución
Nos piden determinar el gráfico para
x2 + 2xy + l + 16J2 y = O --t (x + y)2 + 16J2 y = O
C)
x
E) y
x
(1)
Giramos los ejes coordenados para eliminar el
término xy
A-e 1-1
cot28 = -- = - = o
B 2
28 = 2:
2
Utilizamos las ecuaciones de conversión
x=x'cos8-y'sen8
--t x= (x' -y ')- 1
Ji
y=x'senü+y'cosü
1
--t y=(x'+y')Ji
Reemplazamos (II) y (III) en (1)
(x+y)2+16Jiy=0
-> (~r+16J2( x;{)=o
2(x,)2+ 16(x’+y’) =0
(x’+4)2= -8(y’-2)
Graficamos
y
(II)
(III)
X’
x
PROBLEMA M.o 17
Determine la ecuación de aquel lugar geométrico
de todos los puntos cuya suma de distancias
a los puntos (-3; O) y (3; O) es 10 cuando
el sistema XY es trasladado al punto (1; 1) Y
rotado un ángulo 8 = 45° .
A) 313x,,2-1898x”y”+ 1777y,,2-6370=0
B) 315x,,2-1976x”y”+1764y,,2-6370=0
C) 41x,,2+41y,,2+18x”y”+82J2x”+18y”-718=O
D) 316x,,2-1545x’y”+ 1649y,,2-5490=0
E) 549x,,2-1749x”y”+ 1549y,,2-4790=0
Resolución
Condición
(X+3)2 +l +(x_3)2 + l +
+2~(x+3)2+l~(x-3)2+l =100
2×2+2l-82=-2~(x+3)2 +l ~(x_3)2 +l
x2+l-41=-~(x+3)2 +l ~(X-3)2 +l
Efectuando se obtiene
x2 l -+-=1 52 42 (1)
Trasladamos al nuevo origen (h; K) = (1; 1)
Mediante
• x=x’+h –t x=x’+ 1
• y=y’+K –t y=y’+ 1
6271
Reemplazamos en (1)
(x ‘+ 1)2 (y ‘+ 1)2 —+ =1
25 16
16(x’+ 1)2+25(y’+ 1)2=400
16x,2+25y’2+ 32x’ +50y’= 359 (l!)
Rotamos 8=45°
Entonces
x’=x”cos45°-y”sen45° -7
x’ x”-y” =—–,~
Ji
y’=x”sen45°+y”cos45° -7
‘_ x”+y”
y- Ji
Al reemplazar en (n)
(
16 x”-Jyi”) +25 (X”+Jiy”)2 +32 (x”-Jyi”) +50 (X”+JiY”) =359
41 41
-7 -x,,2+-y,,2+9x”y”+16Ji (x”- y”)+25Ji (x”+ y”) = 359
2 2
.. 41x,,2+41y,,2+18x”y”+82Jix”+18y”-718 = O
PROBLEMA N.o 18
Dado el triángulo ABC, tal que A(8;6), B(a;b) y C(-7; -3), cuyo baricentro tiene coordenadas
(- 5; -1) cuando el origen del sistema XY es trasladado al punto O’ (-a; b) en el primer cuadrante
generándose el sistema X’Y’. Luego el valor de a+b es
A) 5
B) 10
C) -1
D) 1
E) -2
Resolución
Nos piden hallar a+b.
Y’
Y
A(S,6)
(-a,b) X’
B(a,b)
x
C(-7;-3)
La ecuación de traslación
x=x’+h —7 x=x’-a}
y=y’+h —7 y=y’+b
(1)
En el sistema XY las coordenadas del Baricentro
G=(a+S-1. b+3)
3 ‘ 3
G=(~’ b+3)
3′ 3
‘–.r—-’ ‘–.r—-’
X Y
(lI)
Según dato:
En el sistema X’Y’ las coordenadas del Baricentro
G’= (-5, -1)
‘-ro-’ ‘-ro-’
x’ y’
(IlI)
Reemplazar (III) Y (II) en (1)
x=x’-a
-a-+1 =-5-a —7 a =-4
3
y=y’+b
b+3 =-l+b —7 b=3
3
Nos piden a+b=-4+3=-1
PROBLEMA N.O 19
Identifique a qué gráfica pertenece la siguiente
ecuación 2002×2+Rxy+D=0
si R:;tcos90° 1\ D:;t12il-coso; i=P.
A) dos rectas paralelas
B) dos rectas que se cortan
C) una elipse
D) una hipérbola
E) una parábola
Resolución
2002×2+Rxy+D=0
R:;tO y D:;tO
2002
• x=x’cosS-y’senS; cot2S =–
R
• y=x’senS+y’cosS
2002 (x’cosü-y’sena)? +
+R(x’cosS-y’senS) (x’senü+y’cosü) +D=O
2
x,2(2002cosS+RcosSsenS) +
2 +y,2(2002senS-RsenScosS) +D=O (1)
Analicemos el producto
2
p= (2002cos28+Rcos8sen8) (2002sen8- Rsen8cos8)
P= (Rcot28 cos28 + Rcos8 sen8) (Rcot28 sen28 – Rsen8 cos8)
P=- R2(sen8cos8 -serr’Ocotzü) (sen8cos8 +cos/ücotzü)
p=- R2(sen 28cos28 + sen 8cos8cot28 (cos/ü-sen 28) – sen 28cos28cot228)
P = (.!.sen228 +.!. sen28cot28cos28 – .!.sen228cot2 28)(-R2)
424
Por lo tanto, de (1) se concluye que la ecuación corresponde a una hipérbola.
PROBLEMA N.o iO
Si la siguiente ecuación de segundo grado Ax2+Bxy+cl+Dx+Ey+F=0 representa a una
circunferencia en el sistema XY; además, A =C, halle el valor o valores que toma B.
A) R-{O}
D) {O}
C) RE)
{-l; O;l}
Resolución
La ecuación
Ax2+Bxy+cl+Dx+Ey+F=0 (1)
representa una circunferencia; además A=C si
Teorema
La ecuación x2+l+Mx+Ny+P=0
representa una circunferencia de radio diferente de cero, si y solo si
M2+N2_4P> O
De (1)
A(x2+/)+Bxy+Dx+Ey+F=O
2 2 B D E F
~ x + y +-xy+-x+- y+- = O
A A A A
Comparando con el teorema anterior
I. ~A=O ~ B=O
E
III. A = N
F
IV -=p
A
De (H), (III) Y (IV)
M2+N2_4P> O
Finalmente,
para que Ax2+Bxy+A/+Dx+Ey+F=O
represente una circunferencia,