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TRANSFORMADAS DE LAPLACE EJERCICIOS RESUELTOS EN PDF Y VIDEOS

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En este capítulo presentamos un método de solución de ecuaciones diferenciales llamado transformada
de Laplace (denotado con la abreviatura TL o con el símbolo L). La TL es una poderosa herramienta
utilizada con mucha frecuencia en física, matemáticas e ingeniería, para el análisis y solución de diversos
problemas, como por ejemplo, el cálculo de integrales impropias, análisis de señales y sistemas, entre otros.
La TL se denomina así en honor al matemático Pierre-Simon Laplace, quien la definió a finales del siglo
XVIII, aunque no la utilizó para resolver ecuaciones diferenciales. Casi 100 años después, Oliver Heaviside
(1850-1925), un ingeniero inglés famoso por sus aportaciones a la teoría electromagnética, creó el cálculo
operacional donde la TL desempeña un papel preponderante. Al aplicar este cálculo operacional para la
solución de ED se obtuvieron métodos complementarios a los métodos de solución conocidos en esa época
(como los que hemos visto en los capítulos anteriores). A reserva de describir con mayor detalle el proceso
posteriormente, podemos adelantar de momento que el método de la TL para resolver ecuaciones diferenciales
consiste en trasladar un problema de valor inicial a un ámbito diferente, generalmente algebraico,
en donde la TL de la solución buscada se puede despejar y la solución del PVI se obtendrá aplicando una
trasformación inversa a la transformada de Laplace

Aplicar este método para resolver ED presupone un manejo fluido de la TL y su inversa, y el objetivo de
este capítulo es lograr que el lector adquiera y desarrolle habilidades para el cálculo de ambos tipos de
transformaciones en la solución de ED.

Una pregunta que el lector podría estarse haciendo es ¿qué necesidad hay de aprender un nuevo método
como el de la TL, si ya hemos visto otros bastante efectivos para resolver ED? Para tener una respuesta
completa habría que estudiar todo el presente capítulo, pero podemos ya avanzar que con la TL se pueden
resolver aquellos problemas de ED que con los métodos tradicionales seríamuy difícil o imposible abordar.
Aunque sobre la TL hay muchas más aplicaciones de las que se presentan en este libro, ofrecemos a continuación
un conjunto de problemas para los cuales los métodos vistos hasta ahora no proporcionan un
método adecuado de solución. Sólo hemos considerado, en capítulos previos, algunos casos en que la
fuerza externa en
ay 00
C by 0
C cy D f .t /
es por lo menos continua en el intervalo donde se requiere resolver la ED. Los ejemplos siguientes incluyen
funciones con discontinuidades de salto, ecuaciones integro-diferenciales y la delta de Dirac, que no es
siquiera una función como se entiende usualmente. Se sigue entonces que hace falta ampliar el alcance de
los métodos hasta ahora desarrollados, lo cual conseguiremos con la TL.

Sistemas oscilatorios con fuerzas de excitación discontinuas
Ejemplo : Consideremos un sistema masa-resorte con m D 2 kg, c D 4 Nm/s y k D 10 N/m. Supongamos
que el sistema está inicialmente en reposo y en equilibrio por lo cual x.0/ D x 0.0/ D 0, y que la masa es impulsada
por una fuerza de excitación f .t / cuya gráfica se muestra en la figura siguiente; se trata de una onda cuadrada con
amplitud de 10 N y periodo igual a 2. Encontrar la posición de la masa en cualquier instante.

Ecuaciones diferenciales en las que interviene una función impulso
En ingeniería resulta de interés el análisis y la correspondiente solución de sistemasmasa-resorte, circuitos
eléctricos y cargas mecánicas (tal vez sobre vigas) donde se produce algún impulso o alguna colisión, lo
cual ocurre cuando una fuerza relativamente grande actúa en un tiempo considerablemente pequeño.
Casos típicos de estas situaciones son las colisiones entre partículas elementales, el golpe de un bate sobre
una pelota de beisbol, un peso grande concentrado en un punto de una viga por un intervalo de tiempo
corto, una fuerza electromotriz que cambia repentinamente en un intervalo pequeño de tiempo por efecto,
tal vez, de un rayo, entre otros.
En tales situaciones, a menudo ocurre que el principal efecto de la fuerza depende sólo del valor de la
integral

Ejemplo : Una masa unida a un resorte se libera desde el reposo a 2 m por debajo de la posición de equilibrio y
comienza a vibrar. Después de 5 s, la masa recibe un golpe que suministra un impulso (momento lineal) sobre la masa
de 8 Ns dirigido hacia abajo.

Definición de la transformada de Laplace
Definición y primeras observaciones
En la gran mayoría de los sistemas de interés para la física y la ingeniería es posible (al menos en principio)
predecir su comportamiento futuro partiendo de condiciones dadas en un determinado tiempo, el cual
podemos desde luego suponer que es t D 0. Sólo en muy contados ejemplos es factible predecir el comportamiento
pasado del sistema. En lo que sigue nos ocuparemos solamente de la parte de las funciones f .t /
definida para valores t  0, sin darle importancia a lo que sucede para t < 0. Con esta aclaración podemos
enunciar la siguiente definición de la transformada de Laplace, en ocasiones denominada unilateral:

Propiedades de la TL
Con las propiedades de L y las TL de funciones particulares que hemos visto hasta el momento, nos encontramos
en posición de poder calcular la TL de una buena cantidad de funciones; esta situación, si bien
satisfactoria, aún no es del todo suficiente para nuestros propósitos de aplicar L a la solución de ED.