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RELACIONES METRICAS EJERCICIOS Y PROBLEMAS RESUELTOS EN PDF Y VIDEOS

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Al finalizar esta unidad el alumno será capaz de :
Proyectar un segmento sobre otro .
Estudiar la aplicación de la semejanza de triángulos, para relacionar longitudes de segmentos y medidas angulares.
Saber aplicar las fórmulas de las relaciones métricas en el triángulo rectángulo
Aplicar las fórmulas de las relaciones métricas en los triángulos oblicuángulos
Conocer las relaciones métricas entre los elementos lineales de los triángulos y familiarizarse con las aplicaciones de estas relaciones en demostraciones y la solución de problemas .
Simplificar mediante teoremas , las relaciones entre figuras geométricas semejantes.
Determinar el tipo de triángulo en base a las medidas de sus lados .
Resolver problemas de relaciones métricas en triángulos.
INTRODUCCIÓN :
A diario nos damos cuentas que en nuestro entorno ciertos fenómenos o sucesos están relacionados de alguna manera. Por ejemplo en la naturaleza influye en los cambios de estado del agua ; en la sociedad, todo cambio en lo político y en lo económico esta relacionado con los cambios sociales.
Así mismo analizar u observar diversos objetos nos damos cuenta que sus dimensiones se relacionan entre si de acuerdo a la forma que presentan dicho objetos.
Es así, como en las figuras geométricas estudiaremos las principales relaciones entre las longitudes de las líneas que se asocian a ellas; las cuales también eran usados por el hombre en la antigüedad para poder hacer diversas medidas angulares o longitudinales relacionándolos con determinadas figuras.
RELACIONES MÉTRICAS
Para el estudio de la relaciones métricas entre los elementos de los triángulos, es indispensable saber el concepto de proyección :
PROYECCIÓN ORTOGONAL
La proyección ortogonal de un punto sobre una recta, es el pie de la perpendicular trazada desde dicho punto a la recta. Asimismo, la proyección ortogonal de un segmento sobre una recta es el segmento que une las proyección ortogonal de los extremos del segmento dado.

RELACIONES METRICAS EN TRIANGULOS RECTANGULOS


RELACIONES METRICAS EN TRIANGULOS OBLICUANGULOS

RELACIONES METRICAS EN LA CIRCUNFERENCIA

• Aplicar correctamente los teoremas fundamentales de las relaciones métricas en triángulos oblicuángulos.
• Entender que las relaciones métricas en triángulos oblicuángulos vienen a ser la generalización del Teorema de Pitágoras.
INTRODUCCIÓN
Debido a la forma muy variada que presenta el relieve de un terreno en la corteza terrestre. Muchas veces es un problema realizar la medición de dicho terreno, ya que se encuentran en lugares inaccesibles. Por lo cual con el transcurrir del tiempo se ha ido encontrando diferentes tipos de soluciones, tal es así dando muy buenos resultados para el avance técnico y científico como la Topografía, la Ingeniería Civil, la Arquitectura, etc.
Por ejemplo : Los egipcios sabían como trazar figuras geométricas y perpendiculares en el terreno, usando solamente una cuerda.

Trenzando la cuerda y haciendo centro en A se traza un arco, luego cambiando de posición y haciendo centro en B se traza otro arco hasta que se intersecten los dos arcos en P y P’ y al unir los extremos de las intersecciones se habrá formado la perpendicular como se indica en la figura.
Euclides (en griego EUKLEIDHS, Eukleides) es un matemático griego, que vivió alrededor del año 300 a.C, ~(325 a.C.) – (265 d.C.).
Escribió Los Elementos, una de las obras más conocidas de la literatura mundial. En ella se presenta de manera formal, partiendo únicamente de cinco postulados, el estudio de las propiedades de líneas y planos, círculos y esferas, triángulos y conos, etc.; es decir, de las formas regulares. Los teoremas que nos enseña Euclides son los que generalmente aprendemos en la escuela. Por citar algunos de los más conocidos:
• La suma de los ángulos de cualquier triángulo es 180°.
• En un triángulo rectángulo el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos, que es el famoso teorema de Pitágoras.
La geometría de Euclides, además de ser un poderoso instrumento de razonamiento deductivo ha sido extremadamente útil en muchos campos del conocimiento, por ejemplo en la física, la astronomía, la química y diversas ingenierías. Desde luego es muy útil en las matemáticas. Inspirados por la armonía de la presentación de Euclides, en el siglo II se formuló la teoría ptolemaica del Universo, según la cual la Tierra es el centro del Universo, y los planetas, la Luna y el Sol dan vueltas a su alrededor en líneas perfectas, o sea círculos y combinaciones de círculos. Sin embargo, las ideas de Euclides constituyen una considerable abstracción de la realidad. Por ejemplo, supone que un punto no tiene tamaño; que una línea es un conjunto de puntos que no tienen ni ancho ni grueso, solamente longitud; que una superficie no tiene ancho, etcétera. En vista de que el punto, de acuerdo con Euclides, no tiene tamaño, se le asigna una dimensión nula o de cero. Una línea tiene solamente longitud, por lo que adquiere una dimensión igual a uno. Una superficie no tiene ancho, por lo que tiene dimensión dos. Finalmente, un cuerpo sólido, como un cubo, tiene dimensión tres.
Euclides intentó resumir todo el saber matemático en su libro Los Elementos. La geometría de euclides fue una obra tan perfecta que perduró sin variaciones hasta el siglo XIX.
De los axiomas de partida, solamente el de las paralelas parecía menos evidente. Diversos autores intentaron sin éxito prescindir de dicho axioma intentándolo colegir del resto de axiomas.
Finalmente, algunos autores crearon geometrías nuevas en base a invalidar o sustituir el axioma de las paralelas, dando origen a las “geometrías no euclidianas”. Dichas geometrías tienen como característica principal que al cambiar el axioma de las paralelas los ángulos de un triángulo ya no suman 180 grados.
RELACIONES MÉTRICAS EN TRIÁNGULOS OBLICUÁNGULOS
TEOREMA DE EUCLIDES
TEOREMA I:
(El cuadrado del lado opuesto a un ángulo agudo)
En todo triángulo oblicuángulo el cuadrado de la longitud del lado que se opone a un ángulo agudo es igual a la suma de los cuadrados de las longitudes de los otros dos lados menos el doble producto de la longitud de uno de estos lados por la longitud de la proyección del otro lado sobre el lado que se considera para el doble producto.

Demostración:
1. En el BHC:
a2 = h2 + m2 … (Teorema de Pitágoras)
2. Pero: en el AHC:
h2 = b2 – n2 … (Teorema de Pitágoras)
3. En el : m = c – n
Luego reemplazando (3) Ù (2) en (1) :
a2 = b2 – n2 + (c – n)2
a2 = b2 – n2 + c2 – 2cn + n2

Problema de Aplicación:
1. En la figura hallar x. Si la proyección de sobre es 2.

RESOLUCIÓN :

del gráfico se traza a
donde:
® proyección de sobre
AH = 2
Þ x2 = 32 + 62 – 2 · 6 · 2 = 21
x2 = 21

TEOREMA II:
(El cuadrado del lado opuestos a un ángulo obtuso)
En todo triángulo oblicuángulo, el cuadrado de esa longitud del lado opuesto al ángulo obtuso, es igual a la suma de los cuadrados de las longitudes de los otros dos lados más el doble producto de la longitud de uno de estos lados por la proyección del otro lado sobre él.

Demostración:
1. En el BHC:
a2 = h2 + (HC)2 … (Teorema de Pitágoras)
2. Pero: en el AHB:
h2 = c2 – n2 … (Teorema de Pitágoras)
3. En el :
HC = b + n
Luego reemplazando (3) Ù (2) en (1):
a2 = c2 – n2 + (b+n)2 = c2 – n2 + b2 + 2bn + n2

Problema de Aplicación:
1. En la figura hallar AC; si su proyección sobre BC es 5.

RESOLUCIÓN:
Del gráfico se traza a la prolongación de .

donde:
® proyección de sobre
Þ HC = 5
Þ x2 = 42 + 32 + 2 · 3 · 2 = 37
x2 = 37

FÓRMULA DE HERÓN:
Nos sirve para determinar la longitud de la altura de un triángulo en función del semiperímetro y las longitudes de los lados del triángulo.

Problema de Aplicación:
1. En el D ABC calcular la longitud de la altura relativa a . Si:

RESOLUCIÓN :

de la figura:

OTRAS PROPIEDADES:
Dado el D ABC:

1. Si: a > b > c
2. Si: a2 = b2 + c2; Þ D ABC es Rectángulo

3. Si: a2 < b2 + c2 Þ D ABC es Acutángulo

4. Si: a2 > b2 + c2 Þ D ABC es Obtusángulo

TEOREMA DE STEWARD:
Al trazar una ceviana cualquiera, su longitud se puede calcular en función de las longitudes de los segmentos que determina dicha ceviana y los lados del triángulo.

Problema de Aplicación:
1. En el DABC hallar la longitud de la ceviana relativa al mayor lado si esta la divide en proporción de 3 a 5.

RESOLUCIÓN:

De la figura: se traza la ceviana , tal que:

Como: AD + BC = 8
Þ 3k + 5k = 8 Þ k = 1
\ AD = 3 , DC = 5
x2 · 8 = 72 · 3 + 62 · 5 – 3 · 5 · 8
8×2 = 207

TEOREMA DE LA MEDIANA:
En todo triángulo se cumple que: dos veces el cuadrado de la longitud de la mediana relativa a un lado es igual a la suma de los cuadrados de las longitudes de los otros 2 lados, menos la mitad del cuadrado de la longitud del lado relativo a la mediana.

Problema de Aplicación:
1. En un triángulo ABC. Hallar la longitud de la mediana relativa al mayor lado, AB=4; BC=6 y AC=8.
RESOLUCIÓN:

De la figura:

2×2 = 20 Þ x2 = 10

TEOREMA DE LA PROYECCIÓN
DE LA MEDIANA:
Dado el D ABC:

Problema de Aplicación:
1. En la figura. Hallar la longitud de la proyección de la mediana sobre .

RESOLUCIÓN:

De la figura:

Þ 62 – 42 = 2 · 8 · x
16x = 20

TEOREMA DE LA BISECTRIZ INTERIOR
EN EL TRIÁNGULO:

También:

TEOREMA DE LA BISECTRIZ EXTERIOR:
Dado el D ABC:

Þ

TEOREMA DE EULER:
En todo cuadrilátero; la suma de los cuadrados de los lados es igual a cuatro veces el cuadrado de la longitud del segmento que une los puntos medios de sus diagonales, más la suma de los cuadrados de dichas diagonales.

CLAUDIO PTOLOMEO
Claudio Ptolomeo, en griego Klaudios Ptolemaios; (Tolemaida, Tebaida, c. 85 – Cánope, c. 165; otros autores dicen c. 100 – c.170). Astrónomo, geógrafo y matemático greco-egipcio, llamado comúnmente en español Ptolomeo (o Tolomeo).
Vivió y trabajó en Alejandría, Egipto (se cree que en la famosa Biblioteca de Alejandría). Fue astrólogo y astrónomo, actividades que en esa época estaban íntimamente ligadas. Es autor del tratado astronómico conocido como Almagesto (en griego Hè Megalè Syntaxis, El gran tratado). Se preservó, como todos los tratados griegos clásicos de ciencia, en manuscritos árabes (de ahí su nombre) y sólo disponible en la traducción en latín de Gerardo de Cremona en el siglo XII.
Heredero de la concepción del Universo dada por Platón y Aristóteles, su método de trabajo difirió notablemente del de éstos, pues mientras Platón y Aristóteles dan una cosmovisión del Universo, Tolomeo es un empirista. Su trabajo consistió en estudiar la gran cantidad de datos existentes sobre el movimiento de los planetas con el fin de construir un modelo geométrico que explicase dichas posiciones en el pasado y fuese capaz de predecir sus posiciones futuras.
La ciencia griega tenía dos posibilidades en su intento de explicar la naturaleza: la explicación realista, que consistiría en expresar de forma rigurosa y racional lo que realmente se da en la naturaleza; y la explicación positivista, que consistiría en expresar de forma racional lo aparente, sin preocuparse de la relación entre lo que se ve y lo que en realidad es. Tolomeo afirma explícitamente que su sistema no pretende descubrir la realidad, siendo sólo un método de cálculo. Es lógico que adoptara un esquema positivista, pues su Teoría geocéntrica se opone flagrantemente a la física aristotélica: por ejemplo, las órbitas de su sistema son excéntricas, en contraposición a las circulares y perfectas de Platón y Aristóteles.
Ptolomeo catalogó muchas estrellas, asignándoles un brillo y magnitud, estableció normas para predecir los eclipses.
Su aportación fundamental fue su modelo del universo: creía que la Tierra estaba inmóvil y ocupaba el centro del Universo, y que el Sol, la Luna, los planetas y las estrellas, giraban a su alrededor. A pesar de ello, mediante la técnica del epiciclo-deferente, cuya invención se atribuye a Apolonio trata de resolver con bastante éxito los dos grandes problemas del movimiento planetario:
1. La retrogradación de los planetas y su aumento de brillo, mientras retrogradan.
2. La distinta duración de las revoluciones siderales.
Sus teorías astronómicas influyeron en el pensamiento astrónomo y matemático científico hasta el siglo XVI.
Aplicó sus estudios de trigonometría a la construcción de astrolabios y relojes de sol. Y también aplicó el estudio de la astronomía al de la astrología, creando los horóscopos. Todas estas teorías y estudios están escritos en su obra Tetrabiblon.
Fue también un buen óptico y geógrafo. En el campo de la óptica exploró las propiedades de la luz, sobre todo de la refracción y la reflexión. Su obra Óptica es un buen tratado sobre la teoría matemática de las propiedades de la luz. Otra gran obra suya es la Geografía, en que describe el mundo de su época. Utiliza un sistema de latitud y longitud por lo que sirvió de ejemplo a los cartógrafos durante muchos años. Una de las ciudades descrita en esta obra es La Meca, en la Península Arábiga, a la que llama Makoraba.
El mundo de la música tampoco fue ignorado por Ptolomeo. Escribió un tratado de teoría musical llamado Harmónicos. Claudio Ptolomeo, pensador grigo del siglo II d de J.C., pensaba que las leyes matemáticas subyacían tanto los sistemas musicales com los cuerpos celestes, y que ciertos modos y aún ciertas notas correspondían a planetas específicos, las distancias entre estos y sus movimientos. La idea había sido propuesta por Platón en el mito de la musica de las esferas, que es la música no escuhada producida por la revolución de los planetas. La unión de la música y la poesía es otra concepción griega sobre el genero musical. Eran prácticamente sinónimos.
TEOREMA DE LAS CUERDAS:
Si dos o más cuerdas se intersectan en un punto interior de una circunferencia, el producto de las longitudes de los segmentos que determinan dichas cuerdas es constante.

Demostración:

1. Se forma los triángulos APC Ù BPD
2. DAPC ~ DBPD
3.

Problema de Aplicación:
1. En la figura hallar x.

FLECHA O SAGITA:
Es el segmento perpendicular, trazado desde el punto medio del arco, a la cuerda que subtiende dicho arco.

La prolongación de pasa por el centro de la circunferencia.

Problema de Aplicación:
1. En una circunferencia, una cuerda mide 16m; y su flecha mide 4m. Hallar el radio de la circunferencia.
RESOLUCIÓN:

1. Si AB = 16m Þ AM = MB = 8 m
MC = 4m
2. CD = 2r (diámetro)ÞMD = CD – 4
3. AM · MB=CM·MD (teorema de las cuerdas)
8 · 8 = 4 · (2r – 4)
2r = 20

TEOREMA DE LA TANGENTE:
Si desde un punto exterior a una circunferencia se traza una tangente y una secante. La longitud de la tangente al cuadrado es igual al producto de la secante completa por la parte externa.

donde: AP ® secante completa
BP ® parte externa
Problema de Aplicación:
1. En el gráfico. Hallar BC:

RESOLUCIÓN:
Si : AT2 = AC . AB
Þ 52 = 10 · AB
pero: AB + BC = 10 Þ BC=10–AB
\ BC = 10 – 2,5 = 7,5

TEOREMA DE LA SECANTE:
Si desde un punto exterior a una circunferencia se trazan dos o más secantes, el producto de las longitudes de la secante entera por su parte externa, es igual a otra secante entera por su parte externa.

Problema de Aplicación:
1. En la figura: Hallar x.

RESOLUCIÓN:
De la figura:
6 (6 – x) = 8x
3 (6 – x) = 4x
18 – 3x = 4x
7x = 18

TEOREMA DE PTOLOMEO:
En todo cuadrilátero inscrito o inscriptible; el producto de las longitudes de las diagonales es igual a la suma del producto de las longitudes de los lados opuestos.

Sea: ABCD
donde: AC = x Ù BD = y

Problema de Aplicación:
1. Si los lados de un cuadrilátero inscrito miden 1, 2, 3, 4m y la longitud del segmento que une los puntos medios de sus diagonales fuera 1m. Hallar la suma de las longitudes de sus diagonales.
RESOLUCIÓN:

Por el Teorema de Euler:
1) 12 + 22 + 32 + 42 = 4(1)2 + x2 + y2
x2 + y2 = 26 … (a)
2) Por el teorema de Ptolomeo:
x · y = 1 · 3 + 2 · 4
xy = 11 … (b)
Þ 2 · xy = 2 · 11
2xy = 22 … (f)
de (a) y (f) (sumando m.a.m.)
x2 + 2xy + y2 = 48 Þ (x+y)2 = 48
x + y =

TEOREMA DE VIETTE:
En todo cuadrilátero inscriptible o inscrito la relación entre las longitudes de las diagonales es igual a la relación de las sumas de productos de las longitudes de los lados que tengan a los extremos de las diagonales como vértices comunes.

Sea el ABCD: donde: AC = x Ù CD = y
* vértice A : común a los lados
* vértice C : común a los lados
* vértice B : común a los lados
* vértice D : común a los lados

Problema de Aplicación:
1. En la figura hallar la longitud de las diagonales.

RESOLUCIÓN:
1) x · y = 2a · a + 2a · 3a (T. Ptolomeo)
xy = 2a2 + 6a2
xy = 8a2 … (a)
2)
(T. Viette)

de (a) Ù (b): se multiplica m.a.m.

Reemplazando en (b):

TEOREMA DE ARQUÍMEDES:
En todo cuadrilátero inscrito o inscriptible si las diagonales se cortan perpendicularmente se cumple:

Sea el ABCD:
* AC BD en P
1) La suma de los cuadrados de las longitudes de dos lados opuestos es igual a la suma de cuadrados de los otros dos.

2) La suma de cuadrados de las longitudes de los segmentos determinados en la diagonales es igual a 4 veces el cuadrado del radio de la circunferencia circunscrita.

Problema de aplicación:
1. En la figura hallar R

RESOLUCIÓN:
4R2 = 22 + 42 + 62 + 32 (2do. Teorema)
4R2 = 4 + 16 + 36 + 9 = 65

RECTAS ISOGONALES
Son aquellas que, partiendo del vértice, forman ángulos congruentes con los lados de un ángulo.

también se dice que son simétricas respecto a la bisectriz del mismo ángulo.

donde: , se llaman isogonales respecto a los lados .
TEOREMA DE LAS RECTAS ISOGONALES
En todo triángulo se cumple que:
El producto de las longitudes de dos lados es igual al producto de las longitudes de los segmentos isogonales correspondientes al ángulo que forman dichos lados, uno de ellos limitado por el tercer lado del triángulo y el otro por la circuenferencia circunscrita a dicho triángulo.

Sea el D ABC donde:
(rectas isogonales)

también se cumple:

donde: son rectas isogonales
Diámetro (BD = 2R)

Problema de aplicación:
1. En la figura hallar la altura BH:
Si: AB = 2 y BC = 12

RESOLUCIÓN:
En la figura se traza el diámetro .

donde:
BD = 2R;
Þ por el Teorema de las rectas isogonales.
a · c = BH (2R)
2 · 12 = BH (8)
LEONHARD EULER
Nació el 15 de abril 1707 en Basilea, Suiza. Falleció el 18 de setiembre 1783 en San Petersburgo, Rusia.
Leonhard Euler, fue hijo de un clérigo, que vivía en los alrededores de Basilea. Su talento natural para las matemáticas se evidenció pronto por el afán y la facilidad con que dominaba los elementos, bajo la tutela de su padre .
A una edad temprana fue enviado a la Universidad de Basilea, donde atrajo la atención de Jean Bernoulli. Inspirado por un maestro así, maduró rápidamente, a los 17 años de edad, cuando se graduó Doctor, provocó grandes aplausos con un discurso probatorio, el tema del cual era una comparación entre los sistemas cartesiano y newtoniano.
Su padre deseaba que ingresara en el sagrado ministerio, y orientó a su hijo hacia el estudio de la teología. Pero , al contrario del padre de Bernoulli, abandonó sus ideas cuando vio que el talento de su hijo iba en otra dirección. Leonhard fue autorizado a reanudar sus estudios favoritos y, a la edad de diecinueve años, envió dos disertaciones a la Academia de París, una sobre arboladura de barcos, y la otra sobre la filosofía del sonido. Estos ensayos marcan el comienzo de su espléndida carrera.
Por esta época decidió dejar su país nativo, a consecuencia de una aguda decepción, al no lograr un profesorado vacante en Basilea. Así, Euler partió en 1727, año de la muerte de Newton, a San Petersburgo, para reunirse con sus amigos, los jóvenes Bernoulli, que le habían precedido allí algunos años antes.
En el camino hacia Rusia, se enteró de que Nicolás Bernoulli había caído víctima del duro clima nórdico; y el mismo día que puso pie sobre suelo ruso murió la emperatriz Catalina, acontecimiento que amenazó con la disolución de la Academia, cuya fundación ella había dirigido. Euler, desanimado, estuvo a punto de abandonar toda esperanza de una carrera intelectual y alistarse en la marina rusa. Pero, felizmente para las matemáticas, Euler obtuvo la cátedra de filosofía natural en 1730, cuando tuvo lugar un cambio en el sesgo de los asuntos públicos.
En 1733 sucedió a su amigo Daniel Bernoulli, que deseaba retirarse, y el mismo año se casó con Mademoiselle Gsell, una dama suiza, hija de un pintor que había sido llevado a Rusia por Pedro el Grande.
Dos años más tarde, Euler dio una muestra insigne de su talento, cuando efectuó en tres días la resolución de un problema que la Academia necesitaba urgentemente, pese a que se le juzgaba insoluble en menos de varios meses de labor. Pero el esfuerzo realizado tuvo por consecuencia la pérdida de la vista de un ojo. Pese a esta calamidad, prosperó en sus estudios y descubrimientos; parecía que cada paso no hacía más que darle fuerzas para esfuerzos futuros. Hacia los treinta años de edad, fue honrado por la Academia de París, recibiendo un nombramiento; asimismo Daniel Bernoulli y Collin Maclaurin, por sus disertaciones sobre el flujo y el reflujo de las mareas. La obra de Maclaurin contenía un célebre teorema sobre el equilibrio de esferoides elípticos; la de Euler acercaba bastante la esperanza de resolver problemas relevantes sobre los movimientos de los cuerpos celestes.
En el verano de 1741, el rey Federico el Grande invitó a Euler a residir en Berlín. Esta invitación fue aceptada, y Euler vivió en Alemania hasta 1766. Cuando acababa de llegar, recibió una carta real, escrita desde el campamento de Reichenbach, y poco después fue presentado a la reina madre, que siempre había tenido un gran interés en conversar con hombres ilustres. Aunque intentó que Euler estuviera a sus anchas, nunca logró llevarle a una conversación que no fuera en monosílabos. Un día, cuando le preguntó el motivo de esto, Euler replicó: “Señora, es porque acabo de llegar de un país donde se ahorca a todas las personas que hablan”. Durante su residencia en Berlín, Euler escribió un notable conjunto de cartas, o lecciones, sobre filosofía natural, para la princesa de Anhalt Dessau, que anhelaba la instrucción de un tan gran maestro. Estas cartas son un modelo de enseñanza clara e interesante, y es notable que Euler pudiera encontrar el tiempo para un trabajo elemental tan minucioso como éste, en medio de todos sus demás intereses literarios.
Su madre viuda vivió también en Berlín durante once años, recibiendo asiduas atenciones de su hijo y disfrutando del placer de verle universalmente estimado y admirado. En Berlín, Euler intimó con M. de Maupertuis, presidente de la Academia, un francés de Bretaña, que favorecía especialmente a la filosofía newtoniana, de preferencia a la cartesiana . Su influencia fue importante, puesto que la ejerció en una época en que la opinión continental aún dudaba en aceptar las opiniones de Newton. Maupertuis impresionó mucho a Euler con su principio favorito del mínimo esfuerzo, que Euler empleaba con buenos resultados en sus problemas mecánicos.
Un hecho que habla mucho en favor de la estima en que tenía a Euler, es que cuando el ejército ruso invadió Alemania en 1760 y saqueó una granja perteneciente a Euler, y el acto llegó al conocimiento del general, la pérdida fue inmediatamente remediada, y a ello se añadió un obsequio de cuatro mil florines, hecho por la emperatriz Isabel cuando se enteró del suceso. En 1766 Euler volvió a San Petersburgo, para pasar allí el resto de sus días, pero poco después de su llegada perdió la vista del otro ojo. Durante algún tiempo, se vio obligado a utilizar una pizarra, sobre la cual realizaba sus cálculos, en grandes caracteres. No obstante, sus discípulos e hijos copiaron luego su obra, escribiendo las memorias exactamente como se la dictaba Euler. Una obra magnífica, que era en extremo sorprendente, tanto por su esfuerzo como por su originalidad. Euler poseyó una asombrosa facilidad para los números y el raro don de realizar mentalmente cálculos de largo alcance. Se recuerda que en una ocasión, cuando dos de sus discípulos, al realizar la suma de unas series de diecisiete términos, no estaban de acuerdo con los resultados en una unidad de la quincuagésima cifra significativa, se recurrió a Euler. Este repasó el cálculo mentalmente, y su decisión resultó ser correcta.
En 1771, cuando estalló un gran fuego en la ciudad, llegando hasta la casa de Euler, un compatriota de Basilea, Peter Grimm, se arrojó a las llamas, descubrió al hombre ciego, y lo salvó llevándolo sobre sus hombros. Si bien se perdieron los libros y el mobiliario, se salvaron sus preciosos escritos. Euler continuó su profuso trabajo durante doce años, hasta el día de su muerte, a los setenta y seis años de edad.
Euler era como Newton y muchos otros, un hombre capacitado, que había estudiado anatomía, química y botánica. Como se dice de Leibniz, podría repetir la Eneida, del principio hasta el fin, e incluso podría recordar las primeras y las últimas líneas de cada página de la edición que solía utilizar. Esta capacidad parece haber sido el resultado de su maravillosa concentración, aquel gran elemento del poder inventivo, del que el mismo Newton ha dado testimonio, cuando los sentidos se encierran en intensa meditación y ninguna idea externa puede introducirse. La apacibilidad de ánimo, la moderación y la sencillez de las costumbres fueron sus características.
Su hogar era su alegría, y le gustaban los niños. Pese a su desgracia, fue animoso y alegre, poseyó abundante energía; como ha atestiguado su discípulo M. Fuss, “su piedad era racional y sincera; su devoción, ferviente”.
LA GENERALIZACIÓN DEL TEOREMA DE PTOLOMEO
(TEOREMA DE CASEY)
El geómetra irlandés John Casey (1820-1891) publicó en Dublín en 1881 un famoso libro titulado A sequel to the first six books of the Elements of Euclid (La consecuencia de los seis primeros libros de los Elementos de Euclides), título posteriormente abreviado hasta A sequel to Euclid. En el que incluye la generalización del primer teorema de Ptolomeo y en una nota al pie de la página 104 dice textualmente: “Esta extensión del teorema de Ptolomeo apareció por primera vez en un artículo mío en los Proceedings of the Royal Irish Academy, 1866”. El enunciado es el siguiente: Si las circunferencias C1, C2, C3 y C4 son tangentes a una quinta cincunferencia C5 (o recta) en ese orden. Entonces, si llamamos Tij a la longitud de la tangente exterior común a Ci y Cj se cumple la relación:
T1,2 · T3,4 + T1,4 · T1,3 = T1,3 · T2,4

Si las cuatro circunferencias degeneran en puntos A, B, C y D, obtendremos el teorema de Ptolomeo. Casey expresa una condición necesaria y suficiente para que cuatro circunferencias sean tangentes a una quinta circunferencia y una demostración de la suficiencia se puede encontrar en el ejercicio 11.240 (páginas 330-334) del excelente libro de Igor Shariguien Problemas de Geometría. Planimetría, Ed. Mir. Moscú, 1989. Es realmente notable disponer de una demostración del recíproco del teorema de Casey en un libro tan popular como el de Shariguin, dado que anteriormente había sido probado con restricciones.
Demostración:

Generalización del segundo teorema de Ptolomeo (Teorema de Viette). Escribiendo el segundo teorema de Ptolomeo en la forma:
Se demuestra que: