Archive for SUMAS DE RIEMANN

INTEGRALES DE RIEMANN Y APLICACIONES DE LA INTEGRAL EJERCICIOS RESUELTOS EN PDF Y VIDEOS

Integral de Riemann
Sumas de Riemann y el concepto de integral
Cálculo de integrales mediante sumas de Riemann particulares
Propiedades de la Integral de Riemann
Teorema Fundamental de Cálculo
Definición y propiedades de la función logaritmo natural
La función exponencial
Aplicaciones de la función exponencial
Las funciones hiperbólicas
La regla de L’Hópital y cálculo de límites de formas indeterminadas de tipo exponencial
Derivación logarítmica
La integral indefinida: cálculo de primitivas
La integral indefinida y sus propiedades
La integral indefinida
Fórmulas básicas de integración.
Propiedades elementales de la integral indefinida
Ejercicios propuestos
Fórmulas de reducción
Ejercicios propuestos
Integración de funciones racionales
Descomposición de un polinomio en factores.
Descomposición de una función racional en fracciones simples o par-
Integración de funciones racionales . . . . ..
Integración de algunas funciones algebraicas ….
Integración de funciones irracionales simples.
Integración de J(x) = xP(axn + b)q p,q,n E Q.
Integración de funciones racionales que involucran polinomios en x
y raíces cuadradas de ax2 + bx + e
Ejercicios propuestos
Integración de ciertas funciones trascendentes
Integración de funciones trigonométricas
Integración de funciones trigonométricas inversas
Integración de funciones hiperbólicas, exponenciales y logarítmicas
Ejercicios propuestos
Aplicaciones de la integral
Cálculo de áreas
Cálculo de áreas en coordenadas rectangulares
Cálculo de áreas usando ecuaciones paramétricas
Cálculo de áreas en coordenadas polares
Cálculo de longitudes de curvas
Cálculo de longitudes de curvas en coordenadas rectangulares
Cálculo de longitudes de curvas dadas por ecuaciones paramétricas
Cálculo de longitudes de curvas en coordenadas polares
Volúmenes y áreas de superficies de sólidos de revolución
Método de los discos
Método de las cortezas o cilindros
Areas de superficies de revolución
Integrales elípticas e integración numérica
Integrales elípticas
Dos métodos numéricos de integración

SUMAS DE RIEMMAN EJERCICIOS RESUELTOS (1) SUMAS DE RIEMMAN EJERCICIOS RESUELTOS (2)

El cálculo integral tiene sus orígenes en los llamados problemas de cuadraturas. Inicialmente,
en la antigua Grecia, dichos problemas eran geométricos y consistían en construir, siguiendo
reglas precisas, un cuadrado con área igual a la de una figura plana dada. En el siglo
XVII, con el descubrimiento de nuevas curvas, los aspectos geométricos de estos problemas
pasaron a un segundo plano y las técnicas de cálculo ocuparon su lugar, los problemas de cuadraturas
pasaron a ser simplemente problemas de cálculo de áreas y de volúmenes. Se atribuye
a Eudoxo la invención del método de exhausción, una técnica para calcular el área de una región
aproximándola por una sucesión de polígonos. Arquímedes perfeccionó este método y,
entre otros resultados, calculó el área de un segmento de parábola y el volumen de un segmento
de paraboloide, así como el área y el volumen de una esfera.
Sorprende que, siendo tan antiguos sus orígenes, la primera definición matemática de integral
no fuera dada hasta el siglo XIX por Augustin Louis Cauchy. Una posible explicación
es que, durante los siglos XVII y XVIII, la integración fue considerada como la operación
inversa de la derivación; el cálculo integral consistía esencialmente en el cálculo de primitivas.
Naturalmente, se conocía la utilidad de las integrales para calcular áreas y volúmenes,
pero los matemáticos de la época consideraban estas nociones como dadas de forma intuitiva
y no vieron la necesidad de precisar su significación matemática. Los trabajos de Joseph Fourier
(1768-1830) sobre representación de funciones por series trigonométricas, hicieron que el
concepto de función evolucionara, desde la idea restrictiva de función como fórmula, hasta la
definición moderna de función dada por Dirichlet en 1837. Para entender el significado de la integral
de estas nuevas funciones más generales se vio la necesidad de precisar matemáticamente
los conceptos de área y de volumen.
La definición de la integral de Cauchy seguía la tradicional aproximación del área por
rectángulos, en este sentido no era nada original; la novedad estaba en el hecho de considerar a
la integral como un objeto matemático merecedor de estudio por sí mismo, y en el propósito de
atribuirle un significado independiente de las técnicas que pudieran utilizarse en los cálculos.
Este significado propio de la integral remite de forma inevitable a la idea de área. Ningún
matemático anterior al siglo XIX había considerado necesario elaborar una teoría matemática
del concepto de área; es en dicho siglo cuando el concepto de área adquiere un significado
matemático preciso o, mejor dicho, varios significados matemáticos, porque dicho concepto
evolucionó hasta que, en la primera década del siglo XX, adquirió esencialmente su forma
actual.
Puede que a ti el concepto de área te parezca tan evidente que te resulte extraño que se
dedicaran tantos esfuerzos a elaborar una teoría matemática del mismo. Es natural que pienses
así. Las regiones planas y los sólidos que usualmente nos interesan para calcular su área o
su volumen no son tan complicados que puedan hacernos dudar de si realmente tienen área o
volumen: polígonos o poliedros, regiones limitadas por curvas o por superficies que pueden
definirse por sus respectivas ecuaciones, todos ellos tiene claramente su área o su volumen y
el problema real es calcularlos y no se entiende por qué hay que empeñarse en definirlos. Así
pensaban también los matemáticos hasta el siglo XIX. Pero cuando empezaron a considerarse
funciones cada vez más generales, las cosas cambiaron mucho. Hay funciones para las que no
es evidente que su gráfica determine una región con área. El siguiente ejemplo te ayudará a
entender lo que quiero decir.
La integración es una de las herramientas más versátiles del Cálculo, sus aplicaciones no
se limitan a calcular áreas de regiones planas o volúmenes de sólidos, también se utiliza para
calcular longitudes de curvas, centros de masas, momentos de inercia, áreas de superficies, para
representar magnitudes físicas como el trabajo, la fuerza ejercida por una presión, o la energía
potencial en un campo de fuerzas.