SISTEMAS DE ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO PROBLEMAS RESUELTOS PDF


SISTEMA DE ECUACIONES NO LINEALES CON DOS INCOGNITAS-SUMA DE RADICALES


SISTEMA DE ECUACIONES NO LINEALES CON DOS INCOGNITAS-SUMA DE RECIPROCOS


SISTEMA DE ECUACIONES NO LINEALES CON 2 VARIABLES-SUMA DE INVERSAS


SISTEMA DE ECUACIONES NO LINEALES CON DOS INCOGNITAS-RODUCTOS – METODO DE REDUCCION


SISTEMA DE ECUACIONES NO LINEALES CON DOS INCOGNITAS-PROBLEMA RESUELTO METODO DE REDUCCION


SISTEMA DE ECUACIONES NO LINEALES CON DOS INCOGNITAS PROBLEMA RESUELTOS – ECUACION CUADRATICA


SISTEMA DE ECUACIONES NO LINEALES CON DOS VARIABLES- BINOMIO AL CUADRADO-ECUACION CUADRATTICA


SISTEMA DE ECUACIONES NO LINEALES CON DOS INCOGNITAS- DOBLE REDUCCION – CAMBIO DE VARIABLE


SISTEMA DE ECUACIONES 2×2 RESUELTO CON TRIANGULO PITAGORICO Y SEMAJANZA DE TRIANGULOS P     


SISTEMA DE ECUACIONES NO LINEALES DE 3×3-ECUACION CUBICA – TEOREMA DE CARDANO


SISTEMA DE 3×3 RESUELTO POR EL METODO DE SUSTITUCION


SISTEMA DE ECUACIONES NO LINEALES CON TRES INCOGNITAS RESUELTO-SOLUCION UNICA POR DISCRIMINANTE


SISTEMA DE ECUACIONES NO LINEALES DE 3×3 PROBLEMA RESUELTO-POR FACTORIZACION Y CAMBIO DE VARIABLE


SISTEMA DE ECUACIONES NO LINEALES CON TRES INCOGNITAS RESUELTO-SUMA DE INVERSAS – SUSTITUCION     


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1.- Resolver el sistema:
x + y = 12 (1)
xy = 35 (2)
Solución:
Dada la suma y el producto de dos números, se
puede formar una ecuación de segundo grado de
acuerdo a la propiedad de las raíces de una
ecuación de segundo grado; entonces, sean “x” e
“y” las raíces de la ecuación:
t2 – 12t + 35 = 0
factorizando:
(t – 7)(t – 5) = 0
∴ t1 = 7 y t2 = 5
siendo 7 y 5 las raíces se tendrá:
x = 7 , y = 5
o:
x = 5 , y = 7
2.- Resolver el sistema:
x + y = 10 (I)
x2 + y2 = 58 (II)
Solución:
Como se conoce la suma, se busca el producto
para formar ecuación de segundo grado.
Elevando el cuadrado la ecuación (I):
x2 + 2xy + y2 = 100 (III)
Sustituyendo (II) en (III):
2xy + 58 = 100
xy = 21 (IV)
De (I) y (IV):
x = 7 , y = 3
o:
x = 3 , y = 7
3.- Resolver el sistema:
x3 + y3 = 35 (I)
x + y = 5 (II)
Solución:
En (I), factorizando la suma de cubos:
(x + y)(x2 – xy + y2) = 35
que se puede escribir como:
(x + y) [(x + y)2 – 3xy] = 35 (III)
Sustituyendo (II) en (III):
(5) (25 – 3xy) = 35 ; xy = 6 (IV)
De (II) y (IV) se obtiene:
x = 2 , y = 3
o:
x = 3 , y = 2
4.- Resolver el sistema:
___
x + y – √xy = 19 (I)
x2 + y2 + xy = 931 (II)
Solución:
En la ecuación (II) sumando y restando xy:
(x2 + 2xy + y2) – xy = 931
___
(x + y)2 – (√xy )2
= 931
___ ___
(x + √xy + y) (x – √xy + y) = 931 (III)
Dividiendo (III) entre (I)
___
x + √xy + y = 49 (IV)
Sumando (I) y (IV):
2(x + y) = 68
x + y = 34 (V)
Restando (IV) menos (I):
___
2 √ xy = 30
xy = 225 (VI)
De (V) y (VI) se obtiene:
x = 25 , y = 9
o:
x = 9 , y = 25
5.- Resolver:
(x – y)(x2 – y2) = 288
(x + y)(x2 + y2) = 400
Solución:
Efectuando operaciones en ambas ecuaciones:
x3 – x2y – xy2 + y3 = 288 (I)
x3 + x2y + xy2 + y3 = 400 (II)
Sumando (I) más (II):
2 (x3 + y3) = 688
x3 + y3 = 344
(x + y) [(x + y)2 – 3xy] = 344
(x + y)3 – 3xy(x + y) = 344 (III)
Restando (II) menos (I):
2xy(x + y) = 112
xy(x + y) = 56
Multiplicando por 3:
3xy(x + y) = 168 (IV)
Sumando (III) y (IV):
(x + y)3 = 512
x + y = 8 (V)
Sustituyendo (V) en (IV):
xy = 7 (VI)
De (V) y (VI) se obtiene:
x = 1 , y = 7
o:
x = 7 , y = 1
6.- Resolver el sistema:
x + y + z = 13 (1)
x2 + y2 + z2 = 65 (2)
xy = 10 (3)
Solución:
De la ecuación (3):
2xy = 20
Sumando (2) y (3):
(x2 + 2xy + y2) + z2 = 85
haciendo x + y = u:
u2 + z2 = 85 (4)
igualmente, haciendo x + y = u en (1):
u + z = 13 (5)
de las ecuaciones (4) y (5):
u = 7 , z = 6
o:
u = 6 , z = 7
Para: u = 7 , z = 6:
x + y = 7 ⇒ x = 2 , y = 5
xy = 10 ⇒ x = 5 , y = 2
Para: u= 6 , z = 7:
x + y = 6 ⇒ x = 3 ± i
xy = 10 ⇒ y = 3 ± i
x = 5 ó 2 x = 3 ± i
∴ {y = 2 ó 5 o { y = 3 ± i
z = 6 z = 7
7.- Resolver el sistema:
(x + y)(x + z) = 30 (1)
(y + z)(y + x) = 15 (2)
(z + x)(z + y) = 18 (3)
α
α α Solución:
Multiplicando miembro a miembro (1), (2) y (3)
se tiene:
(x + y)2 (x + z)2 (y + z)2 = 30 . 15 . 18 = 152 . 62
Extrayendo raíz cuadrada:
(x + y)(x + z)(y + z) = ± 15 . 6 (4)
Sustituyendo (3) en (4):
18(x + y) = ± 15 . 6
x + y = ± 5 (I)
Sustituyendo (2) en (4):
15(x + z) = ± 15 . 6
x + z = ± 6 (II)
Sustituyendo (1) en (4):
30(y + z) = ± 15 . 6
y + z = ± 3 (III)
De (I), (II) y (III) se obtiene:
x1 = 4 , y1 = 1 , z1 = 2
Rpta.: { x2 = -4 , y2 = -1 , z2 = -2
8.- Resolver el sistema:
y2 + yz + z2 = 49 (1)
z2 + zx + x2 = 19 (2)
x2 + xy + y2 = 39 (3)
Solución:
Restando (1) – (2):
y2 – x2 + yz – zx = 30
(y + x) (y – x) + z(y – x) = 30
(y – x)(y + x + z) = 30 (4)
Restando (1) – (3):
z2 – x2 + yz – xy = 10
(z – x)(z + x) + y(z – x) = 10
(z – x)(z + x + y) = 10 (5)
Dividiendo (4) por (5):
y – x
––––– = 3
z – x
y – x = 3z – 3x
y = 3z – 2x (6)
Sustituyendo (6) en (3):
x2 + x(2z – 2x) + (3z – 2x)2 = 39
x2 + 3xz – 2×2 + 9z2 – 12xz + 4×2 = 39
3×2 – 9xz = 9z2 = 39
x2 – 3xz + 3z2 = 13 (7)
Como (7) y (2) son homogéneas, se puede hacer
el siguiente artificio: x = mz, y remplazar:
En (2): z2 + mz2 + m2z2 = 19 (α)
En (7): m2z2 – 3mz2 + 3z2 = 13 (β)
Dividiendo (α) por (β):
1 + m + m2 19
–––––––––– = –––
m2 – 3m + 3 13
19m2 – 57 m + 57 = 13 = 13m + 13m2
6m2 – 70m + 44 = 0
3m2 – 35m + 22 = 0
(3m – 2)(m – 11) = 0
∴ m = –2– , m = 11
3
a) Si m = –2–:
3
x = –2– z (γ)
3
sustituyendo el valor de m en (α):
z2 + –2– z2 + –4– z2 = 19
3 9
19z2 = 171
∴ z = ± 3
Sustituyendo en (γ):
x = ± 2
Sustituyendo en (6):
y = ± 5
b) Si m = 11:
x = 11z
y se obtiene:
x = ± –1–1–– , y = 19 1 __  ––_–_– , z = ± ––––
√7 √7 √7
x1 = ± 2 ; y1 = ± 5 ; z1 = ± 3
Rpta.: { x 11 19 1 2 = ± –––– , y2 =  –––– , z2 __ __ = ± ––_–_–
√7 √7 √7
9.- Resolver el sistema:
x + y + z = 19 (1)
x2 + y2 + z2 = 133 (2)
y2 = xz (3)
Solución:
Sustituyendo (3) en (2):
x2 + xz + z2 = 133 (4)
Sustituyendo (3) en (1):
___
x + √xz + z = 19 (5)
En (4), sumando y restando xz dá:
(x + z)2 – xz = 133
__
(x + z)2 – (√xz)2
= 133
__ __
(x + √xz + z) (x -√xz + z) = 133 (6)
Dividiendo (6) por (5):
__
x – √xz + z = 7 (7)
Sumando (5) y (7):
2(x + z) = 26
x + z = 13 (8)
restando (5) y (7):
__
2 √xz = 12
__
√xz = 6
xz = 36 (9)
Resolviendo (8) y (9):
z = 9 , x = 4
z = 4 , x = 9
Si: z = 9 , x = 4 ⇒ y = 6
Si: x = 9 , z = 4 ⇒ y = 6
10.- Resolver el sistema:
z (x + y) = 234 (1)
y (z + x) = 220 (2)
x (y + z) = 168 (3)
Solución:
Efectuando operaciones:
zx + zy = 234 (1)
yz + xy = 220 (2)
xy + xz = 168 (3)
Sumando (1), (2) y (3):
2(xy + xz + yz) = 622
xy + xz + yz = 311 (4)
Sustituyendo (1) en (4):
xy = 77 (α)
Sustituyendo (2) en (4):
xz = 91 (β)
Sustituyendo (3) en (4):
yz = 143 (γ)
Multiplicando (α), (β) y (γ):
x2y2z2 = (7 . 11)(7 . 13)(13 . 11) = 112 . 72 . 132
Extrayendo raíz cuadrada:
xyz = ± 11 . 7 . 13 (φ)
Sustituyendo (α) en (φ):
z = ± 13
Sustituyendo (β) en (φ):
y = ± 11
Sustituyendo (γ) en (φ):
x = ± 7
SISTEMAS DIVERSOS
EJERCICIOS RESUELTOS
1.- Resolver el sistema:
_______ ______ 3 √5x + 14 +
3 √
5y –
12 =
6
(
I)
x + y = 14 (II)
Solución:
Multiplicando a la ecuación (II) por 5:
5x + 5y = 70
Sumando 14 a ambos miembros de la ecuación:
(5x + 14) + 5y = 70 + 14
Restando 12 a ambos miembros de la ecuación:
(5x + 14) + (5y – 12) = 72 (III)
haciendo:
_______ 3 √5x + 14 = a
5x + 14 = a3 (A)
y:
_______ 3 √5y – 12 = b
5y – 12 = b3 (B)
Se obtiene de (I) y (III):
a + b = 6 (I)a
a3 + b3 = 72 (II)a
De (II)a:
(a + b) [(a + b)2 – 3ab] = 72 (III)a
Sustituyendo (I)a en (III)a
(6)(36 – 3ab) = 72
ab = 8 (IV)
Resolviendo (I)a y (IV) se tendrá:
a = 2 , b = 2
o:
a = 2 , b = 4
Sustituyendo en (A) y (B) :
para a = 4: 64 = 5x + 14 ⇒ x = 10
b = 2: 8 = 5y – 12 ⇒ y = 4
para a = 2: 8 = 5x + 14 ⇒ x = -6/5
b = 4: 64 = 5y – 12 ⇒ y = 76/5
2.- Resolver el sistema:
x + y + z = 2 (I)
x2 + y2 + z2 = 6 (II)
x3 + y3 + z3 = 8 (III)
Solución:
Elevando al cuadrado la ecuación (I):
x2 + y2 + z2 + 2(xy + xz + yz) = 4 (IV)
Sustituyendo (II) en (IV):
xy + xz + yz = -1 (V)
Elevando al cubo la ecuación (I):
x2 + y3 + z3 + 3x2y + 3x2z + 3y2x + 3y2z + 3z2x +
+ 3z2y + 6xyz = 8
x3 + y3 + z3 + 3x(xy+xz+yz) + 3y(xy+xz+yz)
+ 3z2(x + y) = 8
α
α α
Sustituyendo (V) y (III) en esta ecuación, se
obtiene:
3x(-1) + 3y(-1) + 3z2(x + y) = 0
(3z2 – 3)(x + y) = 0 (VI)
De (I):
x + y = 2 – z (VII)
sustituyendo en (VI):
(3z2 – 3)(2 – z) = 0
igualando a cero cada factor:
3z2 – 3 = 0 ⇒ z = ± 1
2 – z = 0 ⇒ z = 2
Sustituyendo sucesivamente en (VII) y (II):
para z = 1:
x + y = 1 x = 2 { ⇒ { x2 + y2 = 5 y = -1
para z = -1:
x + y = 3 x = 2 { ⇒ { x2 + y2 = 5 y = -1
para z = 2
x + y = 0 x = 1 { ⇒ { x2 + y2 = 2 y = -1
x1 = 2 , y1 = -1 , z1 = 1
Rpta.: { x2 = 2 , y2 = 1 , z2 = -1
x3 = 1 , y3 = -1 , z3 = 2
3.- Resolver el sistema:
2(x + y) = 5xy (I)
8(x3 + y3) = 65 (II)
Solución:
De (II):
8(x + y)[(x + y)2 – 3xy] = 65
Sustituyendo (I) en esta ecuación, se obtiene:
5xy 5xy 2
8(––––) [(––––) – 3xy] = 65
2 2
haciendo xy = a:
25a2
4(5a) [(–––––) – 3a] = 65
4
125a3 – 60a – 65 = 0
dividiendo por “5” toda la ecuación:
25a3 – 12a – 13 = 0
(a – 1)(25a2 + 25a + 13) = 0
igualando cada factor a cero:
a – 1 = 0 , a = 1
25a2 + 25a + 13 = 0, no tiene raíces reales.
Para a = 1:
xy = 1 (α)
En (I):
x + y = –5– (β)
2
Resolviendo (α) y (β):
x 1 1 = 2 , y1 = ––
2
Rpta.: { x 1 2 = –– , y2 = 2
2
4.- Resolver el sistema:
x2 + xy + xz – x = 2 (I)
y2 + xy + yz – y = 4 (II)
z2 + zx + yz – z = 6 (III)
Solución:
Sumando las tres ecuaciones:
(x2 + y2 + z2 + 2xy + 2xz + 2yz) – (x + y + z) = 12
o:
(x + y + z)2 – (x + y + z) = 12
haciendo (x + y + z) = t
t2 – t = 12
t2 – t – 12 = 0
cuyas raíces son:
t1 = 4 , t2 = -3
De (I):
x(x + y + z) – x = 2
sustituyendo el paréntesis:
xt – x = 2
x = ––2–– (1)
t – 1
De (II):
y(x + y + z) – y = 4
yt – y = 4
y = ––4–– (2)
t – 1
De (III):
z(z + x + y) – z = 6
zt – z = 6
z = ––6–– (3)
t – 1
Sustituyendo los valores de “t” en (1), (2) y (3):
x 1 3 1 = – –– , y1 = -1 , z1 = – ––
2 2
Rpta.: { x 3 4 2 = –– , y1 = –– , z1 = 2
2 3
5.- Resolver el sistema:
x + y + z = 9 (I)
–1– + –1– + –1– = 1 (II)
x y z
xy + zx + yz = 27 (III)
Solución:
En (II) efectuando operaciones:
xy + xz + yz = xyz (II)
Sustituyendo (III) en (II):
27 = xyz (IV)
Multiplicando la ecuación (III) por z:
xyz + xz2 + yz2 = 27z
pero xyz = 27, luego:
27 + z2(x + y) = 27z
De (I):
x + y = 9 – z
sustituyendo:
27 + z2(9 – z) = 27z
27 + 9z2 – z3 – 27z = 0
27 – 27z + 9z2 – z3 = 0
(3 – z)3 = 0
z = 3
Sustituyendo en (IV):
xy = 9 (α)
Sustituyendo en (I):
x + y = 6 (β)
resolviendo (α) y (β):
x = 3 , y = 3
Rpta.: x = 3 , y = 3 , z = 3
ECUACIONES EXPONENCIALES
Son ecuaciones donde la incógnita se halla como
exponente. No son ecuaciones algebraicas sino
“Ecuaciones trascendentes”, pero reducibles a algebraicas.
Para resolver debe recordarse que “si las
bases de igualdades exponenciales son iguales, los
exponentes deben serlo”.
α
α α
EJERCICIOS RESUELTOS
1.- Resolver la ecuación exponencial:
xx = –1–_–_–
4√
2
Solución:
Transformando sucesivamente el segundo miembro:
_1 _1 _1 _1 _1 _1
1 4 1 2 4 1 8 1 2 8 xx = (––) = [(––) ] = (––) = [(––) ] 2 4 4 16
finalmente:
_1_
16
xx = (–1–) 16
luego, por comparación:
x = –1––
16
2.- Resolver:
22x+2 – 6x – 2 . 32x+2 = 0
Solución:
La ecuación se puede escribir
(2x)2 . 22 – [(2)(3)]x – 2 . (3x)2 . 32 = 0
4 .(2x)2 – (2x)(3x) – 18(3x)2 = 0
haciendo (2x . = a ) y (3x = b):
4a2 – ab – 18b2 = 0
factorizando:
(4a – 9b)(a + 2b) = 0
igualando a cero cada factor:
(a) 4a – 9b = 0
4a = 9b
–a– = –9– (α)
b 4
(b) a + 2b = 0
a = -2b (resultado absurdo)
Reponiendo los valores de a y b en (α)
–2–x– = –9–
3x 4
2 x 3 2 (––) = (––) 3 2
2 x 2 2 (––) = (––) 3 3
x = -2
3.- Resolver el sistema:
x + y = 2x (I)
3x(x + y) = 216 (II)
Solución:
Sustituyendo (I) en (II):
3x . 2x = 216
[(3)(2)]x = 216
6x = 216
6x = 63
x = 3
sustituyendo en (I):
3 + y = 23
y = 5
Rpta.: x = 3 ; y = 5
4.- Resolver:
_____ __
√ 4 √6 561 . 12 x = 6x
Solución:
Transformando 6 561 = 38
Luego, sustituyendo:
___ __
√ 4 √38 . 12 x = 6x
que se puede escribir:
__

32 . (3 . 22)
x
= [(2)(3)]x
_ _
32 . 3 √ x . 22 √ x = 2x .3x
__ _
32+ √ x-x = 2x-2√x
para que la igualdad se cumpla, el único caso es
que sean igual a 1, ambos y para ser igual a 1 los
exponentes deben ser cero, así:
____
a) 2 + √x – x = 0
cuyas raíces son:
x1 = 4
x2 = -1 (absurdo)
α
α α __
b) x – 2 √x = 0
cuyas raíces son:
x1 = 4, x2 = 0
Rpta.: x = 4
5.- Resolver:
2–
___
___ __
1
5 _______
(2√12 + 3 √3 + 6 √ –– ) =2 √32x -2x-2 3
Solución:
Transformando el primer miembro:
__ __ __ _2 _______ 5 (4 √3 + 3√3 + 2√3 ) =√32×2 -2x-2
__ _2 _______ 5 (9 √3 ) = √32×2-2x-2
_1 _2 _______
2 2 5 (3 . 3 ) = √32×2 -2x-2
_5 _2 _______
2 5 (3 ) = √32×2 -2x-2
31 = 3×2 -x-1
igualando exponentes:
x2 – x – 1 = 1
x2 -x – 2 = 0
de donde:
x1 = 2
x2 = -1
EJERCICIOS PROPUESTOS
1. Resolver el sistema:
x2 – xy + y2 = 3 (I)
2×2 – xy – y2 = 5 (II)
a) x = – –1––_– , y = –_4––_– b) x = –1––– , y = –4––_–_
√7 √7 √7 √7
c) x = –4––– , y = – –1_––_– d) x = – –1––_– , y = ––4––
√7 √7 √7 √7
e) x = – –4––_– , y = –1_––_–
√7 √7
2. Resolver el sistema y dar el valor de “x” :
_________ ______
5√x2 – 3y – 1 + √x + 6y = 19 (I)
_________ ______
3√x2 – 3y – 1 = 1 + 2 √x + 6y (II)
a) 2 b) 4 c) 1 d) -1 e) -4
3. Resolver el sistema y dar el valor de “z”:
x + y + z = 14 (I)
y2 + z2 – x2 = 46 (II)
yz = 9 (III)
a) 4 b) 9 c) 1 d) 2 e) 3
4. Resolver el sistema y dar un valor de “y”
__________
2√x2 – 12y + 1 x2 + 17
y + ––––––––––––– = ––––––– (I)
3 12
_______
x 2 x 1 y
––– + ––– = –– + –– – ––– (II)
8y 3 √3y 4 2x
a) 4 b) -3 c) – –5– d) –1– e) – –1–
6 2 2
5. Resolver el sistema y dar un valor de “x”:
____________
x + y + √(x + 2)(y + 3) = 34 (I)
(x + 2)2 + (y + 3)2 + (x + 2)(y + 3) = 741 (II)
a) -1 b) -3 c) 3 d) 4 e) 2
6. Resolver y dar los valores de “x”:
___
x + √xy + y = 65 (1)
x2 + xy + y2 = 2 275 (2)
a) x = ±4 b) x = ±6 c) x = ±2
d) x = ±5 e) x = ±7
7. Resolver el sistema y dar un valor de “y”:
_________
x(x + y) + √x2 + xy + 4 = 52 (1)
______ ______
x + √x2 – y2 x – √x2 – y2 17
–––––_–_–_–_–_–_– + –––––_–_–_–_–_–_– = –––
x -√x2 – y2 x +√x2 – y2 4
a) 5 b) 15 c) -5 d) -15 e) 12
8. Resolver el sistema y dar un valor de “x”:
________ _______
√x2 + 12y + √y2 + 12x = 133 (1)
x + y = 23 (2)
a) 8 b) 10 c) 4 d) 7 e) 6
9. Resolver y hallar el valor de “z”:
x2 – yz = -5 (1)
y2 – zx = 7 (2)
z2 – xy = 1 (3)
a) 2 b) -2 c) 3 d) -3 e) 1
10. Resolver y dar un valor de “y”:
x2y + xy + x = 27 (1)
xy2 + xy + y = 5 (2)
a) 6 b) -6 c) 3 d) -3 e) –1–
2
11. Resolver el sistema y calcular x:
2x + y = 2z (1)
9z – 7x = 6y (2)
x3 + y3 + z3 = 216 (3)
a) 4 b) 5 c) 3 d) i e) 2i
12. Resolver el sistema y calcular “x”:
(x2 – y2)(x – y) = 16xy (I)
(x4 – y4)(x2 – y2) = 640x2y2 (II)
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5
13. Calcular “x” al resolver el sistema
xy + ab = 2ax (1)
x2y2 + a2b2 = 2b2y2 (2)
b 2a 1
a) 4 b) –– c) ––– d) –– e) b
2a b a
14. Resolver el sistema y calcular “x”:
__ __
x √y + y √x = 20 (1)
__ __
√x3 + √y3 = 65 (2)
a) 25 b) 16 c) 64 d) 4 e) 9
15. Resolver el sistema y calcular “x”:
x5 – y5 = 992 (1)
x – y = 2 (2)
a) 1 b) -1 c) -2 d) 5 e) 6
α
α α 16. Resolver la ecuación:
8x – 3 (4x) – 3 (2x+1) + 8 = 0
a) -2 b) 0 c) -1 d) 1 e) 4
17. Resolver y dar el valor de “x”:
_____ __ x-y√x + y = 2√3 (1)
(x + y) 2y-x = 3 (2)
a) 1 b) 3 c) 7 d) 5 e) 2
18. Resolver y dar el valor de “a”:
aa = bb (1)
ab = 2a (2)
__
a) –1– b) –1– c) 2 d) √––1– e) ––1–
2 4 2 16
19. Resolver :
xxn +xm + mn = mxxn + nxxm
__ __ __
a)
n√
m b)
m√n c) nn d) nm e)
n√
n
20. Resolver y dar el valor de “z”:
52y + 23 (1 + 3x-1) = 689 (1)
51+2y – 3z = 3 044 (2)
23
x
+ 32+z = 737 (3)
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5
CLAVE DE RESPUESTAS
1) C 2) B 3) C 4) E 5) C
6) D 7) E 8) B 9) E 10) E
11) C 12) C 13) E 14) B 15) C
16) B 17) C 18) B 19) E 20) D