SERIES DE FOURIER EJERCICIOS RESUELTOS


 

Funciones pares e impares Funciones periódicas Funciones continuas y derivables a tramos Funciones ortogonales y la serie de Fourier La serie de Fourier como la mejor aproximación en media cuadrática Series de Fourier para funciones periódicas Desigualdad de Bessel Fórmula de Dirichlet Convergencia de la serie de Fourier Teorema de Dirichlet Series de Fourier de senos y cosenos Fórmula de Parseval Integración de series de Fourier Derivación de series de Fourier Serie de Fourier de funciones periódicas de período cualquiera Series de Fourier de funciones a valores complejos La serie de Fourier compleja Serie de Fourier de un producto de funciones Desde el punto de vista económico, sería el discurso matemático que permite una representación combinatoria de casi la totalidad de las relaciones funcionales, a saber las descomposiciones en serie de Fourier en 1800. En efecto, en la medida en que toda función se puede descomponer en polinomio, todo ruido se puede descomponer en sonidos elementales y recomponer en grandes conjuntos de instrumentos Según sea el campo de aplicación, puede ser necesario expresar ciertas funciones como combinaciones lineales de otros tipos de funciones elementales. En particular, el estudio de fenómenos periódicos, llevan a considerar polinomios o serie iones trigonométricas. Históricamente, las series de Fourier deben su nombre al matemático francés Joseph Fourier (1768-1830) , quien publicó en 1822 su famoso libro “Theorie analytique de la chaleur” donde desarrolla una teoría general sobre el método de las series trigonométricas. Este método había sido aplicado a situaciones particulares por Euler y Bernoulli para el caso de la cuerda vibrante. Estos tipos de movimientos son periódicos y se llaman sinusoidales o armónicos simples. Existen fenómenos periódicos más complejos, como la vibración de una cuerda musical, cuyas oscilaciones están compuestas de distintas ondas armónicas, como las que describimos anteriormente. Fourier demostró que las ondas periódicas con formas complicadas pueden expresarse como suma de ondas armónicas, cuyas frecuencias son múltiplos enteros de la frecuencia fundamental. Así, supongamos que f(t) representa el desplazamiento periódico de una onda y si f(t) y su derivada son continuas a tramos, puede demostrarse que dicha función puede representarse mediante una suma del tipo:
El término “armónico”viene de la acústica donde la vibración fundamental de frecuencia angular w corresponde a un tono de cierta altura y los armónicos primero, segundo, … corresponden a la primera octava, a la segunda octava, etc. El proceso de determinación matemática de los coeficientes An Y las constantes de fase ‘Pn, para una forma de onda dada y el estudio de las condiciones bajo las cuales la serie converge a f se llama Análisis de Fourier cuyas aplicaciones cubren una gama muy amplia de saberes como procesamiento de señales, telecomunicaciones, neurociencias entre otros.
Funciones periodicas y series de Fourier 1 1. Funciones trigonometricas 1 2. Polinomios trigonometricos 3 3. PerIodo de una funcion 5 4. Coe¯cientes de Fourier 6 5. Lema de Riemann-Lebesgue 12 6. Ejercicios adicionales 16 Condiciones para la convergencia puntual y en media aritmetica de una serie de Fourier 17 1. Condicion su¯ciente para la convergencia puntual 17 2. Convergencia de las medias aritmeticas 20 3. Ejercicios adicionales 24 Convergencia en media cuadratica de la serie de Fourier 27 1. Media cuadratica 27 2. Aproximacion en media cuadratica 28 3. Desigualdad de Bessel e Identidad de Parseval 29 4. Aplicacion a sumacion de series numericas 31 5. Ejercicios adicionales 32 Comportamiento de las series de Fourier 33 1. Fenomeno de Gibbs 33 2. Integracion y derivacion de series de Fourier 36 3. Orden de magnitud de los coeficientes de Fourier 40 4. Ejercicios adicionales 41 Capítulo 5. Casos más generales 43 1. Notación compleja 43 2. Funciones de periodo arbitrario 44 3. Desarrollo en serie de cosenos y en serie de senos 45 4. Ejercicios adicionales 47 Aplicación a la resolución de ecuaciones en derivadas parciales 49 2. Ecuación de la cuerda vibrante 50 3. Ecuación del calor