Archive for RESOLUCION DE TRIANGULOS RECTANGULOS

RAZONES TRIGONOMETRICAS DE ANGULOS AGUDOS EJERCICIOS Y PROBLEMAS RESUELTOS EN PDF Y VIDEOS





SENO , COSENO , TANGENTE , COTANGENTE , SECANTE Y COSECANTE DE UN ÁNGULO ÁGUDO
PROPIEDADES DE RAZONES TRIGONOMETRICAS DE ANGULOS AGUDOS
Al finalizar el tema el alumno será capaz de:
* Aplicar el Teorema de Pitágoras.
* Identificar los elementos para definir una razón trigonométrica.
* Definir una razón trigonométrica.
* Identificar la proporción de las longitudes de los lados de los triángulos rectángulos notables
* Calcular las razones trigonométricas de ángulos notables
* Resolver un triángulo rectángulo desde el punto de vista trigonométrico
* Demostrar y aplicar la fórmula trigonométrica del área de una región triangular
* Definir e identificar las razones trigonométricas en triángulos rectángulos especiales .
* Reconocer la propiedad de las razones recíprocas
* Identificar la propiedad de las razones complementarias (co-razones)
TRIÁNGULO RECTÁNGULO
Se llama triángulo rectángulo al triángulo donde uno de sus ángulos es recto (90º), además recuerde que el lado opuesto al ángulo recto se llama hipotenusa y los dos lados restantes catetos.
RAZÓN TRIGONOMÉTRICA
Son aquellos números que resultan de dividir la longitud de los lados de un triángulo rectángulo.
TEOREMA DE PITÁGORAS
“La suma de cuadrados de los catetos es igual al cuadrado de la hipotenusa”


OBJETIVOS :
– Definir la razón trigonométrica de un ángulo agudo.
– Aplicar la definición en situaciones problemáticas.
– Aplicar el Teorema de Pitágoras para calcular las razones trigonométricas.
EJERCICIOS :
1. Utiliza los valores de los ángulos de 30º, 45º y 60º.
El valor de 4 sen 30º + 3 sec 60º – 3 tan 45º es:
a) 4 c) –5
b) 9 d) 5

2. ¿Cuáles de las siguientes cantidades pueden ser las
longitudes de un triángulo rectángulo?
a) 25, 24, 7 c) 6, 4, 5
b) 3, 6, 9 d) 7, 8, 10

MIDIENDO ENTRE MONTAÑAS
En la resolución de triángulos rectángulos se
aplica también el método de doble observación
que es usado habitualmente por los topógrafos
para determinar la altura de una montaña, o
cualquier altura a la cual no pueden acercarse.
Se utiliza un aparato llamado el teodolito para
determinar el ángulo que se forma con la cúspide
de la montaña y el lugar donde se encuentra
el observador.
El teodolito actual es un telescopio montado
sobre un trípode y con dos círculos graduados,
uno vertical y otro horizontal con los que se
miden los ángulos, con ayuda de lentes.
RAZÓN TRIGONOMÉTRICA
Es el cociente entre dos lados de un triángulo rectángulo.
RAZÓN TRIGONOMÉTRICA CON RESPECTO A UN ÁNGULO AGUDO

Ejemplo:

Por definición:

TEOREMA DE PITÁGORAS
“En todo triángulo rectángulo la suma de los cuadrados de sus catetos es igual al cuadrado de la hipotenusa”.

Ejemplos:
1. Si:
calcule:
Resolución:
Por definición:

Reemplazando:

2. Calcule:

Resolución:

Por definición:

Reemplazando:

3. En un triángulo ABC (B = 90°) calcule “a” si se cumple: b2 sen A sen C tg A = 25
Resolución:

Reemplazando:

1. Si: ,
calcule:
A) 0,1 B) 0,2 C) 0,3 D) 0,4 E) 0,5

A) B) C)
D) E)

3. Si: ,
calcule:
A) B) C) D) E)

4. En un triángulo ABC (A = 90°) se cumple:
. Calcule “b”.
A) 2 B) 3 C) 4 D) 6 E) 12

5. De la figura halle:

A) B) C) D) E) 2

6. Calcule: tg a si AC = 13 y BD = 9

A) B) C) D) E) 2

– Describir la relación de los lados de los triángulos notables.
– Calcular las razones trigonométricas de los ángulos notables.
– Aplicar las razones trigonométricas de los ángulos notables en situaciones problemáticas.
TRIÁNGULOS NOTABLES

RAZONES TRIGONOMÉTRICAS
DE LOS ÁNGULOS NOTABLES

OTROS TRIÁNGULOS NOTABLES

Ejemplos:
1. Calcule: k = 2 sen 30° + 3 tg 45° + 4 sec 37°
Resolución:
Por las R.T. de ángulos notables:

2. Calcule: tg q

Resolución:

3. Calcule:
si:
Resolución:
Por triángulos notables:

Reemplazando:

1. Calcule:
A) 0 B) 1 C) 2 D) –1 E) –2

2. Si “a” es un ángulo agudo, tal que:
, halle “a”
A) 30° B) 37° C) 45° D) 53° E) 60°

3. Calcule: csc a

si:
A) B) C)
D) 5 E)

4. Si es equilátero, calcule “tg q”.

5. Calcule “ctg q”

A) 1,5 B) 1,8 C) 2
D) 2,5 E) 2,8

6. Halle “sec q”

7. Calcule “tg a” si 0° además: cos a = cos 45°
A) B) C) D) E)

8. Calcule “cos q” si BCD es un sector circular.

A) B) C)
D) E)

9. Si ABC es un triángulo isósceles

además AP=5(PC), halle “csc a”
A) B) C)
D) 5 E)

10. Si AOB es sector circular, calcule: “tg q”.

A) B) C) D) E)
• Identificar las razones recíprocas.
• Aplicar las razones trigonométricas en situaciones problemáticas.
• Identificar las razones complementarias (Co-Razones).
• Aplicar las razones complementarias en situaciones problemáticas.
PROPIEDADES DE RAZONES TRIGONOMÉTRICAS
EN ÁNGULOS AGUDOS: RECÍPROCAS Y CO-RAZONES
RAZONES RECÍPROCAS
Dos razones trigonométricas de ángulos agudos son recíprocas si el producto de ellas es igual a uno, es decir: seno y cosecante, coseno y secante, tangente y cotangente.
Entonces, si 0º < a < 90º

EJEMPLOS:
1. sen 80º csc 80º = 1
2.
3. tg 50º ctg 50º = 1
4. Halle x si 0 < x <90º

Por R.T. recíprocas:

RAZONES COMPLEMENTARIAS
Dos razones trigonométricas de ángulos agudos se llaman complementarias si son iguales cuando sus ángulos suman 90º.
Si a + b = 90º
Þ tg a = cos b
tg a = ctg b
sec a = csc b
EJEMPLOS:
1. sen 50º = cos 40º
2. tg 80º = ctg 10º
3. sec 70º = csc 20º
4. Halle x si sen (x + 20º) = cos (2x + 10º)
Þ x + 20º + 2x + 10º = 90º

También:
Además, si: sen a sec b = 1
tg a tg b = 1
cos a csc b = 1

EJEMPLOS:
1. sen 50º sec 40º = 1
porque sec 40º = csc 50º

2. Halle x si sen 2x sec x = 1

1. Calcule:

  A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5

2. Si a y q son ángulos complementarios, además tg a ctg q = 2, calcule: cos a.
  A) B) C)
D) E)

3. Calcule:
M = sen 20º sec 70º + cos 35º csc 55º + tg 45º
  A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5

4. Si: sen (2x + 5º) = cos (x + 25º) ……….. (1)
tg (2y + 10º) ctg (y + 20º) = 1 ……… (2)
Calcule: sen (x + y) + cos (x + 4y)
  A) B) C) D) 1 E)

5. Si: cos 5a csc 4a = 1 ; 0º < a < 90º
Calcule:
K=(sen 2a sec 7a + cos a csc 8a) tg 6a
  A) 1 B) 2 C) 3
D) E)

6. Si:
A = sen 10º + sen 20º + sen 30º + … + sen 80º
B = cos 10º + cos 20º + cos 30º + … + cos 80º
calcule:
  A) 1 B) 3 C) 5 D) 7 E) 9

7. Si: sen a csc 2q = tg 80º tg 10º
tg (a + 10º) = ctg (q + 20º)
Calcule: a – q.
  A) 5º B) 10º C) 15º D) 20º E) 25º

8. Calcule:

  A) 2 B) 4 C) 6 D) 8 E) 10

9. Si se cumple:
tg(x+5º)+ctg(2x+15º)=tg(3x–15º)+ctg(85º–x) … (1)
sen(2y–5º)csc(y+35º)=tg x ctg x ………………… (2)
calcule: x + y
  A) 44º B) 50º C) 55º
D) 56º E) 58º

10. Del gráfico:

Calcule:
K = 2 sen 2a + 3 tg 3a + 4 sec 4a
  A) 10 B) 11 C) 12 D) 13 E) 14