Archive for REPRESENTACION DE UNA FRACCION EN LA RECTA NUMERICA

FRACCIONES EJERCICIOS Y PROBLEMAS RESUELTOS EN PDF Y VIDEOS

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En la vida diaria en cada momento se compara cantidades por división, como necesitamos los valores de estas comparaciones. las cuales nos permiten calcular dichas comparaciones y ahora con el uso de las computadoras sus cálculos son rápidos y con mayores capacidades para obtener resultados.
El origen de las fracciones comunes o quebradas es muy remota . Los babilónicos , egipcios y griegos han dejado pruebas de que conocían las fracciones. Cuando Juan de Luna tradujo al latín , en el siglo XII, la Aritmética de Al-Juarizmi , empleo la palabra “fractio” para traducir del árabe “al-kasr” que significa quebrar , romper . Este uso se generalizó junto con la forma ruptus , que prefería Leonardo de Pisa .
En las numerosas inscripciones egipcias descifradas, se encuentran variadísimos problemas con números fraccionarios . Con su peculiar sistema de fracciones con la unidad como numerador , resolvían los problemas de la vida diaria , tales como la distribución del pan, las medidas de la tierra, la construcción de las pirámides , etc . Algunos de los problemas presentados en el papiro de Ahmes tienen todavía vigencia .


I. ADICIÓN

A. Método del mínimo común múltiplo

• Hallamos el m.c.m. de los denominadores y lo escribimos como DENOMINADOR del resultado.

• Para hallar el numerador dividimos el m.c.m. entre cada denominador y luego se multiplica por el respectivo numerador.

• Finalmente se suma en el numerador.

Ejemplo:

B. Regla de productos cruzados
Esta es una regla práctica, recomendable para sumar dos o tres fracciones de términos pequeños.

Ejemplo:
¡AHORA HAZLO TÚ!

1. Empleando la regla de productos CRUZADOS efectuar las siguientes adiciones:

Indicar el mayor resultado.

a. b. c. d. e.

2. Calcular “A + B”, si:

a. b. c. d. 1 e.

3. Haciendo uso del mínimo común múltiplo (m.c.m.) efectuar y completar:

dar como respuesta el resultado.

a. b. c. d. e. 1

4. Efectuar la siguiente operación:

a. b. c. d. e.

5. Completar los signos “>” ó “<" según corresponda:

i. ii.

iii. iv.

¿Cuántos signos ">” salen?

a. 0 b. 1 c. 2 d. 3 e. 4

II. SUSTRACCIÓN

“Para sustraer fracciones puedes aplicar tambien la regla de producto cruzados o el método del m.c.m.”

6. Empleando la regla de productos CRUZADOS efectuar las siguientes sustracciones.

Indicar el menor resultado.

a. b. c. d. e.

7. Calcular “A – B” si:

a. b. c. d. e.

8. Indicar cuál es la mayor diferencia.

I. II. III.

a. I b. II c. III d. I y II e. Son iguales

9. Restar: de

a. b. c. d. e.

10. De: restar

a. b. c. d. e. 0

III. MULTIPLICACIÓN

En la multiplicación de fracciones el numerador final es el resultado de multiplicar los numeradores; el denominador final es el resultado de multiplicar los denominadores.

Es decir:

11. Completa el siguiente cuadro simplificando el resultado de la operación indicada.

12. Si:
calcular: “A × B”

a. b. c. d. e. 1

13. Se sabe que:
;

calcular “A × B”

a. b. c. 1 d. e.

14. Simplificar:

a. b. c. d. e.

15. Simplificar:

a. b. c. d. e.

IV. DIVISIÓN
Para dividir una fracción entre otra no nula equivale a multiplicar la primera fracción por la inversa de la segunda .
Es decir:

16. Completa el siguiente cuadro efectuando todas las divisiones señaladas:

17. Escribir la expresión más simple equivalente a:

a. b. c. d. e.

a. b. c. d. e.

a. b. c. d. e.

a. b. c. d. e.

18. Halla el valor de “A + B”

a. b. c. d. e.

19. Calcular:

a. 4 b. 0 c. 1 d. 3 e. 2

20. Resuelve: Q ¸ P

a. b. c. d. e.

21. Calcular:

a. b. c. d. e.
SEMANA 1

1. ¿Cuánto le costó a Susana lo que al vender en S/.23 762 le deja una pérdida de S/.1 603?

2. ¿A cómo debemos vender lo que costó S/.13 615 si deseamos obtener una ganancia de S/.6 019?

3. Necesitamos saber el peso de 5 cajones, sabiendo que el primero pesa 713 kilos, el segundo pesa 17 kilos menos que el primero; el tercero pesa 18 kilos más que el primero y el segundo juntos y el quinto pesa 2 kg menos que el cuarto.

4. Si mis ingresos al mes fueron de S/.255 más, podría gastar S/.300 en alimentos, S/.350 en alquiler, S/.430 en ropa y S/.200 en otros gastos, quedándome de ahorro S/.385. ¿Cuál es mi ingreso mensual?

5. Habiendo comprado un auto usado por S/.7 685 y una camioneta por S/.9 568, deseo saber la ganancia total que he logrado, si el auto lo vendo luego en S/.8 432 y la camioneta en S/.10 769.

6. Manuel terminó la secundaria a los 16 años, se graduó de ingeniero cinco años después, se casó ocho años más tarde, luego viajó a España, cuatro años después y 12 años más tarde fue nombrado catedrático. ¿A qué edad fue nombrado catedrático?

7. Un padre tiene 43 años y su hijo 9 años. ¿qué edad tendrá el padre cuando el hijo cumpla 43 años?

8. La suma de los términos de una sustracción es 400. ¿Cuáles son esos números si la diferencia excede en 80 al sustraendo?

9. Hallar el complemento aritmético de:

a. 53 b. 76 c. 324
d. 3 472 e. 4 040 f. 573
g. 36 000 h. 98 i. 7 935

SEMANA 2

10. El papá de Jaimito paga una deuda con 17 billetes de S/.20 cada uno, 19 billetes de S/.10 cada uno y 29 de S/.5 cada uno. ¿A cuánto ascendía la deuda?
11. Felipe compra 342 chompas a S/.17 cada una y obsequia 19. ¿Cuál es su ganancia si las restantes los venden a S/.28 cada una?

12. Compré 98 ventiladores a S/.45 cada uno, ¿cuál debe ser el precio de venta de cada ventilador para obtener una ganancia total de S/.1176?

13. Si venden un departamento por S/.15800 gano el doble del costo más S/.800. ¿Cuánto me costó el departamento?

14. Jessica desea saber cuánto costó el auto de Mónica, si esta le ha dicho que al venderlo por S/.29 000 ha ganado S/.1 000 más el triple de lo que le costó a ella.

15. En una división el cociente es 9, el divisor 8 y el residuo es el mayor posible. Hallar el dividendo.

16. En una división el cociente es 35, el divisor es 40 y el residuo es la mitad del divisor. Encontrar el dividendo.

17. Cuando un número se divide entre 10 el cociente es 14 y el resto es la mitad del divisor. Hallar el resto de dividir dicho número entre 11.

18. Si un números se divide entre 8 da por cociente 2 y por resto 1. Hallar el cociente cuando dicho número se divide entre 3.

SEMANA 3

19. Ordena los siguientes números enteros en la recta numérica.

a. -7 ; +6 ; 0 ; -1 b. -10 ; -12 ; -13
c. -20 ; – 10 ; -6 ; 1 d. -27 ; -21 ; 1
e. -10; +2 ; +5; -1 f. +15 ; -13 ; -14 ; 0
g. -17 ; +16 ; -15 ; 0 h. +8 ; -5 ; -4 ; +3

20. Resuelve los siguientes ejercicios:

a. b.

c. d.

e. f.

SEMANA 4

21. Halla en tu cuaderno el resultado de las siguientes operaciones:

a. - 4 + (-7) – (-13) + (-9)

b. -13 – (-14) + 27 – 18 + (-38)

c. 53 – 28 + 39 – 47 + 18

d. -68 – (-4) + (-73) – 52 + 106

e. 75 – 49 – 32 + 92 – (-18) + (-20)

f. (7 – 3 + 5 – 1) + (-11 + 4 – 1) – (-5 – 3 + 2)

g. (-12 + 8 – 2) + (6 – 7 – 9) – (-4 + 5 + 9)

h. [(6 - 10) + (2 - 5)] – [(7 + 3 - 5) - (8 - 11)]

i. - 13 – {- 7 – [9 - (13 - 8) - 7]} – (27 – 14)

j. 12 – {(-13 + 9) + (-3 – (4 – 7))} – {- 3 – 2 – [ - (3 - 8)]}

22. Resuelve:

a. |-15 + 10| × |-5 + 3| b. |-100 + 80| + |-6 – 3|

c. |-5 – 3 – 2| + |4 + 2 + 3| d. |-2 + 3 – 1| + |8 + 3 – 1|

e. |-100 – 20 – 3| + |+3 + 2 + 1|

SEMANA 5

23. Resolver:

a. (-30) ¸ (+5) + (-5)2 – (-2) b.

c. d. (-1) (-8)2 + (-1) (-6) + (-3)2

NOCIÓN DE FRACCIÓN
Consideremos los siguientes conjuntos.
Z = { . . ., –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3 . . .}
Z* = { . . ., –3, –2, –1, 1, 2, 3 . . .}
A partir de ellas, determinaremos su conjunto producto:
Nótese que en este conjunto de pares ordenados así definidos la segunda componente en todos los casos es diferente de cero.
Establezcamos ahora, una relación R, la cual definiremos a partir de dos pares ordenados (a, b); (c, d) del conjunto producto dado, del modo siguiente:

Por lo tanto, en base a todo lo expuesto enunciaremos:
Se denomina FRACCIÓN a cada uno de los pares ordenados (a, b) = a/b perteneciente al conjunto producto Z × Z*.
Llamamos NÚMERO RACIONAL al subconjunto del conjunto producto Z ×Z* formado por todos los pares ordenados (a, b) = a/b que cumplen la relación R establecida.
Ejemplo:
Sean (1, 2); (–2, –4); (3, 6); (4, 8); (5, 10);… pares ordenados pertenecientes al conjunto producto Z ×Z *, entonces, verificamos la relación R.

Estamos ahora en condiciones de poder expresar el número racional, un medio, del modo siguiente:

La relación R indicada, establece la equivalencia entre las fracciones consideradas, por ello interpretaremos el número racional como el conjunto de todas las fracciones equivalentes.

INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA
Consideremos una cierta región S la cual está dividida en varias subregiones, si estas disponen de la misma forma y tamaño (al superponerlas imaginariamente coinciden), entonces estas subregiones tienen la misma medida y se denominarán REGIONES CONGRUENTES. Si dentro de la región “S” escogemos alguna de estas regiones congruentes (indicaremos esta elección, sombreando o achurando las regiones elegidas), entonces es posible asociar cada región S, un par ordenado, en el cual su primera componente indicará la cantidad de regiones congruentes escogidas, y su segunda componente expresará el número total de regiones congruentes en que se ha descompuesto la región S. A esta forma de la asociación de un par ordenado cuyo segundo componente es diferente de cero con una región que se ha dividido en varias regiones congruentes, se denomina FRACCIÓN, ejemplo:

FRACCIONES ORDINARIAS
Clasificación
Las fracciones ordinarias se pueden clasificar de acuerdo a la relación entre sus términos en:
– Propias: Son todas aquellas cuyo valor es menor que la unidad y donde el numerador es menor que el denominador. Ejemplo:

– Impropias: Son aquellas cuyo valor es mayor que la unidad y donde el numerador es mayor que el denominador. Ejemplo:

– Mixtas: Son derivadas de las fracciones impropias y constan de una parte entera y otra fraccionaria. Da una fracción impropia la parte entera de su fracción mixta correspondiente es igual al cociente entero por defecto del numerador entre el denominador, la parte fraccionaria tiene como numerador el resto por defecto de dicha división y por denominador la de la fracción inicial.
Ejemplo:
Reducir la fracción mixta impropia

Para reducir una fracción mixta a quebrado (o fracción ordinaria) se multiplica el entero por el denominador del quebrado y se le suma el numerador; este será el numerador del quebrado equivalente al mixto. El denominador, tanto en la fracción mixta como en el quebrado será el mismo.
Ejemplo: Reducir a fracción ordinaria la fracción mixta .

Por lo expuesto, podemos concluir fácilmente: “Toda fracción mixta dada, será igual a la suma de su parte entera con la fraccionaria”.

Clasificamos las fracciones ordinarias, de acuerdo a la relación de sus denominadores en:
– Homogéneas: dos o más fracciones ordinarias dadas serán homogéneas cuando todas ellas disponen del mismo denominador.
– Heterogéneas: Dado un conjunto de fracciones ordinarias se consideran heterogéneas si por lo menos dos de ellas disponen de denominadores diferentes.
Ejemplo: Dado los siguientes conjuntos de fracciones, determinar su calidad de homogéneas o heterogéneas.
a) heterogénas
b) homogéneas
c) heterogéneas
– Compleja: Es aquella cuyo numerador o denominador o ambos son quebrados. Si además de ello, existieran operaciones indicadas entre estos, se denominaría expresión fraccionaria compleja. Ejemplo:
Son fracciones complejas.
Es una fracción compleja.
– Equivalentes: Dadas dos fracciones ordinarias, se dice que son equivalentes cuando teniendo distintos numeradores y denominadores, ambas presentan el mismo número racional. Por lo expuesto inicialmente en 1.1; podemos afirmar: “Se dice que una cierta fracción ordinaria es equivalente a otra dada, si el resultado de multiplicar el numerador y denominador de esta última, por un mismo número entero”.

En muchos casos (mayoría de textos y exámenes) se acostumbra a representar la relación de equivalencia con =, en vez de <>. Debe pues tenerse mucho cuidado con esto , y sobre todo tener en cuenta las condiciones especificadas, puesto que igualdad y equivalencia no disponen del mismo significado. Toda fracción ordinaria es equivalente consigo misma, pero si dos fracciones ordinarias son equivalentes no implica ello que sean iguales.

Ejemplo:
es equivalente a ; puesto que:
9 = 3 × 3 y 12 = 4 × 3

– Irreductible: Una fracción ordinaria dada será irreductible cuando el numerador y denominador sean dos números primos entre sí, en caso contrario la fracción se considerará reductible. Dada una fracción ordinaria reductible cualesquiera para expresarla como irreductible, bastará con dividir a su numerador y denominador por el MÁXIMO COMÚN DIVISOR de ellos, siendo los cocientes a obtenerse los términos de dicha fracción irreductible.
Ejemplo:

APLICACIONES
(Reducción a la Unidad)
Las ideas vistas anteriormente acerca de las fracciones nos permiten deducir algunas nociones muy interesantes conocidas como método de Reducción a la Unidad Expliquemos estas nociones mediante pequeños ejemplos, veamos.
a) Supongamos que un grifo o caño llena un tanque de agua en 5 horas, utilizando un caudal constante (que se debe suponer). Si el tiempo total (5h) lo dividimos de tal modo que nos queden “unidades de tiempo” es decir, en intervalos de 1 hora tendríamos 5 intervalos y cada uno vendría a ser la quinta parte del tiempo total y por lo tanto a la quinta parte del tiempo le correspondería la quinta parte del trabajo total.
En pocas palabras:
Si en 5 horas lleno un tanque completo (total), entonces en una hora llenaré 1/5 del tanque.
En el fondo, estamos reduciendo las 5h a la unidad de tiempo: 1h, relacionándolo con la fracción de trabajo.
Gráficamente tendríamos:

Por lo tanto; podemos razonar del siguiente modo:
Si en 5h lleno un volumen total entonces:
En 1h, lleno del volumen.
En 2h, lleno del volumen
En 3h, lleno del volumen
En x h, lleno del volumen
b) Veamos la solución de un problema. Un grifo A llena todo un tanque en 3 horas y un grifo B llena el mismo tanque en 6 horas. ¿En cuántas horas llenarán el tanque, si funcionan los dos grifos juntos?
Veamos si en el grifo A llena todo el tanque en 3 horas, en una hora llenará la tercera parte del tanque , así también si el grifo B llena todo el tanque en 6 horas; en una hora llenará la sexta parte del tanque .

Ahora si ambos funcionan juntos (A y B) En una hora llenarán la tercera parte (A) más la sexta parte (B) del tanque, es decir la mitad del tanque: por lo tanto, si en una hora llenan la mitad del tanque, todo el tanque lo llenarán en 2h.

Análogamente si un grifo llena un estanque en 4 horas y otro grifo B lo llena en 12 horas, si se abren simultáneamente, el estanque se llenará en 3 horas. Pues:
A en 1 hora llenaría del tanque
B en 1 hora llenaría del tanque
A y B juntos llenarían del tanque

Por lo tanto, si en 1 hora llenan del tanque, todo el tanque lo llenarán en 3 horas.

1. Los de del triple de A es igual a los de A. Hallar el valor de A:
A) B) C) D) E)

2. Una pelota cae desde una altura de 243 m. Cada vez que toca el piso rebota de altura de donde cayó. ¿Qué altura se elevará la pelota en el cuarto rebote?
A) 18 m. B) 8 m. C) 15 m.
D) 3 m. E) 11 m.

3. En una apuesta Edith pierde partes del capital, si aún le queda x soles. ¿Cuánto tenía al empezar el negocio?
A) B) C)
D) E)

4. De un recipiente que está lleno de lo que no está lleno, se vacía de lo que no se vacía. ¿Qué parte del volumen inicial quedará con líquido?
A) B) C) D) E)

5. Si el largo de un rectángulo disminuye en un quinto y el ancho aumenta en su mitad, ¿qué parte es el área inicial respecto de la final?
A) B) C) D) E)

6. Un jugador en su primer juego pierde de su dinero, en el segundo pierde del resto y en el tercero pierde del nuevo resto. Si al final se quedó con 200 soles, ¿Con cuánto empezó a jugar?
A) S/. 500 B) S/. 970 C) S/. 800
D) S/. 480 E) S/. 600

7. Carmen perdió del dinero que le encargaron. ¿Qué parte de lo que queda servirá para reponer lo perdido?
A) B) C) D) E)

8. Carol cada vez que entra a una tienda gasta de lo que no gasta. Si entró a 3 tiendas en forma consecutiva y se quedó con 64 soles. ¿Cuánto tenía antes de ingresar a la tienda?
A) 95 B) 140 C) 80 D) 125 E) 75

9. He gastado los de mi dinero, si en lugar de gastar los hubiera gastado los de mi dinero tendría ahora 72 soles más de lo que tengo. ¿Cuánto no gasté?
A) S/. 120 B) S/. 157 C) S/. 210
D) S/. 128 E) S/. 247

10. En una reunión de 60 personas los del total son hombres. ¿Cuántas mujeres deberán retirarse para que los hombres sean ahora los del nuevo total?
A) 30 B) 18 C) 12 D) 36 E) 22

Rpta.:

2. ¿Qué parte de 2ax es (3+a+x)2, si de x es la mitad de a.

Rpta.:

3. Los de un muro están pintados de azul, los del resto son de color blanco y lo que queda que mide 10 m. de rojo. ¿Cuál es la longitud del muro?

Rpta.:

4. En un salón de Saco Oliveros sólo asistieron a un examen de los alumnos y de éstos aprueban , si los desaprobados son 24. ¿Cuántos alumnos hay en dicha aula?

Rpta.:

5. Un recipiente está vacío de lo que está lleno. Se extrae de lo que no se extrae quedando sólo 25 libros. Hallar la capacidad del recipiente.

Rpta.:

6. ¿Qué parte de de de es de de de de ?

Rpta.:

7. Una carpeta pesa 11 kg. más los de su peso total. ¿Cuánto pesa la carreta?

Rpta.:

8. La tercera parte del valor de A es igual a los menos del valor de B. ¿Qué fracción representa el valor de B respecto del valor de A?

Rpta.:

9. De un recipiente que está lleno la mitad de lo que no está lleno se extrae de su contenido. ¿Qué fracción del depósito queda con contenido?

Rpta.:

10. Un moribundo reparte su fortuna entre sus 4 hijos, al primero le da del total, al segundo del resto, al tercero del nuevo resto si el último recibe S/. 800. ¿Cuál era la fortuna del moribundo?

Rpta.: