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REPARTO PROPORCIONAL EJERCICIOS Y PROBLEMAS RESUELTOS EN PDF Y VIDEOS


Reparto proporcional :
Consiste en distribuir una cantidad en partes proporcionales a ciertos números llamados “indices” del reparto ; ya sea en forma directa o inversamente proporcional.
TIPOS DE REPARTO
I) Reparto Simple Directo :
Cuando las partes a obtener son proporcionales a los indices.
FORMA PRÁCTICA :
Cada parte del reparto es igual al producto de su respectivo indice , por la constante de reparto ; la cual se calcula como el cociente de la cantidad a repartir entre la suma de indices.
Observación :
Si a los indices de un reparto, se dividen o multiplican por un mismo número positivo, el reparto no varia, es decir se obtienen las mismas partes.
III) Reparto Compuesto :

Se da cuanto el reparto se hace en partes que son proporcionales a varios grupos de indices.

* Recuerda:
Si: “A” D.P. “B” y también con “C”, entonces “A” D. P. (“B”דC”).
Los repartos proporcionales compuestos pueden ser :

DIRECTOS: Si el reparto se realiza en partes directamente proporcionales a los índices.
INVERSOS: Si el reparto se realiza en partes inversamente proporcionales a los índices.

MIXTOS : Si el reparto se realiza en partes directamente proporcionales a algunos índices e inversamente proporcionales a otros.
Regla Práctica Para Efectuar Un Reparto Compuesto
Primero: Se convierte la relación I.P a D.P.
Segunda: Los grupos de los indices D.P. Se multiplican.
Tercero: Se efectúa el reparto simple directo a los nuevos indices.


OBJETIVOS :
 Aprovechar las propiedades que se dan en magnitudes proporcionales.
• Conocer los casos básicos que se presentan.
• Establecer algoritmos que permitan realizar en forma sencilla y rápida el reparto.
• La aplicación de dichos algoritmos, en situaciones de la vida.
INTRODUCCIÓN
Cuando con un amigo íbamos por un camino, encontramos a un hombre que ansiosamente nos preguntó:
¿Traéis quizás algo de comer? Me estoy muriendo de hambre …
– Me quedan tres panes -respondí
– Yo llevo cinco –dijo a mi lado mi compañero–.
– Pues bien, sugirió el, yo os ruego que juntemos esos panes y comamos en forma equitativa e igual. Cuando lleguemos a Bagdad prometo pagar con ocho monedas de oro por el pan que coma, al llegar a aquella ciudad y sacando las ocho monedas nos dijo:
– Quiero repetiros mi agradecimiento por el gran auxilio que me habéis prestado y para cumplir la palabra dada os pagaré lo que tan generosamente disteis. Y dirigiéndose al hombre que calculaba le dijo:
– Recibirás cinco monedas por los cinco panes y volviéndose a mí añadió:
– Y tú ¡Oh Bagdalí!, recibirás tres monedas por los tres panes.
Mas con gran sorpresa mía, el calculador objetó respetuoso.
– ¡Perdón, oh, Jeque! La División, hecha de ese modo, puede ser muy sencilla, pero no es matemáticamente cierta.
¿Puede usted, alumno sagaz, decirme como debe repartirse las valiosas ocho monedas?
“El hombre que calculaba”

DEFINICIÓN
Reparto proporcional es una aplicación de las Magnitudes Proporcionales, que consiste en dividir una cantidad en forma directa o inversamente proporcional a un grupo de números llamados índices de reparto; así:
A. REPARTO SIMPLE DIRECTO
Sea N una cantidad, la cual deberá ser repartida en n partes P1, P2, P3, ……. Pn D.P. a los índices i1, i2, i3, ……, in, entonces :

Por propiedad de Razones tenemos :

y como suma de Partes = Todo
P1 + P2 + P3 + …… + Pn = N
Luego:

Donde K ® Cte. de Reparto
Finalmente:

Aplicación N° 1
Repartir 930 directamente proporcional (D.P.) a; 2, 3 y 5.
Solución:
Sean A; B y C las partes a dividirse el número 930; entonces :
A + B + C = 930 ……… (I)
También:
……… (II)
Reemplazando (II) en (I):
2K + 3K + 5K = 930
10K = 930
K = 93
Luego: A = 2 (93) = 186
B = 3 (93) = 279
C = 5 (93) = 465
Método Práctico
Si el reparto es D.P. a los índices del Reparto.
Entonces:

Luego:
K = Constante de reparto

También:

Aplicación N° 2
Resolver el problema anterior por el método práctico.
Solución:

B. REPARTO SIMPLE INVERSO
Si el reparto es (I.P.) inversamente proporcional a los índices, entonces dicho reparto se deberá pasar a un reparto (D.P.) directamente proporcional, tomando las inversas de los índices dados, teniendo en consideración las siguientes observaciones.

Si los índices de reparto son respectivamente fracciones, entonces es conveniente multiplicarlos por un mismo número para así hacerlos enteros; este número será el mínimo común múltiplo de los denominadores de dichas fracciones.

Propiedad Fundamental
Si todos los índices del Reparto son multiplicados o divididos por un mismo número, las partes que se obtienen en el reparto no se alteran.

Aplicación N° 3
Se desea repartir una bonificación de 24.800 dólares entre los tres vendedores líder de una empresa si este reparto será I.P. a sus inasistencias del año, las cuales fueron : 5; 3 y 2. ¿Cuánto le tocó a cada uno?
Solución:

Donde:
30 = MCM (5; 3; 2)
Así por método práctico:

C. REPARTO COMPUESTO
Si un reparto se ha de realizar en 2 o más formas directas y/o inversamente proporcionales a respectivos índices de reparto, entonces primero se deberá considerar todos los índices inversos a directos y finalmente multiplicar todos los índices D.P. encontrando así un único índice; con lo cual el reparto se convertirá en simple y directo.

Aplicación N° 4
He decidido repartir 400 soles entre los 3 sobrinos que tengo, de manera proporcional al grado de estudios que cursan pero además I.P. a las edades que tienen que son 6; 8 y 10 años. Si ellos están en segundo, cuarto y quinto grado respectivamente. ¿Cuánto le tocó a cada uno?
Solución:

Aplicación N° 5
Repartir el número 700 en tres partes cuyos cuadrados sean D.P. a los números 0, 2; 0,5 y 0,4 e I.P. a los números 3; 1,2 y 8/3 indicar cada una de las partes.
Solución:
Sean A; B y C las partes a descomponer; luego:

Luego sacando raíz cuadrada.
INTRODUCCIÓN
Cuando con un amigo íbamos por un camino, encontramos a un hombre que ansiosamente nos preguntó:
¿Traéis quizás algo de comer? Me estoy muriendo de hambre …
– Me quedan tres panes -respondí
– Yo llevo cinco –dijo a mi lado mi compañero–.
– Pues bien, sugirió el, yo os ruego que juntemos esos panes y comamos en forma equitativa e igual. Cuando lleguemos a Bagdad prometo pagar con ocho monedas de oro por el pan que coma, al llegar a aquella ciudad y sacando las ocho monedas nos dijo:
– Quiero repetiros mi agradecimiento por el gran auxilio que me habéis prestado y para cumplir la palabra dada os pagaré lo que tan generosamente disteis. Y dirigiéndose al hombre que calculaba le dijo:
– Recibirás cinco monedas por los cinco panes y volviéndose a mí añadió:
– Y tú ¡Oh Bagdalí!, recibirás tres monedas por los tres panes.
Mas con gran sorpresa mía, el calculador objetó respetuoso.
– ¡Perdón, oh, Jeque! La División, hecha de ese modo, puede ser muy sencilla, pero no es matemáticamente cierta.
¿Puede usted, alumno sagaz, decirme como debe repartirse las valiosas ocho monedas?
“El hombre que calculaba”

DEFINICIÓN
Reparto proporcional es una aplicación de las Magnitudes Proporcionales, que consiste en dividir una cantidad en forma directa o inversamente proporcional a un grupo de números llamados índices de reparto; así:
A. REPARTO SIMPLE DIRECTO
Sea N una cantidad, la cual deberá ser repartida en n partes P1, P2, P3, ……. Pn D.P. a los índices i1, i2, i3, ……, in, entonces :

Por propiedad de Razones tenemos :

y como suma de Partes = Todo
P1 + P2 + P3 + …… + Pn = N
Luego:

Donde K ® Cte. de Reparto
Finalmente:

Aplicación N° 1
Repartir 930 directamente proporcional (D.P.) a; 2, 3 y 5.
Solución:
Sean A; B y C las partes a dividirse el número 930; entonces :
A + B + C = 930 ……… (I)
También:
……… (II)
Reemplazando (II) en (I):
2K + 3K + 5K = 930
10K = 930
K = 93
Luego: A = 2 (93) = 186
B = 3 (93) = 279
C = 5 (93) = 465
Método Práctico
Si el reparto es D.P. a los índices del Reparto.
Entonces:

Luego:
K = Constante de reparto

También:

Aplicación N° 2
Resolver el problema anterior por el método práctico.
Solución:

B. REPARTO SIMPLE INVERSO
Si el reparto es (I.P.) inversamente proporcional a los índices, entonces dicho reparto se deberá pasar a un reparto (D.P.) directamente proporcional, tomando las inversas de los índices dados, teniendo en consideración las siguientes observaciones.

Si los índices de reparto son respectivamente fracciones, entonces es conveniente multiplicarlos por un mismo número para así hacerlos enteros; este número será el mínimo común múltiplo de los denominadores de dichas fracciones.

Propiedad Fundamental
Si todos los índices del Reparto son multiplicados o divididos por un mismo número, las partes que se obtienen en el reparto no se alteran.

Aplicación N° 3
Se desea repartir una bonificación de 24.800 dólares entre los tres vendedores líder de una empresa si este reparto será I.P. a sus inasistencias del año, las cuales fueron : 5; 3 y 2. ¿Cuánto le tocó a cada uno?
Solución:

Donde:
30 = MCM (5; 3; 2)
Así por método práctico:

C. REPARTO COMPUESTO
Si un reparto se ha de realizar en 2 o más formas directas y/o inversamente proporcionales a respectivos índices de reparto, entonces primero se deberá considerar todos los índices inversos a directos y finalmente multiplicar todos los índices D.P. encontrando así un único índice; con lo cual el reparto se convertirá en simple y directo.

Aplicación N° 4
He decidido repartir 400 soles entre los 3 sobrinos que tengo, de manera proporcional al grado de estudios que cursan pero además I.P. a las edades que tienen que son 6; 8 y 10 años. Si ellos están en segundo, cuarto y quinto grado respectivamente. ¿Cuánto le tocó a cada uno?
Solución:

Aplicación N° 5
Repartir el número 700 en tres partes cuyos cuadrados sean D.P. a los números 0, 2; 0,5 y 0,4 e I.P. a los números 3; 1,2 y 8/3 indicar cada una de las partes.
Solución:
Sean A; B y C las partes a descomponer; luego:

Luego sacando raíz cuadrada.

1. Se reparte una cantidad proporcionalmente a 2, m y n, correspondiéndole a la parte intermedia 720, la cual a su vez es la media aritmética de las otras dos partes. ¿Cuál es la mayor de las partes si m + n = 7?

Rpta.:

2. Benito va a repartir su propina que asciende a 11000 mil soles entre sus tres sobrinos en razón inversa a . Se desea saber cuánto le toca a cada uno, dar como respuesta la mayor de las partes.

Rpta.:

3. Repartir 545 · 104 en partes proporcionales a 0,3; . Dar como respuesta la suma de las dos partes menores.

Rpta.:

4. Se asocian dos personas para un negocio. La primera contribuyó con S/. 4500 y la segunda con S/. 3600. Al terminar el negocio resulta que el capital se redujo a S/. 6300. ¿Cuál es la pérdida del primero?

Rpta.:

5. En una sociedad A aporta S/. 25000 y B S/. 36000. Ocho meses después C y D ingresan a la sociedad aportando S/. 40000 y S/. 20000 respectivamente. Si el beneficio luego de 2 años fue de S/. 54540, ¿cuánto le corresponde a C?

Rpta.:
6. Tres obreros reciben una gratificación y se reparten proporcionalmente a sus jornales que son S/. 13,50; S/. 9,75 y S/. 7,50 respectivamente. Sabiendo que al primero le ha correspondido S/. 1250 menos que a los otros dos juntos, calcular el importe de la gratificación.

Rpta.:

7. Dividir el número 9120 en tres sumandos cuyos cuadrados sean proporcionales a las raíces cúbicas de 56, 875 y 2401 y estén en razón inversa a respectivamente. ¿Cuál será la mayor de las partes?

Rpta.:

8. Se reparten una cantidad S de la siguiente manera:

además, la parte que le toca a A más 1800 es a la parte de B más la de C como 6 es a 1. Determinar S.

Rpta.:

9. Un padre de familia dejó ordenado hacer el reparto de su herencia en forma proporcional a las edades de sus hijos de 20 y 12 años. El reparto se hace dentro de 4 años. recibiendo entonces uno de ellos S/. 5000 más que si el reparto se hubiera hecho inmediatamente. Calcular el monto de la herencia.

Rpta.:
10. Para la realización de una parrillada se reúnen Luis, Pedro, Juan, Carlos, Miguel y las damas Ana, María y Carmen, las cuales aportan 1; 0,900 y 0,700 kilogramos respectivamente, cada hombre aporta S/. 20 y comió el doble de lo que comió cada dama. Si el dinero se lo reparten las mujeres en forma justa, ¿cuánto recibió Ana?

Rpta.:

1. Diariamente se reparte S/. 33000 entre dos obreros A y B en forma proporcional a sus rendimientos. Un día A recibe S/. 17600 y B el resto. Al otro día A disminuye su eficiencia en un 25% y B la aumenta en un 20%. Calcular la diferencia entre las cantidades que recibirán A y B en este nuevo reparto.
A) S/. 3400 B) S/. 4500
C) S/. 5500 D) S/. 6400
E) S/. 8000

2. Una acequia de regadío debe atravesar dos huertos M y N. M en una longitud de 640m. y N en 464m. El propietario de M se compromete hacer por sí sólo la acequia correpondiente a su huerto y lo mismo el propietario de N, pero a fin de terminar más pronto contratan a un peón por S/. 1587. Si los tres hacen la misma longitud de acequia, ¿cuál es la diferencia entre lo que cada uno de ellos tiene que abonar al peón?
A) S/. 654 B) S/. 698
C) S/. 720 D) S/. 759
E) S/. 837

3. Se reparte un premio en partes proporcionales a 2, 8, 18, …, 722. Hallar el premio si el el sexto recibió S/. 108.
A) S/. 2160 B) S/. 1083
C) S/. 2085 D) S/. 3705
E) S/. 7410

4. Un fabricante empezó un negocio con 300000 mil soles. A los 6 meses aceptó un socio con 200000 mil soles de capital y 4 meses después aceptó otro socio con S/. 250000 de capital. Si a los 5 años de iniciado se liquidó el negocio y se determinó que el monto fue el 926% del capital social, ¿cuánto fue la utilidad del fabricante?
A) S/. 2850000 B) S/. 2750000
C) S/. 3150000 D) S/. 2950000
E) S/. 2700000

5. Se reparte 3645 proporcionalmente a todos los múltiplos de 2, dos cifras. ¿Cuánto le corresponde a 70?
A) S/. 100 B) S/. 105 C) S/. 112
D) S/. 119 E) S/. 140

6. Tres socios han ganado en un negocio S/. 24000. El primero contribuyó con S/. 25000, el segundo con S/. 40000 durante 6 meses y el tercero con S/. 20000 durante 8 meses. El primero obtuvo una ganancia de S/. 6000. Calcular el tiempo que tuvo impuesto su capital el primero.
A) 4 meses 10 días B) 5 meses 10 días
C) 4 meses 20 días D) 5 meses 20 días
E) 6 meses

7. Un comerciante tiene almacenado aceite en cuatro recipientes cúbicos cuyas aristas miden 20cm., 25cm., 40cm. y 30cm. ¿A cómo debe vender el mayor recipiente si gastó en total S/. 703,13 y desea ganar S/. 351,42?
A) S/. 320,60 B) S/. 366,80
C) S/. 576,50 D) S/. 588,80
E) S/. 601,20

8. Dos individuos participan en un negocio obteniendo una ganancia de S/. 4900. Además el tiempo en meses del primero es igual al capital del segundo y el tiempo del segundo en meses es igual al capital del primero. ¿Cuánto le corresponde al primer socio?
A) S/. 2400 B) S/. 2500
C) S/. 2600 D) S/. 2700
E) S/. 2450
9. Un padre decide repartir su terreno a tres hijos cuyas edades son 16, 28 y 24. Inicialmente piensa hacer el reparto proporcionalmente a sus edades, pero equivocadamente hace el reparto en razón inversa a sus edades con lo cual al mayor de sus hijos le toca 36720 m2 menos. Debido a esto el padre decide hacer un reparto equitativo. ¿Cuánto terreno debe quitarle al hijo menor?
A) 13920 m2 B) 13940 m2
C) 13960 m2 D) 13980 m2
E) 14000 m2