Archive for RAZONES TRIGONOMETRICAS DE ANGULOS AGUDOS

SENO , COSENO , TANGENTE , COTANGENTE , SECANTE Y COSECANTE EN UN TRIANGULO RECTANGULO PROBLEMAS RESUELTOS NIVEL UNI PDF

Share Button



OBJETIVOS :
* Conocer correctamente las definiciones de las razones trigonométricas de un ángulo agudo.
* Calcular las razones trigonométricas de un ángulo agudo a partir del triángulo rectángulo en que se encuentre.

INTRODUCCIÓN :

Una figura quizás poco conocida en algunos aspectos es la de Pitágoras, filósofo nacido en Samos hacia el siglo VI a. C., gran matemático, autor de famosos legados: la tabla, el teorema y el triángulo, que llevan su nombre.
Se cuenta que era muy hermoso, al extremo que sus discípulos lo comparan con Apolo andando sobre la Tierra. La leyenda, al efecto, le atribuye un muslo de oro. Antíclides, en su libro II de Alejandro, anota que Pitágoras desarrolló grandemente la geometría y la aritmética, oficios de medir y contar para los antiguos. Incluso sostiene que inventó la escala musical por una sola cuerda. Aristóxenes el Músico, le otorga el haber introducido en Grecia las pesas y medidas. Fue respetado con veneración por romanos, lucanos, picentes y mesapios. Su casa era llamada Templo de Ceres. Lo seguían normalmente no menos de 600 discípulos, que consideraban su palabra como el verbo de Dios mismo. Se le atribuye, a más de su condición de matemático, la de un hombre muy sapiente en las cosas del vivir. Algunas de sus máximas se parecen a las de nuestro viejo Vizcacha, como aquélla de ” no herir el fuego con la espada”, significando que no debemos fomentar el encono o la enemistad de los poderosos, una variante del “hacete amigo del juez, y no le des de que quejarse”. Su posición frente a la existencia tuvo un claro sentido moral y estético, exhortando a usar del pudor, a huir de la gordura, a no andar siempre derrochando risa o trasuntando melancolía, a no hablar cuando la ira nos embarga, a rendir culto a los dioses y alabanza a los amigos. En alguna manera tuvo el sentido fatalista de los griegos, pues decía que el hado es la causa que regula el destino de los hombres y la historia. Ya en su tiempo sostuvo la redondez de la tierra, que será confirmada experimentalmente por Sebastián Elcano recién al darse la vuelta al mundo en el siglo XVI. Enseñaba que la salud es perseverancia de la belleza y el cuidado y que el alma humana a la que consideraba inmortal se divide entre la mente, la sabiduría y la ira cuyo albergue es el corazón; que el alma se alimenta de la sangre, y que las palabras son como su soplo. Es Aristóteles quien dice que Pitágoras proscribía las habas, por cuanto éstas se parecían a “las partes pudendas”. También proscribía los funerales, la cama, el ocio, el proceder como las bestias y la desarmonía entre los amigos. Su pensamiento matemático hacía derivar todas las cosas de la unidad, derivándose de ella lo múltiple, que es infinito. De los números devienen los puntos, con estos se hacen las líneas, con las líneas las figuras planas, con las figuras planas los cuerpos. Estos constan de cuatro elementos: fuego, agua, tierra y aire, los que conforman la creación entera. Dio al Sol condición de dios y fuente de vida por su calor benéfico. Tuvo mujer, hijos y alto concepto de la pobreza. Murió octogenario según algunos, y sobrepasando los 90, según otros. Una sentencia suya para no olvidar: Pongamos sal a las cosas, ella recuerda la justicia pues conserva todo lo que ocupa y penetra, y está hecha de cosas purísimas, como el agua y el mar.
En este capítulo definiremos las seis razones trigonométricas: seno, coseno, tangente, cotagente, secante y cosecante. Los nombres de estas se abrevian como: sen, cos, tg, ctg, sec y csc.

TRIÁNGULO RECTÁNGULO
Se denomina así a todo triángulo en el cual uno de sus ángulos es recto; los lados que determinan el ángulo recto son los catetos del triángulo, el lado mayor es la hipotenusa y se opone al ángulo recto.

* Catetos:

* Hipotenusas:
* Ángulos agudos:

TEOREMA DE PITÁGORAS
El Teorema de Pitágoras es una proposición atribuida a Pitágoras, según la cuál en todo triángulo rectángulo el cuadrado de la longitud de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de las longitudes de los catetos.

El Teorema de Pitágoras lleva este nombre porque su descubrimiento recae sobre la escuela pitagórica. Anteriormente, en Mesopotamia y el Antiguo Egipto se conocían ternas de valores que se correspondían con los lados de un triángulo rectángulo, y se utilizaban para resolver problemas referentes a los citados triángulos, tal como se indica en algunas tablillas y papiros, pero no ha perdurado ningún documento que exponga teóricamente su relación. La pirámide de Kefrén, datada en el siglo XXVI a. C., fue la primera gran pirámide que se construyó basándose en el llamado triángulo sagrado egipcio, de proporciones 3-4-5.

ÁNGULOS AGUDOS COMPLEMENTARIOS

ObservaciÓn :
En un triángulo rectángulo, también se verifica que:
I) La hipotenusa es mayor que cualquiera de los catetos y menor que la suma de ellos, es decir en el triángulo se tendrá que:

II) Al mayor ángulo se opone el mayor lado y así recíprocamente.
Ejemplos :
* Determinar “x” en cada caso:

A)

B)

RAZóN TRIGONOMéTRICA
Es aquel número que resulta de dividir las longitudes de dos lados de un triángulo rectángulo.
CáLCULO DE LAS RAZoNES TRIGONOMéTRICAS
El valor de las razones trigonométricas de ángulos agudos, se determinan en un triángulo rectángulo, estableciendo la división entre las longitudes de sus lados tomados de dos en dos y con respecto a uno de sus ángulos agudos.

* Ahora considerando al ángulo “”, se tendrá que :

En un triángulo rectángulo se define como seno de un ángulo agudo al valor obtenido al dividir la longitud del cateto opuesto al ángulo entre la longitud de la hipotenusa.
Se define como coseno de un ángulo agudo al valor obtenido al dividir la longitud del cateto contiguo al ángulo entre la longitud de la hipotenusa.
Se define como tangente de un ángulo agudo de un triángulo rectángulo al valor del cociente obtenido al dividir la longitud del cateto opuesto entre la longitud del cateto contiguo.
OBSERVACIÒN :
Para todo ángulo agudo “” se cumplirá:

Ejemplo 1 :
Calcule los valores de las seis razones trigonométricas del menor ángulo “”, en un triángulo rectángulo, cuyos catetos miden 5 y 12 unidades.
Resolución :
* Graficando:

* Luego definimos :

Ejemplo 2 :
Del gráfico, calcula .

Resolución:

Ejemplo 3 :
En un triángulo rectángulo, los lados menores miden 2 y 3cm. Si el mayor ángulo agudo es , calcula

Resolución :
Recuerda que los lados menores en un triángulo rectángulo son los catetos y que a mayor cateto se opone mayor ángulo agudo.

Ejemplo 4 :
En un triángulo rectángulo, los lados menores miden . Calcula el coseno del menor ángulo agudo del triángulo.
Resolución:
Graficando:

Luego :

Ejemplo 5 :
Del gráfico, determina:

Resolución :
Del gráfico:

Luego :

Ejemplo 6 :
Del gráfico, calcula

Del gráfico:

Resolución :
Del gráfico:

Sea :
:

:
Luego:

Ejercicio 1 :
Indica la verdad (V) o falsedad (F) de las siguientes proposiciones:
1)La cosecante de todo ángulo agudo es mayor que su coseno. …………………………………………………………..( )
2) El coseno de un ángulo puede ser igual a …….( )
3)Para determinar el valor de las seis razones trigonométricas de un ángulo agudo es suficiente conocer el valor de solo una de ellas………………..( )
4) El seno de un ángulo agudo puede medir 0,5 m …….( )
5) Si los lados de un triángulo rectángulo se duplican; entonces el seno de sus ángulos agudos también se duplica……………………………………………………………………..( )
6) Si: y “” es un ángulo agudo; entonces podemos afirmar con seguridad que el cateto opuesto “” mide 1 unidad de longitud y el cateto adyacente mide 2 unidades de longitud ………………………………………….. ( )
Ejercicio 1:
Completar la tabla usando los triángulos rectángulos.

NOTA :
Los valores de las seis razones trigonométricas dependen únicamente de la medida del ángulo y no de las longitudes de los lados del triángulo rectángulo.
* Lo anterior lo podemos describir a continuación, en la siguiente figura :

* Del triángulo rectángulo ACB tenemos que:
* Por otra parte del triángulo rectángulo AC’B’ tenemos que:
* Luego :
* Así encontramos el mismo valor para sin importar cual sea el triángulo rectángulo que utilicemos para calcularlo, una idea similar podría servir para las otras razones trigonométricas .