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CÁLCULO DE DERIVADAS EJERCICIOS Y PROBLEMAS RESUELTOS EN PDF Y VIDEOS

OBJETIVOS :
* Adquirir con claridad el concepto de derivada de una función en un punto.

* Distinguir entre derivada en un punto x=x0 de una función f(x) y función derivada de f(x).

* Calcular rectas tangentes a una curva f(x).

* Aprender la técnica de derivación de funciones f(x).

* Interpretar aspectos de crecimiento/decrecimiento, concavidad/convexidad de funciones a partir de la función derivada y derivada segunda de una función f(x).

* Identificar el problema del trazado de la tangente a una curva en un punto .

* Identificar la tangente como límite de las secantes.
* Determinar la pendiente de la tangente como límite de las pendientes de las secantes.

* Obtener geometricamnente la derivada de una función en un punto.

* Determinar la ecuación de la recta tangente a una curva en un punto por medio de la derivada.

* Determinación de valores máximos y mínimos de funciones f(x) y resolver problemas de optimización

INTRODUCCIÓN :
El concepto se derivada se aplica en los casos donde es necesario medir la rapidez con que se produce el cambio de una situación. Por ello es una herramienta de cálculo fundamental en los estudios de Física, Química y Biología. También en las ciencias sociales como la Economía y la Sociología se utiliza el análisis matemático para explicar la rapidez de cambio en las magnitudes que les son propias.

Conocer la variación de una función en un intervalo grande no informa suficientemente bien en el sentido de entender como se produce dicha variación. Se necesita estudiar variaciones de la función en intervalos cada vez más pequeños para llegar a entender el concepto de variación instantánea o referida a un punto, es decir el de derivada en un punto
Un hallazgo importante en el estudio de la derivada de una función es que la pendiente o inclinación de la recta tangente a la curva en un punto representa la rapidez de cambio instantáneo. Así pues cuanto mayor es la inclinación de la recta tangente en un punto mayor es la rapidez de cambio del valor de la función en las proximidades del punto.
El concepto de derivada segunda de una función derivada de la derivada de una función también se aplica para saber si la rapidez de cambio se mantiene, aumenta o disminuye. Así el concepto de convexidad y concavidad aspectos geométricos o de forma de una función están relacionados con el valor de la derivada segunda.
La derivabilidad de una función en un punto (propiedad relativa a la existencia de tangente en un punto) está asociado al de continuidad. Este aspecto también será tratado en esta unidad.
Finalmente veremos la relación que tiene la derivada con los problemas de optimización de funciones. Estos problemas decimos que son de máximo o de mínimo (máximo rendimiento, mínimo coste, máximo beneficio, mínima aceleración, mínima distancia, etc).

Conocer la gráfica de una función permite tener un conocimiento muy preciso de su comportamiento .
En muchos casos sencillos que hemos visto en temas anteriores, basta el análisis de unos pocos elementos para poder construir su gráfica . En otros casos se requiere de herramientas un poco más poderosas para graficar la función con mayor precisión . Vamos a estudiar algunas de esas herramientas , todas las cuales están basadas de una u otra manera en el concepto de derivada .

Técnicas de Graficación
Para un trazado de la gráfica de unja función, lo más preciso posible, se recomienda seguir los siguientes pasos:

1) Determinar el dominio de la función y posibles puntos de discontinuidad.

2) Determinar los puntos críticos de primera especie. Esto es, los puntos en que la primera derivada es cero o no existe.

3) Determinar el signo que tiene la primera derivada en cada uno de los intervalos en que los puntos críticos de primera especie dividen al dominio.

4) De acuerdo a lo hallado en el paso 3, determinar los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función.

5) A cada punto crítico de primera especie aplicar el criterio de la primera derivada o el criterio de la segunda derivada, para determinar si en tales puntos críticos existe o no existe un extremo relativo.

6) Hallar los puntos críticos de segunda especie. Esto es, los puntos en que la segunda derivada es cero o no existe.

7) Determinar el signo que tiene la segunda derivada en cada uno de los intervalos en que los puntos críticos de segunda especie dividen al dominio.

8) De acuerdo a lo hallado en el paso 7, determinar los intervalos en que la gráfica es cóncava hacia arriba y cóncava hacia abajo.

9) En cada punto crítico de segunda especie verificar si cambia o no cambia la dirección de la concavidad y así, determinar si existe o no existe un punto de inflexión en tales puntos.

10) Para mayor precisión hallar, en cada punto de inflexión, la pendiente de la recta tangente con la finalidad de dibujar la dirección de la curva en dicho punto. Puede omitirse este paso.

11) Hallar las asíntotas verticales, horizontales y oblicuas, si existen.

12) Hallar los puntos en que la gráfica intersecta al eje Y y, si es posible, al eje X.

13) Dibujar una curva que verifique los resultados obtenidos en los pasos anteriores.

Es recomendable expresar en tablas los resultados que se van obteniendo, tal como veremos en los siguientes ejemplos.