Archive for PROPORCIONALIDAD

PROPORCIONALIDAD Y PORCENTAJES EJERCICIOS RESUELTOS DE PRIMERO DE SECUNDARIA EN PDF

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Proporcionalidad numérica:
- Razón, proporción y serie de razones iguales.
- Magnitudes directa e inversamente proporcionales.
- Regla de tres simple.
- Porcentajes. Problemas con porcentajes.

Los matemáticos de los pueblos primitivos se ocuparon, entre otras cosas, de resolver problemas de proporcionalidad (repartos, herencias…). Así fue en el antiguo Egipto y en Babilonia.
Sin embargo, los griegos fueron más allá, prestando atención a lo que llamaron la teoría de las proporciones, con un enfoque más teórico que práctico.
Los pitagóricos, además del tratamiento aritmético y geométrico de las proporciones, las relacionaron con
la música. Como sabes, la escala musical consta de siete notas: do, re, mi, fa, sol, la y si. La octava nota vuelve a ser un do, repitiéndose la serie anterior. Por eso, al intervalo musical entre dos notas con el mismo nombre se le llama octava.
Pues bien, los pitagóricos apreciaron que si dos cuerdas
tensas cuyas longitudes están en relación 1:2 se
hacen vibrar, sus sonidos marcan una octava. Y que si
sus longitudes están en una proporción sencilla (2:3,
3:4, 5:6…), sus sonidos son armoniosos, suenan bien.
Su gran imaginación los llevó a extrapolar los sonidos
de las cuerdas a los que, supuestamente, emitían
los cuerpos celestes. Lo llamaron “armonía de las esferas”.

Relación de proporcionalidad entre magnitudes
Llamamos magnitud a cualquier cualidad de los objetos que se pueda medir. Así,
la longitud, el peso o el precio son magnitudes. A veces, entre las magnitudes se
dan relaciones muy útiles para la resolución de problemas, como la relación de
proporcionalidad que vas a estudiar ahora en sus dos modalidades: directa e inversa.

Dos magnitudes son directamente proporcionales cuando:
• Al multiplicar una (doble, triple, …), la otra se multiplica de la misma
manera (doble, triple, …).
• Al dividir una (mitad, tercio, …), la otra se divide de la misma forma (mitad,
tercio, …).

Dos magnitudes son inversamente proporcionales cuando:
• Al multiplicar una (doble, triple, …), se divide la otra (mitad, tercio, …).
• Al dividir una (mitad, tercio, …), la otra se multiplica (doble, triple, …).

Método de reducción a la unidad
Consiste en calcular, primero, el valor asociado a la unidad.
Conociendo ese valor, es fácil completar cualquier par de valores correspondientes.

Regla de tres directa
Hemos visto que dos pares de valores correspondientes forman dos fracciones
equivalentes. Esto nos permite calcular uno de los cuatro valores si se conocen
los otros tres.

PORCENTAJES
Seguramente, habrás escuchado frases como “hay un ochenta por ciento de
posibilidades”, “me han hecho una rebaja del diez por ciento” o “el banco cobra
un cuatro y medio por ciento”. Son expresiones muy usadas en el lenguaje
corriente y, sobre todo, en el lenguaje comercial.
Concepto de tanto por ciento
Tomar un determinado tanto por ciento de un total equivale a partir el total en
porciones de cien unidades y tomar de cada porción el tanto indicado.

• El símbolo % se lee por ciento: 20% 8 veinte por ciento.
• Para calcular un determinado tanto por ciento de una cantidad, dividimos
la cantidad entre 100 y multiplicamos por el tanto.

1 Calcula mentalmente en el orden en que aparecen:
a) 30% de 100 b) 8% de 100
30% de 200 8% de 200
30% de 300 8% de 300
c) 15% de 200 d) 5% de 200
15% de 300 5% de 400
15% de 400 5% de 600
2 Calcula mentalmente.
a) 12% de 400 b) 7% de 300
c) 25% de 300 d) 6% de 800
e) 40% de 200 f ) 10% de 500
3 Calcula con lápiz y papel.
a) 4% de 175 b) 9% de 1 200
c) 10% de 820 d) 12% de 425
e) 17% de 560 f ) 25% de 1 480
g) 32% de 625 h) 44% de 10 000
i) 63% de 830 j) 90% de 451
4 Calcula.
a) 10% de 30 b) 10% de 82
c) 15% de 40 d) 15% de 68
e) 20% de 50 f ) 20% de 34
g) 35% de 80 h) 35% de 48
i) 50% de 24 j) 50% de 31
5 Reflexiona y contesta.
a) El 80% de los frutales de una huerta son manzanos,
y el resto, perales. ¿Cuál es el porcentaje de
perales?
b) El 92% de los alumnos han aprobado un examen.
¿Qué porcentaje no ha aprobado?
c) El 10% de los empleados de una empresa están de
vacaciones. ¿Qué porcentaje está trabajando?
d) Si al comprar un jersey me rebajan el 15%, ¿qué
porcentaje pago?
6 El 90% de los 430 empleados de una fábrica trabajan
en turno de día. ¿Cuántos trabajan de día?
7 En una clase de 30 alumnos, el 80% votaron a la actual
delegada. ¿Cuántos votos recibió la delegada?
8 El 30% de los 560 árboles que hay en un parque se
plantaron el invierno pasado.
¿Cuántos árboles se plantaron el último invierno?
9 En el estante de los zumos de un supermercado hay
900 botellas. Un 25% son de zumo de tomate; un
45%, de naranja; un 20%, de pera, y el resto, de melocotón.
¿Cuántas botellas hay de cada sabor?
10 Una familia compra un frigorífico que cuesta 840 e
pagando el 30% al contado y el resto en 6 plazos mensuales
sin recargo.
¿Cuál es el importe de cada plazo?

Aumentos y disminuciones porcentuales
Veamos dos tipos de problemas que encontrarás con frecuencia en el mundo real.
Analízalos con detenimiento y aprende los métodos de resolución.
Aumentos porcentuales
Un billete de avión a París costaba, el verano pasado, 460 e, pero desde entonces ha
subido un 20%.
¿Cuál es el precio actual del billete?
Disminuciones porcentuales
Una tienda de electrodomésticos saca en oferta, con una rebaja del 15%, un televisor
que antes costaba 900 €.

PROPORCIONALIDAD NUMÉRICA

OBJETIVOS
Averiguar si dos razones forman proporción.
Completar tablas de proporcionalidad y series de razones iguales.
Utilizar las razones entre cantidades para resolver problemas en contextos reales.
Conocer y comprender el significado de la proporcionalidad de magnitudes.
Distinguir si dos magnitudes son proporcionales o no.
Aplicar la regla de tres simple directa en la solución de problemas de la vida cotidiana.
Hacer repartos directamente proporcionales.
Comprender y manejar los tantos por cien, por uno y por mil, y resolver problemas reales donde aparezcan
Saber manejar adecuadamente la calculadora para resolver problemas de proporcionalidad.
Trabajar con escalas en planos y mapas, calculando distancias a partir de distancias reales y viceversa.

CONTENIDOS
Conceptos
Razón, proporción y serie de razones iguales.
Magnitudes directamente proporcionales.
Regla de tres simple directa.
Repartos directamente proporcionales.
Tantos por uno, por mil y porcentajes.
Escalas en planos y mapas.

Procedimientos
Cálculo del término desconocido en una proporción.
Determinación del cuarto y medio proporcional.
Distinción de la relación entre dos magnitudes.
Construcción de tablas de proporcionalidad.
Aplicación de la regla de tres simple a la resolución de problemas.
Realización de repartos proporcionales.
Cálculo de tantos por uno, por ciento y por mil.
Determinación de longitudes reales a partir de longitudes en un plano y viceversa, conocida la escala.
Determinación de la escala de un plano o mapa conocidas una longitud real y su longitud en ese plano o mapa.

Actitudes
Incorporación al lenguaje cotidiano de términos relacionados con la medida de magnitudes para describir situaciones.
Gusto por la resolución ordenada de problemas de proporcionalidad.

CRITERIOS DE EVALUACIÓN
Distinguir si dos razones forman proporción y calcular el tercero y medio proporcional.
Completar de manera correcta tablas de proporcionalidad y series de razones iguales.
Aplicar de forma adecuada el significado de la proporcionalidad de magnitudes.
Distinguir si dos magnitudes son o no directamente proporcionales.
Aplicar correctamente la regla de tres simple directa en la resolución de distintos problemas de la vida real.
Realizar repartos directamente proporcionales.
Calcular tantos por uno, por ciento y por mil y pasar de unos a otros correctamente.
Utilizar de forma correcta las escalas en planos o mapas, para el cálculo de distancias a partir de distancias reales y viceversa.

METODOLOGÍA
Si bien el concepto de razón y proporción, así como el cálculo de porcentajes es ya conocido por los alumnos, conviene repasarlos antes de comenzar, pues son la base de la unidad.
Determinar si dos magnitudes son directamente proporcionales suele ofrecer problemas a los alumnos, hacerles ver la necesidad de que las magnitudes cumplan las condiciones vistas.
Trabajar las aplicaciones de la proporcionalidad en diferentes contextos reales mostrando siempre su utilidad y la técnica que se trabaja en cada caso.
Conviene tener presentes las siguientes sugerencias metodológicas con el fin de garantizar una adecuada motivación de los alumnos:
Hacer patente la gran cantidad de contextos reales donde se aplica la proporcionalidad: compras, repartos, escalas, etc.
Proponer a los alumnos que dibujen los planos de sus casas o el de la clase y calculen sus medidas a distintas escalas, propuestas por el profesor, para potenciar el desarrollo de la visión espacial.
Los consumos de leche, pan, fruta y otros alimentos a lo largo de la semana pueden servir al profesor para que trabajar los conceptos de la unidad.

ACTIVIDADES
Actividades de desarrollo
Las actividades de desarrollo consistirán en la realización de las actividades propuestas en el libro de texto, tanto las que aparecen en las distintas tareas como las que se proponen al final de la unidad. La selección de las actividades estará en relación con la evaluación inicial de los alumnos, con el objetivo de cumplir los objetivos previstos.
Paralelamente, se pueden proponer actividades complementarias de desarrollo, tales como:
Repasar con los alumnos el concepto de razón, así como la diferencia que existe entre proporción y razón. Pedir a los alumnos que pongan ejemplos propios de ambos.
Una vez aprendido el concepto de proporción, y trabajada su propiedad fundamental, realizar ejercicios que impliquen la utilización de cuartos y medios proporcionales, así como la construcción de tablas de proporcionalidad.

ATENCIÓN A LA DIVERSIDAD
Actividades de refuerzo
Aprender a distinguir si dos magnitudes son directamente proporcionales es un objetivo fundamental de la unidad. Es necesario que los alumnos sepan aplicar correctamente los diferentes procedimientos (repartos proporcionales, tanto por ciento, tanto por uno, tanto por mil y regla de tres simple) para efectuar cálculos y resolver problemas de proporcionalidad.
Practicar la interpretación de planos y mapas a escala hasta que los alumnos se manejen con soltura.
Actividades de ampliación
La representación de un conjunto de datos gráficamente puede ayudar a los alumnos a fijar los conceptos de la unidad, por ello, se puede practicar el reparto proporcional aplicando la representación en diagramas de sectores.
Trabajar la resolución de problemas que impliquen el empleo de la regla de tres compuesta, la fórmula del interés simple o la proporcionalidad inversa entre magnitudes si se cree conveniente.

CONTENIDOS TRANSVERSALES
Educación ambiental
En “Evaluación Inicial” se hace referencia a la producción de alimentos ecológicos. Aprovechando la realización del ejercicio, preguntar a los alumnos qué significa elaborar alimentos ecológicos, cuáles conocen, cómo se producen, qué ventajas tiene su consumo, qué tipo de energías renovables se emplean en su producción,….
Desarrollar en los alumnos una conciencia de responsabilidad respecto al medio ambiente, haciéndoles ver que ellos mismos son partícipes en el proceso conservación del espacio que les rodea.
Educación para la salud
En las “Actividades de refuerzo” se resuelve un problema de porcentajes aplicando la relación entre el peso de una persona y la masa de su cerebro. Al hilo de su realización es posible comentar la anatomía y fisiología del cuerpo humano, la importancia de las revisiones médicas periódicas, la necesidad de desarrrollar hábitos de salud y cuidado del cuerpo, …
Consolidar en los alumnos una actitud de respeto hacia sus cuerpos y el de los demás, de forma que aprendan a valorar a las personas no sólo por su físico sino por sus cualidades humanas.