Archive for PROPIEDADES DE LOS DETERMINANTES

DETERMINANTES EJERCICIOS Y PROBLEMAS RESUELTOS EN PDF Y VIDEOS

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OBJETIVOS :
* Valorar la importancia de los determinantes, dentro del álgebra matricial.

* Calcular el determinante de una matriz cuadrada de cualquier orden.

* Conocer las propiedades de los determinantes y su contribución a la simplificación de los cálculos.

* Conocer métodos para calcular los determinantes y la matriz inversa.
* Calcular la inversa de una matriz cuadrada de orden 2 ó 3 por el método de Gauss.
* Calcular el rango de una matriz por el método de Gauss.
INTRODUCCIÓN :
Existen diferentes formas de asignar a una matriz un número , o sea , de establecer una función cuyo dominio sea el conjunto de todas las matrices cuadradas. Una de estas funciones es la que se conoce como determinante de una matriz.
El determinante de una matriz cuadrada es un número muy útil en la teoría del álgebra lineal y se puede calcular de manera directa.
Los determinantes fueron introducidos en Occidente a partir del siglo XVI, esto es, antes que las matrices, que no aparecieron hasta el siglo XIX. Conviene recordar que los chinos (Hui, Liu. iuzhang Suanshu o Los nueve capítulos del arte matemático.) fueron los primeros en utilizar la tabla de ceros y en aplicar un algoritmo que, desde el Siglo XIX, se conoce con el nombre de Eliminación gaussiana.
En su sentido original, el determinante determina la unicidad de la solución de un sistema de ecuaciones lineales. Fue introducido para el caso de orden 2 por Cardano en 1545 en su obra Ars Magna presentado como una regla para la resolución de sistemas de dos ecuaciones con dos incógnitas. Esta primera fórmula lleva el nombre de regula de modo.
La aparición de determinantes de órdenes superiores tardó aún más de cien años en llegar. Curiosamente el japonés Kowa Seki y el alemán Leibniz otorgaron los primeros ejemplos casi simultáneamente.
Leibniz estudió los distintos tipos de sistemas de ecuaciones lineales. Al no disponer de la notación matricial, representaba los coeficientes de las incógnitas con una pareja de índices: así pues escribía ij para representar ai , j . En 1678 se interesó por un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas y obtuvo, para dicho ejemplo, la fórmula de desarrollo a lo largo de una columna. El mismo año, escribió un determinante de orden 4 , correcto en todo salvo en el signo. Leibniz no publicó este trabajo, que pareció quedar olvidado hasta que los resultados fueron redescubiertos de forma independiente cincuenta años más tarde.
En el mismo periodo, Kowa Seki publicó un manuscrito sobre los determinantes, donde se hallan fórmulas generales difíciles de interpretar. Parece que se dan fórmulas correctas para determinantes de tamaño 3 y 4, y de nuevo los signos mal para los determinantes de tamaño superior. El descubrimiento se queda sin futuro a causa del cierre de Japón al mundo exterior por órdenes del shMgun, lo que se ve reflejado en la expulsión de los Jesuitas en 1638.
Determinantes de cualquier dimensión
En 1748, un póstumo tratado de álgebra de MacLaurin recupera la teoría de los determinantes al contener la escritura correcta de la solución de un sistema de cuatro ecuaciones con cuatro incógnitas.
En 1750, Cramer formula las reglas generales que permiten la resolución de un sistema de n ecuaciones con n incógnitas, aunque no ofrece demostración alguna. Los métodos de cálculo de los determinantes son hasta entonces delicados debido a que se basan en la noción de signatura de una permutación.
Los matemáticos se familiarizan con este nuevo objeto a través de los artículos de Bézout en 1764, de Vandermonde en 1771 (que proporciona concretamente el calculo del determinante de la actual Matriz de Vandermonde). En 1772, Laplace establece las reglas de recurrencia que llevan su nombre. En el año siguiente, Lagrange descubre la relación entre el cálculo de los determinantes y el de los volúmenes.
Gauss utiliza por primera vez el término « determinante », en las Disquisitiones arithmeticae en 1801. Lo empleaba para lo que hoy día denominamos discriminante de una cuádrica y que es un caso particular de determinante moderno. Igualmente estuvo cerca de obtener el teorema del determinante de un producto.
Aparición de la noción moderna de determinante
Cauchy fue el primero en emplear el término determinante con su significado moderno. Se encargó de realizar una síntesis de los conocimientos anteriores y publicó en 1812 la fórmula del determinante de un producto. Ese mismo año Binet ofreció una demostración para dicha fórmula. Paralelamente Cauchy establece las bases del estudio de la reducción de endomorfismos.
Con la publicación de sus tres tratados sobre determinantes en 1841 en la revista Crelle, Jacobi aporta a la noción una gran notoriedad. Por primera vez presenta métodos sistemáticos de cálculo bajo una forma algorítmica. Del mismo modo, hace posible la evaluación del determinante de funciones con instauración del jacobiano.
El cuadro matricial es introducido por los trabajos de Cayley y James Joseph Sylvester. Cayley es también el inventor de la notación de los determinantes mediante barras verticales y establece la fórmula para el cálculo de la inversa.
La teoría se ve reforzada por el estudio de determinantes que tienen propiedades de simetría particulares y por la introducción del determinante en nuevos campos de las matemáticas, como el wronskiano en el caso de las ecuaciones diferenciales lineales.
Para el cálculo de determinantes de matrices de cualquier orden, existe una regla recursiva (teorema de Laplace) que reduce el cálculo a sumas y restas de varios determinantes de un orden inferior. Este proceso se puede repetir tantas veces como sea necesario hasta reducir el problema al cálculo de múltiples determinantes de orden tan pequeño como se quiera. Sabiendo que el determinante de un escalar es el propio escalar, es posible calcular el determinante de cualquier matriz aplicando dicho teorema.
determinante
Se llama determinante, a un valor escalar o número real que se le asocia a cada matriz cuadrada