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PROPIEDADES DE LAS RAZONES TRIGONOMETRICAS PROBLEMAS RESUELTOS NIVEL UNI PDF



Determinar equivalentes entre las razones trigonométricas de un ángulo agudo.

ASÍ NACIó LA TRIGONOMETRÍA…………..
Desde los primitivos babilonios; la trigonometría era una auxiliar de la agrimensura, la astronomía y la navegación.
Los griegos relacionaban las medidas angulares con las de longitud, midiendo la cuerda del arco; esa es quizá la forma más sencilla y natural. Llamaron trigonometría de la función cuerda a esa medida, siendo el astrónomo Hiparco quien utilizó las relaciones trigonométricas alrededor del 140 a. C., para encontrar distancias en línea recta a través de la bóveda celeste, y Tolomeo (siglo XI .d.C.) sus más grandes cultivadores.
Pero en los siglos VI y X de nuestra era, los astrónomos indios empezaron a usar no ya la cuerda del arco, sino la mitad de la cuerda del arco doble, que es la función que nosotros llamamos seno.
Los árabes adoptaron esto, que simplificó mucho las fórmulas trigonométricas; las perfeccionaron y luego las transmitieron a Europa juntamente con el álgebra a partir del siglo XII. Tuvo como centro de apogeo a España (Córdova, Toledo y Barcelona).
En los cursos preparatorios para los modernos ingenieros se desarrollan programas intensivos de física, química y matemática. En ellos los alumnos resuelven ecuaciones que, hasta no hace muchos años sólo un puñado de matemáticos podía hacer.
PROPIEDADES DE LAS
RAZONES TRIGonoMéTRICAS
* Tenemos el como referencia:

Al comparar de dos en dos los lados de un triángulo, algunas razones resultan recíprocas; esto es: Dos razones son recíprocas si el numerador de una es el denominador de la otra y viceversa.

RAZONES RECÍPROCAS
Son aquellas parejas de Razones Trigonométricas cuyos valores numéricos son inversos.
Ejemplo :

* Ahora veamos que sucede si multiplicamos estos valores:

* Notamos que todo se elimina y el resultado es 1, análogamente se efectúa con cos y sec ; tg y ctg.

Esto sólo se cumple para ángulos iguales.

Ejemplos :
* Determinar “x” en cada caso :
I) Si:
II) Si:

III) Si:

IV) Si:

V) Si:

RAZONES TRIGOnoMÉTRICAS de ángulos complemetarios

* Dos ángulos agudos se llaman complementarios si su suma es un ángulo recto.
* En la figura que se muestra :
q y a: Son ángulos complementarios (q +a = 90°)
hemos nombrado el ángulo opuesto al cateto “b” como q y el ángulo opuesto al cateto “a” como a en consecuencia :

El seno de un ángulo agudo es igual al coseno del ángulo complementario; la tangente de un ángulo agudo es igual a la cotangente del ángulo complementario, la secante de un ángulo agudo es igual a la cosecante del ángulo complementario.

Debido a estas relaciones las razones:
• seno y coseno
• tangente y cotangente
• secante y cosecante

Se llaman co-razones trigonométricas una de la otra respectivamente .
Ejemplos :
* sen40°=cos50° * sec20°=csc70°
* tan80°=cot10° * cot3°=tan87°
* cos62°=sen28° * csc24°=sec66°

PROPIEDAD DE LAS CO-RAZONES
Las razones trigonométricas de todo ángulo agudo, son respectivamente iguales a las co–razones trigonométricas de su complemento.

Si:
Ejemplos :

ejercicios :
* Hallar “x” en cada caso :

Ejercicios :
Indicar la verdad de las proposiciones:
…………………………………….. ( )
………………………………….. ( )
………………………………… ( )

………………………………… ( )

……………………. ( )
……………………. ( )

……………………………………. ( )

…………………………………….. ( )

……………………………………. ( )

PROBLEMA 1:
Determinar “x”, si:
A) 10° B) 20° C) 12° D) 25° E) 15°
Resolución :
* Por la propiedad de las Razones Recíprocas:

* Tendremos :
RPTA: ‘‘e’’
PROBLEMA 2 :
Sabiendo que:, Determinar:“cos 6x”.
A) 2 B) 1 C) 3 D) 0,5 E) 7
Resolución :
* Por la propiedad (razones recíprocas) :

* Piden :
rpta : ‘‘d’’
PROBLEMA 3 :
Reducir :

A) 1 B) 2 C) 1/2 D) 4 E) 0,6
Resolución :
*Aplicando razones trigonométricas complementarias.
I) sec70°=csc20°;
II) cos25°=sen65°
III) sen50°=cos40°
* Por lo tanto :

rpta : ‘‘a’’
PROBLEMA 4 :
Determinar :

A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 6
Resolución :
* Como :

* En E :

rpta : ‘‘b’’
PROBLEMA 5:
Si: ………………………….(I)
……………………(II)
Determinar : sen(x+y)
A) 1/2 B) 2 C) 1 D) 3 E) 4
Resolución :
* En (I) tg y ctg son recíprocas puesto que son inversas y además su producto es 1, entonces sus ángulos deben ser iguales.

* En (II) sec y csc son razones complementarias, por tanto si son de valores iguales sus ángulos suman 90°.

* Finalmente :

rpta : ‘‘a’’
PROBLEMA 6:
Sabiendo que:
Determinar : “2y – x”
A) 10° B) 30° C) 60° D) 40° E) 0°
Resolución :
* Por recíprocas :

* Por complementarias:

* Piden : 2y – x=0°
rpta : ‘‘e’’
PROBLEMA 7:
Reducir :
A) 9 B) 10 C) 19 D) 21 E) 22
Resolución :
* Por complementarias :
* Luego reemplazando :

rpta : ‘‘c’’
PROBLEMA 8 :
Determinar “x”:

A) 9° B) 10° C) 19° D) 21° E) 22°
Resolución :
* Se observa :

*Reemplazando :

rpta : ‘‘b’’
PROBLEMA 9:
Si : , Determinar :

A) 4 B) 6 C) 8 D) 5 E) 10
Resolución :
* Del dato :

* Luego :

* Reemplazando en :

rpta : ‘‘b’’
PROBLEMA 10:
Reducir :
A) 1 B) 2 C) 1/2 D) 1/4 E) 12
Resolución :
* Por razones trigonométricas complementarias :

* Por lo tanto :

rpta : ‘‘a’’
PROBLEMA 11:
Si:
Calcular :

Resolución :
* Reemplazando “a” se obtendrá:

rpta : ‘‘e’’

PROBLEMA 12:
Si : , Determinar :

A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 1/2
Resolución :

rpta : ‘‘c’’
PROBLEMA 13:
Si: , “a” y “q” son ángulos agudos , Determinar :

A) 2 B) 3 C) 1 D) 1/9 E) 3/5
Resolución :

* Reemplazando:

rpta : ‘‘c’’
PROBLEMA 14:
Si : , Determinar :

A) 1 B) 3 C) 7 D) 5 E) 11
Resolución :
* Dato : ; reemplazando en “R”:

* Reemplazando :

rpta : ‘‘d’’
PROBLEMA 15:
Si:, reducir :

A) 2 B) 3 C) 7 D) 9 E) 11
Resolución :
* Se observa :

* Luego reemplazando :

rpta : ‘‘d’’
PROBLEMA 16:
Si:
Determinar :
A) 2 B) 7 C) 9 D) 11 E) 13
Resolución :
* Del dato :

* En (I) :

* Piden :

* Reemplazando:

rpta : ‘‘c’’
PROBLEMA 17:
Reducir :

A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 4
Resolución :
* Se nota :

* Luego reemplazando :

rpta : ‘‘e’’
PROBLEMA 18:
Si :

Determinar : M=Q+R+S

Resolución :

* Por lo tanto : S=0; osea :

rpta : ‘‘a’’
PROBLEMA 19:
Siendo “a” y “q ” los menores ángulos positivos que verifican las relaciones:

Determinar el valor de:

A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 1/4
Resolución:
* Como :

* Además:

* De (I) y (II) :
* Por lo tanto :

rpta : ‘‘b’’

PROBLEMA 20:
Si : . Determinar :

A) 1 B) 3 C) 2 D) 4 E) 31
Resolución :
* Del dato :

* Ordenando :

* Reemplazando en “A”:

* Por lo tanto : A=3
rpta : ‘‘b’’

PROBLEMA 21:
Siendo :
Determinar :
A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 1/2
Resolución :
* Tenemos :
* También :
* De las ecuaciones (I) y (II):
a=10° ; b=30°
* Luego:

rpta : ‘‘c’’
PROBLEMA 22:
Si: . Determinar el valor de :

A) 3/2 B) 2/3 C) 1 D) 2 E) 4

Resolución :
* Si :

* Luego :
rpta : ‘‘a’’
PROBLEMA 23 :
Siendo 3x e y ángulos agudos, además se cumple lo siguiente :.
Determinar :

A) 2 B) 3 C) 1 D) 3/2 E) 0
Resolución :
* De los datos:

* Como:

* Entonces:
* Reemplazando en E:

rpta : ‘‘b’’
PROBLEMA 24:
Si: y

Determinar : sen9a

Resolución :
* Dato :

* Por razones trigonométricas recíprocas :

* Por razones trigonométricas
complementarios :

* Nos piden :
rpta : ‘‘c’’
PROBLEMA 25:
Si :

Calcule:

RESOLUCIÓN :
Se nos da:

Tenemos:

ahora:

luego:

RPTA : ‘‘D’’
PROBLEMA 26:
Si cot(2x+10°)×cot(x+5°)=1 y cos(3y)×csc(2y)=1, entonces el valor de :
3sec(x+ y+10°),es:
A)5 B)6 C)8 D)10 E)15
RESOLUCIÓN :
Condición :

Luego:

RPTA : ‘‘a’’

Resolver “q” (agudo) que cumpla: .

A) 10° B) 25° C) 35° D) 45° E) 55°
Resolver “x” (ángulo agudo) que cumpla:

A) 10° B) 20° C) 40° D) 60° E) 80°
Sabiendo :

Determinar :

A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5
Se sabe :

Determinar :

A) 1 B) 1/2 C) 2 D) 3 E) 4

Al operar :

Determinar un valor de “E”.
A) 2 B) 3 C) 1 D) 0 E) 5
Determinar el valor de (a+b), si:

Si: . Calcular:
A) 1 B) 2 C) 4 D) 6 E) 7
Indicar verdadero (V) o falso (F) según corresponda :

A) FFV B) FFF C) VVV D) VFV E) VVF

Si:
Determinar :
A) 1 B) 3 C) 5 D) 4 E) 2
Siendo “a” y “q ” los menores valores posibles se tiene que :

A) 1 B) 2 C) 5 D) 3 E) 4
Si :
Determinar :

A) 2 B) 3 C) 11 D) 7 E) 9
Indicar verdadero (V) o falso (F) según corresponde :

A) FVF B) FVV C) VVV D) FFF E) VFV
Reducir :
A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5
Reducir :

A) 1 B) 3 C) 5 D) 2 E) 4
Determinar el menor valor positivo de “x” que cumple :
A) 15° B) 20° C) 25° D) 30° E) 35°
Si : , Determinar el menor valor positivo “x”.
A) 10° B) 15° C) 20° D) 25° E) 30°

Si:
Calcular :
A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) 7
Siendo :

Donde “x” e “y” toman su menor valor positivo ; Determinar :

A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) 7
Determinar :

A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6
Determinar:
A) 1 B) 2 C) 3 D) 89 E) 90

Si: , Determinar :

A) 10 B) 11 C) 14 D) 15 E) 13
Determinar “x”:

A) 12° B) 15° C) 14° D) 13° E) 16°
Si:

Determinar “x” (agudo).

A) 10° B) 20° C) 30° D) 40° E) 45°
Sabiendo que :

Determinar :
A) 1 B) 2 C) 1/2 D) 5 E) 7

Si :

Determinar :

A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 1,5

Si:
Determinar :
A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5
Determinar el valor de “x” en :

A) 15° B) 16° C) 17° D) 18° E) 0°