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CALCULO DE PROBABILIDADES 4TO DE SECUNDARIA – ESO EJERCICIOS RESUELTOS PDF

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Probabilidad:
- Experimentos aleatorios y sucesos.
- Regla de Laplace.
- Probabilidad simple y compuesta.
- Probabilidad en experimentos no equiprobables.
- Probabilidad condicionada.
- Tablas de contingencia.
Recuerda lo fundamental
CÁLCULO DE PROBABILIDADES
DEBERÁS RECORDAR
■ Qué son los sucesos.
■ Qué experiencias son regulares y cuáles son irregulares.
Históricamente, el interés por la probabilidad comienza
con los juegos de azar. Cardano, algebrista
italiano del siglo xvi, fue un jugador empedernido
en algunas épocas de su vida. Esta pasión le hizo ser
conocedor de trucos y fullerías. Acabó escribiendo
un libro sobre el juego, en el que, por primera vez, se
teoriza sobre las probabilidades.
Fue otro jugador en el siglo xvii, el caballero de Meré,
quien indujo, sin saberlo, a que los matemáticos Pascal
y Fermat mantuvieran una fructífera correspondencia:
en sus cartas, proponían soluciones a algunos
problemas sobre juegos planteados por Meré (al tirar
cuatro dados, ¿qué es más ventajoso, apostar por “algún
6” o por “ningún 6”?), y elucubraban sobre otras
situaciones probabilísticas. Así nació, con estos dos
genios, la base de la teoría de las probabilidades.
Ni Pascal ni Fermat publicaron sus conclusiones,
pero sí lo hizo Huygens en 1657, en un breve libro
titulado Sobre los razonamientos en los juegos de azar.
En 1713, Jacques Bernouilli recogió lo escrito por
Huygens, lo amplió y completó, construyendo así el
primer libro importante sobre la teoría de las probabilidades:
Arte de la conjetura.
Laplace, en 1812, publicó Teoría analítica de las probabilidades,
donde recogió y organizó multitud de
resultados que había ido obteniendo y difundiendo
desde hacía 40 años. Se trata de la mayor aportación
de la historia a esta teoría. Pocos años después publicó
Ensayo filosófico de las probabilidades, destinado
a los no expertos. De este libro es la siguiente frase:
La teoría de las probabilidades es solo
sentido común expresado con números.
Cálculo de
probabilidades
106
1 Probabilidades en experiencias simples
Experiencias irregulares
Para calcular la probabilidad de un suceso correspondiente a una experiencia
irregular (una chincheta, o un dado cargado, o extraer una bola de una bolsa cuya
composición ignoramos…) no queda más remedio que experimentar. Es decir,
repetir la experiencia muchas veces, averiguar la frecuencia relativa de ese suceso
y asignarle ese valor (aproximado) a la probabilidad. Cuantas más veces hagamos
la experiencia, más fiable será el valor asignado.
Por ejemplo, si en una bolsa hay bolas de cinco colores ( , , , y ) y realizamos
100 veces la experiencia de extraer, mirar, anotar y devolver a la bolsa,
obteniendo los siguientes resultados:
f ( ) = 34, f ( ) = 23, f ( ) = 21, f ( ) = 8, f ( ) = 14
les asignaríamos los siguientes valores a las probabilidades:
P [ ] ≈ f r ( ) = 0,34; P [ ] ≈ f r ( ) = 0,23; P [ ] ≈ f r ( ) = 0,21;
P [ ] ≈ f r ( ) = 0,08; P [ ] ≈ f r ( ) = 0,14
Experiencias regulares. Ley de Laplace
Si la experiencia aleatoria se realiza con un instrumento regular (dado correcto,
baraja completa…), entra en juego la ley de Laplace. Recordémosla:
• Si el espacio muestral tiene n casos y la experiencia es regular, entonces todos
ellos tienen la misma probabilidad, 1/n.
• Si un suceso tiene k casos, entonces su probabilidad es k/n.
P [S] = número de casos favorables a S
número total de casos posibles
Por ejemplo, en una bolsa hay 40 bolas idénticas salvo en el color. De ellas, 15
son rojas. Entonces, al extraer una bola al azar:
P [Roja] = 15
40
= 38
= 0,375
1. Lanzamos un dado con forma
de dodecaedro perfecto, con
las caras numeradas del 1 al
12. Calcular:
a) P[8]
b) P[menor que 3]
c) P[impar]
d)P[número primo]
e) P[mayor que 4 pero menor
que 8]
Problemas resueltos
1. a) P[8] = 1
12
. Hay 12 casos, y el “8” es uno de ellos.
b) Solo 1 y 2 son menores que 3 8 P[menor que 3] = 2
12
= 16
c) Hay 6 números impares menores que 12 8 P[impar] = 6
12
= 12
d) 2, 3, 5, 7, 11 son primos 8 P[número primo] = 5
12
e) P [{5, 6, 7}] = 3
12
= 14
107
2. Con un molde se han fabricado
varios miles de dados.
Sospechamos que son incorrectos.
¿Cómo procedemos
para averiguar si son o no correctos?
En caso de que no lo
sean, ¿cómo evaluaremos la
probabilidad de cada cara?
3. Lanzamos dos dados correctos
y anotamos las diferencias de
las puntuaciones.
a) ¿Cuál es el espacio muestral?
b)¿Qué probabilidad tiene
cada caso?
c) Hallar la probabilidad del
suceso “la diferencia es mayor
que 3”.
4. Un juego de cartas solo distingue
estas posibilidades:
figura (sota, caballo o rey), as,
menor que 6 (2, 3, 4, 5), mayor
que 5 (6, 7).
a) ¿Cuál es el espacio muestral?
b)Di la probabilidad en cada
caso.
c) ¿Cuál es la probabilidad de
“no figura”?
2. Podemos suponer que todos los dados son idénticos. Experimentamos con
varios efectuando, en total, 1 000 lanzamientos. Estos son los resultados:
Observamos que algunas de
las frecuencias relativas se diferencian
demasiado del valor
1/6 = 0,166…
1 2 3 4 5 6
f 154 123 236 105 201 181
fr 0,154 0,123 0,236 0,105 0,201 0,181
Puesto que el número de experimentaciones (1 000) es suficientemente grande,
podemos concluir que el dado es defectuoso. Tomaremos las frecuencias
relativas de las distintas caras como valores aproximados de sus respectivas
probabilidades.
3.
A partir de la tabla de la izquierda, construimos
la distribución siguiente:
diferencias 0 1 2 3 4 5
n.º de veces 6 10 8 6 4 2
probabilidad 6/36 10/36 8/36 6/36 4/36 2/36
5 4 3 2 1 0
4 3 2 1 0 1
3 2 1 0 1 2
2 1 0 1 2 3
1 0 1 2 3 4
0 1 2 3 4 5
a) y b) En la tabla anterior aparece el espacio muestral, E = {0, 1, 2, 3, 4, 5},
con las probabilidades asociadas a cada caso.
c) P [Diferencia mayor que 3] = P [{4, 5}] = 4/36 + 2/36 = 6/36 = 1/6
4. Hay 40 cartas. La probabilidad de cada una es 1/40.
a) En este juego, el espacio muestral es E = {“figura”, “as”, “< 6”, “> 5”}.
b) Hay 3 figuras en cada palo ÄÄ8 P [figura] = 12/40 = 3/10 = 0,3
Hay 4 ases en la baraja ÄÄÄÄ8 P [as] = 4/40 = 1/10 = 0,1
Hay 4 números < 6 en cada palo 8 P [< 6] = 16/40 = 2/5 = 0,4
Hay 2 números > 5 en cada palo 8 P [> 5] = 8/40 = 1/5 = 0,2
c) P [no figura] = 1 – P [figura] = 1 – 0,3 = 0,7
1 Lanzamos un dado con forma de octaedro, con sus caras
numeradas del 1 al 8. Evalúa estas probabilidades:
a) P [múltiplo de 3]
b)P[menor que 5]
c) P[número primo]
d)P[no múltiplo de 3]
2 Lanzamos dos dados y anotamos la menor de las puntuaciones.
a) Escribe el espacio muestral y asígnale probabilidad
a cada uno de los casos.
b) Halla la probabilidad del suceso “la menor puntuación
es menor que 4” = “< 4”.
c) Halla P[no < 4].
Actividades

2 Probabilidades en experiencias compuestas Las experiencias simples que forman una experiencia compuesta pueden ser dependientes
o independientes.
Dos o más experiencias aleatorias se llaman independientes cuando el resultado
de cada una de ellas no depende del resultado de las demás.
Por ejemplo, el lanzamiento de dos dados puede considerarse como composición
de dos pruebas (un dado y otro dado) independientes, pues el resultado de
cada dado no influye en el otro.
Dos o más experiencias aleatorias se llaman dependientes cuando el resultado
de cada una de ellas influye en las probabilidades de las siguientes.
Por ejemplo, extraer dos cartas de una baraja (una carta seguida de otra carta)
es la composición de dos pruebas dependientes, pues el resultado de la primera
influye en las probabilidades de los sucesos de la segunda:
—1.a— e—xtr—ac—ció—n —qu—e—da—n —2.a— e—xtr—ac—ció—n
as 39 cartas, 3 ases P[as] = 3/39
no as 39 cartas, 4 ases P[as] = 4/39
Como vemos, las probabilidades de los sucesos en la 2.a extracción dependen de
lo que ocurrió en la 1.a.
Extracciones con o sin reemplazamiento
“Extraemos una bola de esta bolsa y, después, otra”. Falta un dato: ¿la que hemos
extraído la echamos de nuevo a la bolsa antes de la 2.a extracción o no?
— “Sacamos una bola, la miramos, la devolvemos a la bolsa, removemos y volvemos
a sacar”, lo resumimos así: “sacamos dos bolas con reemplazamiento”.
— “Sacamos una bola, la miramos y sacamos otra” se resume así: “sacamos dos
bolas sin reemplazamiento”.
En el primer caso, las experiencias son independientes. En el segundo, dependientes.
1 Lanzamos un dado y, después,
sacamos una bola de la bolsa.
Estas dos experiencias, ¿son
dependientes o independientes?
2 Lanzamos un dado. Si sale
par, extraemos una bola
de la bolsa A. Si sale impar,
de la B. Las experiencias,
¿son dependientes o
independientes?
par
impar
A
B
Actividades
Las siguientes experiencias:
a) extraer tres cartas de una baraja,
b) lanzar cinco dados,
se pueden considerar como experiencias
compuestas de otras simples:
a) Extraer una carta de una baraja,
después otra, y después otra.
b) Lanzar un dado, y otro… y otro.
Recuerda
La 1.ª es as.
Quedan 3 ases
en 39 cartas.
La 1.ª no es as.
Quedan 4 ases
en 39 cartas.
109
109
3 Composición de experiencias independientes
Es más sencillo calcular las probabilidades de los sucesos compuestos descomponiéndolos
en sucesos simples.
Cuando varias experiencias aleatorias son independientes, la probabilidad de
que ocurra S1 en la primera, S2 en la segunda, etc., es:
P[S1 y S2 y …] = P[S1] · P[S2] · …
El resultado de cada experiencia no
influye en el resultado de la siguiente.
Experiencias independientes
1 Se extraen 3 cartas con reemplazamiento. Halla:
a) P[as en 1.a y figura en 2.a y 3.a] b)P[3 ases]
c) P[un as y dos figuras] d)P[ningún as]
2 Se lanzan 5 monedas. Halla la probabilidad de:
a) 5 caras b) alguna cruz
3 Lanzamos 3 monedas. Calcula:
a) P[tres caras] b) P[ninguna cara] c) P[alguna cara]
4 Se lanzan dos monedas y un dado. ¿Cuál es la probabilidad
de obtener cara en ambas monedas y seis en
el dado? ¿Cuál, la de obtener cruz en las monedas y
par en el dado?
Actividades
1. Lanzamos dos dados, uno rojo
(R) y otro verde ( V ). Hallar
estas probabilidades:
a) 3 en R y 5 en V
b)5 en R y 3 en V
c) un 3 y un 5
d)par en R y > 2 en V
“par” = {2, 4, 6}
“> 2” = {3, 4, 5, 6}
2. Sacamos una bola de A y una
bola de B. Calcular:
A B
a) P[ y ]
b)P[ y ]
c) P[ y ]
d)P[una de ellas y otra ]
e) P[la segunda ]
Problemas resueltos
1. a) P[3 en R y 5 en V ] = P[3] · P[5] = 1/6 · 1/6 = 1/36
b)P[5 en R y 3 en V ] = P[5] · P[3] = 1/6 · 1/6 = 1/36
c) P [un 3 y un 5] = P[3 en R y 5 en V ] + P[5 en R y 3 en V ] =
= ( 1
36) + ( 1
36) = 2
36
= 1
18
d) P [par en R y > 2 en V ] = P [par] · P [> 2] =
= 36
· 46
= 12
36
= 13
1,6 2,6 3,6 4,6 5,6 6,6
1,5 2,5 3,5 4,5 5,5 6,5
1,4 2,4 3,4 4,4 5,4 6,4
1,3 2,3 3,3 4,3 5,3 6,3
1,2 2,2 3,2 4,2 5,2 6,2
1,1 2,1 3,1 4,1 5,1 6,1
2. a) P[ y ] = P[1.a ] · P[2.a ] = 25
· 36
= 6
30
= 15
b)P[ y ] = P[1.a ] · P[2.a ] = 25· 26
= 4
30
= 2
15
c) P[ y ] = P[1.a ] · P[2.a ] = 35
· 36
= 9
30
= 3
10
d)P[una de ellas y otra ] = P[ y ] + P[ y ] = 4
30
+ 9
30
= 13
30
e) P[la 2.a ] = P[cualquier cosa la 1.a] · P[la 2.a ] = 1 · 16
= 16
110
4 Composición de experiencias dependientes
El resultado de cada experiencia influye
en las probabilidades de las siguientes.
Experiencias dependientes
De una urna con 3 bolas verdes
y 2 rojas, extraemos dos bolas.
Calcular la probabilidad de que:
a) Ambas sean verdes.
b)La 1.a sea roja y la 2.a verde.
c) Las dos sean rojas.
P[ en este caso] = 24
Si la 1.a es
P[ ] = 35
Si la 1.a es , quedan cuatro: 1 y 3
Problema resuelto
a) Imaginemos una gran cantidad de gente. Cada uno de ellos tiene una urna
con 3 bolas verdes y 2 bolas rojas. Son sometidos a dos pruebas:
1.a prueba: Han de extraer bola verde. (La dejan fuera).
2.a prueba: Han de volver a extraer verde.
Averigüemos qué proporción de gente supera cada prueba y, en consecuencia,
qué proporción supera las dos.
P[ ] = 3/5. Por término medio, 3 de cada 5 individuos
extraen bola verde y superan la 1.a prueba.
primera
extracción
Ahora, la composición de la urna se modifica dependiendo del resultado de
la primera prueba. Como estamos siguiendo la pista a los que extraen bola
verde, estos tienen ahora una urna con 2 bolas verdes y 2 bolas rojas. Veamos
qué proporción de ellos supera la 2.a prueba.
P[ ] = 2/4. Por término medio, 2 de cada 4 de los
que superan la 1.a prueba superan también la 2.a.
segunda
extracción
Proporción de individuos que superan ambas pruebas: 35
· 24
= 6
20
. Es decir:
P[ y ] = P[ la 1.a] · P[ la 2.a
/ la 1.a] = 35
· 24
= 6
20
= 3
10
Estas pruebas son dependientes, porque el resultado de la primera influye
en la segunda.
b) P[ y ] = P[ la 1.a] · P[ la 2.a / la 1.a] = 25
· 34
= 6
20
= 3
10
c) P[ y ] = P[ la 1.a] · P[ la 2.a / la 1.a] = 25
· 14
= 2
20
= 1
10
Si dos sucesos S1 y S2 corresponden a pruebas dependientes, la probabilidad
de que ocurra S1 en la 1.a y S2 en la 2.a es:
P[S1 y S2] = P[S1] · P [S2 en la 2.ª / S1 en la 1.a] = P[S1] · P[S2 / S1]
La expresión P[S2 / S1] se llama probabilidad condicionada: probabilidad
de S2 condicionada a que ocurra S1.
Para tres sucesos dependientes:
P[S1 y S2 y S3] = P[S1] · P[S2 / S1] · P[S3 / S1 y S2]
La probabilidad condicionada P[S3 / S1 y S2] significa “probabilidad de que
ocurra S3 supuesto que ocurrieron S1 y S2”.
UNIDAD
111
Descripción de la experiencia mediante
un diagrama en árbol
La experiencia de la página anterior se puede describir sistemáticamente, y de
forma muy clara, mediante un diagrama en árbol:
3/5 La urna
queda así
La urna
queda así
2/5
2/4
2/4
3/4
1/4
P[ y ] = 35
· 24
= 6
20
= 3
10
P[ y ] = 35
· 24
= 6
20
= 3
10
P[ y ] = 25
· 34
= 6
20
= 3
10
P[ y ] = 25
· 14
= 2
20
= 1
10
Significado de algunas probabilidades:
25
= P[ en la 1.a]
34
= P[ en 2.a / en 1.a]
Recuerda
Si en la 1.a sale as, quedan 3 ases en
39 cartas. Por tanto:
P[as en 2.a / as en 1.a] = 3
39
Análogamente:
P[as en 3.a / as en 1.a y 2.a] = 2
38
Observa
1 Extraemos dos cartas de una baraja española. ¿Cuál
es la probabilidad de que la primera sea un rey y la
segunda un as?
2 Copia y completa el diagrama en árbol del problema
resuelto de esta página y sobre él halla P [ningún as].
3 Una urna contiene 5 bolas negras y 3 blancas. Extraemos
tres bolas. ¿Cuál es la probabilidad de que
las tres sean blancas? ¿Y negras?
4 Se extraen, una tras otra, 3 cartas de una baraja. ¿Cuál
es la probabilidad de obtener bastos las tres veces?
a) Supón que se extraen con reemplazamiento.
b) Supón que se extraen sin reemplazamiento.
5 Una urna A tiene tres bolas blancas y una negra.
Otra B tiene una bola negra. Sacamos una bola de A
y la echamos en B. Removemos y sacamos una bola
de B. ¿Cuál es la probabilidad de que esta sea blanca?
Actividades
Extraemos tres cartas de una baraja española. Hallar la probabilidad de
obtener tres ases.
P[3 ases] = P[as en 1.a y as en 2.a y as en 3.a] =
= P[as en 1.a] · P[as en 2.a / as en 1.a] · P[as en 3.a / as en 1.a y 2.a] =
= 4
40
· 3
39
· 2
38
Lo describimos en un diagrama en árbol:
4/40
36/40
2/38
3/39
36/39
36/38
AS
3.a EXTR.
2.a EXTR.
1.a EXTR.
AS
NO AS
Quedan 39 cartas.
De ellas, 3 ases.
Quedan 38 cartas.
De ellas, 2 ases.
NO AS
AS
NO AS
P[3 ases] = P[as y as y as] = P[as] · P[as en 2.a / as en 1.a] ·
· P[as en 3.a / as en 1.a y 2.a] = 4
40
· 3
39
· 2
38
= 1
2470
Problema resuelto
112 Ejercicios y problemas
Consolida lo aprendido utilizando tus competencias
■ Practica
Experiencias simples
1 En la lotería primitiva se extraen bolas numeradas
del 1 al 49. Calcula la probabilidad de que la
primera bola extraída sea un número…:
a) … de una sola cifra. b) … múltiplo de 7.
c) … mayor que 25.
2 Se extrae una carta de una baraja española.
Di cuál es la probabilidad de que sea:
a) rey o as. b) figura y oros. c) no sea espadas.
3 Lanzamos dos dados
y anotamos la puntuación
mayor (si coinciden,
la de uno de ellos).
a) Completa en tu cuaderno
la tabla y di las
probabilidades de los
seis sucesos elementales
1, 2, 3, 4, 5 y 6.
6
4 6
2 5
1 2
b) Halla la probabilidad de los sucesos:
A: n.° par, B: n.° menor que 4.
Experiencias compuestas
4 a) Tenemos dos barajas de 40 cartas. Sacamos
una carta de cada una. ¿Cuál es la probabilidad de
que ambas sean 7? ¿Cuál es la probabilidad de que
ambas sean figuras (sota, caballo o rey)?
b) Tenemos una baraja de 40 cartas. Sacamos dos
cartas. ¿Cuál es la probabilidad de que ambas
sean un 7? ¿Cuál es la probabilidad de que ambas
sean figura?
5 Lanzamos tres dados. ¿Cuál es la probabilidad
de que las tres puntuaciones sean menores que 5?
6 Sacamos una bola de cada urna. Calcula la
probabilidad de que:
a) Ambas sean rojas.
b) Ambas sean negras.
c) Alguna sea verde.
7 Una urna tiene 3 bolas rojas y 2 verdes. Extraemos
dos. Calcula P[2 rojas] y P[2 verdes].
■ Aplica lo aprendido
8 Una urna contiene 100 bolas numeradas así:
00, 01, 02, …, 99
Llamamos x a la cifra de las decenas e y a la cifra de
las unidades del número que tiene cada bola. Se extrae
una bola al azar. Calcula la probabilidad de que:
a) x = 3 b) y = 3 c) x ? 7 d) x > 5
e) x + y = 9 f) x < 3 g) y > 7 h) y < 7
9 Después de tirar muchas veces un modelo de
chinchetas, sabemos que la probabilidad de que una
cualquiera caiga con la punta hacia arriba es 0,38.
Si tiramos dos chinchetas, ¿cuál será la probabilidad
de que las dos caigan de distinta forma?
10 En un laboratorio se somete un nuevo medicamento
a tres controles. La probabilidad de pasar
el primero es 0,89, la de pasar el segundo es 0,93 y
la de pasar el tercero es 0,85. ¿Cuál es la probabilidad
de que el nuevo producto pase las tres pruebas?
11 Sacamos una bola de A, la echamos en B, removemos
y sacamos una de B. Calcula:
A B
a) P[1.a roja y 2.a roja] b)P[1.a roja y 2.a verde]
c) P[2.a roja / 1.a verde] d)P[2.a roja / 1.a roja]
e) P[2.a roja] f ) P[2.a verde]
☞ e) Para calcular esta probabilidad, ten en cuenta el siguiente
diagrama:
A
B
B
—3 · —2
5 3
—2 · —1
5 3
2—3
1—3
2—5
3—5
113
113
12 En una clase hay 17 chicos y 18 chicas. Elegimos
al azar dos alumnos de esa clase.
Calcula la probabilidad de que:
a) Los dos sean chicos.
b) Sean dos chicas.
c) Sean un chico y una chica.
13 Tiramos dos dados correctos. Di cuál es la
probabilidad de obtener:
a) En los dos la misma puntuación.
b)Un 6 en alguno de ellos.
c) En uno de ellos, mayor puntuación que en el otro.
14 Se extraen dos
bolas de esta bolsa.
Calcula la probabilidad
de que ambas
sean del mismo color.
■ Resuelve problemas
15 En una bolsa hay 4 bolas, dos de ellas están
marcadas con un 1 y las otras dos con un 2. Se hacen
tres extracciones y se anotan los resultados en
orden.
Calcula la probabilidad de que el número formado
sea el 121, suponiendo que la experiencia sea:
a) Con reemplazamiento.
b) Sin reemplazamiento.
16 Matías y Elena juegan con una moneda.
La lanzan tres veces y si sale dos veces cara y una
vez cruz o dos veces cruz y una vez cara, gana Matías.
Si sale tres veces cara o tres veces cruz, gana
Elena.
Calcula la probabilidad que tiene cada uno de ganar.
¿Resuelves problemas de probabilidad de experiencias
simples y compuestas?
1 Encima de una mesa tenemos estas cuatro cartas de
una baraja española:
– Cinco de copas. – As de oros.
– Cuatro de bastos. – Dos de oros.
Sacando al azar otra carta del mazo y fijándonos en
su número, ¿cuál es la probabilidad de que la suma
de las puntuaciones de las cinco cartas (las cuatro de
la mesa y la extraída del mazo) sea 15? ¿Y 16?
2 Lanzamos una moneda y un dado y observamos los
resultados obtenidos.
a) ¿Cuál es la probabilidad de obtener cruz y cinco?
b) ¿Y la de obtener cara y número par?
3 Lanzamos dos dados. Calcula la probabilidad de que
el producto de las puntuaciones:
a) Sea 5. b) Sea 6. c) Sea 4.
☞ Haz una tabla con todos los casos posibles.
4 Tenemos dos bolsas, A y B, con estas bolas:
A: 7 blancas y 3 negras
B: 1 blanca, 2 negras y 7 rojas
Tirando un dado, si sale 1 o 2 extraemos una bola de
A. Si sale 3, 4, 5 o 6, extraemos una bola de B. Calcula
la probabilidad de extraer bola roja.
5 La urna A tiene 3 bolas rojas y 1 negra, y la B, 3 negras
y 1 roja. Sacamos una bola de A, la echamos en
B, removemos y sacamos una bola de B. Calcula la
probabilidad de que ambas bolas sean rojas.
Autoevaluación
PROPIEDAD FUNDAMENTAL DEL AZAR. LEY DE LOS GRANDES NÚMEROS
• Repetimos un experimento un número N de veces, todo lo grande que deseemos. Anotamos
el n.º de veces que sale un suceso S determinado. A ese número le llamamos frecuencia
absoluta f(s) de S.
• A medida que N crece, el cociente
f(s)
N
(frecuencia relativa de S) se estabiliza en torno a un valor.
• Consecuencias: Al hacer una experiencia aleatoria con un instrumento irregular, estimamos la
probabilidad de un suceso S asignándole el valor p =
f(s)
N
(p es una medida de la presencia
del suceso en el experimento).
LEY DE LAPLACE
• Si realizamos una experiencia aleatoria con un instrumento regular (dado no trucado, moneda, etc.),
la probabilidad de un suceso S es el cociente p =
número de casos favorables a S
números de casos posibles
EJEMPLO: Probabilidad de sacar n.º primo al tirar un dado: S = {2, 3, 5}
p = ………………….
EXPERIENCIAS COMPUESTAS
El cálculo de probabilidades en una experiencia compuesta se simplifica si se descompone
en experiencias simples. Estas pueden ser independientes o dependientes.
Experiencias independientes. Dos experiencias son independientes cuando ……………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………….
En este caso, P[S1 en la 1.ª y S2 en la 2.ª] = ……………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………….
Experiencias dependientes. Dos experiencias son dependientes cuando …………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………….
En este caso, P[S1 en la 1.ª y S2 en la 2.ª] = ……………………………………………………………………
EJEMPLOS:
• Las experiencias “lanzar un dado” y “lanzar una moneda” son ……………………………………………
Por tanto, P[3 en el dado y CARA en la moneda] = …………………………………………………………….
• Si tenemos una bolsa con 3 bolas blancas y 2 negras y realizamos dos extracciones,
las experiencias “color de la 1.ª bola” y “color de la 2.ª bola” son ……………………………………….
Por tanto, P[blanca la 1.ª y blanca la 2.ª] = ……………………………………………………………………
PRACTICA
Ficha de trabajo A
1 Si lanzas una moneda 3 veces:
a) ¿Cuántos resultados posibles obtienes?
b) ¿Qué probabilidad tienes de sacar solo dos caras?
c) ¿Y de no sacar más de una cruz?
2 Extraemos una carta de una baraja de 40. Calcula:
a) Probabilidad de que sea AS.
b) Probabilidad de que sea AS o FIGURA.
c) Probabilidad de sacar AS o COPAS.
3 De una urna con 5 bolas rojas, 3 negras y 2 blancas extraemos una bola, la reponemos
a la urna y luego hacemos una 2.ª extracción.
a) ¿Qué probabilidad hay de que no salga blanca en ambas?
b) ¿Y si después de la 1.ª extracción no reponemos la bola?
4 En un juego, el jugador gana si, al lanzar una moneda 3 veces y extraer una carta de
una baraja, el resultado sea: “No sacar más de una cruz” y “No salgan espadas”. En
caso contrario pierde. ¿Qué probabilidad tiene el jugador de ganar?

Cálculo de probabilidades
APLICA. FIESTAS EN EL BARRIO
Durante las fiestas del barrio, vas con tus amigas y amigos a la feria. Allí os paráis ante
una caseta donde el feriante os propone la siguiente apuesta:
“¡Apueste y gane! Tiraré una moneda cuatro veces y luego sacaré una carta de la baraja.
— Si sale cara 2 o 3 veces y la carta es de Bastos o Espadas, me llevo su apuesta.
— Si sale cara 0, 1 o 4 veces y la carta es de Oros o Copas, entonces le daré a usted
un 50% más de lo que apostó.
— Si sale otro resultado, ¡seguimos jugando!”
El juego parece muy beneficioso para el apostador, pero hay algo que os preocupa y decidís
hacer unos cuantos cálculos.
1 En primer lugar, os preguntáis cuál será la probabilidad de sacar cara 0, 1 o 4 veces.
2 Luego, queréis calcular la probabilidad de sacar 2 o 3 caras.
3 Pasáis a las cartas. Os ponéis a calcular la probabilidad de sacar Oros o Copas al
extraer una carta de la baraja.
4 ¿Qué probabilidad tenéis de ganar la apuesta? ¿Y de perderla? ¿Y de seguir jugando
sin ganar ni perder?
5 ¿Qué se espera que ocurra si el apostador pone x euros en el platillo? Os dais cuenta
de que tenéis que analizar la función de ganancia o pérdida E(x) = 1,5xp – xq,
donde p es la probabilidad de ganar y q es la probabilidad de perder.
6 ¿Cuál será el resultado más probable si apostáis 100 euros entre todos? ¿Y si pudierais
jugar 1 000 euros?
PRACTICA
1 Tengo 6 tarjetas A, B, C, D, E, F.
a) ¿De cuántas formas distintas puedo escoger dos de ellas?
b) ¿Cuántas de esas formas tienen solo una vocal?
c) ¿Cuál es la probabilidad de extraer dos consonantes?
2 En una serie semifinal de 100 m lisos de atletismo, se clasifican los dos primeros
para la final. Participan 6 atletas.
a) ¿De cuántas formas distintas pueden clasificarse?
b) De los 6 atletas, tres son del mismo equipo. ¿Cuál es la probabilidad de que los
dos clasificados sean del mismo equipo?
3 Para una oposición, el temario consta de 25 temas y, para aprobarla, hay que contestar
bien a dos temas extraídos al azar. Luis ha preparado 15 temas.
a) ¿De cuántas formas distintas le pueden salir dos temas estudiados?
b) ¿Qué probabilidad tiene de aprobar?
c) ¿Es más probable que apruebe Begoña que, en su oposición de 30 temas, ha preparado
17?
APLICA. FIESTAS EN EL BARRIO
Ficha de trabajo B
Durante las fiestas del barrio, vas con tus amigas y amigos a la feria. Allí os paráis ante
una caseta donde el feriante os propone la siguiente apuesta:
“¡Apueste y gane! Tiraré una moneda cuatro veces y luego sacaré dos cartas de la baraja.
— Si sale cara 2 o 3 veces y las cartas son de Bastos o Espadas, me llevo su apuesta.
— Si sale cara 0, 1 o 4 veces y las cartas son de Oros o Copas, entonces le daré a
usted un 30% más de lo que apostó.
— Si sale otro resultado, ¡seguimos jugando!”
El juego parece muy beneficioso para el apostador, pero hay algo que os preocupa y decidís
hacer unos cuantos cálculos.
1 ¿Cuál es la probabilidad de sacar cara 0 veces? ¿Y la de sacarla una vez? ¿Y dos
veces? ¿Y tres veces? ¿Y cuatro veces?
2 ¿De cuántas formas distintas pueden extraerse dos cartas cualesquiera de una baraja?
3 ¿De cuántas formas pueden salir Oros o Copas?
[Analiza el número de veces que puede salir (O, O), (C, O) o (C, C)].
4 ¿Cuál es la probabilidad de que gane la apuesta el participante? ¿Y de que pierda?
5 Si apostáis 1 euro, ¿qué se espera que ocurra? Tenéis que analizar la expresión
E(x) = 1,3 xp –xq para x = 1, donde p es la probabilidad de ganar y q la de perder.
6 ¿Y qué ocurrirá si apostáis 1000 euros?
Soluciones
UNIDAD
Ficha de trabajo A
PRACTICA
1 a) 23 = 8 resultados
b) {CC+, C+C, +CC} 8 p =
3
8
c) {CCC, CC+, C+C, +CC} 8 p = 4
8
2 a) p = 4
40
= 1
10
b) p = 4
40
+ 12
40
= 16
40
c) P[A o C] = P[A] + P[C] – P[As de Copas] =
= 4
40
+ 10
40
– 1
40
= 13
40
3 a) P[B
– y B
–] = 8
10
· 8
10
= 64
100
b) P[B

1 y B

2] = 8
10
· 7
9
= 56
90
4 P[No sacar más de una cruz] = 4
8
P[No espadas] = 30
40
= 3
4
P[Ganar] = 4
8
· 3
4
= 3
8
APLICA
1 P[0, 1 o 4] = 6
16
= 3
8
2 P[2 o 3] = 10
16
= 5
8
3 P[Oros o Copas] = 1
2
4 P[ganar] = 6
32
= 3
16
P[perder] = 10
32
= 5
16
P[seguir jugando] = 16
32
= 1
2
5 Se espera que el resultado sea:
E(x) = 1,5x · 6
32
– 10x
32
= –x
32
El apostador perderá 1/32 de lo que apueste.
6 E(100) = –3,13 
E(1 000) = –31,25 
Ficha de trabajo B
PRACTICA
1 a) C6, 2 = 6 · 5
2 · 1
= 15
b) Con una vocal (A o E) hay 4 formas distintas.
Luego hay 8 formas distintas con una
vocal cualquiera.
c) Dos consonantes se extraen de C4, 2 = 6
formas.
Luego p = 6
15
= 2
5
.
2 a) C6, 2 = 15
b) Tres de ellos se clasifican de C3,2 = 3 formas.
Luego p = 3
15
= 1
5
.
APLICA
1 P[sacar cara 0 veces] = 1
16
P[sacar cara 1 vez] = 4
16
P[sacar cara 2 veces] = 6
16
P[sacar cara 3 veces] = 4
16
P[sacar cara 4 veces] = 1
16
2 C40, 2 = 780 formas distintas.
3 Oros y Copas salen de C10, 1 · C10, 1 = 100
maneras.
Copas y Copas salen de C10, 2 = 45 formas.
Oros y Oros salen de C10, 2 = 45 formas.
Por tanto, Oros o Copas saldrán de 190 formas.
4 La probabilidad de ganar, p, es de 19
208
= 0,09.
La probabilidad de perder, q, es de 95
624
= 0,15.
5 E(1) = –0,033, es decir, se perderá 3 cént.
6 En ese caso, se perderán 30 euros.
b)Hay 28 sucesos elementales.
c) A = {2-3, 1-4, 0-5}; B = {0-6, 1-6, 2-6, 3-6, 4-6, 5-6, 6-6}
d)No; no tienen en común ningún suceso elemental (A I B = ∅)
e) P[A] = ≈ 0,11; P[B] = = 0,25; P[A I B] = P[∅] = 0
9 Extraemos una ficha de un dominó. Calcula la probabilidad de que:
a) La suma de puntos sea igual a 6.
b) La suma de puntos sea menor que 4.
c) Sea una ficha “doble”.
En el dominó hay 28 fichas; la ficha es igual que la (solo hay una ficha,
no dos)
a) P[SUMA SEA IGUAL A 6] = =
b)P[SUMA SEA MENOR QUE 4] = =
c) P[FICHA “DOBLE”] = =
10 Lanzamos dos dados y sumamos los puntos obtenidos. Con ayuda de una
tabla como la de la primera página de la unidad, calcula la probabilidad de
que la suma sea:
a) Igual a 9 b) Igual a 7 c) Menor que 10 d) 5 ó 6
¿Cuál es la suma que tiene mayor probabilidad?
a) P[SUMA 9] = =
b)P[SUMA 7] = =
c) P[SUMA MENOR QUE 10] = 1 – P[SUMA 10 O MÁS] = 1 – = =
d)P[SUMA 5 O 6] = =
La suma con mayor probabilidad es P[SUMA MENOR QUE 10].
1 Se hace girar la flecha y se observa sobre qué número se detiene. Calcula las
probabilidades de los siguientes sucesos:
a) Obtener un número par.
b) Obtener un número primo.
c) Obtener 5 o más.
d) Que no salga el 7.
a) P[PAR] = =
b)P[PRIMO] =
c) P[5 O MÁS] = =
d)P[NO 7] = 1 – P[7] = 1 – =
2 Extraemos una ficha de un dominó. Calcula la probabilidad de que:
a) La suma de puntos sea igual a 6.
b) La suma de puntos sea menor que 4.
c) Sea una ficha “doble”.
En el dominó hay 28 fichas; la ficha es igual que la (solo hay una ficha,
no dos)
a) P[SUMA SEA IGUAL A 6] = =
b)P[SUMA SEA MENOR QUE 4] = =
c) P[FICHA “DOBLE”] = =
3 Escribimos cada una de las letras de la palabra PREMIO en una ficha y las ponemos
en una bolsa. Extraemos una letra al azar.
a) Escribe los sucesos elementales de este experimento aleatorio. ¿Tienen todos
la misma probabilidad?
b) Escribe el suceso “obtener vocal”, y calcula su probabilidad.
c) Si la palabra elegida fuera SUERTE, ¿cómo responderías a los apartados a) y b)?