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POLIGONOS EJERCICIOS Y PROBLEMAS RESUELTOS EN PDF Y VIDEOS

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OBJETIVOS :
Al finalizar la unidad, el alumno será capaz de:
* Aprender la definición de polígono plano.
* Utiliza correctamente los nombres de los polígonos.
* Reconocer las clases de polígonos.
* Aplicar las fórmulas en la resolución de problemas.
Un polígono es una figura geométrica limitada por segmentos consecutivos no alineados, llamados lados.
Los polígonos cuyos lados no están en el mismo plano, se denominan polígonos alabeados.
Existe la posibilidad de configurar polígonos en más de dos dimensiones. La generalización de un polígono en tres dimensiones se denomina poliedro, en cuatro dimensiones se llama polícoro, y en n dimensiones se denomina politopo.
Se denomina línea poligonal al conjunto ordenado de segmentos tales que, el extremo de uno de ellos coincide con el origen del segmento que le sigue. Un polígono está conformado por una línea poligonal cerrada.
Si analizanos la palabra polígono podríamos decir que proviene de dos raíces: poli que significa varios y gono que significa ángulo, sin embargo, hoy aprenderás que dicha palabra encierra mucho más contenido de lo que te imaginas.
Para la construcción de algunos objetos que nos rodean se utilizan los polígonos regulares como estos dos balones de fútbol de 32 paños doce de los cuales tienen forma pentagonal y los veinte restantes formas hexagonal.
Polígonos estrellados
Si al dividir una circunferencia en partes iguales unimos los puntos de división de dos en dos, de tres en tres, etc. y al cerrarse la poligonal hemos recorrido la circunferencia un número entero de veces, obtenemos un polígono regular estrellado. Puede probarse que para obtener un polígono regular estrellado de n lados (la circunferencia estará dividida en n partes iguales) uniendo las divisiones de a en a, es necesario (y suficiente) que a y n sean primos. Como unir divisiones de a en a es igual que dividirlas de n – a en n – a (es decir de a en a en sentido contrario), se podrán construir polígonos estrellados considerando los números menores que n/2, que sean primos con n.
El número primo con 5 menor que 5/2 es 2; podemos construir el pentágono estrellado uniendo las divisiones de dos en dos. Obtenemos de esta forma el más popular de los polígonos estrellados y, posiblemente, el emblema de la escuela pitagórica. En él el número áureo aparece por doquier. No existen polígonos estrellados de 6 lados, ya que no existe ningún número primo con 6 menor que 6/2.


UN POLÍGONO MUY PARTICULAR:
LA CIRCUNFERENCIA
El número de lados de un polígono puede ser tan grande como se quiere; así, por ejemplo construir polígonos irregulares de 20 lados (icoságono), de 100 lados, 1 000 lados, etc. Al aumentar el número, éstos se hacen cada vez más pequeños. Si pudiésemos construir polígonos regulares de una infinidad de lados, sucedería que cada uno de ellos no sería un segmento, sino un punto, con lo cual habríamos construido un polígono muy particular, la circunferencia, caracterizada por el hecho de que todos sus puntos están a igual distancia del centro.
Reconoceremos en la circunferencia los mismos elementos que aparecían en los polígonos regulares, si bien, algunos reciben nombres diferentes.

El radio de la circunferencia equivale a la apotema del polígono regular, y la longitud de la circunferencia al perímetro de éste.
El círculo es la porción del plano interior a la circunferencia.
Por tanto, no confundas circunferencia con círculo. La circunferencia es una línea y el círculo es una superficie.
El anillo sugiere la idea de circunferencia y la moneda de círculo.

TRAZADO DE POLÍGONOS REGULARES
El trazado de polígonos regulares a mano alzada es prácticamente imposible, como tú mismo puedes comprobar. Por ello se hace necesario recurrir a métodos de dibujo.
A continuación exponemos dos métodos para construir un polígono regular.
a. Conociendo el lado del polígono
Sea L el lado. Trazamos dos arcos desde sus extremos y obtenemos el centro B, y describimos una circunferencia que nos contendrá seis veces al lado. El radio de éste, , lo dividiremos en seis partes iguales, obteniendo los puntos 1, 2, 3, 4, 5 y 6.
Si hacemos centro de 1 y radio hasta C dibujaremos una circunferencia que contiene ocho veces el lado L y así sucesivamente hasta llegar a tomar como centro el punto 6 y radio hasta C, lo que permite dibujar una circunferencia que contiene doce veces al lado L.

b. Dada una circunferencia.
Uno de los problemas que con más frecuencia nos encontraremos será la necesidad de tener que dividir la circunferencia en un número determinado de partes iguales. A pesar de que existen diversos procedimientos, exponemos aquí el más conocido y que podemos llamar general porque sirve para todos los casos que se nos puedan presentar.
Empezaremos por dibujar la circunferencia dada. El diámetrolo dividiremos en un número de partes igual al que queremos dividir la circunferencia, en este caso siete. Tomando como radio el diámetro de la circunferencia y centro de los extremos de éste, A y B, describimos dos arcos que al cortarse nos dará el punto C.

Se une mediante una recta el punto C con el 2 y se prolonga, obteniendo el D. El arco es la séptima parte del total de la circunferencia. En todos los casos se opera del mismo modo, teniendo siempre presente que la recta que une el punto exterior C ha de pasar por el 2 (segunda división del diámetro).

Es la figura geométrica determinada por los puntos P1, P2, P3, ……Pn coplanarios, donde no hay tres puntos colineales, y n3, entonces a la reunión de los segmentos P1 P2, P2 P3, P3 P4, ……, Pn-1 Pn, Pn P1 se denomina polígono. Estos segmentos no deben intersectarse más que en sus extremos.

Elementos:
 Vértices: P1, P2, P3, ….., Pn
 Lados:
Notación:
Polígono: P1 P2 P3 …… Pn
Medida de los ángulos
 Internos: b1, b2, b3, ……, bn
 Externos: a1, a2, a3, ……., an

En todo polígono convexo se cumple que el número de vértices es igual al número de lados e igual al número de ángulos.

Diagonal
Es el segmento que une dos vértices no consecutivos.
En la figura , ……. diagonales.

Diagonal media
Es el segmento cuyos extremos son los puntos medios de dos lados.
En la figura: , ……. diagonales medias

Conjunto convexo, un conjunto A se denomina convexo, si para cada dos puntos M y N del conjunto, todo el segmento está en A. Ejemplo:

Conjunto no convexo
Un conjunto B se denomina no convexo, si para dos puntos P y Q del conjunto, parte del segmento PQ no está en B.
Ejemplo:

Denotación de los polígonos

CLASIFICACIÓN DE LOS POLÍGONOS
I. Según la región que limitan
a. Polígono convexo: Es el polígono que limita una región convexa.

b. Polígono no convexo: Es el polígono que limita una región no convexa.

II. Según la medida de sus lados y ángulos internos determinados
a. Polígono equiángulo: Es aquel polígono convexo cuyos ángulos son congruentes.

b. Polígono equilátero: Es aquel polígono cuyos lados son congruentes.

c. polígono regular: Es aquel polígono convexo que es a la vez equiángulo y equilátero.

Ángulo central de un polígono regular: Es aquel cuyo vértice es el centro del polígono regular y sus lados pasan por dos vértices consecutivos del polígono.

O : Centro del polígono regular.
a : Medida del ángulo central.

FÓRMULAS PARA TODO POLÍGONO
DE n LADOS
A. Suma de las medidas de los ángulos internos de un polígono convexo (Si)

B. Suma de las medidas de los ángulos exteriores de un polígono convexo (Se)

C. Número de diagonales trazadas desde un vertice. (NºDTV)

D. Número total de diagonales.

E. Número de diagonales trazadas desde M vértices consecutivos. (Nm)

F. Número total de diagonales medias (NTDM)

FÓRMULAS PARA TODO POLÍGONO
REGULAR DE n LADOS
A. Medida de un ángulo interior (Mi)

B. Medida de un ángulo externo (Me)

C. Medida de un ángulo central (Mc)

Las fórmulas para calcular las medidas de los ángulos interior y exterior de un polígono regular son aplicables también a un polígono equiángulo.

1. La suma de las medidas de los ángulos internos, centrales y externos de un polígono regular es igual a 2520º. Calcule la medida de su ángulo central.

Rpta.:

2. Si se duplica el número de lados de un polígono el número de sus diagonales aumenta en 30. Calcule el número de vértices.

Rpta.:

3. En un polígono convexo ABCDEF equiángulo, AB = 7u, CD = 6u y DE = 8u. Calcule: BF.

Rpta.:

4. En un octógono equiángulo ABCDEFGH:
y BC = 1u. Calcule: AC.

Rpta.:

5. En un polígono equiángulo de “n” lados desde (n–7) vértices se trazan 2n diagonales. Calcule la medida de su ángulo interior.

Rpta.:

6. En un polígono la razón del número de diagonales y el número de diagonales medias es . Calcule la suma de las medidas de los ángulos internos de dicho polígono.

Rpta.:

7. El número de triángulos en que se descompone un polígono convexo al trazar las diagonales de un solo vértice y el número de diagonales que se pueden trazar del quinto vértice consecutivo están en la relación de 7 a 5. Calcule la suma de las medidas de los ángulos internos de dicho polígono.

Rpta.:

8. En el campeonato de fulbito de docentes por planas de la academia Pascual Saco Oliveros participan n equipos. Si se sabe que (n – 4) equipos jugaron 5n partidos, calcule el número total de partidos jugados en el campeonato.

Rpta.:

9. Las medidas de los ángulos internos de un exágono convexo se encuentran en progresión aritmética. Calcule el mayor valor entero de la razón.

Rpta.:

10. En ángulo interior y el ángulo exterior de un polígono regular miden q y (k – 1)q respectivamente. ¿Cuáles son los valores enteros que puede tomar k para que el polígono exista?

Rpta.:

1. ¿Cuántos lados tiene un pológono cuya suma de las medidas de sus ángulos internos y externos es 3960?
  A) 12 B) 23 C) 20 D) 30 E) 32

2. Al aumentar en 3 el número de lados de un polígono, el número de diagonales se duplica. Calcule la suma de las medidas de los ángulos internos.
  A) 1240º B) 1280º C) 1250º
D) 1270º E) 1260º

3. Interiormente a un pentágono regular ABCDE se construye un triángulo equilátero APB. Calcule la
  A) 42º B) 66º C) 84º
D) 36º E) 54º

4. Se tiene un octógono equiángulo ABCDEFGH, AB = 3u, y CD = 3u. Calcule la longitud del segmento que une los puntos medios de
  A) B) C)
D) E)

5. En un polígono equiángulo de n lados, desde (n – 3) vértices consecutivos se han trazado (n – 1) diagonales. calcular la medida de su ángulo exterior.
  A) 30º B) 45º C) 60º
D) 72º E) 90º

6. En un polígono equiángulo la razón de la medida de su ángulo interior y exterior es 5. Calcule el número de diagonales de dicho polígono.
  A) 52 B) 54 C) 58 D) 56 E) 68

7. En un pol ígono la diferencia entre el número de diagonales y el número de ángulos llanos a que equivale la suma de las medidas de los ángulos internos es 119. calcule el número de diagonales.
  A) 100 B) 135 C) 180
D) 120 E) 160

8. En el campeonato mundial de fulbito realizado por la FIFA participan 32 selecciones. Si jugaran todos contra todos, ¿cuántos partidos se jugarán en total?
  A) 420 B) 240 C) 260
D) 496 E) 520

9. Las medidas de los ángulos internos de un pentágono convexo están en progresión aritmética. Calcule el mayor valor entero de la razón.
  A) 33º B) 34º C) 35º
D) 36º E) 37º

10. Los ángulos interno y externo de un polígono regular miden q y Kq respectivamente. Si K toma su mayor valor entero, calcule el número de diagonales medias del polígono.
  A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 E) 8