Archive for POLIEDROS

POLIEDROS EJERCICIOS Y PROBLEMAS RESUELTOS EN PDF Y VIDEOS

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Al finalizar la unidad el alumno será capaz de:
* Explicar qué es un poliedro regular
* Reconocer los tipos de poliedros regulares.
* Número de caras, vértices, aristas, figuras que forman las caras, número de aristas concurrentes en un vértice, … (puedes hacer una tabla)

* Área lateral , área total y Volumen.. Desarrollos de planos.
* Instrumentos, objetos, … de la vida cotidiana.
* Teoremas: Teorema de Cavalieri en el espacio y Teorema de Euler.
* Aplicar correctamente los teoremas en la resolución de problemas.
introduccion :
Existen 5 poliedros regulares convexos y por ahora no se conoce la época en que se descubrieron.
Hay una tradición que asigna el conocimiento de los poliedros a los pitagóricos y otros investigadores asignan el icosaedro y el odaedro a tetraedm En la época anterior a los pitagóricos ya se conocían de una forma aislada, como objetos físicos.
Se dice que fue Teeteto el primero en formular una teoría general. Reciben otro nombre: «Sólidos platónicos», que se atribuyen a Platón; para él los elementos últimos de la materia son los poliedros regulares. Consideraba que a cada elemento se le asigna uno de los 4 poliedros regulares .
.. Pero existe un quinto elemento (dodecaedro) al que Platón le atribuye esta frase: «Dios la ha utilizado para el todo, cuando dibujó el orden final».
Cubo (Tierra) Tetraedro (Fuego) Dodecaedro (Universo)

Icosaedro (Agua) Octaedro (Aire)

Sólido Geométrico
Es aquella porción del espacio separado del espacio inmediato por un conjunto de puntos que conforman la superficie del sólido.
Un sólido de acuerdo a su superficie puede ser, poliedro (pirámide , prisma , etc) o cuerpo redondo (esfera , cilindro etc).
La medida de la superficie de un sólido es el área de la superficie del sólido, y la medida de la porción de espacio correspondientes a un sólido es el volumen del sólido.


Los cuerpos que observas en la naturaleza adoptan formas muy variadas; algunos de ellos se aproximan bastante a las formas geométricas que observas en el dibujo. Sin embargo, un dado, un cucurucho, una caja de cerillas, una pelota o una lata de conservas, productos de nuestra cultura. son modelos bastante aproximados de los cuerpos geométricos.

LOS POLIEDROS Y LA FÓRMULA DE EULER
Entre los distintos cuerpos geométricos distinguimos a simple vista los que tienen sus caras limitadas por polígonos, como una caja de cerillos y los que no, como un cucurucho, lo que permite dar una primera clasificación en poliedros y no poliedros.
Poliedro es todo sólido limitado por caras en forma de polígonos. Según el número de éstas, los poliedros pueden ser tetraedros, pentaedros, hexaedros, etc.
En la figura, que representa un hexaedro regular, puedes observar los elementos básicos que componen todo poliedro: vértices, aristas, caras, diagonales, planos diagonales, ángulos diedros y ángulos poliedros.

Es preciso prestar atención al concepto de diagonal del poliedro y no confundirlo con el de diagonal de una cara del poliedro.

a. Como puedes observar, las siguientes figuras muestran los poliedros regulares y sus respectivos desarrollos.

POLIEDROS
Son aquellos sólidos limitados por cuatro o más planos secantes. Los poliedros más conocidos son las pirámides y los prismas.

La intersección de cada uno de estos planos con todo los demás que con el cierran o limitan al poliedro determinan un polígono. Los polígonos que limitan el poliedro se llaman caras. Las intersecciones de estas se llaman aristas, los puntos en que se cortan las aristas reciben el nombre de vértices.

DIAGONAL DE UN POLIEDRO
Es el segmento de recta que une dos vértices no pertenecientes a una misma cara.
TEOREMAS DE EULER
1. En todo poliedro se cumple que el número de caras más el número de vértices es igual al número de aristas más dos unidades.

donde: C = caras / V = vértices / A = aristas
Demostración:

Aristas recorridas = V–1
Aristas no recorridas = C–1
sumando: A=V+C–2
C+V = A + 2
2. En todo poliedro la suma de las medidas de los ángulos internos de todas sus caras es igual a 360º multiplicado por el número de vértices menos 2.

donde V = vértices, además:

donde: A = aristas

POLIEDROS REGULARES
Son aquellos poliedros convexos cuyas caras son polígonos regulares iguales entre sí.
• Los ángulos poliedros y los diedros son respectivamente iguales.
• Todo poliedro regular se puede inscribir o circunscribir en una esfera donde el centro de las esferas viene a hacer el centro de poliedro regular.
Teorema
Solamente existen 5 poliedros regulares tetraedro regular, exaedro regular, octaedro regular, dodecaedro regular, icosaedro regular.
Tetraedro Regular
Sus caras son triángulos equiláteros, que están unidos de 3 en 3.

Notación: Tetraedro O–ABC

Hexaedro regular (cubo)
Sus caras son cuadrados que están unidos de 3 en 3.

Notación: Hexaedro regular IJKL–EFGH

Octaedro Regular
Sus caras son triángulos equiláteros, que están unidos de 4 en 4.

Notación: Octaedro regular M–ABCD–N

Dodecaedro regular
Sus caras son pentágonos regulares que están unidos de 3 en 3.

Icosaedro regular
Sus caras son triángulos equiláteros, que están unidos de 5 en 5.

POLIEDROS CONJUGADOS
Dos poliedros son conjugados cuando el número de caras de uno de ellos es igual al número de vértices del otro.
• Todo poliedro puede ser inscrito en su conjugado.
• El tetraedro regular es conjugado consigo misma, es decir en un tetraedro regular solamente se puede inscribir una esfera y un tetraedro regular.
• El exaedro regular y el octaedro regular son conjugados, es decir en el exaedro regular solamente se puede inscribir una esfera y el octaedro regular y viceversa.
• El dodecaedro regular y el icosaedro regular son conjugados.

Teorema:
En todo tetraedro trirectángulo se cumple que el cuadrado del área de una cara cateto es igual al área de la cara hipotenusa multiplicado por el área de la proyección de la cara cateto sobre la cara hipotenusa.

Teorema:
En todo tetraedro trirectángulo se cumple que el cuadrado de la cara hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de las áreas de las caras catetos.

Teorema:
En todo tetraedro trirectángulo se cumple que la suma de las inversas de los cuadrados de las aristas que concurren en el triedro trirectángulo es igual a la inversa del cuadrado de la altura relativa a la cara hipotenusa.

1. En un tetaedro OABC en donde el triángulo ABC es equilátero y OA=OB=OC el radio de la circunferencia inscrita en el triángulo ABC es 2u y el radio de la circunferencia inscrita en el triángulo OBC es . Calcular el área de la superficie total del tetraedro.

Rpta.:

2. En un hexaedro regular la arista mide a unidades, se traza un plano pependicular por el punto medio de una de las diagonales del hexaedro. Calcule el área de la sección determinada en el hexaedro.

Rpta.:

3. En un cubo la arista mide a unidades, tneiendo como referencia un vértice se dibuja un tetraedro regular uniendo los vértices no adyacentes del cubo. Uniendo los centros de cada cara del cubo se dibuja un octaedro regular. Entonces, la razón entre el área trotal del tetraedro y el área total del octaedro es:

Rpta.:

4. En un tetaedro regular la longitud de su diagonal es igual al radio de la esfera circunscrita a un tetraedro regular. Calcular la razón de volumen de dichos poliedros.

Rpta.:

5. En un tetaedro regular la distancia del centro a una cara es d unidades. Entonces la longitud de la arista es:

Rpta.:

6. En un dodecaedro regular, calcular el valor de la siguiente expresión: , donde:
T: Número de triángulos contenidos en la superficie del sólido y cuyos vértices son los vértices del dodecaedro regular.
M: Número de trapecios contenidos en la superficie del sólido y cuyos vértices son los vértices del dodecaedro regular.
V: Número de vértices del dodecaedro regular.

Rpta.:

7. Calcular la razón de áreas de las superficies de un octaedro regular y un icosaedro regular, sabiendo que el circunradio de una de las caras del octaedro tiene igual longitud que la arista del icosaedro.

Rpta.:

8. En un octaedro regular S-ABCD-R en las aristas se ubican dos puntos P y Q.
Si , DQ=QC y la arista del octaedro mide L unidades,entonces el perímetro de la sección plana determinada por el plano que pasa por los puntos P y Q y el centro del octaedro es:

Rpta.:

9. En un octaedro regular calcular la razón de áreas de las proyecciones de dicho octaedro sobre un plano perpendicular a una arista y a la diagonal del octaedro.

Rpta.:

10. En un tetaedro regular la medida de una altura es . Calcular la medida del menor recorrido para ir de un vértice al baricentro de la cara opuesta a través de la superficie.

Rpta.:

11. Dado un octaedro regular se traza su poliedro conjugado inscrito y a este nuevo poliedro también se le traza su poliedro conjugado inscrito. calcular la razón de las longitudes de las aristas del octaedro y segundo poliedro conjugado trazado.

Rpta.:

12. En un hexaedro regular ABCDÉFGH se ubica N punto medio de . Si , calcular la distancia entre

Rpta.:

13. Se tiene un hexaedro regular ABCD-EFGH, calcular la medida del ángulo diedro determinado por los planos EBH y BGH.

Rpta.:

14. En un tetraedro regular O-ABC la longitud de su arista es a; la altura intersecta al plano BMC en el punto P, siendo M punto medio de . calcular OP.

Rpta.:

1. La arista de un octaedro regular mide “a”. Calcular el volumen del rectoedro que se forma al unir los puntos medios de ocho aristas.

Rpta.:

2. Hallar la distancia entre dos aristas opuestas de un tetaedro regular, si el volumen es igual a 9m3.

Rpta.:

3. Calcular el área total del tetaedro regular que se encuentra inscrito en un cubo cuya área total es 24 u2.

Rpta.:

4. En un octaedro regular del volumen igual a 288m3, se unen los centros de todas sus caras, formandose un cubo cuya arista mide:

Rpta.:

5. Halle el volumen de un tetaedro regular si la altura mide 2m.

Rpta.:

6. Calcular la distancia entre los centros de dos caras de un tetraedro regular de arista “a”.

Rpta.:

7. Calcular la longitud de la altura si la arista del tetaedro regular mide 2cm.

Rpta.:

8. Hallar el ángulo formado por L1 y L2; si la figura es un dodecaedro regular.

Rpta.:

9. Hallar el número de caras de un poliedro sabiendo que la suma de los ángulos internos de todas las caras es 7200º y la suma entre el número de caras, vértices y de aristas es 98.

Rpta.:

10. Calcular el número de aristas de un poliedro cuyo número de caras es igual al número de vértices, además la suma de los ángulos internos de sus caras es 2520º.

Rpta.:

11. Si el área de un tetaedro regular es 60m2, hallar el área del sólido que se forma al unir los puntos medios de la arista.

Rpta.:

12. Se tiene un tetraedro O–ABC si la distancia de un vértice al baricentro de la cara opuesta es 12m, hallar la distancia de dicho vértice a la intersección de las medianas del tetraedro.

Rpta.: