Archive for PLANTEO DE ECUACIONES

PLANTEO DE ECUACIONES EJERCICIOS Y PROBLEMAS RESUELTOS PDF

Share Button

Uno de los motivos más interesantes de las matemáticas, consiste en el arte de interpretar (traducir) un problema en el lenguaje literal (vernáculo) a un lenguaje matemático, con ayuda de símbolos, variables y operaciones fundamentales. Este motivo se denomina “Arte de plantear ecuaciones”.

SUGERENCIAS PARA PLANTEAR UNA ECUACIÓN

• Leer cuidadosamente el texto del problema hasta comprender de que se trata.

• Ubicar los datos y la pregunta.

• Elegir la(s) variable(s) con las cuales se va ha trabajar.

• Relacionar los datos con las variables para plantear una o más ecuaciones que al resolver nos den la solución

III. A continuación se presentan un grupo de ejercicios en los que traduciremos el enunciado paso a paso y luego, resolveremos la ecuación planteada.

1. Hallar un número que aumentado en 36 resulta el doble del número, disminuido en 18.
Exceso: Es la cantidad adicional que un ente tiene respecto a otro. Es lo que sobrepasa, lo que supera, lo extra, lo demás.

Excede: Es la cantidad mayor.

Excedido: Es la cantidad menor.

Ejemplo 1:
Ahora tu puedes plantear y resolver las siguientes ecuaciones sin la necesidad del cuadro. No te olvides anota tus datos.

1. Tu edad y la mía suman 32, y yo tengo 6 años más que tú. ¿Cuales son nuestras edades?

2. El doble de la edad de Andrea, disminuida en 15 es igual a 55. ¿Cuál será la edad de Andrea dentro de 3 años?

3. Con S/.36 compre un pastel y un helado. El helado costó S/.10 más que el pastel, ¿cuánto costó cada cosa?

4. La suma de tres pares consecutivos restados en 12 es 36. Hallar el número intermedio.

5. Si el quintuplo de la suma de un número y 5 da como resultado la mitad de la diferencia de 120 y 10. ¿Cuál es dicho número?

La Ecuación es el idioma del Álgebra. Isaac Newton decía en su “Aritmética Universal” que para resolver un problema referido a cantidades o relaciones abstractas, había que traducir dicho problema del idioma inglés u otro, al Lenguaje del Álgebra.
¿Y cómo se hace la traducción?
Para esto analicemos juntos las siguientes situaciones:
DIOFANTO
(Grecia, siglo III a.C.)
 Considerado como el inaugarador del álgebra sincopada (empleo de asignaturas y signos, además de símblolos).
 Con Diofanto se inicia aunque no muy nítidamente un nuevo concepto del número, necesario para el desarrollo del álgebra.
 Antes de él los enunciados de los problemas y su solución eran largos procesos a bases de lenguaje corriente, procedimiento que además servía sólo para ese problema resuelto; no existía pues el concepto generalización.
 En cambio los problemas de Diofanto se refieren a los números abstractos. Además, además es quien inicia en el álgebra el empleo algunas abreviaturas para simplificar el razonamiento
 Diofanto tuvo predilecciones por las ecuaciones indeterminadas. Inicia el verdadero simbolismo, el método analítico en la resolución de los problemas
 Por todo eso se considera a Diofanto como el padre del álgebra.

AL – KUWARIZMI(Arabia)
Antiguamente el Álgebra de los árabes representado por el célebre Abuaddalá Mohamed, conocido como Al – Kuwarizmi, era de carácter retórico (resolución de problemas con el lenguaje corriente). Designaron a la incógnita con el nombre de la “cosa”, que en árabe es “xai” y cuya letra inicial “x” se tomó posteriormente para representar la incognita, y así es como llegó más tarde hasta nosotros.

Problema 1
Un devoto rogó a Júpiter que le duplicara el número de monedas que tenía en el bolsillo y que por ello le pagaría 8 monedas. Así se hizo. Entonces rogó a Venus que hiciera igual milagro y pagó 8 monedas; finalmente rogó a Mercurio que le duplicará el número de monedas y le pago 8 monedas, así se encontró finalmente poseedor de nada. ¿Cuántas monedas tenía al inicio?
Resolución Antigua
Llamemos “cosa” al capital inicial; lo duplicó y tuvo dos cosas; pagó 8 monedas y le quedaron 2 cosas menos ocho monedas. Duplicó la segunda vez y tuvo cuatro cosas menos dieciséis monedas, pero como pagó ocho monedas le quedaron cuatro cosas menos veinticuatro monedas. Lo duplicó la tercera vez y tuvo ocho cosas menos cuarenta y ocho monedas, pero como volvió a pagar 8 monedas, le quedaron ocho monedas menos cincuenta y seis monedas.
Por consiguiente:
“8 cosas = 56 monedas”
“de donde: cosa = 7 monedas”

Resolución Actual

…………………………………………………………………………….

…………………………………………………………………………….

…………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………

Problema 2.
Una secretaria en una oficina contable recibe el día lunes una apreciable cantidad de informes, de los cuales ordena en el archivador sólo una parte, el martes recibe tantos informes como había ordenado el día lunes, pero sólo pudo ordenar 25, el miércoles recibe 5 informes más que el lunes, y ordena tantos como lunes; el jueves recibe la mitad de los que ordenó el miércoles y ordena 23 informes; el miércoles recibe un informe menos que el jueves, y ordena 20, el sábado no recibe informes y ordena los 16 que quedan, el domingo descansó. ¿Cuántos informenes recibe el día lunes?
Resolución:

…………………………………………………………………………….

…………………………………………………………………………….

…………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………

1. Homero lavando autos es más rápido que Pericles en la proporción de 4 a 3. Cuando Pericles lava “n” autos en una hora. Homero lava “n + 2” autos en el mismo tiempo. ¿Cuántos autos lava Pericles en 4 horas?

Rpta.:

2. Los ahorros de Jorge son: (x + 1); (3x – 5)
y (x + 3) billetes de 50; 100 y soles respectivamente. ¿A cuánto ascienden los ahorros de Jorge si al cambiarlos en billetes de 10 soles, el número de billetes obtenidos es 44 veces más que el número de billetes de 50 soles?

Rpta.:

3. Un salón está iluminado por 48 focos y otro salón está a oscuras. Si en el primer salón se apagan 4 focos y el segundo se encienden 2, y esta operación se repite hasta que ambos salones queden con igual número de focos encendidos, entonces el número total de focos encendidos es:

Rpta.:

4. Un gavilán cruza en vuelo con lo que aparece un centenar de palomas pero una de ellas lo saca del error; no somos cien, le dice si sumamos las que somos, más tantos como las que somos, más la mitad de los que somos y la mitad de la mitad de los que somos, en ese caso, contigo; gavilán seríamos 100. ¿Cuántas palomas había en la bandada?

Rpta.:

5. Se tienen dos cilindros conteniendo cerveza, del primero se echa al segundo tantos litros como litros habían en el segundo; luego del segundo se hecha al primero tantos litros como había en el primero después de la primera operación y finalmente del primero se hecha al se hecha al segundo tantos litros como había quedado en este después de la segunda operación. Si ambos terminan con 40 litros. Determinar, ¿Cuántos litros tenía cada uno en un comienzo?

Rpta.:

6. En una isla desierta hay 11 personas que pueden consumir sus viveres en 20 días, luego del primer día del siguiente mes llega a la isla un naufrago, al segundo día dos, al tercer día tres, y así hasta que la cantidad de náufragos puedan consumir la cantidad de víveres que consumieron las once personas en 20 días. ¿Para cuántos días alcanzó los víveres a los náufragos’?

Rpta.:

7. Una señorita muy enamorada quiere plantar en un terreno en forma cuadrada rosales a igual distancia unos de otros, tanto a lo largo coma a lo ancho. La primera vez que lo intenta le faltan 15 rosales, pero la segunda vez pone una menos en todo el sentido y entonces le sobran 32. Si de todas las rosas que obtuvo regaló todas menos las que regaló ¿Cuántas regaló si cada rosal tenía solamente 2 rosas?

Rpta.:

8. Un hombre compró cierto número de libros, si hubiera comprado 5 libros más por el mismo dinero, cada libro le habría costado 2 soles menos, si hubiera comprado 5 libros menos por el mismo dinero cada libro le habría costado 4 soles más ¿Cuántos libros compró cuanto pago por cada uno?

Rpta.:

9. Tres equipos de fútbol “A” “B” y “C” después de tres partidos, en los cuales cada uno jugó con los otros dos, tienen anotados los siguientes goles a favor (G.F) y goles en contra (G.C.) ¿Cuál fue el resultado del partido del equipo “A” con “B”, si “A” ganó por máxima cantidad de goles a “C”?

Entonces:
I. “A” gana 6 – 4 II. “A” gana 3 – 1
III. “A” gana 5 – 1 IV. “A” gana 7 – 3
V. “A” gana 6 – 5

Rpta.:

10. Un padre reparte entre sus hijos una suma de dinero de la siguiente manera, al primero le da 1000 soles y la décima parte del resto, al segundo 2000 soles y la décima parte del resto, al tercero 3000 soles y la décima parte del resto y así sucesivamente, al final se da cuenta que cada uno de ellos recibió la misma cantidad, que es igual a:

Rpta.:

1. Jaimito estaba indeciso entre comprar 72 ovejas o por el mismo precio, 9 vacas y 9 conejos. Decide comprar el mismo número de animales con el mismo dinero. ¿Cuántos animales compró?
A) 28 B) 30 C) 20 D) 24 E) 40

2. Un alumno ha de multiplicar un número un número con 50, pero al hacerlo se olvida del cero a la derecha, hallando así un producto que se diferencia del verdadero en 11610. ¿Cuánto se obtiene si divide dicho número con 50?
A) 5,16 B) 7,74 C) 10,32
D) 2.68 E) 6

3. En dos factores, donde uno de ellos posee dos cifras, si a este factor se le disminuye la suma de sus cifras, el producto se reduce a la mitad. Indicar la suma de las dos cifras
A) 9 B) 2 C) 21 D) 18 E) 15

4. Dos personas trabajan juntos, ganando diariamente uno 2 soles más que el otro. Después de igual número de días trabajados reciben 240 soles uno y 210 soles el otro. ¿Cuánto gana por día uno de ellos?
A) 15 B) 18 C) 16 D) 11 E) 20

5. De un grupo de obreros se sabe que la cuarta parte de ellos cobra un jornal de S/. 50; la mitad cobra S/. 30 y el resto un jornal de S/. 20. Si por 15 días de trabajo cobraron un total de S/. 39000. Calcule el número de obreros de la fábrica.
A) 80 B) 60 C) 85 D) 40 E) 100

6. Fiorella quiere plantar sus árboles igualmente espaciados en un terreno cuadrado de 288 m de lado. Si la separación entre árbol y árbol fuese do 3 m le faltaría 2400 árboles. Determinar la distancia que debe haber entre ellos de manera que lo sobren 1680 árboles?
A) 1 m. B) 2 m. C) 3 m. D) 4 m. E) 5 m.

7. Para pavimentar un patio cuadrado se emplean locetones de 5 0×50 cm. Si el patio tuviera un metro más por cada lado, se habría necesitado 140 locetones más, ¿Cuánto mide cada lado del patio?
A) 14,5 m. B) 16 m. C) 12,50 m.
D) 15,50 m. E) 17 m.

8. Un jugador “A” le da ventaja a otro “B” 40 carambolas para 100 y “B” le da ventaja a otro “C” 60 carambolas para 100, ¿Cuántas carambolas debe dar “A” y “C” en un partido de 100?
A) 73 B) 74 C) 75 D) 76 E) 77

9. En un corral hay cierto número, de gallinas que no pasan de 368 ni bajan de 354. Si los gallinas se acomodan en grupos de 2; 3; 4 ó 5 siempre sobra 1, pero si se acomodan en grupos de 7, sobran 4. ¿Cuántas gallinas hay en el corral si se añaden 6 más?
A) 361 B) 363 C) 356
D) 367 E) 369

10. Un grupo de abejas, cuyo número era igual a la raíz cuadrada de la mitad de todo su enjambre, se posó sobre un jazmín habiendo dejado a 8/9 del enjambre, sólo una abeja del mismo enjambre revoloteaba entorno a un loto, atraída por el zumbido de sus amigas que cayo imprudentemente en la trampa de la florecilla, de dulce fragancia. ¿Cuántas abejas forman el enjambre?
A) 69 B) 72 C) 71 D) 88 E) 83

1. ¿Recuerda el año en que Guttemberg inventó la imprenta? pues si no, encuéntrelo, sabiendo que la cifra de las unidades es el doble de la de las decenas; la de los millares es igual a la diferencia entre la de las centenas y la de las decenas y la suma de las cuatro cifras es igual a catorce. Además si al año se le suma 4905, resulta el mismo número pero invertido.

Rpta.:

2. En una “combi pirata”, el pasaje de los adultos de S/. a y el de los niños es de S/. b, si en total subieron 5(a + b) pasajeros y la recaudación de S/. (3a2 + 2b2 + 5ab), ¿Cuántos adultos más que niños subieron al mencionado transporte?.

Rpta.:

3. Hallar un número sabiendo que su raíz cuadrada da por resto tres y que sumando 1410 al número, la raíz cuadrada de la suma es el doble, más uno, de la raíz anterior, y el resto cinco.

Rpta.:

4. Un niño nació en noviembre, y el 10 de diciembre, tiene una edad igual al número de días transcurridos del 11 de noviembre al día de su nacimiento. Calcule la fecha de nacimiento de dicho niño:

Rpta.:

5. Un comerciante posee una máquina que pone la etiqueta a 500 envases en 8 minutos. Desea adquirir otra máquina de tal manera que cuando ambas funcionen simultáneamente, puedan hacer el mismo trabajo en solo 2 minutos ¿Cuánto tiempo emplea la segunda máquina para ponerle las etiquetas a 500 envases?

Rpta.:

6. Si compró b artículos a b + 2 dólares cada uno, me sobran 3b – 1 dólares. Sin embargo, si cada artículo costara 2 dólares más, sólo me sobrarían 60 dólares, ¿Cuánto cuesta cada artículo en el primer caso?

Rpta.:

7. Carlos tiene S/. 28.25 entre monedas de 1 sol, 50 centavos y 25 centavos.
Si todas las monedas se colocan en contacto por sus bordes perfectamente alineados, forman una longitud de 1057 m. Determine cuántas monedas de cada clase hay, si se sabe que por cada moneda de 50 centavos hay tres de 1 sol. Considere que los diámetros de las monedas son de 28 mm, 22 mm y 21 mm en cada caso.

Rpta.:

8. Se tiene dos toneladas de vino de precios diferentes, conteniendo el primer tonel a litros y el segundo b litros. Se saca de cada tonel la misma cantidad de vino y se echa en el primero lo que se ha sacado del segundo y lo del segundo al primero, ¿Qué cantidad de vino ha pasado de un tonel al otro si el contenido de vino de los dos ha resultado de igual cantidad?

Rpta.:

9. Calcule la cantidad de dinero que tienen tres personas sabiendo que si se añade a la primera la mitad de lo que tienen las otras dos resultan 150 soles; si se añade a la segunda la mitad de lo de las demás, tiene 165 soles; y añadiendo a la tercera la mitad de lo de las otras, tiene 185 soles.

Rpta.:

10. Calcule un número de tres cifras sabiendo que la cifra de las unidades es igual al producto de las otras dos; que la cifra de las decenas es media proporcional entre las otras dos y que la inversa de la cifra de las centenas es igual a la inversa de la cifra de las decenas, más el doble de la inversa de la cifra de las unidades

Rpta.:

1. Preguntado Filogonio por el número de ovejas de su rebaño, contesta: “Este número multiplicado por dos veces el mismo resulta ¿cuántas ovejas tiene Filogonio?
A) 34 B) 29 C) 43 D) 38 E) 17

2. De cada vértice de un cartón rectangular de 54 cm2 de área, se cortó un cuadrado de 2 cm de lado para luego formar una caja de 44 cm3 de volumen, ¿Cuál era el perímetro, expresado en centímetros, del cartón original?
A) 12 B) 32 C) 28 D) 16 E) 24

3. De dos velas de igual calidad diámetro, una tiene 24 cm de longitud más que la otra. Se prenden ambas y se observa que 30 minutos antes de terminarse la menor, la longitud de la vela mayor es 4 veces la de la vela menor, ¿Cuál fue la longitud inicial de la vela mayor en centímetros, si duró 270 minutos?
A) 60 B) 71 C) 56 D) 62 E) 72

4. Un inspector diariamente, de lunes a sábado, se dedica a visitar colegios. Por visitar colegios particulares gana S/. 20 más que por visitar colegios nacionales. En 5 semanas ha ganado S/. 350. ¿Cuántos colegios nacionales ha visitado sabiendo que por visitar 4 colegios particulares gana S/. 50 más que por visitar 10 colegios nacionales?
A) 8 B) 10 C) 12 D) 15 E) 207

5. Hace 5 minutos, la cantidad de minutos que han pasado desde las 8.00 a.m. es 15 veces del número de meses que han pasado del año. Si la cantidad de minutos que han pasado desde las 8:00 a.m. hasta el momento excede en 117 a los meses transcurridos del año. ¿Qué hora es?
A) 8:06 a.m. B) 8:10 a.m.
C) 10:05 a.m. D) 10:10 a.m.
E) 10:08 a.m.

6. Si sumas las edades que tuve, tengo y tendré, obtendrás el triple de la edad que tengo; si mi edad es ocho años mayor que la edad que tuve, ¿cuántos años más tendré, pasados diez años de la edad que cumpliré con respecto a la edad que tuve diez años antes de la edad que ya te dije que tuve?
A) 4 B) 8 C) 10 D) 12 E) 16

7. En una fiesta a la cual concurrieron menos de 2000 personas se observó en un momento que el número de mujeres que bailaba era k3 y el número de las que no lo hacían era k; el número de varones que bailaba era n2 y el número de los que no lo hacían era n, ¿Cuál fue el número exacto y total de asistentes, si éste fue el mayor posible?
A) 1500 B) 817 C) 811
D) 929 E) 999

8. Un vendedor de frutas tiene cierto número de naranjas, las cuales quiere disponer de modo que formen un cuadrado. Si el cuadrado fuera compacto, sobrarían 88 naranjas; pero, si el centro estuviera vacío podría colocar 4 naranjas más en cada columna y fila exterior, sin que sobre ninguna. Si se sabe que para llenar el cuadrado vacío se necesitan 144 naranjas ¿Cuántas naranjas tiene el vendedor?
A) 825 B) 817 C) 811
D) 929 E) 949

9. Se tienen tres grupos de clavos, cuyas cantidades son números consecutivos crecientes; si del segundo y del tercero se pasan al primero igual número de clavos, resulta que lo que hay ahora en el primero y lo que queda en el tercero están en la relación de 14 es a 9 y lo que queda en el segundo con el tercero, en la relación de 17 es a 18. ¿Cuántos clavos hay ahora en el primero?
A) 20 B) 21 C) 23 D) 22 E) 28

10. En un autobús el pasaje adulto, universitario y escolar cuestan S/. 4; S/. 2 y S/. 1 respectivamente. En su viaje de ida subieron un determinado número de adultos, universitarios y escolares, recaudando una cierta cantidad de dinero. Si en su viaje de regreso subieron un adulto menos, dos universitarios más y el doble de escolares con relación a su viaje anterior, racaudando 3 soles más que en el viaje anterior. ¿Cuántos escolares subieron en el primer viaje?.
A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5