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ANALISIS COMBINATORIO EJERCICIOS Y PROBLEMAS RESUELTOS EN PDF Y VIDEOS

En muchas ocasiones estamos interesados en conocer sólo el número de elementos de un conjunto que cumple ciertas condiciones: sin que sea necesario enumerarlos, para ello debemos hacer uso de las técnicas de conteo. Dichas técnicas están ligadas directamente a la historia de la matemática, porque es la forma como las personas tienen su primer contacto con esta disciplina.
Podemos señalar que dos tipos de problemas que ocurren frecuentemente en el análisis combinatorio son:
Demostrar la existencia de subconjuntos de elementos de un conjunto finito dado y que satisfacen ciertas condiciones.
Contar o clasíficar los subconjuntos de un conjunto finito y que satisfacen ciertas condiciones dadas. Actualmente el análisis combinatorio dispone de técnicas generales que permiten resolver ciertos tipos de problemas, sin embargo la solución de un problema combinatorio exige casi siempre ingeniosidad y una comprensión plena de la situación descrita en el problema. Ese es uno de los encantos de esta parte de la matemática donde problemas fáciles de enunciar, se tornan a veces difíciles exigiendo una alta dosis de creatividad para su resolución.
ANALISIS COMBINATORIO
El análisis combinatorio es la parte de la Matemáticas que estudia el número de ordenamientos o grupos que se pueden formar con las cosas o los elementos.


ANÁLISIS COMBINATORIO
Objetivos
1. Iniciar al lector en el estudio del análisis combinatorio.
2. Desarrollar la capacidad para resolver problemas de análisis combinatorio de manera razonada.
3. Aplicar adecuadamente los conceptos teóricos desarrollados.
4. Dominar la teoría necesaria para proseguir estudios de este tema a nivel superior.
Introducción
En muchas ocasiones estamos interesados en conocer sólo el número de elementos de un conjunto
que cumple ciertas condiciones; sin que sea necesario enumerarlos, para ello debemos hacer uso de las
técnicas de conteo. Dichas técnicas están ligadas directamente a la historia de la matemática, porque es
la forma como las personas tienen su primer contacto con esta disciplina.
Podemos señalar que dos tipos de problemas que ocurren frecuentemente en el análisis
combinatorio son:
• Demostrar la existencia de subconjuntos de elementos de un conjunto finito dado y que satisfacen
ciertas condiciones.
• Contar o clasificar los subconjuntos de un conjunto finito y que satisfacen ciertas condiciones
dadas.
Actualmente el análisis combinatorio dispone de técnicas generales que permiten resolver
ciertos tipos de problemas, sin embargo la solución de un problema combinatorio exige casi siempre
ingeniosidad y una comprensión plena de la situación descrita en el problema. Ese es uno de los
encantos de esta parte de la matemática donde problemas fáciles de enunciar, se tornan a veces difíciles
exigiendo una alta dosis de creatividad para su resolución.
Conceptos previos
Para llevar a cabo nuestro estudio, vamos a utilizar algunas herramientas tales como el factorial de
un número. Adicionalmente estudiaremos el cofactorial de un número y la relación existente entre
la función gamma y el factorial. Es importante tener clara la noción de los aspectos matemáticos
mencionados, pues su conocimiento permitirá desenvolvernos con soltura en la parte operativa de la
resolución de los problemas y ejercicios.
Lea atentamente los alcances teóricos y practique mucho, con empeño, hasta conseguir un dominio que
le permita abordar con suma facilidad el presente capítulo.
¿Qué es el factorial de un número?
Se define el factorial de un número n (n es un
número entero y positivo), al producto indicado
de los números enteros y consecutivos desde la
unidad hasta n inclusive. Esto se denota así: n!,
n o n .
Se lee de la siguiente forma:
“Factorial de n o n factorial”.
n! = 1 × 2 × 3 × 4 × …. × (n–2) × (n–1) × n
∀ n ∈ Z+
Por ejemplo:
4
6
7
!:
!:
!:
Factorialde 4
Factorialde 6
Factorialde 7
selee:   



= × × ×
= × × × × ×
= × × × × × ×
4 1 2 3 4
6 1 2 3 4 5 6
7 1 2 3 4 5 6 7
!
!
!
seexpresa
Ejemplo 1
Verifique la existencia o no existencia de cada una
de las siguientes expresiones:
a. 3
2
! b. 3
2
 
 
!
c. –5! d. (–5)!
e. 7! f. 7!
Resolución:
a. 3
2
1 2 3
2
3
! = × × = ∴ Si existe
3
2
!
b.
3
2
 
 
!
En el caso a el símbolo ! afecta sólo al
numerador, es decir a 3, siendo el cálculo
pedido posible. Sin embargo no ocurre lo
mismo en el caso b, pues el símbolo ! afecta
a la fracción
3
2
y el factorial no está definido
para esta clase de número.
∴ No existe
3
2
 
 
!
c. –5! sí existe
d. (–5)! no existe
La comparación de los casos c y d hace que
la diferencia sea evidente; en el caso d, el
factorial toma lo encerrado entre paréntesis
que es –5 para el cual no está definido el
factorial. En el caso c, el factorial sólo afecta
al número 5, mas no al signo (–), es decir, el
cálculo es posible.
En efecto: –5! = –1 × 2 × 3 × 4 × 5 = –120
e. 7! no existe, pues 7 ∉ Z+
f. 7! = 1×2×3× 4×5×6×7 = 5040
Descomposición en factores de un factorial
Recordemos: si n! = 1 2 3 … (n–2) (n–1) n, entonces
5 1 2 3 4 5
4
!
!
=×××× ; luego, 5! = 4! × 5
7 1 2 3 4 5 6 7
6
!
!
=××× ××× ; luego, 7! = 6! × 7.
También, 7! = 5! × 6 × 7, del cual deducimos:
n! = (n–1)! × n ∀ n ≥ 2
Esta última expresión adquiere importancia
cuando se trata de simplificar expresiones, un
tanto complicadas, que involucran el uso de
factoriales.
Además n! se puede desarrollar explícitamente
según lo requiera el ejercicio específico. Por
ejemplo:
n! = (n–2)! × (n –1) × n
O también: n! = (n–3)! × (n–2) × (n–1) × n
Ejemplo 2
Simplifique A = + +
+
13 12 11
12 11
! ! !
! !
Resolución
Si tenemos en cuenta que 12! = 11! × 12 y además
13! = 11! × 12 × 13, expresamos A en función
del menor de los factoriales con el objetivo de
simplificar. Veamos:
A = × × + × +
× +
11 12 13 11 12 11
11 12 11
! ! !
! !
Factorizando: A = × + +
+
11 12 13 12 1
11 12 1
!
!
[ ]
[ ]
Simplificando y sumando:
A = 12× 13+ 13 A = +
13
13 12 1
13
( )
∴ A = 13
Observación:
Se define por convención: 0! = 1
Sabemos: 1! = 1
En efecto, por el desarrollo parcial de un
factorial sabemos:
n! = (n–1)! n (en esta expresión calculamos
para n=1)
luego: 1! = (1–1) × 1
1! = 0! × 1
pero como 1! = 1
entonces: 1 = 0! × 1 ⇒ 0! = 1
De lo anterior deducimos:
n! = 1 → n = 0 ó n = 1
Principios fundamentales de co nteo
Con este título presentamos las herramientas
básicas que nos permitirán calcular el número
de elementos de conjuntos formados de acuerdo
a ciertas reglas, sin necesidad de enumerar sus
elementos.
Estas son:
a. Principio de adición.
b. Principio de multiplicación.
c. Principio de inclusión – exclusión
Empezaremos el estudio con los siguientes
ejemplos:
Ejemplo 1
Del ejemplo anterior, dado un evento en particular
(tomar foto a tres personas sentadas en una
banca), nos interesa conocer todas las maneras
distintas en que dicho evento puede ocurrir;
esto implica llevar a cabo el evento de todas las
formas posibles y luego contar la cantidad total
de maneras en que puede ocurrir.
Principio de adición
Tomemos un dado y una moneda normal.
¿Cuántos resultados diferentes se pueden obtener
si lanzamos el dado o si lanzamos la moneda?
Veamos que sucede:
Consideremos el lanzamiento del dado como un
primer evento y el lanzamiento de la moneda
como un segundo evento.
1.er evento: hay seis posibles resultados
Aquí se muestra todos los posibles resultados del
lanzamiento de un dado.
Ahora, si lanzamos la moneda:
2º evento: hay dos posibles resultados
En la mesa se aprecia los dos posibles resultados
al lanzar una moneda.
Luego, podemos apreciar que el número total
de resultados distintos que se puede obtener al
lanzar el dado o la moneda es ocho.
Dicha cantidad puede calcularse fácilmente, así:
nº resultados posibles
al lanzar lamoneda
nº resulta
2
 +
dos posibles
al lanzar el dado
6 8  =
Para hallar la respuesta hemos hecho uso de la
operación de adición, y al aplicar dicha operación
hemos contado el número total de resultados
según la pregunta. Podemos ahora enunciar
en base a este ejemplo sencillo el Principio de
Adición.
Principio de Adición
Si un evento designado como A ocurre de n
maneras diferentes y para cada uno de ellos
otro evento B ocurre de m maneras diferentes,
entonces el evento A y B en forma simultánea
o una seguida de la otra ocurrirá de m × n
maneras diferentes.
Ejemplo 1
Ana desea viajar de Chiclayo a Tumbes y tiene a su
disposición 2 líneas aéreas y 5 líneas terrestres.
¿De cuántas maneras distintas puede realizar el
viaje?
Resolución
Ana puede elegir viajar por aire o por tierra;
pero, evidentemente, no pueden elegir viajar por
ambas vías (terrestre y aérea) simultáneamente
(nadie puede estar al mismo tiempo en dos sitios
diferentes).
Luego:
2 5
líneas
+
líneas
evento A
viajar por aire
evento B
viajar po
o
 r tierra 
= 7
∴ Ana puede realizar el viaje de siete maneras
diferentes.
Aplicación 1
Una persona desea viajar al Cuzco, si lo hace
por Tierra puede elegir entre 5 empresas de
transportes y si va por vía aérea puede elegir
entre 4 compañías de aviación. ¿De cuántos
modos puede realizar el viaje la persona?
Rpta: 9
Aplicación 2
Un comité docente, formado por 5 aritméticos,
3 algebraicos y 4 geométricos, estudian nuevas
metodologías educativas. Si el comité ha recibido
la invitación de impartir una conferencia al
respecto. ¿De cuántas maneras puede el comité
enviar un representante a dicho evento?
Rpta: 12
Aplicación 3
Un producto se vende en 3 mercados, en el
primero se tienen disponible en 6 tiendas, en el
segundo en 5 tiendas y en el tercero en 7 tiendas.
¿De cuántas maneras una persona puede adquirir
dicho producto?
Rpta: 18
Aplicación 4
Un grupo escolar formado por 13 niñas y 11 niños
desea elegir su presidente. ¿De cuántas maneras
puede ser elegido?
Rpta: 24
Principio de multiplicación
Ejemplo 1
Jazmín ha recibido en su cumpleaños una
falda roja, una azul y otro verde; además le
obserquiaron una blusa blanca y otra crema. Si
desea probarse las prendas recibidas, ¿de cuántas
maneras distintas puede lucirlas, si se pone falda
y blusa?
Resolución:
Ella puede comenzar eligiendo la falda, por
ejemplo, y para ello puede escoger cualquiera de
las 3 que ha recibido; una vez escogida la falda
deberá decidir cual de las 2 blusas se pondrá.
Describamos la situación como sigue:
faldas: {roja, azul, verde}
blusas: {blanca, crema}
Para probarse falda y blusa juntas podría hacerlo
de la siguiente forma:
Los juegos serían:
(B, R), (B, A), (B,V)
(C, R), (C, A), (C, V)
manera d


6 istintas
Luego diremos:
Jazmín se pone blusa y falda
2 3
 
Anotando las cantidades: × = 6
formas distintas en la presentación de las prendas.
Estamos viendo entonces que tenía dos maneras
distintas de elegir la blusa y para cada una de las
2 maneras había 3 maneras de escoger la falda
por esto el total de formas de vestirse se obtenía
multiplicando los valores dados.
Ejemplo 2
Elvis posee 3 camisas, 3 pantalones y 2 pares de
zapatos, todas prendas diferentes. ¿De cuántas
maneras distintas puede lucir una vestimenta
constituida por camisa, pantalón y zapatos?
Resolución:
evento A: elige la camisa (3 formas ≠)
evento B: elige el pantalón (3 formas ≠)
evento C: elige un par de zapatos (2 formas ≠)
Nótese que Elvis para lucir una vestimenta debe
realizar los tres eventos (A, B y C), uno seguido
del otro.
Así:
Aplicando el principio de multiplicación, hemos
obtenido como resultado que Elvis puede vestirse
con las prendas mencionadas de 18 maneras
distintas en total.
Principio de Multiplicación
Si un evento designado como A ocurre de n
maneras diferentes y para cada uno de ellos
otro evento B ocurre de m maneras diferentes,
entonces el evento A y B en forma simultánea
o una seguida de la otra ocurrirá de m × n
maneras diferentes.
Ejemplo 3
¿Cuántos números pares de la forma abc pueden
escribirse con los dígitos 1, 2, 5, 6, 7, 8 y 9 si las
cifras pueden repetirse y la cifra de decena es
impar?
Resolución:
Para que sea un número par de tres cifras, el
dígito de las unidades debe ser necesariamente
par. Además por condición del problema, las
cifras pueden repetirse y la cifra de las decenas
debe ser impar.
Luego, la cifra de las centenas es una cualquiera
de los siete elementos de {1; 2; 5; 6; 7; 8; 9};
mientras que la cifra de las decenas sólo puede
considerarse del conjunto: {1; 5; 7; 9} sin olvidar
que la cifra de las unidades sólo puede ser una
cualquiera tomada del conjunto {2; 6; 8}. El
siguiente esquema ilustra la situación expuesta.
Entonces, bajo las condiciones establecidas
habrán 84 números que las cumplen.
Ejemplo 4
Se tiene seis libros diferentes de razonamiento
matemático. ¿De cuántas formas distintas pueden
ordenarse en un estante donde sólo entran cuatro
libros?
Resolución:
Veamos:
evento I: elige un libro para el 1er casillero (6
formas diferentes)
evento II: elige un libro para el 2º casillero (5
formas diferentes)
evento III: elige un libro para el 3er casillero (4
formas diferentes)
evento IV: elige un libro para el 4to casillero (3
formas diferentes)
Observación:
Nótese que para representar un arreglo
en el estante hay que realizar los cuatro
procedimientos (I y II y III y IV)
∴ 6 × 5 × 4 × 3 = 360
⇒ Los libros se pueden ordenar de 360 formas
diferentes.
Ejemplo 5
Con cinco varones y ocho señoritas, ¿cuántos
equipos de natación diferentes pueden formarse
si estos deben ser mixtos y de dos integrantes?
Resolución:
Los equipos de natación deben ser mixtos, es
decir, formados por un hombre y una mujer.
Luego, puede formarse 40 equipos distintos de
natación mixtos y de dos integrantes.
Aplicación 5
Ana tiene 3 blusas diferentes y 2 faldas también
distintas. ¿De cuántos modos diferentes se puede
vestir Ana utilizando sólo una prenda cada tipo?
Rpta: 6
Aplicación 6
¿Cuántos resultados diferentes se pueden
esperar obtener al lanzar una moneda y un dado
simultáneamente?
Rpta: 12
Aplicación 7
Una persona puede viajar de una ciudad A a otra
ciudad B por 3 caminos y de B a C por 5 caminos.
Por cuántos caminos diferentes puede ir dicha
persona de A a C y regresar a A siempre pasando
por B si:
a. Puede volver por cualquier camino.
b. No puede volver por un camino ya recorrido.
Rpta: a. 225
b. 210
Aplicación 8
En una sala hay 8 mujeres y 4 varones. ¿De cuántas
maneras es posible seleccionar una pareja mixta?
Rpta: 32
Aplicación 9
Una bandera está formada por cuatro bandas
verticales que deben ser pintadas, usando los
colores amarillo, blanco y verde, no debiendo
tener bandas adyacentes el mismo color. ¿De
cuántos modos puede ser pintada la bandera?
Rpta: 24
Principio de inclusión – exclusión
Para establecer la idea del principio de adición se
hace la referencia a que el número de elementos
de la unión de dos conjuntos diferentes es la
suma del número de elementos de cada conjunto.
Sin embargo, los conjuntos no siempre son
disjuntos. Para contar el número de elementos
que pertenecen a la unión de varios conjuntos,
no necesariamente diferentes, hacemos uso
del Principio de inclusión – exclusión que en su
versión más simple establece que:
n(A ∪ B) = n(A) + n(B) – n(A ∩ B)
En efecto:
n(A) + n(B) – n(A ∩ B) = (x + y) + (y + z) – y
= x + y + z
= n(A ∪ B)
Ejemplo
¿Cuántos números enteros entre 1 y 1000 son
divisibles por 3 ó 7?
Resolución
Aplicando del principio de inclusión – exclusión
Consideremos:
A: conjunto de enteros entre 1 y 1000 que son
divisibles por 3.
B : conjunto de enteros entre 1 y 1000 que son
divisibles por 7.
Lo que nos pide es calcular n(A ∪ B) (número de
elementos de A ∪ B)
Tenemos:
n(A)= = ( máximo entero) 1000
3
333

 

 
 :
n(B)= = 1000
7
142

 

 
(nAB)= = pues AB es el conjunto) 1000
21
47

 

 
(
(pues A ∩ B es el conjunto de enteros entre 1
y 1000 que son divisibles por 3 y 7, es decir,
divisibles por 21).
Por el principio de inclusión – exclusión sabemos
que:
n(A ∪ B) = n(A) + n(B) n(A ∩ B) = 333 + 142 – 47 = 428
Entonces hay 428 números que satisfacen la
condición pedida.
Técnicas de co nteo
La búsqueda de técnicas de conteo está
directamente ligada a la historia de la matemática
y a la forma por la cual las personas tienen su
primer contacto con esta disciplina. Por ejemplo,
puede observarse en el desarrollo de un niño
que la primera técnica matemática aprendida
por la criatura es el contar; es decir, enumerar
los elementos de un conjunto de tal forma que
determine cuántos son sus elementos. Esto ocurre,
por ejemplo, cuando con ayuda de sus padres
aprende cuántos juguetes hay en su corralito o
cuántos dedos tiene en su mano, etcétera. Las
técnicas de conteo que estudiaremos son:
I Permutaciones
P. lineales
P. circulares
P. con elementos repetidos

 
 
II Combinaciones
C. simple
C. con elementos repetidos

Por lo general iniciaremos el estudio de cada una
de las técnicas de conteo con un ejemplo sencillo
del cual deduciremos la expresión matemática
(fórmula) que podrá ser aplicada en otros casos.
Te aconsejamos leer con mucha atención los
aspectos teóricos que se brinda a continuación
y los ejemplos que los acompañan, pues su cabal
comprensión servirá de ayuda cuando ingrese a
la sección de problemas resueltos y propuestos
así como para el capítulo de probabilidades.
Permutaciones
Para continuar con el análisis de las aplicaciones
de la regla del producto, contaremos ahora
disposiciones lineales de objetos diferentes
también conocidas como “permutaciones”.
Desarrollaremos algunos métodos sistemáticos
para el estudio de las disposiciones lineales.
Ejemplo 1
¿De cuántos modos es posible ordenar 5
estudiantes en una carpeta de 5 asientos?
Resolución
Ayudémonos del siguiente gráfico:
A B C D E
asientos
El asiento: puede ser ocupado por:
A
B
C
D
E
5 personas
4 personas
3 personas
2 personas
1 persona
En forma resumida:
A B C D E
    
5× 4 ×3×2 ×1 = 60


 

 
=
número de
ordenamientos
número de
permutaciones

 

 
= 60
Ejemplo 2
¿De cuántas maneras se pueden exhibir 7 juguetes
diferentes, si el estante sólo tiene 3 lugares
disponibles?
Resolución
Sean los juguetes
A B C D E F G
Lugares disponibles para la exhibición de los
juguetes.
9 8 7


 

 
=

 

 
=
número de
maneras
número de
permutaciones
7×6×5= 210
• Con frecuencia el producto de ciertos enteros
positivos consecutivos interviene en los
problemas de conteo. En consecuencia la
siguiente notación (factorial) resultará
útil al trabajar en dichos problemas, ya
que a menudo nos permitirá expresar las
respuestas en forma más conveniente.
¿Qué son permutaciones?
Son los diferentes arreglos u ordenaciones que
se puede formar con una parte o con todos los
elementos disponibles de un conjunto.
En toda permutación, la característica principal
es el orden de sus elementos. Y debido a esto
una permutación es diferente de otra cuando el
orden de sus elementos es distinto.
Permutación lineal
Es un ordenamiento en fila. El número de
permutaciones que se pueden realizar con n
elementos tomándolos de r en r es:
P P(n,r) =
n!
(n-r)!
Donde
1 r n
r
n =
 
Ejemplos:
P( , )
!
( )!
!
!
7 2
7
7 2
7
5
= 7 6

= = ×
P( , )
!
!
11 3
11
8
= = 11×10×9
P
factores
(9,5) 9.8.7.6.5
5
=
P
factores
(13,3) 13.12 .11
3
 = 
Aplicación 10
Un juego de azar consiste en escoger en forma
ordenada 3 dígitos distintos. ¿De cuántas maneras
podríamos hacerlo?
Rpta: 720
Aplicación 11
De cuántos modos es posible fotografiar a 7
personas (en fila y en la misma posición) de modo
que dos de ellos en particular no se encuentren
junto.
Rpta: 4320
Aplicación 12
¿De cuántos modos podemos distribuir 4
personas, en dos grupos: A y B?
Rpta: 3
Permutación circ ular
Es un ordenamiento o arreglo de los elementos,
alrededor de un punto de referencia (formando
una línea cerrada).
Dado n objetos diferentes estos se pueden
ordenar circularmente y el total de ordenamiento
se calcula así:
P n !
(n)
C = ( −1)
Ejemplos:
P
(4)
C = 3! = 6
P
(6)
C = 5! = 120
Aplicación 14
Cinco parejas de esposos se ubican alrededor
de una fogata, de cuántas maneras podrían
ordenarse si:
a. Cada pareja debe estar junta.
b. Los varones y mujeres deben quedar
alternados.
Rpta: a. 4! × 25
b. 4! × 5!
Aplicación 15
Con 8 perlas de colores diferentes ¿cuántas
pulseras distintas se podrían confeccionar?
Rpta: 5040
Permutacio nes co n elementos repetido s
Es un ordenamiento o arreglo de elementos, en
los cuales algunos son de una misma clase.
Si se disponen de n elementos en los cuales hay:
n1 de una primera clase
n2 de una segunda clase
n3 de una tercera clase
.
.
.
nk de una k–ésima
Donde: n1 + n2 + n3 + … + nk ≤ n
El número de permutaciones en fila que se
pueden hacer con estos elementos se denota y
calcula así:
P(n n n n
n!
n n n n
1 2 3 k
1 2 3 k
, , , … , )
! ! ! … !
=
Aplicación 16
¿Cuántas palabras diferentes (con sentido o no),
se pueden formar con las letras de la palabra
banana?
Rpta: 30
Aplicación 17
Un estante tiene una capacidad para 5 libros
de análisis combinatorio de pasta azul, 3 de
estadística de pasta roja y 4 de probabilidades
de pasta amarilla. ¿De cuántas maneras puede
ordenarse los libros según el color?
Rpta: 27720
Aplicación 18
De cuántas maneras se puede llegar de A a B (sin
retroceder, ni ir por el mismo camino)
A
B
COMBINA CIONES
Son los diferentes grupos o subconjuntos que se
pueden formar con elementos de un conjunto
dado (tomando parte o todos a la vez).
Si se dispone de “n” elementos diferentes y se
les quiere “combinar” (agrupar) de “r” en “r” el
número de combinaciones se denota y se calcula
así:
C
n
r!(n-r)!
donde 0 < r n
r
n =  !
Ejemplos:
C C
3
5
8
11 = = 5
3 2
11
8 3
!
! . !
!
! !
Nota:
• C C
0
n
n
n = = 1
• C C
n n
x = y si x + y = n
• C C C C
0
n n
2
n
n
n n + + + + = 1
... 2
Aplicación 19
Al último seminario de aritmética llegaron 16
tardones, de los cuales, el coordinador sólo puede
dejar ingresar a 3. ¿De cuántas maneras los puede
escoger el coordinador, sin importar el orden en
que lo haga?
Rpta: 560
Aplicación 20
¿Cuántos comités de 6 personas se pueden formar
de un grupo de 9 personas?
Rpta: 84
Aplicación 21
En una reunión hay 10 varones y 5 mujeres; se van
a formar grupos de 3 personas. ¿Cuántos grupos
diferentes se formarían si sólo puede haber 2
mujeres en el grupo?
Rpta: 1200
INTRODUCCIÓN A LAS PROBABILIDADES
Conceptos previos
Experimento Aleatoio (ξ)
Llamaremos experimentos aleatorios aquellos
cuyos resultados no se pueden saber con exactitud
antes de su realización. Son experimentos que no
dan siempre el mismo resultado al repetirlos en
las mismas condiciones.
Ejemplo:
• ξ1 : Lanzar al aire un dado o una moneda.
• ξ2 : predecir la duración de una conversación
telefónica.
• ξ3 : lanzar un proyectil hacia un blanco
determinado.
Suceso elemental: (W)
Es el resultado de cada una de las realizaciones
del experimento aleatorio.
Ejemplos:
• Al lanzar una dado y anotar el resultado
de la cara superior, se pueden obtener los
siguientes sucesos elementales.
w1 = {1}; w2 = {2}; w3 = {3}; w4 = {4};
w5 = {5}; w6 = {6}
• Al lanzar una moneda y anotar el resultado
de la parte superior, se pueden obtener los
siguientes sucesos elementales:
w1 = {c}; w2 = {S}
Espacio Muestral: (Ω)
Viene a ser el conjunto de todos los sucesos
elementales, es decir, es el conjunto de todos
los resultados posibles que tiene el experimento
aleatorio.
Ejemplos:
• Del experimento aleatorio de lanzar un dado,
su espacio muestral sería:
Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
• Del experimento aleatorio de lanzar una
moneda, su espacio muestral sería:
Ω = {C, S}
Suceso: (A, B, C ...)
Viene a ser cualquier subconjunto del espacio
muestral, en otras palabras, viene a ser un
caso particular que se solicita del experimento
aleatorio.
Ejemplos:
• En el experimento correspondiente a lanzar
un dado, algunos sucesos son:
A : obtener número par
B : obtener número primo
C : obtener número impar menor que 5.
• Al lanzar tres monedas pueden darse los
siguientes sucesos:
A : obtener al menos una cara
B : obtener como máximo un sello
C : obtener exactamente dos caras
Observación:
• Como se observa, cada suceso está
compuesto por varios sucesos
elementales.
• Como los sucesos son subconjuntos de un
conjunto mayor que es el espacio muestral,
se pueden aplicar algunas propiedades de
conjuntos:
– A ∪ A’ = Ω
– A ∩ A’ = φ
– n(A ∪ B) = n(A) + n(B) – n(A ∩ B)
• Algunos libros suelen denominar evento a
un suceso.
Suceso imposible y Suceso seguro
Se llama suceso imposible a cualquier suceso
que sea igual al conjunto vacío (φ), y por lo tanto,
será un suceso que no se produce nunca. Se llama
suceso seguro a cualquier suceso que sea igual
al espacio muestral (Ω), y por lo tanto, será un
suceso que ocurre siempre.
Ejemplos:
• En el lanzamiento de un dado “es un suceso
imposible el obtener un número negativo”
y “es un suceso seguro obtener un número
menor que 8”.
• En el lanzamiento de una moneda, “obtener
cara y sello, a la vez, es un suceso imposible”
y “es suceso seguro el obtener cara o sello”.
Sucesos mutuamente excluyentes
(incompatibles)
Decimos que dos sucesos “A” y ”B” son
incompatibles si no pueden verificarse
simultáneamente, es decir, si A ∩ B = φ.
Sucesos independientes
Se dice que un suceso “B” es independiente de
otro “A” cuando el suceso “A” no influye en “B” y
viceversa.
Ejemplo:
• Se lanzan simultáneamente un dado y una
moneda anotándose el resultado obtenido.
Se dan los siguientes sucesos.
A : resulte en el dado un número par
B : resulte en la moneda cara
Observemos que la ocurrencia de un suceso
no influye en el otro y viceversa.
Observación:
Cuando dos sucesos no son independientes, se
llaman sucesos dependientes.
Antes de dar la noción de probabilidad hagamos
una breve referencia a sucesos que por su
simplicidad se prestan a ser experimentados.
Ejemplo 1
Supongamos que en una urna colocamos una
bolita blanca y una bolita negra. Vamos, ahora, a
extraer al azar una bolita y ver de qué color es.
En la extracción de una
bolita de la urna se
presentan dos casos:
a. Sale bolita blanca:
Casos favorables: 1
b. Sale bolita negra:
Casos favorables: 1
casos posibles: 2
Es evidente que la bola extraída es blanca o es
negra; es decir; tenemos dos posibilidades, cada
una de las cuales puede ocurrir por igual. Así,
hay un caso favorable de entre dos posibles
de que la bola extraída sea blanca (diremos que
la relación es de 1 a 2 ó 1/2). En forma análoga
establecemos la relación para el caso de la
extracción de una bola negra: 1/2 (otra vez: 1
caso favorable de entre dos casos posibles de que
la bola extraída sea negra). A dicha relación vamos
a llamarla, en estos momentos, probabilidad,
pero aún no daremos más detalles de lo que esto
significa, teniendo en cuenta lo anterior: la suma
de las probabilidades de que la bola sea blanca y
de que sea negra es:
1
2
1
2
+ = 1 , siendo 1 la certeza.
Ejemplo 2
Consideremos otra vez el modelo de la urna y
pongamos en ella tres bolitas: una blanca y dos
negras. Al ser el número de negras el doble del
número de blancas, podríamos pensar que es más
probable la extracción de una bola negra.
En la extracción de una:
a. bolita blanca:
casos favorables: 1
b. bolita negra:
casos favorables: 2
casos posibles: 3
Luego, la probabilidad de extraer una bola blanca
es 1/3 (1 caso favorable de un total de 3 casos
posibles) y la probabilidad de extraer una bola
negra es 2/3 (2 casos a favor de 3 posibles);
también aquí ocurre: 1
3
2
3
+ =1
Decir que la probabilidad de extraer una bola
blanca es 1/3 y de extraer una bola negra, 2/3
equivale teóricamente a afirmar que, repitiendo
la prueba tres veces, debería aparecer una vez
la blanca y dos veces la negra, repitiéndola seis
veces, debería presentarse dos veces la blanca y
cuatro veces la negra, y así sucesivamente. Pero si
se lleva a la práctica la experiencia, no podemos
excluir que se obtengan resultados absolutamente
contrapuestos a lo que se ha dicho antes, en el
sentido de que en el caso, por ejemplo, de las tres
pruebas puede presentarse dos veces la blanca o
bien tres veces la negra o la blanca.
Primera definición de prob abilidad
(definición clásica)
Cuando un experimento aleatorio es simétrico, es
decir, en un número muy grande de pruebas los
distintos sucesos ocurren con igual frecuencia
o todos los eventos son equiprobables, la
probabilidad de un suceso se obtiene dividiendo
el número de casos favorables al suceso entre el
número de casos posibles del experimento.
Luego: Si A es un evento de un espacio muestral
Ω, entonces la probabilidad de ocurrencia de A se
denota por P(A) y está dado por:
P(A)=
número de casos favorables
del evento A
número to

 

 
tal de casos posibles
(resultados posibles) en
n(A)
n( )

=

Esta definición, debida a Laplace, sólo es aplicable
a los experimentos aleatorios dotados de simetría
y, por lo tanto, tiene un alcance de aplicación muy
restringido.
Ejemplo 1
Se lanza un dado acompañado de una moneda.
Calcule la probabilidad de obtener:
a. Puntaje par acompañado de sello en la
moneda.
b. Puntaje no menor de 3 y acompañado de cara
en la moneda.
Resolución:
Luego:
a. El número de casos favorables al evento: sale
punto par y sello, es:
n(A) = 3
⇒ P(A) =
3
12
1
4
=
b. El número de casos favorables al evento: sale
puntaje no menor de 3 y acompaña de cara
en la moneda, es
n(4) = 4
⇒ P(A) =
4
12
= 1
3
Ejemplo 2
Determine la probabilidad de que, al lanzar un
dado, el resultado sea un número impar.
Resolución:
• Experimento aleatorio (ε):
Lanzamiento de un dado normal
• Espacio muestral (Ω):
Ω = {1; 2; 3; 4; 5, 6} n(Ω) = 6
• Evento (A):
El resultado es impar:
A = {1; 3; 5} n(A) = 3
P(A)=
n(A)
n()
= < > 3
6
1
2
Segunda definición de probabilidad
Condición de regularidad estadística (De
Richard Von Misses)
Dado un experimento aleatorio ε; sabemos
que en cada prueba que hagamos no podemos
predecir cuál de los sucesos que lo integran se va
a presentar (condición de azar); entonces:
“Cuando el número de pruebas se aumenta
indefinidamente, el cociente que resulta de dividir
el número de veces que ocurre un suceso por el
número total de pruebas (frecuencia relativa
del suceso) tiende a estabilizarse en torno a un
número fijo, que se llama la probabilidad de
dicho suceso”
Esta definición corresponde al gran científico
alemán Richard Von Misses, que junto con Henry
Poincare criticaron muy duramente la definición
de Laplace. En realidad, lo que ocurre es que la
definición de Laplace se puede aplicar a muy
pocos experimentos aleatorios, y no a los más
importantes en la práctica; pero si se cumplen
las condiciones de simetría del experimento
aleatorio es la más fácil de aplicar porque no
requiere experiencias a priori para decidir la
probabilidad de los sucesos simples que integran
el experimento aleatorio.
Pero sigamos viendo más ejemplos:
Ejemplo 3
¿Cuál es la probabilidad de obtener un “as” al
extraer una carta de una baraja de 52 cartas?
Resolución:
En este caso, como la baraja tiene 4 ases, y el
fenómeno es simétrico, pues no hay razones
para suponer que unas cartas saldrán con más
frecuencia que las otras; aplicando la definición
de Laplace, tendremos:
Probabilidad de obtener 1 “as”:
4
23
1
13
=
Ejemplo 4
Se tiene una baraja de 52 cartas y de ella se extrae
una al azar. Halle la probabilidad de que la carta
extraída:
a. sea un 8 de corazones
b. sea figura roja
c. represente su valor con una letra
Resolución:
a. En la baraja sólo existe un 8 de corazones, luego su probabilidad P
será: P =
1
52
.
b. Las figuras rojas son 13 corazones y 13 oros (cocos); entonces la
probabilidad que la carta extraída sea roja es 26
52
= 1
2
c. Las cartas que presentan su valor con una letra son: el once “J”, doce “Q”, trece “K” y el as “A”; como
cada uno tiene cuatro cartas, en total hay 16; luego la probabilidad es 16
52
4
13
= .
PROBLEMAS
3. Un microbús tiene 29 asientos para pasajeros,
distribuidos en 6 filas de 4 asientos, de cada uno,
con un pasillo en el medio y al final 5 asientos
juntos. ¿De cuántas maneras diferentes podrán
ubicarse 25 pasajeros de modo tal, que los 14
asientos que dan a las ventanillas y los asientos
del fondo queden ocupados?
A) P(29, 25) × 11!
B) C
25
29
C) P(25, 17) × P(12, 8)
D) P(23, 14) × P(14,11)
E) P(14, 14)
4. Un grupo musical está formado por tres
vocalistas, cinco músicos y dos del coro para
salir al escenario deben salir en fila debiendo
estar los del coro a los extremos y los
vocalistas no deben estar al costado del coro.
¿De cuántas maneras diferentes se pueden
ordenar en fila para salir a escenario?
A) 34300 B) 5120 C) 3000
D) 28800 E) 1200
1. Un estudiante debe contestar 7 de 10
preguntas de un examen ¿de cuántas maneras
se pueden escoger?
a. Las 7 preguntas.
b. Si las dos primeras son obligatorias.
c. Si debe contestar 3 de las seis primeras.
A) 120; 56; 20
B) 60; 28; 10
C) 240; 56; 40
D) 180; 14; 30
E) 120; 63; 24
2. Un estudiante planea matrícula en los cursos
A, B y C. Los horarios de A son a las 8; 11 y 15
horas, los de B son a las 8, 10 y 15 horas y los
de C a las 10, 12 y 15 horas, todos en el mismo
día. Si las clases son de una hora. ¡Cuántos
horarios distintos puede preparar en los 3
cursos de manera que no haya cruces?
A) 13 B) 15 C) 16
D) 14 E) 18
5. Seis hombres y seis mujeres compiten
realizando cierta tarea, si los seis primeros
puestos son ocupados por 4 hombres y 2
mujeres, determine el número de casos.
A) 4320 × 6!
B) 11200 × 6!
C) 3240 × 6!
D) 3600 × 6!
E) 225 × 6!
6. De cuántas maneras diferentes puede un
padre repartir 12 regalos entre sus 3 hijos, si
el mayor debe recibir 6 regalos y los menores
3 regalos cada uno.
A) 55440 B) 48260 C) 72320
D) 42620 E) 68320
7. Cinco estudiantes forman fila en una
ventanilla para realizar cierto trámite. De
cuántas maneras diferentes pueden formar
la fila si:
a. El más alto está siempre al comienzo.
b. El más alto y el más bajo deben estar en
extremos opuestos.
c. El más alto y el más bajo no deben estar
juntos.
A) 20; 12 y 48 B) 24; 6 y 48
C) 24; 12 y 72
D) 24; 12 y 54 E) 24; 12 y 48
8. Halle el número de maneras diferentes en que
se pueden formar números enteros positivos
con los dígitos 3, 4, 5, 6, 7 de manera que los
dígitos no se repitan.
A) 320 B) 325 C) 300
D) 120 E) 720
9. Calcule cuántos números del sistema nonario
con 5 cifras existen cuyo producto sea par o
cero.
A) 51464 B) 32200 C) 50440
D) 17200 E) 35400
10. Calcule cuántos triángulos existen en el
siguiente gráfico:
A) 36 B) 18 C) 72
D) 63 E) 42
11. Una compañía desea ascender a cuatro de
sus veinte empleados de confianza para los
cargos de gerente de ventas, finanzas, control
de calidad y gerente de sistemas. ¿Cuántas
opciones distintas se tiene para efectuar
estos ascensos?
A) 116280
B) 136500
C) 273000
D) 105000
E) 210000
12. Un palco de 4 asientos es vendido a 2 parejas.
¿De cuántas maneras diferentes podemos
acomodarlos si cada pareja quiere estar
junta?
A) 2 B) 16 C) 12
D) 8 E) 4
13. Suponga que un hombre tiene 12 bonos
financieros de ocho compañías distintas,
y que piensa regalarlos a sus hijos de la
siguiente manera: a su hijo mayor 5, a su
segundo hijo 4 y al menor 3. ¿De cuántas
formas puede repartir los bonos?
A) 27720 B) 5600 C) 8400
D) 420 E) 6300
14. De un grupo de 9 personas se quiere escoger
un grupo de 7 personas para abordar un bote
con 6 remos y con un timón. ¿De cuántas
maneras diferentes se pueden ubicar,
sabiendo que de las 9 personas sólo 3 pueden
llevar el timón?
A) 6!(72) B) 9!(42) C) 6!(84)
D) 9! 6! E) 6! (21)
15. ¿Cuántos comités de 5 personas se pueden
formar con un grupo de 8 personas, de tal
modo que la comisión tenga un presidente,
un vicepresidente, un secretario, un tesorero
y un vocal?
A) 6480 B) 6560 C) 6720
D) 6960 E) 4480
16. Si sobre una mesa se encuentran 12 bolas, de
las cuales 6 son blancas, 4 son negras y las
restantes de color rojo. ¿De cuántas maneras
diferentes se puede ordenar dichas bolas en
fila? si todas son del mismo tamaño.
A) 18360 B) 13860 C) 16830
D) 13800 E) 16800
17. Del capítulo Teoría de conjuntos, se formulan
20 proposiciones donde se tienen que
indicar si son verdaderas o falsas. ¿Cuántas
respuestas globales incorrectas se pueden
dar, si deben responderse todas?
A) 127000 B) 232000 C) 648000
D) 92800 E) 1048576
18. De cuántas maneras diferentes se puede
llegar de A hacia B (sin retroceder).
A
B
A) 127
B) 132
C) 350
D) 359
E) 370
19. Se lanzan dos dados insesgados (no cargados).
Halle la probabilidad de:
a. obtener una suma igual a 6.
b. obtener una diferencia igual a 2.
A)
7
36
;
2
3
B)
5
36
;
2
9
C) 11
36
1
4
;
D)
1
6
3
4
; E)
1
36
5
9
;
20. Se lanzan simultáneamente una moneda y un
dado. Calcule la probabilidad de obtener cara
y número par.
A) 1
4
B)
1
8
C)
1
2
D)
1
6
E)
3
5
21. Se lanzan simultáneamente 6 monedas. ¿Cuál
es la probabilidad de obtener 4 caras y 2
sellos?
A) 15
32
B)
3
64
C)
1
64
D)
15
64
E)
2
35
22. Por el día del padre se han reunido 25
padres de los alumnos del quinto grado “A” y
30 padres del quinto grado “B”, si se sortea
un premio. cuál es la probailidad de que el
afortunado sea un padre del quinto grado
“A”?
A)
6
11 B)
5
11
C) 11
25
D)
5
6
E)
1
2
23. Se escogen al azar 4 sillas entre 10, de las
cuales 6 son defectuosas. Halle la probabilidad
que de las escogidas 2 exactamente sean
defentuosas.
A)
1
6
B) 3
7
C)
4
35
D)
2
5
E)
2
3
24. En una urna se colocan 5 fichas numeradas
con 1, 2, 3, 4 y 5. Si se extraen al azar dos
fichas. ¿Cuál es la probabilidad de que sus
números sumen 7?
A) 1
5
B)
2
3
C)
5
7
D)
7
11
E)
1
3
25. Se lanzan 2 dados simultáneamente. Calcule
la probabilidad de obtener una suma igual a
un número primo.
A)
3
5
B)
2
7 C)
1
2
D)
2
9
E)
5
12
26. María, Roxana y otras siete personas se
sientan en una mesa circular. ¿Cuál es la
probabilidad de que María y Roxana queden
contiguas?
A)
1
4
B)
2
5
C)
3
7
D)
3
4
E)
3
5
27. Dos hombres y tres mujeres van al cine y
encuentran una fila de 5 asientos juntos, en
una misma fila, donde desean acomodarse.
Determine cuál es la probabilidad de que las
tres chicas no se sientan juntas.
A)
3
10
B)
7
10
C)
1
10
D)
2
3
E)
3
5
28. Se lanzan 3 monedas simultáneamente.
Calcule la probabilidad de no obtener
exactamente 2 caras.

Es la parte de la matemática que estudia el ordenamiento de las cosas o elementos

Factorial de un número

Sea “n” un número entero positivo, el factorial de “n”, se denota por n! o y se define como el producto de los enteros consecutivos desde 1 hasta n ó desde n hasta la unidad inclusive.

n! = 1 x 2 x 3 x 4 x … x (n – 1)n

Ejemplos:

1! = 1
2! = 1 x 2
3! = 1 x 2 x 3
4! = 1 x 2 x 3 x 4
5! = 1 x 2 x 3 x 4 x 5
6! = 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6
7! = 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x 7
8! = 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x 7 x 8
9! = 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x 7 x 8 x 9
10! = 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x 7 x 8 x 9 x 10

Se observa:

5! = 5 x 4!

Entonces: n! = n(n – 1)!

* Ejercicio

Calcular:

Resolución:

Factorizando 20!

Factorizando 22

Principios fundamentales del conteo

A. Principio de adición

Si una actividad “A” ocurre de “M” maneras y otra actividad “B” ocurre de “n” maneras, entonces la actividad A ó B, es decir, no simultáneamente, ocurre de (m + n) maneras.

Observaciones

1. En este principio, la ocurrencia no es simultánea es decir ocurre la actividad “A” o la actividad “B”, pero no ambos a la vez.

2. Este principio se puede generalizar para más de dos actividades.

Ejemplo 1

Liliana puede viajar de Lima a Huancayo por vía aérea o por vía terrestre, tiene a su disposición 3 líneas aéreas y 6 líneas terrestres. ¿De cuántas maneras distintas puede realizar el viaje?

Resolución:

Liliana viajará a Huancayo o bien por vía aérea o vía terrestre, nunca por ambas vías a la vez

Ejemplo 2

¿Cuántos resultados diferentes se puede obtener al lanzar un dado legal o una moneda?

Resolución

En moneda:
Þ {cara o sello} = 2 resultados

En el dado:
Þ {1; 2; 3; 4; 5 ó 6} = 6 resultados

Al lanzar un dado o una moneda se obtiene 6 + 2 = 8 resultados diferentes.

B. Principio de multiplicación
(Teorema fundamental del análisis combinatorio)

Si una actividad A ocurre de “m” maneras y para cada una de estas actividades, otra actividad B ocurre de “n” maneras entonces la actividad A seguido de la actividad B, ocurre de “m x n” maneras.

Observaciones:

1. En este principio, la ocurrencia es una a continuación de la otra, es decir ocurre la actividad “A” y luego ocurre la actividad “B”.
2. Este principio se puede generalizar para más de dos actividades.

Ejemplo 3

Emilia puede viajar de Tumbes a Lima por 3 caminos diferentes, y de Lima a Tacna por 2 caminos diferentes. ¿Por cuántos caminos diferentes puede viajar de Tumbes a Tacna pasando por Lima?

Resolución:

Total de caminos: 1A, 1B, 2A, 2B, 3A, 3B = 6 caminos diferentes.

Observación: Por cada camino de Tumbes a Lima hay 2 caminos de Lima a Tacna. Por lo tanto se puede calcular también así: 3 x 2 = 6 caminos.

Ejemplo 4

¿Cuántos resultados diferentes se puede obtener en el lanzamiento simultáneo de un dado legal y una moneda?

Resolución:

Cada resultado en la moneda se puede combinar con todos los resultados del dado.
Por lo tanto el total de resultados será: 2 x 6 = 12

Ejemplo 5

Jessica tiene a su disposición 4 blusas y 3 pantalones y 2 pares de zapatos todos de diferentes colores. ¿De cuántas maneras diferentes puede vestirse correctamente usando dichas prendas?

Resolución:

Observación: Cada blusa puede combinarse con cada uno de los pantalones y estos a su vez con cada par de zapatos.

PERMUTACIÓN

Una permutación es un arreglo de objetos de un conjunto en un orden particular.
En una permutación si interesa el orden de sus elementos.
Se pueden presentar tres casos:

Permutación lineal

Es un arreglo u ordenación de elementos en línea recta.

Ejemplo 6

¿De cuántas maneras diferentes se puede ubicar en fila 5 amigas?

Resolución:

Sean las amigas: A, B, C, D y E y P1, P2, P3, P4 y P5, los lugares a ubicarse. Entonces el lugar P1, lo pueden ocupar cualquiera de las 5 amigas, para el lugar P2 habrían solo 4 amigas disponibles, para el lugar P3, cualquiera de las 3 restantes y así sucesivamente. Así tenemos:

Luego:

Cuando intervienen todos los elementos a la vez.

Ejemplo 7

¿De cuántas maneras diferentes se podrán ubicar en fila 6 amigas (Marisol, Jessica, Norma, Natalie, Analia y Evelyn). Si Natalie, Evelyn y Norma estarán siempre juntas?

Resolución:

Entonces será una permutación de 4 elementos:
P4 = 4! = 24; pero internamente y sin separarse las 3 amigas que están juntas podrán cambiar de lugar, y lo harán de: P3 = 3! = 6 maneras.
Luego el número de maneras diferentes que podrán ordenarse estas 6 amigas estará dado por:

P4 x P3 = 24 x 6 = 144

Ejemplo 8

¿De cuántas maneras diferentes se podrán ubicar 6 personas en una banca con capacidad solo para 4 personas, si 2 siempre estarán a la espera?

Resolución:

Cuando no intervienen todas las personas a la vez.
Permutación circular

PCn = (n – 1)!

Ejemplo 1

¿De cuántas maneras diferentes 4 amigos se podrán ubicar alrededor de una mesa circular?

Resolución:

Se toma un lugar como punto de referencia, eso implica que a los otros tres lugares se les tomará como si fuese una permutación lineal.

PC4 = (4 – 1)! = 3! = 6

Ejemplo 2

¿De cuántas maneras diferentes 6 amigos se ubicarán alrededor de una mesa circular, si Juan y José estarán siempre juntos?

Resolución:

Permutación con elementos repetidos

donde: a, b, q, … , son las veces que se repiten un mismo elemento en un mismo grupo.

Ejemplo 3

¿Cuántas palabras diferentes se pueden formar con todas las letras de la palabra CARRETA, sin importar que las palabras tengan o no sentido?

Resolución:

CARRETA tiene 7 letras (7 elementos) donde la letra “A” se repite 2 veces y la letra “R” se repite también 2 veces entonces:

Ejemplo 4

Federico tiene 7 banderas del mismo tamaño y modelo (2 blancas, 2 rojas y 3 azules) ¿Cuántas señales diferentes podrá hacer, si las iza todas a la vez en un mismo mástil?

Resolución:

Combinación

La selección de un grupo de objetos de un conjunto sin tener en cuenta el orden en el que estos son elegidos es llamada combinación

donde: 0 < m £ n

Ejemplo 5

¿De cuántas maneras diferentes se puede seleccionar 2 alumnos de un total de 5 alumnos?

Resolución:

Seleccionar a María y a José es lo mismo que seleccionar a José y a María; nos damos cuenta que no interesa el orden en que estos personajes fueron seleccionados, luego decimos que:

Ejemplo 6

Con las frutas: Plátano, manzana, papaya y fresa, ¿cuántos jugos surtidos de 2 frutas se podrá hacer?

Resolución:

El jugo de papaya con plátano tiene el mismo sabor que el plátano con papaya, verás que no interesa el orden en que han sido seleccionadas las frutas.

Por lo tanto diremos que es una:

1. ¿De cuántas maneras diferentes se pueden comprar 3 refrescos en una tienda donde lo ofrecen en 4 sabores distintos, sin mezclarlos?

2. ¿Cuántos números de cuatro cifras pueden formarse con 5 bolillas numeradas con los dígitos 2; 3; 5; 7 y 8?

3. A partir del gráfico:

¿De cuántas maneras se puede ir de “A” hacia “B” sin retroceder?

4. Determina “p” tal que: p!=(215) (36) (53) (72) (11) (13)

5. Mónica desea comprar una fruta, va al supermercado “NETRO” y aquí encuentra 6 manzanas, 9 plátanos y 13 melones. ¿De cuántas maneras puede realizar su compra? (todas las frutas son diferentes)

6. Si Noemí tiene para vestirse 5 pantalones, 3 minifaldas, 6 blusas, 4 polos (3 iguales) y 8 pares de zapatos, ¿de cuántas maneras podría vestirse?

7. ¿De cuántas maneras pueden sentarse 5 personas en una fila de 5 asientos?

8. Simplificar:

9. ¿De cuántas maneras diferentes podrá viajar una persona de “A” a “D” sin retroceder?

10. ¿De cuántas maneras pueden sentarse 5 amigos en una misma fila, si Julio debe ir en un extremo?

11. Con 4 oficiales y 8 soldados, cuántos grupos de 6 diferentes pueden formarse de manera que:

A. En cada grupo entra un oficial
B. Cuando menos un oficial

12. Calcular “P”

13. De la palabra EUCALIPTO se escogen 2 consonantes y 3 vocales diferentes. ¿Cuántas palabras de 5 letras pueden formarse sin que las palabras tengan necesariamente significado?

14. De 8 personas se necesitan 3 para:
 Formar un comité de 3 miembros.
 Formar una junta directiva con 3 cargos diferentes.
 Formar un comité de 3 miembros donde siempre esté Juan.
 Formar una junta directiva con 3 cargos diferentes con Juan como presidente.
Dar como respuesta la suma de los resultados.

15. La nona Ayda acostumbra darle a su bebé papillas 4 días a la semana, no necesariamente juntos y los días restantes una sopa especial. ¿De cuántos modos podrá distribuir estos alimentos durante la semana, si diariamente o da papilla o da sopa especial?

16. Un monomio de tres letras “x”, “y”, “z” y de exponentes 5; 6 y 7. ¿De cuántas maneras distintas pueden escribirse, teniendo en cuenta el orden de la colocación de letras y exponentes?

17. En un lado de un triángulo se escogen 2 puntos diferentes (no se toma los vértices). ¿Cuántos triángulos se pueden formar con los puntos formados de cada lado?

18. En un internado, una sección tiene 5 habitaciones, distribuida de la siguiente manera: 2 a la derecha del corredor, 2 a la izquierda y uno al final del mismo corredor, ¿de cuántas maneras diferentes se pueden ubicar 5 alumnos, cada uno en una habitación diferente, si en particular 2 de ellos no desean estar al final del corredor?

19. Adan, Beto y Carlos llegan a la ciudad y visitan 3 hoteles. ¿De cuántas maneras diferentes pueden ocupar cada uno una habitación, si además desean estar en hoteles diferentes? En el primer hotel hay 3 habitaciones libres, en el segundo hotel hay 4 y en el último 2.

10. Ana, Betty y Cecilia van de campamento con 3 muchachas más, ¿de cuántas maneras diferentes se pueden ubicar alrededor de una fogata, si entre dos chicas hay un muchacho?

PRIMERA GUIA DE PREGUNTAS DE CLASE

1. Simplificar:

a) 100 b) 102 c) 104
d) 200 e) 2004

2. Cuál es la cifra terminal de:

E = 1! + 3! + 5! + 7! + … + 99!

a) 1 b) 0 c) 3
d) 2 e) 5

3. Calcular:

a) 22 b) 20 c) 21
d) 42 e) 1

4. Silvia Pilar tiene a su disposición 4 blusas y 6 faldas. ¿De cuántas maneras diferentes podrá vestirse utilizando dichas prendas, si todas son de diferentes colores?

a) 16 b) 10 c) 24
d) 48 e) 12

5. Del problema anterior, ¿de cuántas maneras podrá vestirse con dichas prendas, si la blusa blanca se la pondrá siempre con la falda negra?

a) 20 b) 18 c) 17
d) 19 e) 21

6. ¿Cuántos resultados diferentes se puede obtener al lanzar simultáneamente un dado y 3 monedas?

a) 36 b) 48 c) 64
d) 144 e) 24

7. ¿Cuántos resultados diferentes se podrá obtener en el lanzamiento simultáneo de 2 dados y 4 monedas?

a) 624 b) 498 c) 600
d) 712 e) 576

8. ¿Cuántos resultados diferentes se podrá obtener al lanzar 2 dados o 3 monedas?

a) 48 b) 52 c) 144
d) 36 e) 44
9. Cinco amigas, ¿de cuántas maneras diferentes podrán hacer cola para comprar pan, si claudia estará siempre adelante y Andrea siempre estará última?

a) 24 b) 10 c) 6
d) 12 e) 8

10. Seis amigos (3 hombres y 3 mujeres), ¿de cuántas maneras diferentes podrán ubicarse en fila, si en ningún momento 2 personas del mismo sexo estarán juntas?

a) 48 b) 144 c) 36
d) 72 e) 24

11. ¿De cuántas maneras diferentes siete amigos se podrán ubicar en fila, si 3 amigos en particular (Luis, Rimmel y Alex), estarán siempre juntos?

a) 360 b) 1 440 c) 840
d) 720 e) 640

12. Depositamos en una urna 6 bolas numeradas del 1 al 6 y en otra urna 3 bolas numeradas del 7 al 9. Sacamos una bola de cada urna y con los números obtenidos formamos un numeral (de 2 cifras). ¿Cuántos son todos los posibles valores de este numeral?

a) 32 b) 36 c) 18
d) 40 e) 24

13. ¿Cuántas señales diferentes de 2 banderas, se podrán hacer, si se dispone de 8 banderas de diferentes colores?

a) 28 b) 72 c) 48
d) 56 e) 36

14. ¿De cuántas maneras diferentes 6 amigos se podrán ubicar dentro de un auto sólo con capacidad para 4, si Edwin será siempre el conductor?

a) 60 b) 20 c) 64
d) 36 e) 72

15. ¿De cuántas maneras diferentes 7 amigos podrán ubicarse en fila, si Sebastián y Matías estarán siempre en los extremos y además Alessandro estará en el medio?

a) 64 b) 96 c) 24
d) 36 e) 48

NIVEL II

1. ¿De cuántas maneras diferentes 4 varones y 3 mujeres, se podrán ubicar en fila, juntos los varones y juntas las mujeres?
a) 144 b) 288 c) 280
d) 320 e) 196

2. ¿De cuántas maneras diferentes se podrá ir de “A” a “B”, sin retroceder en ningún momento?

a) 15 b) 16 c) 17
d) 18 e) 20

3. ¿De cuántas maneras diferentes 6 amigos A, B, C, D, E y F, pueden ubicarse en fila, si A y B estarán siempre juntos y en un extremo?

a) 24 b) 48 c) 36
d) 96 e) 120

4. Con todas las letras de la palabra SARGENTO, ¿cuántas palabras diferentes se podrán formar, sin importar que tengan o no sentido y además todas las palabras deben empezar por la letra “S” y llevar consigo la sílaba “TO”?

a) 600 b) 120 c) 720
d) 5040 e) 360

5. ¿Cuántos resultados diferentes se podrá obtener en el lanzamiento simultáneo de 3 dados y 5 monedas?

a) 6 726 b) 8 242 c) 6 912
d) 3 806 e) 4 121

6. ¿De cuántas maneras diferentes se puede seleccionar una casilla blanca y una negra, de tal manera que no estén en la misma vertical ni horizontal?

a) 48 b) 16 c) 56
d) 24 e) 32

7. El capitán de un yate solicita 2 oficiales y 4 marineros; pero se presentan 4 oficiales y 6 marineros.
¿De cuántas maneras diferentes se podrá elegir la tripulación si tanto los oficiales como los marineros deben desempeñar cargos diferentes?

a) 4 280 b) 4 360 c) 4 320
d) 5 040 e) 5 080

8. José Manuel tiene 4 pantalones y 6 camisas (2 pantalones del mismo color y 3 camisas del mismo color), ¿de cuántas maneras diferentes podrá vestirse correctamente?

a) 6 b) 24 c) 18
d) 12 e) 16

9. Con todas las letras de la palabra AMORES, ¿de cuántas maneras diferentes se podrá elegir una vocal y una consonante de tal manera que el par de letras así escogidas tengan distinto sonido?

a) 15 b) 16 c) 24
d) 9 e) 18

NIVEL III

1. El aula especial del colegio consta de 20 alumnos, a los cuales se les toma el examen final. ¿Cuántas opciones distintas se tiene para ocupar los 3 primeros puestos, si no hay empate?

a) 6 860 b) 6 480 c) 6 720
d) 6 840 e) 6 920

2. ¿De cuántas maneras diferentes 8 amigos se podrán ubicar dentro de un auto con capacidad para 5, si Roberto o Juan será el conductor?

a) 1 740 b) 1 490 c) 1 640
d) 1 860 e) 1 680

3. ¿De cuántas maneras diferentes 6 amigas: Marisol, Analia, Lisseth, Ornella, Norma y Caroll, se podrán ubicar en una carpeta con capacidad para 6, si en ningún momento Marisol y Norma estarán juntos y además Analia estará en el extremo?

a) 288 b) 144 c) 100
d) 72 e) 120

4. ¿De cuántas maneras se podrá viajar de “P” a “Q”, ida y vuelta, si el camino de regreso tiene que ser distinto al de ida?

a) 23 b) 24 c) 121
d) 132 e) 144

5. ¿Cuántas placas de automóviles de 6 símbolos se podrá confeccionar, si los 2 primeros símbolos deben ser vocales y los restantes dígitos (del 0 al 9)?

a) 156 200 b) 200 000 c) 250 000
d) 10 080 e) 24 200

6. ¿De cuántas formas se puede sentar en una fila de 5 asientos, 2 hombres, 2 mujeres y un niño de modo que a la derecha e izquierda se encuentra siempre una mujer?

a) 10 b) 11 c) 12
d) 14 e) 16

7. Jaime ha visto un atropello en el cual se dio a la fuga el chofer responsable. Investigando por las autoridades, Jaime solo recuerda que las 3 primeras cifras de la placa del automóvil era 523, no recordando acerca de los 4 dígitos que le faltan, mas que todos ellos eran diferentes entre si y a los que ya recordó. ¿Cuántos números de placas diferentes tendrá que investigar la policía?

a) 1 860 b) 840 c) 180
d) 70 e) 96

8. Si: (k + 1)! + k! = 24k + 48
Hallar “k”

a) 2 b) 5 c) 6
d) 4 e) 3

9. Elena tiene 6 faldas y 4 blusas de diferentes modelos. ¿De cuántas maneras puede vestirse, si la blusa del modelo “A” puede usarse solamente con la falda del modelo “Z”?

a) 20 b) 24 c) 23
d) 22 e) 19

10. En una carrera participan 5 atletas. ¿De cuántas maneras distintas puede llegar a la meta, si llegan uno a continuación del otro?

a) 360 b) 120 c) 240
d) 720 e) 60
EJERCICIOS COMPLEMENTARIOS
1. Del esquema:

¿De cuántas maneras diferentes se podrá ir de “A” a “C” pasando por “B”?

2. ¿De cuántas maneras ida y vuelta?

3. ¿De cuántas maneras ida y vuelta, y que además el camino de vuelta tiene que ser distinto al de ida?

4. Alfredo tiene a su disposición 4 pantalones y 6 camisas todos de diferentes colores. ¿De cuántas maneras diferentes podrá vestirse usando pantalón y camisa?

5. Del problema anterior, ¿de cuántas maneras diferentes se podrá vestir si el pantalón negro se lo pondrá siempre con la camisa celeste?

6. Se lanzan en simultáneo un dado y 3 monedas. ¿Cuántos resultados posibles se podrá obtener?

7. Se lanza un dado o 3 monedas. ¿Cuántos resultados posibles se podrá obtener?

8. ¿Cuántas palabras diferentes se podrá formar con todas las letras de la palabra ESTADIO?

9. Del problema anterior, ¿cuántas palabras se podrán formar, si todas deben terminar en “O”?

10. ¿Cuántas palabras se podrán formar con todas las letras de la palabra TRIPLE, si la “L” y la “E”, no pueden estar juntas?

11. Simplificar:

12. Una persona puede viajar de “A” a “B” por vía aérea o por vía terrestre y tiene a su disposición 2 líneas aéreas y 5 líneas terrestres. ¿De cuántas maneras distintas puede realizar el viaje?

13. Sebastián tiene 5 camisas diferentes y 6 pantalones también diferentes. ¿De cuántas maneras se puede vestir Sebastián?

14. Hallar el valor de “m”, si:
(m + 1)! (m – 1)! = 36m + (m!)2

15. ¿Cuántas placas de automóviles de 8 símbolos pueden hacerse, siendo las primeras vocales y los 5 últimos dígitos son diferentes?

16. Un club tiene 24 miembros, de los cuales 20 son hombres, ¿cuántas juntas directivas de 3 miembros: presidente, vicepresidente y vocal, pueden formarse, si el presidente debe ser una mujer y el vicepresidente un hombre?

17. Calcular “x” en:

18.¿De cuántas maneras diferentes se pueden colocar 12 libros iguales en un estante cuya forma es la que se indica en la figura, si se desea que en cada casilla haya a lo más un libro y en cada fila y en cada columna 3 libros?

19. Andrea tiene 4 pantalones, 3 blusas y 5 faldas. ¿De cuántas maneras diferentes podrá vestirse correctamente?

20. El aula “especial” de la academia consta de 15 alumnos a los cuales se les toma el examen final. ¿Cuántas opciones distintas se tiene para ocupar los 4 primeros puestos, si no hay empate?

21. Siete amigos, ¿de cuántas maneras se podrán ubicar en fila, si Betty y Roxana estarán siempre juntos?

22. Del problema anterior, ¿de cuántas maneras se podrán ubicar, si Betty y Roxana estarán siempre en los extremos?
23. Calcular:

24. Se puede adquirir un producto en 3 mercados diferentes. En el primero es posible en 6 tiendas, en el segundo en 5 y en el tercer mercado en 4 tiendas. ¿De cuántas maneras podrá adquirir dicho producto?

25. De mi casa al colegio hay 9 caminos. ¿De cuántas maneras puedo ir y regresar si de regreso no puedo usar el camino de ida?

26. Si hay 5 candidatos para presidente y 6 para alcalde. ¿De cuántas maneras se pueden elegir estos dos cargos?

27. Una persona tiene para vestirse 5 pantalones; 4 camisas y 3 pares de zapatos. ¿De cuántas maneras se podrá vestir?

28. Calcular el valor de la siguiente expresión:

29. ¿Por cuántos caminos diferentes se puede ir de “A” a “B”?

30. Del problema anterior, ¿de cuántas maneras diferentes se puede ir de “A” a “B” pasando por “D” y no por “C”?
SEGUNDA GUIA DE PREGUNTAS DE CLASE
1. ¿Cuántas palabras diferentes se pueden formar con todas las letras de la palabra PAPAYA, sin importar el significado de las palabras?

a) 30 b) 360 c) 60
d) 72 e) 720

2. ¿De cuántas maneras diferentes 7 amigos se ubicarán alrededor de una mesa circular, si Andrea y Piero estarán siempre juntos?

a) 24 b) 60 c) 120
d) 240 e) 360

3. Del problema anterior, ¿de cuántas maneras se ubicarán, si Andrea y Piero no estarán juntos?

a) 360 b) 600 c) 240
d) 480 e) 540

4. Con las pesas de: 2 kg, 3 kg, 7 kg y 10 kg, ¿cuántas pesadas diferentes se podrán hacer, tomándolas de 2 en 2?

a) 6 b) 4 c) 12
d) 8 e) 10

5. Sebastián quiere ir al cine acompañado de 2 amigas; pero se presentan 7 amigas. ¿De cuántas maneras diferentes puede ir Sebastián acompañado de 2 amigas?

a) 20 b) 36 c) 42
d) 15 e) 21

6. Con los dígitos: 1; 3; 5; 6; 7 y 9. ¿Cuántos productos diferentes se podrán formar, tomando a los dígitos de 2 en 2?

a) 30 b) 24 c) 28
d) 18 e) 15

7. Ocho amigos se sientan alrededor de una mesa circular. ¿De cuántas maneras diferentes lo podrán hacer, si Matías, Alessandro, Juan y Diego, no podrán estar juntos?

a) 5 796 b) 4 796 c) 4 464
d) 5 478 e) 5 844

8. En un campeonato de fútbol donde juegan todos contra todos participan 10 equipos. ¿Cuántos partidos se podrán realizar?

a) 16 b) 30 c) 50
d) 28 e) 45
9. Del problema anterior, ¿cuántos partidos más se podrán realizar, si llegan 2 equipos más?

a) 2 b) 21 c) 42
d) 19 e) 12
10. ¿De cuántas maneras se puede seleccionar 3 camisas de un total de 6 camisas diferentes?

a) 16 b) 12 c) 28
d) 20 e) 21

11. Con todas las letras de la palabra ARAÑA, ¿cuántas palabras diferentes se podrán formar, sin importar que las palabras tengan o no sentido?

a) 40 b) 28 c) 20
d) 10 e) 16

12. Con 8 puntos no colineales y coplanares, ¿cuántos segmentos se podrán formar?

a) 16 b) 30 c) 24
d) 28 e) 32

13. Del problema anterior, ¿cuántos triángulos se podrán formar?

a) 54 b) 56 c) 52
d) 50 e) 48

14. ¿Cuántos jugos surtidos se pueden hacer con 4 frutas diferentes?

a) 15 b) 10 c) 11
d) 12 e) 9

15. ¿Cuántos mensajes diferentes se pueden enviar de un barco a otro con 6 banderolas de diferentes colores, izándolas de 2 en 2?

a) 15 b) 30 c) 210
d) 120 e) 144

NIVEL II

1. ¿Cuántos cuadriláteros se pueden formar tomando como vértices los puntos mostrados en la circunferencia?

a) 10 b) 15 c) 30
d) 6 e) 9
2. Del problema anterior, ¿cuántos triángulos se pueden formar tomando como vértices los puntos mostrados?

a) 12 b) 24 c) 15
d) 20 e) 10

3. Calcular “n” de la siguiente igualdad:

a) 7 b) 9 c) 8
d) 12 e) 18

4. Se tienen 7 colores distintos. ¿Cuántas banderas diferentes de 3 posiciones rectangulares y verticales se pueden formar?

a) 180 b) 210 c) 240
d) 280 e) 320

5. ¿Cuántos grupos de 4 personas se pueden formar con 6 personas?

a) 12 b) 15 c) 18
d) 21 e) 30

6. Se extraen dos cartas de un juego de 52 cartas, ¿de cuántas maneras se puede hacer esto?

a) 1 250 b) 1 326 c) 1 350
d) 1 400 e) 1 260

7. En una reunión hay 30 personas. ¿Cuántos apretones de manos se produjeron al saludarse todos ellos entre sí?

a) 415 b) 425 c) 435
d) 465 e) 495

8. Se tiene 8 puntos en el plano, de los cuales 3 ó más no pueden estar en línea recta. ¿Cuántos segmentos diferentes se podrán formar?

a) 56 b) 28 c) 8!
d) 336 e) 168

9. Un marino tiene 7 banderolas del mismo tamaño, pero de colores diferentes. Si las iza en un mástil, una a continuación de otra, ¿cuántas señales diferentes podrán hacer 3 de ellas?

a) 35 b) 210 c) 5 040
d) 6 e) 21

10. Con 5 de ellas, pero la primera siempre blanca y la última amarilla.

a) 60 b) 10 c) 120
d) 210 e) 20

NIVEL III

Se tienen 4 libros de Raz. Matemático y 3 de Raz. Verbal.

1. ¿De cuántas maneras diferentes se podrán ordenar en un estante, uno a continuación del otro?

a) 24 b) 12 c) 5 040
d) 144 e) 288

2. ¿De cuántas, si de izquierda a derecha deben ir los de R.M. primero y luego los de R.V.?

a) 24 b) 12 c) 5 040
d) 144 e) 288

3. El capitán de un yate solicita 3 marineros, pero se presentan 7. ¿De cuántas maneras diferentes podrá elegir la tripulación?

a) 35 b) 210 c) 5 040
d) 21 e) 6

4. ¿De cuántas, si Sandro debe pertenecer a la tripulación y además cada uno debe desempeñar un cargo diferente?

a) 30 b) 60 c) 90
d) 15 e) 20

5. De 8 candidatos se desea elegir a un presidente, un secretario y un tesorero. ¿Cuántas directivas diferentes se podrán formar?

a) 336 b) 56 c) 81
d) 4 e) 24
6. Se quiere formar comisiones integradas por un doctor y 2 ingenieros de un grupo de 4 doctores. Se podría nombrar dicha comisión, si cierto doctor rehusa integrar la comisión estando el ingeniero “A” o el ingeniero “B” presente en dicha comisión. (“A” y “B” son parte de los 6 ingenieros señalados)

a) 45 b) 46 c) 51
d) 66 e) 65
7. Carolina tiene 8 amigos de confianza y desea hacer una reunión, ¿de cuántas maneras diferentes puede enviar a 5 de ellas, si 2 de ellas no se llevan bien y no asisten juntas?

a) 3 b) 5 c) 7
d) 9 e) N.A.

8. Determinar la última cifra del resultado:

1x(2!)+2x(3!)+3x(4!)+4x(5!)+…+19x(20!)+20x(21!)

a) 3 b) 4 c) 5
d) 6 e) 7

9. ¿De cuántas maneras diferentes se pueden sentar 8 personas en una mesa redonda de 4 asientos, si además, 4 deben esperar?

a) 1 032 b) 756 c) 8!
d) 1 680 e) 420

10. En un examen se proponen 6 temas para que el alumno escoja cuatro. ¿De cuántas maneras podrá hacerlo?

a) 30 b) 15 c) 360
d) 180 e) 60
EJERCICIOS COMPLEMENTARIOS
1. ¿De cuántas maneras puede elegirse 3 personas para ejecutar un trabajo si se dispone de 6 personas con igual eficiencia?

2. Diez invitados se han dividido en 2 grupos de 5 para ocupar 2 mesas. ¿De cuántas maneras puede repartirse a los invitados en dichos grupos?

3. ¿De cuántas maneras diferentes puede ser contestado un formulario de 10 preguntas, si cada una se contesta con un si o un no?

4. ¿De cuántas maneras diferentes se pueden repartir tres premios a tres personas, si cada uno debe recibir por lo menos un premio?

5. ¿De cuántas maneras puede un padre repartir un par de premios entre sus 4 hijos, si no puede repartir ambos premios a un mismo hijo?

6. Una composición musical tiene 5 notas. ¿Cuántas melodias diferentes se pueden componer si cada nota interviene una vez?

7. Cuatro personas entran en un vagón de ferrocarril en el que hay 7 asientos. ¿De cuántas maneras diferentes pueden ubicarse?

8. ¿De cuántas maneras pueden ubicarse 5 personas en una fila de 5 asientos?

9. Se deben seleccionar 2 personas para ocupar los cargos de Director y Subdirector de un grupo de 5 personas igualmente capacitadas. ¿De cuántas maneras se pueden ocupar dichos cargos?

10. ¿Cuántos números enteros mayores que 10 y menores que 100, se pueden formar con las 8 primeras cifras significativas (1; 2; … 8), siendo las cifras diferentes?

11. Con 7 banderas de diferentes colores. ¿Cuántas señales distintas de 3 banderas se pueden hacer?

12. Se tienen 12 puntos coplanares, no situados 3 de ellos en línea recta. ¿De cuántas maneras pueden formarse triángulos teniendo a un punto determinado como vértice?

13. ¿Cuántas palabras diferentes (sin importar su sentido) se pueden formar intercambiando de lugar las letras de la palabra “PROBLEMA”?

14. En una oficina hay 4 escritorios que pueden ser ocupados c/u hasta por 2 personas. Si hay 3 secretarias, ¿de cuántas maneras pueden sentarse?

15. Juan ve desde la ventana de una casa, que las personas allí reunidas se han dado en total 105 apretones de manos. Diga Ud. ¿cuántas personas ha visto Juan?

16. En un estante hay 5 libros de Aritmética y 7 de Geografía. ¿De cuántas maneras diferentes pueden escogerse 2 libros de Aritmética y 5 de Geografía?

17. Una bolsa contiene 4 bolas blancas, 2 negras y 3 rojas. Calcular el número de formas que se pueden seleccionar 5 bolas de modo que 2 sean blancas, 1 sea negra y 2 sean rojas.

18. Tenemos una urna con 7 bolas numeradas y se quiere saber de cuántas maneras podemos sacar, primero 2 bolas, luego 3 y finalmente las 2 últimas.

19. En el problema anterior, si las bolas que se van sacando se regresan a la urna, ¿de cuántas maneras podemos sacar las bolas?

20. ¿De cuántas maneras se puede distribuir 9 juguetes entre 4 niños si el menor recibe 3 juguetes y cada uno de los restantes recibe 2?

21. ¿De cuántas maneras diferentes se pueden acomodar 6 personas en un auto de 5 asientos, sabiendo que sólo 2 de ellos manejan y que una persona no viajará en el auto?

22. En el consejo de una ciudad hay 10 consejales y 6 regidores. ¿Cuántos comités pueden conformarse si deben constar de 8 consejales y 3 regidores?

23. Un club tiene 8 miembros, los cuales han pagado sus aportes correspondientes al mes de Enero. El tesorero ha perdido la hoja en la que figuraba el nombre de cada persona con su respectivo aporte, sin embargo se acuerda de todos los nombres y de todos los aportes que le hicieron. ¿Cuántas hojas diferentes deberá hacer para que en una de ellas figure cada nombre con su respectivo aporte?

24. Con 4 atletas y 8 nadadores, ¿cuántos grupos pueden formarse de 6 integrantes c/u, de tal manera que en cada grupo entre tres atletas y tres nadadores?

25. Con las frutas: piña, manzana, papaya y naranja. ¿Cuántos jugos de diferentes sabor se podrán hacer?

26. El capitán de un yate solicitó, 2 oficiales y 3 marineros. Si se presentaron 5 oficiales y 6 marineros, ¿de cuántas maneras diferentes se podrá elegir la tripulación?

27. ¿De cuántas maneras diferentes podrían ubicarse siete personas, si deben ubicarse alternadamente hombres y mujeres, sabiendo que son 3 mujeres?

28. ¿Cuántos productos diferentes de 3 factores pueden formarse con los números 7; 9; 11; 13 y 17?

29. ¿De cuántas maneras diferentes se pueden ubicar 5 personas en una hilera de 5 butacas, sí dos de ellos no deben estar juntos?

30. Se tiene 6 números positivos y 8 números negativos, se eligen 4 números arbitrariamente sin sustitución y se multiplican. ¿De cuántas formas el producto es un número positivo?