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NUMEROS RACIONALES EJERCICIOS Y PROBLEMAS RESUELTOS EN PDF Y VIDEOS

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FRACCIONES DECIMALES

Al concluir el estudio de este capítulo el alumno será capaz de:
* Justificar la necesidad de ampliar el conjunto de los números enteros.
* Reconocer un número racional .
* Construir el conjunto de los números racionales a partir de la relación de equivalencia.
* Identificar e interpretar a las fracciones.
* Identificar fracciones propias e impropias .
* Identificar y plantear fracciones equivalentes a una fracción dada .
* Efectuar operaciones básicas con fracciones .
* Calcular el M.C.D. y el M.C.M. de fracciones .
* Identificar números decimales .
* Clasificar números decimales .
* Obtener la fracción generatriz de un número decimal .
* Resolver ejercicios básicos y problemas cotidianos en los que intervengan números racionales.
* Obtener los números avales e interpretarlos.
* Efectuar cambios de base con los números avales.
* Reconocer a las fracciones continuas y clasificarlas.
* Expresar un número racional como una fracción continua.
INTRODUCCIÓN :
Nuestros antepasados de la Edad de Piedra no tuvieron necesidad de usar fracciones, pero parece ser que durante la Edad de Bronce apareció por primera vez la noción y notación de fracción. Pruebas de esto las encontramos en el Papiro de Ahmes, donde figura el uso de fracciones unitarias (numerador la unidad), las cuales se utilizaban para calcular otras ; fracciones con numerador diferente de la unidad , como por ejemplo 2/7 = 1/4 + 1/28, la excepción a esla regla la constituía la fracción 2/3 a la cual le asignaban un papel especial
Mediante esta idea ellos expresaron 2/n como suma de fracciones unitarias para valores impares de n, desde 5 hasta 101.
Podemos mencionar que la definición de proporción dada por Eudoxo no esta muy alejada de la definición de número real dada por las cortaduras de Dedekind en siglo XIX , y a su vez este concepto dado conjuga con el de los números racionales, habiendo una cantidad ilimitada de ellos.



1. Construcción del Conjunto de los números racionales
Los números enteros y los fraccionarios pasan a integrar el conjunto de los números racionales que se simbolizan por Q.

Gráficamente:

2. Representación de Q en la recta numérica
Sabemos que el conjunto Z se representa en la recta numérica así:

También las fracciones pueden ser ubicadas en la recta numérica sea por las divisiones sucesivas (de mitad en mitad) o por el uso de las escuadras y el compás para dividir un segmento de recta.

De la gráfica anterior se deduce que:

I. Las subdivisiones de la recta numérica es infinita.
II. Entre dos números racionales siempre será posible hallar al menos otro.
III. No es posible hallar el siguiente o el anterior valor de un número racional cualesquiera.
IV. Que un mismo punto en la recta numérica puede ser representado por varias fracciones que son equivalentes entre sí. Por lo que se reafirma que el conjunto de dichas fracciones (Clases de Equivalencia) representa al Número Racional respectivo.

3. Densidad en el conjunto de los números racionales
Esta propiedad de densidad en Q, no la poseen los conjuntos N y Z.
“Dados dos números racionales diferentes, siempre se puede encontrar otro número racional cuyo valor esté comprendido entre ambos”

En forma general:
Entre dos números racionales existen infinitos números racionales.

RELACIÓN DE ORDEN DE UN NÚMERO FRACCIONARIO
(>, <, =)

A. Dados dos números fraccionarios tales como , podemos afirmar que: si se cumple: a.d = b.c

Ejemplos:

• ya que: 1 × 100 = 2 × 50

• ya que: 1 × 90 = 3 × 30

B. Dados dos números fraccionarios, podemos determinar que uno es mayor o menor que otro, usando la regla de los productos cruzados.

Ejemplos:

¡AHORA HAZLO TÚ!

1. Completar con un "Sí" o con un "No" según la pertenencia o no.

2. Colocar ">” ó “<" según corresponda:

a. porque: 2 × 7 < 5 × 3

b. _______________________________________

c. _______________________________________

d. _______________________________________

e. _______________________________________
f. _______________________________________

g. _______________________________________

h. _______________________________________

i. _______________________________________

j. _______________________________________

k. _______________________________________

l. _______________________________________

m. _______________________________________

n. porque: 7 × 7 > 4 × 10

o. _______________________________________

p. _______________________________________

q. _______________________________________

r. _______________________________________

s. _______________________________________

t. _______________________________________
3. Completar con “>” ó “<" según corresponda:
TAREA DOMICILIARIA

1. ¿Cuál de los siguientes números racionales es mayor?

I. II. III. IV. V.

a. I b. II. c. III d. IV e. V

2. ¿Cuál de los siguientes números racionales es mayor?

I. II. III. IV. V.

a. I b. II c. III d. IV e. V

3. ¿Cuál de las siguientes fracciones es mayor?

I. II. III. IV. V.

a. I b. II c. III d. IV e. V

4. ¿Cuál de las siguientes fracciones es menor?

I. II. III. IV. V.

a. I b. II c. III d. IV e. V

5. ¿Cuál de las siguientes fracciones es mayor?

I. II. III. IV. V.

a. I b. II c. III d. IV e. V


CONJUNTO DE NÚMEROS RACIONALES
Se atribuye a Pitágoras (unos 500 años antes de nuestra era) el notable descubrimiento de los números racionales. Para poner esto de manifiesto construyamos un cuadrado y tracemos la diagonal OA. Esto es:

 Razonemos por reducción al absurdo y supongamos que sea (siendo m y n primos entre sí) lo que siempre resulta después de simplificar la fracción) es la medida de la diagonal OA. Tomando el lado por unidad y aplicando el Teorema de Pitágoras al triángulo rectángulo OBA se obtiene:

De donde: 2n2 = m2 = #par m = 2k
2n2 = 4k2
n2 = 2k2 = # par n = 2q

Pero esta es imposible pues habíamos supuesto que m y n son primos entre sí.
Fracciones de números enteros
Consideremos el conjunto
= {….; –3; –2; –1; 0; 1; 2; 3; …..}
y un número entero, por ejemplo (–2).
La correspondencia de en que a cada número entero le hace corresponder su producto por (–2) es una aplicación que simbolizamos por x(–2), (Fig. 1).

Las aplicaciones que, como la anterior, a un número entero le asocian otro mediante operaciones se llaman operadores sobre .
La aplicación ×(–2): es un operador sobre .
 Consideremos el conjunto A = {8; –4; –6; –10} si aplicamos a este conjunto ×(–3) obtenemos el conjunto B = {–24; 12; 18; 30} si al conjunto B le aplicamos el operador (2) obtenemos el conjunto C = {–12; 6; 9; 9; 15}

En resumen: hemos obtenido los elementos de C multiplicando los elementos de A por (–3) y dividiéndolos a continuación por (2). (Fig. 2).

La aplicación es un operador sobre A.
En general, los operadores de la forma en donde a y b son números enteros, con b distinto de cero, se llaman fracciones de números enteros. Así:

son fracciones de números enteros.
Si es una fracción, el número entero a se llama numerador y el número entero b se llama denominador.
Fracciones equivalentes
Fíjate en los operadores aplicados al número 15.
 

Producen el mismo resultado.
Por esta razón las fracciones son equivalentes.

Escribimos:
observa que (2)(3) = (–2)(–3)
En general, dos fracciones de números enteros y son equivalentes si ad = bc.
 por: 8(6) = 4(12) = 48
 por: (–5)(–4) = 10(2) = 20

El número racional

Considera el conjunto de las fracciones de números enteros, al que llamamos F.
En el conjunto F consideramos la relación R definida por R cuando

R es una relación de equivalencia ya que se verifican las propiedadesl reflexivas, simétrica y transitiva.
Al ser R una relación de equivalencia, determina sobre el conjunto F una clasificación, una clase de equivalencia es, pues, el conjunto de las fracciones equivalentes a una dada, cada una de estas clases se llama número racional.
Así la clase equivalencia:

Es un número racional sin embargo, por comodidad, se suele tomar como representante de número racional una fracción irreductible.

Notación:

1) El conjunto es un conjunto de conjuntos, donde cada número racional es un conjunto.
2) La gráfica de cualquier número racional son puntos que pertenecen a una recta que pasa por el origen y cuya pendiente es .
3) El conjunto coincide con el conjunto de clase con , luego

Densidad de un cojunto
Un conjunto A es denso respecto a la relación de orden (<) si para dos elementos a y b de A (a < b) existe un elemento c de A tal que a < c < b.

1. Demostrar que si sumamos dos fracciones irreductibles y el resultado es un número entero, entonces los denominadores de dichas fracciones irreductibles son iguales.
Resolución:
Sean las fracciones irreductibles: entonces: a y b son PESI así como c y d son PESI.
Luego:
Desarrollando la suma:

Se observa: .
Como c y d son PESI entonces:
.
También: .
Como a y b son PESI entonces:

Luego: de donde:
. Por lo tanto b = d.

2. Problema
Demostrar que el MCD de tres fracciones irreductibles equivale al MCD de sus denominadores entre el MCM de sus denominadores.
Resolución:

1. Al preguntársele a un postulante qué parte del examen ha contestado, éste responde: “He contestado los de lo que no contesté”. ¿Qué parte del examen ha contestado?
A) B) C) D) E)

2. De una piscina se sacan 40 litros, si había los y quedan , ¿cuántos litros se necesitarán para terminar de llenar la piscina?
A) 350 B) 310 C) 500
D) 420 E) 240

3. Un caño puede llenar un depósito en 10 min y otro en 20 min. ¿En cuántos minutos pueden llenar 3 depósitos los dos caños juntos?

A) 13 B) 20 C) 19 D) 15 E) 22

4. Un tanque de 300 L de capacidad tiene una llave que vierte 30 L en 3 min y un desagüe por el que salen 24 L en 3 min. ¿En cuántos min se acabará de llenar el tanque, si teniendo 180 L de agua abrimos al mismo tiempo las dos llaves?

A) 70 B) 50 C) 60 D) 65 E) 48

5. Un postulante afirma que de los S/. 140 de propina que le dio su madre gastó las partes de lo que no gastó. ¿Cuánto le quedaría si gasta la cuarta parte de lo que queda?
A) 105 B) 35 C) 60 D) 80 E) 70

6. Una varilla de a cm de longitud se corta en 2 partes . La parte menor mide del total, luego, con la parte mayor se repite el procedimiento. ¿Cuánto mide el pedazo más largo?
A) B) C)
D) E)

7. Al desarrollar el producto:

se obtiene:
A)
B)
C)
D)
E)

8. Un comerciante tenía una determinada suma de dinero. El primer año gastó 100 soles y aumentó a lo que quedaba un tercio de este resto. Al año siguiente volvió a gastar S/. 100 y aumentó la cantidad restante en un tercio de ella. El tercer año gastó de nuevo S/. 100 y agregó la tercera parte de lo que quedaba. Si el capital resultante es el doble del inicial, ¿cuál fue el capital inicial?
A) 1480 B) 1500 C) 1400
D) 2380 E) 2000

9. Al analizar una fracción el denominador es menor en una unidad que el cuadrado del numerador. Si al numerador y denominador:
I. Se le restan 3 unidades, la fracción sigue siendo positiva pero menor que .
II. Se le agregan 2 unidades, el valor de la fracción será mayor que .
¿Cuánto vale el numerador?
A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6

10. Si a dos términos de una fracción ordinaria reducida a su más simple expresión se le suma el cuádruplo del denominador y al resultado se le resta la fracción, resulta la misma fracción. ¿Cuál es la fracción original?
A) B) C) D) E)

1. Si a un número racional , menor que 1, se le aumenta una unidad, el numerador queda aumentado en 6 unidades. Si el numerador y el denominador difieren en una unidad, calcular el número .
A) B) C) D) E)

2. La suma de dos fracciones impropias irreductibles es 3. Si la suma de los numeradores, más la suma de los denominadores es 15, señale el producto de los numeradores más el producto de los denominadores si es el mayor posible.
A) 17 B) 18 C) 23 D) 27 E) 29

3. Hallar N, sabiendo que es equivalente a .
A) 2847 B) 2860 C) 2873
D) 2886 E) 2899

4. ¿Para cuántos enteros positivos n la fracción es reductible?
A) 0 B) 2 C) 4 D) 6 E) 8
5. Sabiendo que ; ;
y . Calcular (a + b +c + d).
A) 12 B) 13 C) 14 D) 15 E) 16

6. ¿Cuántos números racionales de denominador 36 existen, cuyos cuadrados son mayores que y menores que ?
A) 3 B) 4 C) 5
D) 42 E) Infinitos

7. Una pelota cae al suelo y se eleva cada vez menos de la altura anterior. Después de haber rebotado 3 veces se elevó 2 m. ¿Cuál fue su mayor altura?
A) 12 m B) 18 m C) 8,25 m
D) 6,75 m E) 12,5 m

8. ¿Cuál es la relación de la fracción transcurrida de la semana a la fracción transcurrida del día cuando son las 6 a.m. del miércoles? (primer día de la semana: domingo).
A) B) C) D) E)
8
9. ¿Cuál es el numerador de la fracción equivalente a tal que la suma de sus dos términos es 480?
A) 90 B) 30 C) 60 D) 80 E) 70

10. De una estación terminal salen tres líneas de microbuses. De la primera línea salen cada de minutos, de la segunda cada de minuto y de la tercera cada de minuto. Si a las 3p.m. salen simultáneamente microbuses de las tres líneas, ¿cuántas veces sucederá lo mismo hasta las 8 p.m?
A) 24 B) 25 C) 26 D) 27 E) 28