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NUMEROS FRACCIONARIOS EJERCICIOS DE MATEMATICA 8–OCTAVO AÑO PDF

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CONCEPTOS , ACTIVIDADES Y PROBLEMAS DE Fracciones , Concepto de fracción , Comparación de fracciones con la unidad , Fracción de un número , Fracciones equivalentes , Equivalencia de fracciones , Reducción de fracciones a común denominador , Comparación de fracciones , Operaciones con fracciones , Adición y sustracción , Multiplicación , Fracción de una fracción , División , Operaciones combinadas , Sucesiones con multiplicación y división , Potenciación y radicación ,
Objetivo del módulo
• Operar con números fraccionarios, a través de la aplicación de reglas y propiedades de las operaciones
básicas para aplicarlos en diversas situaciones de la vida cotidiana.
Destrezas con criterios de desempeño
• Leer y escribir números racionales fraccionarios.
• Ordenar y comparar números racionales fraccionarios.
• Resolver operaciones combinadas de adición, sustracción, multiplicación y división exacta con números
racionales.
• Simplificar expresiones de números racionales con aplicación de reglas de potenciación y radicación.
• Valorar y respetar las estrategias y soluciones a problemas numéricos distintas de las propias.
• Generar sucesiones con multiplicación y división.

Para la activación de conocimientos previos
• Recuerde que un número natural es cualquiera de los números 0, 1, 2, 3… que se pueden usar para
contar elementos o cosas. Los números enteros son del tipo: –59, –3, 0, 1, 5, 78, 34 567, etc., es decir,
los naturales y sus opuestos (negativos).
• Número racional es todo aquel que puede ser expresado como resultado de la división de dos números
enteros, considerando que el dividendo no puede ser cero por no estar definida su división.
• Revise los prerrequisitos al comienzo del módulo.
• Al iniciar el estudio de las fracciones es conveniente que tenga presente la necesidad de dividir la unidad
en partes iguales e insista que una fracción no tiene ningún significado si no se aplica a una unidad
dada. Para ello proponga la realización de las siguientes actividades complementarias:
Dibuja tres rectángulos iguales, divídelos en dos partes iguales de distintas maneras y compara la medida
de estas partes.
Divide distintas figuras planas en un mismo número de partes iguales.
• Recapitule el concepto de fracción a partir de situaciones próximas a la realidad y haga notoria la insuficiencia
de los números enteros para expresar algunas cantidades.
• Realice la evaluación diagnóstica, adicione ejercicios de colorear partes fraccionarias, para fijar conocimiento
e impartir los conceptos referentes al módulo en estudio.

Para la construcción del conocimiento
• Aplique la amplificación (multiplicar el numerador y denominador por un mismo número) y simplificación (dividir
la fracción, manteniendo su proporcionalidad) de fracciones, para que dadas dos fracciones heterogéneas
se encuentren dos fracciones homogéneas equivalentes a las primeras.
• Siempre que se amplifica una fracción, se obtendrá una fracción equivalente; es decir, fracciones que representan
la misma cantidad. Por ejemplo:
• Cada vez que se simplifique una fracción se puede (debe) llegar hasta la fracción irreductible, es decir, aquella
que no se puede “simplificar” más. Por ejemplo:
• Comience con la adición y sustracción de fracciones homogéneas, luego con fracciones heterogéneas. Para
sumar (o restar) dos fracciones, éstas deben ser homogéneas, la fracción resultado se obtiene sumando (o
restando) los numeradores y manteniendo el mismo denominador. En caso de ser fracciones heterogéneas,
primero se debe encontrar fracciones equivalentes a ellas que sean homogéneas y posteriormente se operan
como homogéneas.
• Para multiplicar fracciones se operan los numeradores entre sí y los denominadores entre sí. En el caso de la
división se aplica su algoritmo, que indica que debe operarse el producto del dividendo por el inverso del divisor.
Para la aplicación del conocimiento
• Pida a sus estudiantes realizar la siguiente actividad grupal:
Corten ½ de una hoja A4 de cartulina verde; de una hoja de cartulina celeste; de una hoja de cartulina
roja. Corten de una hoja de cartulina amarilla estas cantidades , , .
Sumen esas cantidades y calculen qué parte de la hoja de papel es la suma.
Tomen la mitad de cada cantidad y encuentren qué parte es de la hoja original.
Hagan lo mismo para el doble de cada parte cortada.
Corten en dos partes iguales un pedazo de papel bond de 10 cm de lado. Partan uno de los medios en dos
partes iguales. Vuelvan a dividir uno de los medios en dos partes iguales. Otra vez, vuelvan a segmentar uno
de los medios en dos partes iguales. Calculen qué parte es, del papel original, el pedacito más pequeño.
Consigan una jarra con medidas y agua para medir ½ litro, ¼ litro, litro y todas las fracciones que les sea
posible.
Corten una tira de papel de 1 metro de largo y, por plegado, calculen estas fracciones de metro: ½, , ¼, ,

Para la activación de conocimientos previos
• El algoritmo para la multiplicación de fracciones es el siguiente:
Multiplique los numeradores de las fracciones entre sí.
Multiplique los denominadores de las fracciones entre sí.
El resultado tiene por numerador al producto de los numeradores y por denominador al producto de
los denominadores.
La fracción resultado debe ser simplicada, en caso de ser posible.
• Es recomendable simplificar a las fracciones factores antes de operar, considerando los numeradores y
denominadores que no sean primos entre sí.

Números fraccionarios
Prerrequisitos
Recuerda
• Los números naturales sirven para contar, ordenar
o codificar. Se representan mediante la
letra .
 = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12…}
• Los números enteros son los números naturales
precedidos de signo y el 0, que no tiene signo. Se
representan por la letra  y corresponden a:
 = {…, −3, −2, −1, 0, +1, +2, +3, …}
• Las fracciones se utilizan en la repartición de un
total, o unidad, dividido en partes iguales.
• Para calcular el M.C.D. de dos o más números
se multiplican los factores primos comunes
a dichos números elevados al menor exponente.
• Para calcular el m.c.m. de dos o más números
se multiplican los factores primos comunes y no
comunes a dichos números elevados al mayor
exponente.
Evaluación diagnóstica
• En una fiesta de cumpleaños se ha dividido
el pastel en seis partes iguales y Jorge se ha
comido una. ¿Cómo expresarías que se ha comido
una parte de las seis partes?
• Copia en tu cuaderno este segmento dividido
en cinco partes iguales.
— Colorea tres partes e indica la fracción que representa
la parte coloreada y la no coloreada.
• Calcula:
a) m.c.d. (35, 42) c) m.c.m. (35, 60)
b) m.c.d. (120, 150) d) m.c.m. (15, 72)
• Dos amigos se reparten la naranjada de una
botella. Si uno bebe la mitad y el otro las dos cuartas
partes, ¿quedará naranjada en la botella?
• Calcula:

38Distribución 1 Fracciones
1.1. Concepto de fracción
Cuando decimos que se reciclan las dos terceras partes de una hoja de
papel, queremos indicar que si dividiéramos la hoja en tres partes iguales,
se reciclan dos de estas partes.
Para expresar cantidades como ésta no nos sirven los números naturales.
Utilizamos los números fraccionarios o fracciones.
2
3
El 2 nos indica el número de partes que
hemos tomado.
Es el numerador.
El 3 nos indica el número de partes
iguales en que hemos dividido la unidad
o el todo.
Es el denominador.
Toda fracción consta de dos términos:
→ Numerador
→ Denominador
• El denominador indica el número de partes iguales en que se ha
dividido la unidad y debe ser diferente de cero: b = 0, porque la
división para cero no existe.
• El numerador expresa las partes que hemos tomado.
a
b
Ë
Número fraccionario o
fracción es la expresión que
indica que de una unidad o
total dividido en partes iguales
escogemos sólo algunas
de esas partes.
Ú FÍJATE
Lectura y representación gráfica de fracciones
Observa cómo se leen y representan las siguientes fracciones.
   
   
1 un medio dos tercios siete octavos cuatro onceavos
2
2
3
7
8
4
11
Para designar el numerador se utiliza el nombre del número que lo representa
(uno, dos, tres…).
Para designar el denominador se emplea la siguiente regla:
2 y 3 Entre 4 y 10 > 10
Nombre propio:
medio y tercio
Ordinal:
cuarto, quinto, sexto…
Terminación -avo:
onceavo, doceavo…
Escribe estas fracciones.
a) cuatro décimos c) tres tercios
b) un sexto d) trece veinteavos
1 2 Escribe y nombra las siguientes fracciones.
Actividades §
a b c d
Una fracción representa una parte de la unidad, pero también puede interpretarse
como la división entre dos números naturales o como una razón de medida.
La fracción como división entre dos números naturales
La fracción como razón de medida
Para repartir 1 l de jugo entre
5 amigos con
5 vasos iguales, efectuamos
la división 1 ÷ 5.
Esta división también podemos
expresarla mediante
la fracción .
1
5
Para repartir 2 l de jugo entre
5 amigos con 5 vasos iguales,
efectuamos la división
2 ÷ 5.
En este caso, si dividimos
cada jarra en cinco partes
iguales, a cada uno le corresponden
2 .
5
1÷5
1
5
= = 0,2 2÷ 5
2
5
= = 0,4
Una fracción representa el cociente entre el numerador y el denominador
de ésta.
Ë
Una fracción representa una relación entre dos medidas llamada
razón de medida.
Ë
La longitud de AB es de la longitud
de CD.
3
5
La relación o razón entre el número
de lápices y el número de bolígrafos
es 3 .
A B 4
C D
Copia en tu cuaderno y representa estas fracciones
en los dibujos.
— Expresa en forma de división estas fracciones.
Expresa en forma de división estas fracciones.
a) b) c) d) e)
— Efectúa la división y escribe a qué número son
iguales estas fracciones.
Expresa en forma de fracción estas divisiones.
a) 3 ÷ 5 b) 4 ÷ 7 c) 1 ÷ 8 d) 20 ÷ 3 e) 9 ÷ 100
Observa la figura y completa en tu cuaderno:
La altura del paraguas 1 es ………… de la del paraguas
2.
La razón entre el número de rombos y el número
de círculos es ………
6
5
4
3
48
16
9
9
2
5
1
10
3
6
Actividades §
a
b
3
1
8
5
2
3
2
2
c
d
1 2
40Distribución Texto 10
1.2. Comparación de fracciones con la unidad
Fíjate en qué parte de la unidad representa cada una de las siguientes fracciones.
La expresión recibe el nombre de número mixto y se lee un entero y
dos quintos.
Observa cómo podemos pasar de fracción impropia a número mixto y al revés.
Si el numerador de una fracción impropia es múltiplo del denominador, la fracción
es un número na tural. Para calcular este número debemos dividir el numerador
entre el denominador. Por ejemplo:
27 es múltiplo de 9 5 es múltiplo de 1
2
5
< 1
5
5
= 1
Las fracciones que tienen el numerador
más pequeño que el
denominador sonmenores que
la unidad.
Se denominan fracciones
propias.
Esta fracción indica que hemos
tomado dos partes de
las cinco iguales en que hemos
dividido la unidad.
Esta fracción indica que hemos
tomado las cinco partes
iguales en que hemos dividido
la unidad.
Esta fracción indica que hemos dividido la unidad
en cinco partes y que debemos tomar siete.
Esto significa que necesitamos más de una unidad.
Las fracciones que tienen el
numerador igual que el denominador
son iguales a la
unidad.
7
5
> 1
Las fracciones que tienen el numerador mayor que
el denominador son mayores que la unidad.
Se denominan fracciones impropias.
1 unidad +
2
5
1
2
5

7
5

2
5
5
5
7
5
→ → →
De fracción impropia a número mixto De número mixto a fracción impropia
1
3
4
1
3
4
1 4
4
3
4
4 3
4
7
4
= + = × + = + =
11
2
=
1
2
5
11
2
= 11÷ 2
11 2
1 5
27
9
3
↓=
5
1
5
↓=
Pon un ejemplo de fracción propia, otro de fracción
igual a la unidad y un tercero de fracción impropia.
Transforma la fracción impropia en un número
mixto.
Lee, transforma en fracciones impropias y representa
gráficamente estos números mixtos.
a) b) c) d)
Cada uno de los cuatro libros de una colección está
dividido en 12 capítulos. Si consideramos cada
libro como una unidad, ¿qué fracción de la unidad
representan 4 capítulos de un libro?
—Determina la fracción que representan: 24 capítulos;
8 capítulos; 18 capítulos; 27 capítulos.
—Di si las fracciones que has obtenido son propias
o impropias. Si alguna de ellas puede expresarse
mediante un número natural o mixto,
transfórmala.
9
8
7
1
1
10
3
1
2
2
3
5
1
1
4
Actividades §
1
2
5
1.3. Fracción de un número
Analiza estos dos ejemplos.
¿Qué fracción de mes es un día? ¿Qué fracción de hora son 20 min? ¿Cuántos
días son los tres séptimos de una semana?
Calcula:
a) de 200 b) de 400 c) de 225 d) de 240
Calcula en tu cuaderno:
a) de ………..… = 15 c) de ………..… = 600
b) de ………..… = 4 d) de ………..… = 156
Encuentra el término que falta.
a) de 33 = 22 c) de 100 = 80
b) de 75 = 30 d) de 140 = 100
Akira ha recorrido las cuatro quintas partes del camino entre su casa y el colegio.
Si el camino mide 650 m, ¿qué distancia ha recorrido?
Hemos retirado 300 dólares que corresponden a de una cantidad de
dinero que teníamos ahorrado en el banco. ¿Cuánto dinero teníamos?
15
14
13
12
11
10
4
15

7
2

4


3
4
9
2
7
2
3
1
2
5
3
7
25
1
8
2
5
Actividades §
La materia orgánica (restos de comida…) constituye
partes de la basura doméstica.
Si en total se producen 15 millones de toneladas de basura,
¿cuántas toneladas representa la materia orgánica?
de 15 000 000 = x
15 000 000 ÷ 20 = 750 000
750 000 × 9 = 6 750 000
Así, las toneladas de materia orgánica son 6 750 000, es decir,
6,75 millones de toneladas.
9
20
9
20
ejemplo 1
Un determinado año se reciclaron 2 millones de toneladas
de papel, pero esto supuso sólo los del total
de papel de desecho. Determina las toneladas de papel
botadas a la basura ese año.
de x = 2 000 000
2 000 000 ÷ 2 = 1 000 000
100 000 × 5 = 5 000 000
Así, en total se botaron 5 millones de toneladas.
Es necesario que empecemos a reciclar.
2
5
2
5
ejemplo 2
Para calcular la fracción de una cantidad, dividimos
ésta última por el denominador y multiplicamos
el resultado por el numerador. O podemos
primero multiplicar y el producto dividir.
Ë Para calcular una cantidad cuya fracción
conocemos, dividimos la cantidad correspondiente
a dicha fracción por el numerador y multiplicamos
el resultado por el denominador.
Ë
42Distribución 2 Fracciones equivalentes
2.1. Equivalencia de fracciones
Para ver si dos fracciones distintas, como por ejemplo, y , representan
la misma parte de la unidad, podemos compararlas gráficamente.
Observa qué sucede al multiplicar en cruz los términos de dos fracciones
equivalentes.
Esta propiedad permite comprobar si dos fracciones son equivalentes sin necesidad
de realizar su representación gráfica y se conoce como propiedad fundamental
de las fracciones equivalentes.
4
10
2
5
Representa gráficamente los siguientes pares de fracciones e indica si son
equivalentes.
a) y b) y c) y d) y
— Comprueba con la propiedad fundamental si son fracciones equivalentes.
Indica cuáles de estas fracciones son equivalentes a .
a) b) c) d) e) f)
Un atleta salta ocho de las diez vallas de las que constaba una carrera. En la
siguiente prueba tira una de las cinco vallas que había. ¿Consigue el atleta
mejorar la relación de vallas en pie respecto de las vallas totales en la segunda
carrera o es la misma?
18
2
8
12
36
8
36
1
3
2
6
1
4
4
12
17
10
12
5
6
16
20
4
5
4
9
1
3
4
14
2
7
16
Actividades §
2
5

4
10

2
5
4
10
=
Las fracciones que representan la misma parte de la unidad se denominan
fracciones equivalentes.
Ë
Dos fracciones son equivalentes si se verifica que el producto del numerador
de la primera por el denominador de la segunda es igual al producto
del denominador de la primera por el numerador de la segunda.
y son equivalentes si se cumple que a × d = b × c.
c
d
a
b
Ë
2
5
4
10
= → 2 × 10 = 5 × 4 = 20
Dos fracciones equivalentes
representan el mismo número.
2
5
0,4
4
10
0,4
=
=
Ú FÍJATE
Dos fracciones y
son equivalentes si se cumple:
a × d = b × c
c
d
a
b
Ú FÍJATE
¿Cuál es la fracción equivalente a que tiene por denominador 15?
¿Cuál es la fracción equivalente a que tiene por numerador 3?
Completa el término que falta en cada uno de los siguientes pares de fracciones
para que sean equivalentes.
a) b) c) d)
Comprueba que al calcular fracciones equivalentes de un mismo número
obtenemos siempre el mismo resultado.
a) de 60 b) de 60 c) de 60 d) de 60
Escribe tres fracciones equivalentes a . ¿Has obtenido las fracciones
equivalentes por amplificación o simplificación?

70
55
350
=
23
22
21
20
19
8
14
15
25
12
20
9
15
3
5
21

7
35
=
9
70

280
=
23
40
161

=
6
18
2
5
Actividades §
Obtención de fracciones equivalentes
Veamos ahora dos procedimientos para obtener fracciones equivalentes a
la fracción .
El segundo procedimiento nos permite obtener una fracción equivalente a
la primera cuyos términos son menores.
Antes de efectuar cualquier operación con fracciones, debemos averiguar
si pueden simplificarse. De este modo, trabajaremos siempre con los números
más pequeños.
8
12
Dividimos el numerador y el denominador por un mismo
número.
Al comparar la fracción obtenida con la primera, comprobamos
que se cumple la propiedad fundamental de
las fracciones equivalentes.
8 × 6 = 12 × 4
Multiplicamos el numerador y el denominador por un
mismo número.
Al comparar la fracción obtenida con la primera, comprobamos
que se cumple la propiedad fundamental de las
fracciones equivalentes.
8 × 36 = 12 × 24
Amplificación de fracciones Simplificación de fracciones
8
12
24
36
=
 
× 3
× 3
8
12
4
6
=

÷ 2
÷ 2

Si multiplicamos el numerador y el denominador
de una fracción por un mismo número, obtenemos
una fracción equivalente a la primera.
Ë Si dividimos el numerador y el denominador de
una fracción por un mismo número, obtenemos
una fracción equivalente a la primera.
Ë
44Distribución Fracción irreducible
Podemos reducir o simplificar una fracción a partir de divisiones sucesivas.
Al obtener la fracción no podemos continuar simplificando ya que 1 y 2 son
números primos entre sí y sólo tienen un divisor común, el 1.
Para hallar la fracción irreducible equivalente a una fracción, podemos utilizar
dos métodos: el que ya hemos presentado de las divisiones sucesivas
y el del máximo común divisor m.c.d.
1
2
Indica cuáles de las siguientes fracciones son irreducibles.
a) b) c) d) e) f)
Simplifica estas fracciones hasta obtener la fracción irreducible por el método
de las divisiones sucesivas.
a) b) c) d) e) f)
Simplifica las fracciones siguientes utilizando el método del máximo común
divisor.
a) b) c) d) e) f)
Simplifica, si es posible, las siguientes fracciones.
a) b) c) d) e) f)
Escribe dos fracciones que sean equivalentes y halla la fracción irreducible
de cada una de ellas. ¿Qué podemos decir de las fracciones irreducibles
de dos fracciones equivalentes?
20
63
56
24
20
180
115
123
98
270
11
220
175
500
44
52
22
144
162
300
100
125
45
81
25
100
16
24
22
144
30
40
13
39
21
35
16
27
26
39
19
100
13
15
16
20
6
7
28
27
26
25
24
Actividades §
30
60
=
15
30
= 5
10
=
1
2
 
 
 
÷ 2
÷ 2
÷ 3
÷ 3
÷ 5
÷ 5
Una fracción irreducible es aquella fracción que no puede simplificarse,
es decir, aquélla en que el numerador y el denominador son
números primos entre sí.
Ë
Dividimos los dos términos de la fracción por su
m.c.d. De este modo, se obtiene directamente
la fracción irreducible.
Dividimos sucesivamente los
dos términos hasta obtener
la fracción irreducible.
Divisiones sucesivas Máximo común divisor
30
60
15
30
5
10
1
2
= = =
 
 
 
÷ 2
÷ 2
÷ 3
÷ 3
÷ 5
÷ 5
m.c.d. (30, 60) = 30
30
60
1
2
=
 
÷ 30
÷ 30
El máximo común divisor
(m.c.d.) de dos o más números
es el divisor común
más grande de dichos números.
MUCHO OJO 9
2.2. Reducción de fracciones a común denominador
Considera las fracciones y . Decidir a simple vista cuál de ellas es
mayor no es fácil.
Ahora bien, si obtenemos las fracciones equivalentes a cada una de las anteriores
que tengan el mismo denominador, la comparación será más sencilla.
Ahora, resulta evidente que es mayor que porque 36 partes
de 45 es más que 35 partes de 45. Por lo tanto es mayor que .
Para comparar fracciones es muy útil reducirlas a común denominador.
También necesitaremos reducir fracciones a común denominador para efectuar
operaciones con ellas. En este caso, para que los números que manejemos
sean lo más pequeños posible, deberemos reducir las fracciones a mínimo
común denominador.
Veamos el método para hallar las fracciones equivalentes a , y ,
con el mínimo común denominador.
4
3
3
5
1
2
35
45
36
45
7
9
35
45
4
5
36
45
= =
El proceso por el cual transformamos dos o más fracciones en otras
equivalentes con el mismo denominador se llama reducción a común
denominador.
Ë
Reducir fracciones a mínimo común denominador significa hallar
unas nuevas fracciones equivalentes a las primeras cuyo denominador
es el mínimo común múltiplo de los denominadores de las fracciones
dadas.
Ë
Reduce a común denominador los siguientes pares
de fracciones. Halla dos soluciones en cada caso.
a) y b) y
Reduce a mínimo común denominador estas fracciones.
a) y b) , y
29 30
7
6
3
8
1
2
4
15
1
5
7
4
12
50
7
12
5
8
Actividades §
— Dividimos el m.c.m. entre cada denominador
y multiplicamos el cociente obtenido por los
dos términos de la fracción correspondiente.
— Calculamos el m.c.m. de los
denominadores.
m.c.m. (2, 5, 3) = 2 × 5 × 3 = 30
Reducción a mínimo común denominador
30 2 15 30 5 6 30 3 10
1
2
15
30
3
5
18
30
4
3
40
30
: = : = : =
= = =
÷ ÷ ÷

 
 
× 15
× 15
× 6
× 6
× 10
× 10

7
9
7
9
4
5
4
5
46Distribución 2.3. Comparación de fracciones
Dos fracciones equivalentes representan la misma parte de la unidad.
Pero, si no son equivalentes, ¿cómo sabemos cuál es mayor?
La fracción es mayor que la fracción porque
representa una parte mayor de la unidad.
Esta relación se indica así: > 2
10
2
5
2
10
2
5
La fracción es mayor que la fracción porque
representa una parte mayor de la unidad.
Esta relación se indica así: > 3
8
5
8
3
8
5
8
Fracciones con el mismo denominador Fracciones con el mismo numerador
Si dos fracciones tienen el mismo denominador,
es mayor la que tiene mayor numerador.
Ë Si dos fracciones tienen el mismo numerador,
es mayor la que tiene menor denominador.
Ë
5
8
3
8
2
10
2
5
Fracciones con numerador y denominador distintos
Para comparar fracciones con distinto denominador se reducen a común denominador y se comparan
las fracciones obtenidas.
Ë
4
5
2
3
Para comparar numéricamente las fracciones y , las reducimos
a común denominador.
m.c.m. (5, 3) = 15
2
3
4
5
15 5 3 15 3 5
4
5
12
15
2
3
10
15
: = : =
= =
÷ ÷




× 3
× 3
× 5
× 5
Puesto que , resulta que .
4
5
2
3
> 12
15
10
15
>
Indica cuál es la fracción mayor de cada par.
a) o b) o c) o
Ordena de mayor a menor la siguiente serie de fracciones.
, , , , ,
31 32
8
30
12
20
19
24
7
18
11
15
17
12
2
3
1
2
7
24
7
18
11
12
17
12
Actividades §
3 Operaciones con fracciones
En este apartado estudiaremos la adición y la sustracción de fracciones con
igual o distinto denominador, la multiplicación y la división con fracciones.
3.1. Adición y sustracción
Siempre que sea posible simplificaremos
el resultado obtenido
en las operaciones con
fracciones.
MUCHO OJO 9
Con igual denominador
Para sumar fracciones con el mismo denominador:
— Se deja el mismo denominador.
— Se suman los numeradores.
Ë Para restar fracciones con el mismo denominador:
— Se deja el mismo denominador.
— Se restan los numeradores.
Ë
+ = =
4
9
1
9
4 1
9
3
9
1
3
− = − = = 4
9
1
9
4 1
9
5
9
+ = + =
Con distinto denominador
Para sumar fracciones con distinto denominador:
— Se reducen a común denominador.
— Se suman las fracciones obtenidas.
Ë Para restar fracciones con distinto denominador:
— Se reducen a común denominador.
— Se restan las fracciones obtenidas.
Ë
3
7
2
5
15
35
14
35
1
35
− = − = 3
5
1
10
6
10
1
10
7
10
+ = + =

m.c.m. (5, 10) = 10
10 5 2
3
5
6
10
: =
=
10 10 1
1
10
1
10
: =
=
 
 
× 2
× 2
× 1
× 1

m.c.m. (7, 5) = 35
35 7 5
3
7
15
35
: =
=
35 5 7
2
5
14
35
: =
=
 
 
× 5
× 5
× 7
× 7
Calcula las siguientes adiciones y, si es posible,
simplifica su resultado.
a) c)
b) d)
— Representa gráficamente estas adiciones.
Efectúa las siguientes sustracciones y simplifica el
resultado si es posible.
a) c)
b) d)
He repartido de pastel a María y a Inti.
¿Qué fracción de pastel me queda por repartir?
35
34
1
5
1
4
7
9
4
15

5
8
1
8

3
2
4
5

4
7
1
7

1
5
5
12
1
3
+ +
3
10
7
10
+
1
5
3
10
+ 2
6
1
6
+
33
Actividades §
÷ ÷ ÷ ÷
48Distribución 3.2. Multiplicación
Multiplicación de fracciones
El área de un rectángulo es el producto de su base por su altura.
Así, el área del rectángulo coloreado de la izquierda es:
• El producto de su base por su altura: ×
• Si contamos los cuadrados, el área es del área del rectángulo mayor.
Por tanto:
Así, para multiplicar estas fracciones, procedemos de la siguiente forma:
Al multiplicar dos fracciones puede ocurrir que el resultado sea 1.
Diremos que una fracción es la inversa de la otra.
Para obtener la fracción inversa de una fracción dada, basta con intercambiar
el numerador y el denominador.
Así, la fracción inversa de es , la de es , la de 4 es …
Multiplicación de un número natural por una fracción
Para multiplicar un número natural por una fracción hay que tener en cuenta
que los números naturales son fracciones de denominador 1.
1
4
6
1
= 6
1
6
5
2
2
5
3
5
2
3
6
15
× =
6
15
2
3
3
5
El producto de dos fracciones es otra fracción cuyo numerador es
igual al producto de los numeradores y cuyo denominador es igual al
producto de los denominadores.
Ë
Para multiplicar un número por una fracción, se multiplica ese
número por el numerador de la fracción y se deja el mismo denominador.
Ë
3
5
2
3
3 2
5 3
6
15
× = ×
×
=
4
2
3
4
1
2
3
4 2
3 1
8
3
× = × = ×
×
=
4
5
5
4
20
20
× = = 1
Efectúa estas multiplicaciones y simplifica. ¿En qué casos has multiplicado fracciones inversas?
a) b) c) d) e) f)
Calcula la cantidad de aceite necesaria para llenar 15 botellas de de litro y 8 de litro.
De una cartulina recortamos un rectángulo de base de la base de la cartulina y de altura de la altura
de aquélla. ¿Qué fracción de cartulina hemos recortado?
38
37
1
4
2
3
1
2
3
4
5
6
4
3
× × 18
4
9
8
25
5
12
× ×
2
25
× 25
11
5
5
11
×
3
7
5
7
5 ×
1
5
×
36
Actividades §
La fracción de un número
corresponde al producto de
una fracción por un número
natural.
de 28 =
Para calcular una cantidad
cuya fracción conocemos,
multiplicamos la cantidad correspondiente
a dicha fracción
por la inversa de la fracción.
de x = 12
3
7
3
7
× 28 =
3
7
Fracción
de un número
2
3
35
6
15
x = 12 × =
7
3
28
= × = =
3
7
28
1
84
7
12
3.3. Fracción de una fracción
Una quinta parte de la basura doméstica corresponde a desechos de papel
y cartón. De éstos, tres cuartas partes se reciclan.
¿Qué fracción de basura doméstica acaba como papel reciclado?
de 1 de la basura doméstica = x
5
3
4
Representa gráficamente de . ¿Qué fracción es del total?
Calcula:
a) de b) de c) de d) de e) de f) de
Alba se ha comido la mitad de la tercera parte de un pastel. ¿Qué fracción de pastel se ha comido?
Dos tercios de una clase de 27 estudiantes son chicos, y de éstos un tercio tiene el cabello castaño. ¿Qué
fracción del total de alumos representan los muchachos de cabello castaño? ¿Cuántos chicos hay en
la clase?
42
41
40
39
1
2
8
3
3
17
17
19
11
18
4
7
9
21
4
9
7
15
1
2
19
15
3
4
1
2
1
5
Actividades §
de 1
5
3
4
1
5
3
20
de =
Así, para calcular la fracción de una fracción debemos efectuar la multiplicación
de ambas fracciones.
de = 3
4
1
5
3
20
× =
1
5
3
4
3
20
1
5
3
4
Para calcular la fracción de una fracción, multiplicamos ambas fracciones.
Ë
Recuerda que debes simplificar
las fracciones siempre
que sea posible.
En el siguiente ejemplo dividimos
el numerador y el denominador
entre 2 antes de
efectuar las operaciones indicadas
en cada uno de los
términos de la fracción.
6
5
7
8
7
5
7
5
21
20
6
8
3
4
× = ×
×
=
= ×
×
=
Ú FÍJATE
50Distribución Calcula y simplifica el resultado si es posible.
a) c) e) g)
b) d) f) h)
¿Cuántas bolsas de harina de de kilogramo pueden llenarse con 30 kg
de harina?
Pedro ha preparado de litro de una mezcla para cocinar un pastel. Si
utiliza moldes cuya capacidad es de de litro. ¿Cuántos necesita?
45
44
43
2
3
3
4
7
1
5
:
3
2
1
10
:
3
2
3
5
:
2
9
3
5
:
1
5
: 7
1
3
1
2
:
4
5
5
3
:
8
3
5
6
:
Actividades §
3.4. División
Fíjate en esta división de números naturales.
48 ÷ 8 = 6
Dividendo Divisor Cociente
Por ejemplo, para dividir entre multiplicaremos por .
En las divisiones de fracciones se cumple:
Así, en la división de fracciones anterior:
2
3
1
6
2 1
3 6
2
18
1
9
× = ×
×
= =
3
2
1
9
1
9
2
3
1
9
3
2
1 3
9 2
3
18
1
6
: = × = ×
×
= =
2
3
1
9
Compárala con la siguiente multiplicación de fracciones.
Observarás que dividir dos números es lo mismo que multiplicar el dividendo
por la fracción inversa del divisor.
Para dividir dos fracciones procederemos del mismo modo.
48
1
8
48
8
× = =6
Para dividir dos fracciones, multiplicamos la fracción dividendo por
la fracción inversa de la fracción divisor.
Ë
Ë Divisor Cociente = Dividendo
El número natural 8 es lo
mismo que la fracción
La inversa de esta fracción
es
Ú FÍJATE
Para dividir fracciones, podemos
utilizar una manera
práctica que consiste en
multiplicar en forma de cruz.
Ú FÍJATE
1
9
2
3
3
18
1
6
: = =
1
8
.
8
1
.
1
6
÷
÷
÷
÷
÷
÷
÷ ÷
÷ ÷
Calcula:
a) b)
Transforma los números mixtos en fracciones y, a continuación, resuelve:
a) b) c)
Efectúa las siguientes operaciones.
a) c)
b) d)
He repartido de mis canicas a Antonio y a Toa. ¿Qué fracción del
total me queda? Expresa las operaciones combinadas con paréntesis.
49
48
47
46
1
3
1
5
2
2
3
1
1
5
− : −

⎝ ⎜

⎠ ⎟
7
2
3
2
5
6
+ :
3
5
1
2
2 3 1
1
5
+ + : −

⎝ ⎜

⎠ ⎟

⎝ ⎜

⎠ ⎟
4
5
3
4
4
3
5
+ ×
7
2
3
2
5
6
5 − +
2
3
2
3
5
2 + −
3
5
3
1
4
+
2
3
15
4
1
6
1
12
1
8
× − : +

⎝ ⎜

⎠ ⎟
5
1
10
3
5
2
5
2
3
× − − ×

⎝ ⎜

⎠ ⎟
Actividades §
3.5. Operaciones combinadas
Observa cómo efectuamos esta serie de operaciones combinadas.
En primer lugar, hemos calculado la multiplicación y, a continuación, la adición
y la sustracción.
Fíjate en lo que sucede si tenemos un paréntesis en una serie de operaciones
combinadas con fracciones.
Puesto que hay un paréntesis, hemos efectuado primero la operación indicada
en su interior.
2
3
1
5
1
4
2
7
2
3
1
20
2
7
280 21 120
420
181
420
+ × − = + − = + − =
2
3
3
4
1
3
1
5
8
12
9
12
1
3
1
5
+ × − = + × − =

⎝ ⎜

⎠ ⎟

⎝ ⎜

⎠ ⎟

= × − = − = − =
17
12
1
3
1
5
17
36
1
5
85 36
180
49
180



En una serie de operaciones combinadas con fracciones, se efectúan
primero las operaciones indicadas entre paréntesis, después
las multiplicaciones y las divisiones en el orden en que aparecen y, finalmente,
las adiciones y las sustracciones.
Ë
Para operar con números mixtos,
podemos proceder de
dos maneras diferentes:
• Transformarlos en fracción.
• Considerarlos como sumas
de un número natural más
una fracción.
2
5
12
29
12
=
Operaciones
con números mixtos
2
5
12
2
5
12
= +
÷
÷
÷ ÷
52Distribución 3 24 48 …
6 12 24 …
3.6. Sucesiones con multiplicación y división
Los términos contiguos de una sucesión pueden estar relacionados de distintas
formas; por ejemplo, pueden hacerlo mediante el producto o la división para
un número.
Para encontrar los términos siguientes en este tipo de sucesión, seguimos el
procedimiento descrito:
2; 14; 26; 38; 50
El ejemplo anterior no es
una sucesión con multiplicación
porque, a partir del
segundo término, los valores
se obtienen al sumar
12 al término anterior.
CONTRAEJEMPLO
Para encontrar el siguiente término de la sucesión: −1; 5; −25; 125; …
1. En primer lugar, dividimos cada término de la sucesión para el anterior.
125 ÷ −25 = −5 −25 ÷ 5 = −5 5 ÷ −1 = −5
2. Si todos los cocientes son iguales, ese número es el que relaciona a los términos
de la sucesión.
3. A continuación, multiplicamos cada término por el cociente que obtuvimos
en el paso anterior.
125 −5 = −625
4. Finalmente, formamos el conjunto de los términos de la sucesión, añadiendo
el término que acabamos de encontrar.
−1; 5; −25; 125; −625
ejemplo 3
Ë Dividimos cada número de la sucesión para su término anterior.
Si el cociente que encontramos entre los términos sucesivos es el mismo,
significa que todos los términos están relacionados por el producto de
este número.
Ë
Para hallar un término de la sucesión, debemos multiplicar el cociente
que obtuvimos en el primer paso por el término anterior de la sucesión.
Ë
Ë Añadimos el nuevo número a los términos de la sucesión.
6 12
3
Ë Observamos la sucesión.
6 ÷ 3 12 ÷ 6 24 ÷ 12
3 6 12 24
2 2 2
12 2 24
Término anterior
48
Cociente Nuevo término
2
Cociente Nuevo término
Dividimos cada número para su término anterior en la sucesión.
Como el cociente es el mismo, los términos de la sucesión están relacionados por el producto de
este número: 1/3.
Para hallar el nuevo término de la sucesión:
Multiplicamos el último término por el cociente encontrado:
3 = 1
Añadimos el último número encontrado a los términos de la sucesión, en la posición que le corresponda.
81; 27; 9; 3; 1 ; …
Al dividir cada término para el anterior en la sucesión, el resultado puede
ser un número entero o un número racional. Si el cociente es un número
racional, debemos realizar el mismo procedimiento que usamos cuando
los términos están relacionados por el producto de un número entero.
Así, para encontrar la relación entre los términos de la siguiente sucesión:
81; 27; 9; 3; …
Dividimos
Hallamos
Procedimiento
Completa en tu cuaderno los términos que faltan
en las siguientes sucesiones.
a) −1; 1; −1; ……. ;−1; ……. ; ……. ; 1; …
b) ……. ; ; 2; 3; ……. ; ……. ; …
c) ; ; ; ……. ; …….; 4 ; …
d) ……. ; …….; …….; − ; ; − ; …
Encuentra los tres siguientes términos de la sucesión
y el número que los relaciona.
a) ; ; 7; 14; …… ; ……. ; ……. ; …
b) −2; −1; − ; − ; ……. ;……. ; ……. ; …
c) − ; ;− ; ; ……. ;……. ; ……. ;…
d) ; ; 1; 3; ……. ; ……. ;……. ; …
50 51
Actividades §
4
3
1
8
1
4
1
2
1
9
1
3
9
4
27
8
81
16
3
8
1
4
1
6
1
9
1
2
1
4
7
4
1
3
1
3
1
3
1
3
7
2
Multiplicamos
Añadimos
Ë
Ë
Ë
Ë
3 ÷ 9 = 9 ÷ 27 = 27 ÷ 81 =
Las sucesiones que se forman al multiplicar un mismo número por el
término anterior son conocidas como progresiones geométricas.
Ë
54Distribución 3.7. Potenciación y radicación
En algunas ocasiones, podemos encontrarnos con multiplicaciones de números
racionales iguales, como la siguiente:
cuatro veces
Este producto puede expresarse como , y es la potencia de base el
número racional y exponente el número natural 4.
Para calcular la potencia de un número racional, calcularemos la potencia de uno
de sus representantes, generalmente el canónico por sencillez.
Así, por ejemplo:
Si el exponente de la potencia es un número entero negativo, podemos transformarla
en otra de exponente positivo. Observa:
Las operaciones con un número racional como potencia de base y con un número
entero como exponente se efectúan de manera similar a las operaciones
que contienen una fracción como potencia de base y como exponente, un número
entero.
2
5
4 ⎛
⎝ ⎜⎜

⎠ ⎟⎟ a
b a
b
b
a
–n
n
n ⎛
⎝ ⎜⎜

⎠ ⎟⎟

⎝ ⎜⎜

⎠ ⎟⎟

⎝ ⎜⎜⎞
⎠ ⎟⎟
= = 1
2
5
2
5
16
625
4
4
4

⎝ ⎜⎜

⎠ ⎟⎟
= =
a
b
a
b
n
n
n

⎝ ⎜⎜

⎠ ⎟⎟
=
2
5
2
5
2
5
2
5
⋅ ⋅ ⋅
MUCHO OJO 9
Multiplicación de potencias de la misma base Potencia de una potencia
División de potencias de la misma base Potencia de exponente 1
Potencia de un producto Potencia de exponente 0
a
b
a
b
a
b
m n m n ⎛
⎝ ⎜⎜

⎠ ⎟⎟

⎝ ⎜⎜

⎠ ⎟⎟

⎝ ⎜⎜

⎠ ⎟⎟
⋅ =
+
a
b
c
d
a
b
c
d
n n n
⋅ = ⋅

⎝ ⎜⎜

⎠ ⎟⎟

⎝ ⎜⎜

⎠ ⎟⎟

⎝ ⎜⎜

⎠ ⎟⎟
a
b
a
b
m
n
m n ⎛
⎝ ⎜⎜

⎠ ⎟⎟


⎜⎜⎜


⎟⎟⎟

⎝ ⎜⎜

⎠ ⎟⎟
=

a
b
a
b

⎝ ⎜⎜

⎠ ⎟⎟
1
=
a a 0 b 0
b

⎝ ⎜⎜

⎠ ⎟⎟
0
= 1; ≠ y ≠
n veces
a
b
a
b
a
b
a
b
a
b
a
a
a
b
n
n
n
n
n

⎝ ⎜⎜

⎠ ⎟⎟
= ⋅ ⋅ ⋅ =
=

⎝ ⎜⎜


− 1

⎟⎟
=

⎝ ⎜⎜

⎠ ⎟⎟
−n
b
a
n
2
5
a
b
a
b
a
b
m n m n ⎛
⎝ ⎜⎜

⎠ ⎟⎟

⎝ ⎜⎜⎞
⎠ ⎟⎟

⎝ ⎜⎜

⎠ ⎟⎟
: =

÷
Sabemos que calcular la raíz cuadrada de un número es buscar otro número que
elevado al cuadrado sea igual al primero.
si y sólo si
Así, por ejemplo:
pues
Podemos también calcular la raíz enésima de un número racional: es el número
racional que elevado a la potencia enésima es igual al primero.
si y sólo si
Una raíz de un número racional puede tener un resultado, dos o ninguno.
a
b
c
d
n ⎛
⎝ ⎜

⎠ ⎟
c =
d
a
b
n =
2
3
4
9
2 ⎛
⎝ ⎜

⎠ ⎟
4 =
9
2
3
=
a
b
c
d

⎝ ⎜

⎠ ⎟
2
= c
d
a
b
=
Raíz
Paridad del índice Impar Impar Par Par
Signo del radicando + − + −
Número de raíces Una (positiva) Una (negativa) Dos (positiva y negativa) No tiene.
Ordena de menor a mayor estos números racionales.
Hallamos el representante canónico de cada uno de los
números racionales.
Reducimos a mínimo común denominador los representantes
canónicos.
Finalmente ordenamos de menor a mayor los números originales.
40
128
25
256
3
4
11
32
5
16
4 1
= + <

⎝ ⎜

⎠ ⎟
<

⎝ ⎜

⎠ ⎟
<

⎝ ⎜

⎠ ⎟

0
256
256
88
256
81
256
80
256
80
256
, , , ,
1
11
32
81
256
5
16
5
16
, , , ,
5
16
11
32
3
4
40
128
25
2
0 1 4 ⎛
⎝ ⎜

⎠ ⎟

⎝ ⎜

⎠ ⎟

⎝ ⎜

⎠ ⎟
+ , , , ,
556
ejemplo 4
Efectúa:
a) c)
b) d)
Efectúa si es posible:
a) c)
b) d)
53
32
243
−16 5
25
1
81
−27 4
64
3
1
4
3 ⎛
⎝ ⎜

⎠ ⎟

1
3
1
3
8 3 ⎛
⎝ ⎜

⎠ ⎟⎛
⎝ ⎜

⎠ ⎟
:
1
3
1
5
3
4
4
⋅ ⋅

⎝ ⎜

⎠ ⎟
2
5
2
5
3 5 ⎛
⎝ ⎜

⎠ ⎟


⎝ ⎜

⎠ ⎟
52
Actividades §
Ú FÍJATE
Índice
del radical
Radicando Raíz
c
d
a
b
n =
343
729
7
9
3 = −343 = −
729
7
9
3 − = 16
81
4 ?
÷
16
81
2
3
4 =
56Distribución En una tienda de compraventa de automóviles hay 12 autos más nuevos que usados y estos últimos son los
del total. ¿Cuántos hay en total? ¿Cuántos son nuevos y cuántos usados?
En una excursión, un grupo de amigos recorre el primer día del trayecto y el segundo, los del resto,
dejando para el tercer día los 35 km restantes. ¿Cuál es la longitud total del trayecto?
Irene recibe $ 4 prestados de Alba. Pero ésta había pedido $ 9 prestados a Ramón y $ 19 a Toa. Además,
Toa debe $ 2 a Ramón y $ 4 a Irene. Un día se reunieron todos en casa de Irene para arreglar las cuentas.
¿Quién se marchó con 11 dólares más de los que trajo? (Dibuja un diagrama con flechas para indicar quién
tiene que devolver dinero a quién.)
56
55
54
2
5
2
3
2
5
Actividades §
Estrategia: Confección de un esquema
En muchos problemas, la confección de un esquema y/o gráfico sobre el que vas traduciendo
las condiciones y los datos del enunciado puede ayudarte a organizar tus ideas y abrirte el camino
para abordar su resolución.
Comprensión del enunciado
Leemos de nuevo el enunciado y anotamos qué es
lo que se busca y de qué datos disponemos.
• Debemos calcular ...........................
• La energía del petróleo es ....................... y la del carbón
.......................
• Del resto, la energía del gas natural es ...........................
y la de las centrales nucleares ...........................
• La energía procedente de fuentes renovables es
...........................
Planificación de la resolución
Vamos a elaborar un esquema del problema.
— Representamos la energía total mediante un segmento.
— La mitad de ese segmento representará la energía
procedente del petróleo y la quinta parte, la procedente
del carbón. Calculamos la fracción que representa
el resto.
— Dividimos el resto del segmento en cinco partes.
Dos de estas partes representan la energía procedente
del gas natural y dos, la procedente de
centrales nucleares. Calculamos la fracción correspondiente
a la parte restante.
— La parte restante, de , representa
6 660 ktep.
Hallaremos la cantidad cuyos son 6 600 ktep.
Ejecución del plan de resolución
— Resolvemos:
de x = 6 660 ⇒
La energía consumida fue de 111 000 ktep.
Revisión del resultado y del proceso seguido
Comprobamos que la mitad del total más un quinto,
más cuatro quintos del resto y más 6 660 coincide con
111 000 ktep.
x = 6 660 × =
50
3
3 111000
50
3
50
3
10
3
50
=
1
5
La procedencia de la energía que ha consumido un país el año pasado es la siguiente: la mitad se ha
obtenido del petróleo y una quinta parte del carbón. Del resto, dos quintas partes se extraen del gas
natural, dos quintas partes de centrales nucleares y 6 660 ktep de fuentes renovables. (1 ktep = 1 000
toneladas equivalentes de petróleo)
¿Qué cantidad de energía fue consumida en ese país durante el año pasado?
12
15
12
153
1 – – = 10
15
3
10
3
en = 50
Cómo resolver problemas
En resumen
° Los términos de una fracción son el numerador
y el denominador.
El denominador indica el número de partes iguales
en que se ha dividido la unidad.
El numerador expresa las partes que hemos tomado.
° Las fracciones que representan la misma parte
de la unidad se denominan fracciones equivalentes.
Dos fracciones son equivalentes si se verifica
que el producto del numerador de la primera
por el denominador de la segunda es igual al producto
del denominador de la primera por el numerador
de la segunda.
Podemos obtener fracciones equivalentes a una
dada por amplificación o por simplificación.
° Una fracción irreducible es aquella fracción que
no puede simplificarse. Su numerador y su denominador
son números primos entre sí.
° El proceso por el cual transformamos dos o más
fracciones en otras equivalentes con el mismo denominador
se llama reducción a común denominador.
Reducir fracciones a mínimo común denominador
significa hallar unas nuevas fracciones
equivalentes a las primeras cuyo denominador es
el mínimo común múltiplo de los denominadores
de las fracciones dadas.
° Para sumar o restar fracciones con el mismo denominador,
se deja el mismo denominador y se
suman o restan los numeradores.
Para sumar o restar fracciones con distinto
denominador, primero se reducen a común denominador
y, a continuación, se efectúa la suma
o la resta de las fracciones obtenidas.
° El producto de dos fracciones es otra fracción
cuyo numerador es igual al producto de los numeradores
y cuyo denominador es igual al producto
de los denominadores.
° Para dividir dos fracciones, multiplicamos la fracción
dividiendo por la inversa de la fracción divisor.
° En una serie de operaciones combinadas con
fracciones, primero se efectúan los paréntesis,
después las multiplicaciones y las divisiones
según el orden en que aparecen y, finalmente, las
adiciones y las sustracciones.
con ellas
efectuamos
pueden ser
también se
llaman
representan
Números
fraccionarios
Fracciones
equivalentes
Operaciones
Fracciones
Adición
Sustracción
Multiplicación
Potenciación
Radicación
Una división
Una razón
División
Fracción de una fracción
Operaciones combinadas
Una parte de la unidad
con ellas
formamos Sucesiones
Síntesis
58Distribución Ejercicios y problemas integradores
• Un carro costó inicialmente $10 480. Al cabo de unos años se vendió a la
mitad de su precio. Pasados unos años, volvió a venderse por la mitad y así, sucesivamente.
a) ¿Cuánto le costó el carro al quinto propietario?
b) ¿Cuál es la suma total pagada por ese auto?
Este problema lo podemos resolver aplicando los conocimientos de sucesiones
y las operaciones con números fraccionarios positivos, observa:
• Primer propietario a1: 10 480
• Segundo propietario a2: 10 480 ÷ 2 = 5 240 o lo que es lo mismo
10 480 = 5 240
• Tercer propietario a3: 5 240 ÷ 2 = 2 620 o lo que es lo mismo
5 240 = 2 620
• Cuarto propietario a4: 2 620 ÷ 2 = 1 310 o lo que es lo mismo
2 620 = 1 310
• Quinto propietario a5: 1 310 ÷ 2 = 655 o lo que es lo mismo
1 310 = 655
• Ahora sumamos: 10 480 + 5 240 + 2 620 + 1 310 + 655 = 20 305
R: El quinto propietario pagó $ 655 y por el auto se pagó un total de $ 20 305
Otra forma de conocer, cuánto pagó el quinto propietario es:
Llamaremos a la variación de precio , razón.
Número de veces que se vendió el auto: n
Cualquiera de los propietarios (a2 a3 a4 a5) excepto el primero: an
Número veces que se devaluó el auto: (n-1) es decir, las veces que se vendió
menos la primera venta.
10 480, 5 240, 2 620, 655
• Esta expresión es igual a:
• Observamos que existen cuatro de factores iguales, entonces lo expresamos
como una potencia:
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2 )
)
1
2
x 1
2
x 1
2
x
1
2
10 480 × 655
1
2
×
1
2
×
1
2
× =
1
2
10 480 × ( ) = 655 4
• Relacionemos cada uno de los valores con los datos del problema.
Un empresario obtuvo, el primer año de su negocio, unos beneficios de
$ 410 427. El segundo año, obtuvo la tercera parte de esos beneficios; el tercer
año, la tercera parte del segundo, y así sucesivamente. Se mantuvo el negocio
durante seis años, ¿cuáles fueron los beneficios obtenidos el último año?
Beneficios del primer año: a1
Beneficios del quinto año: a6
Variación del beneficio anual: r = 1/3
Número de años que obtuvo beneficios con la misma variación: (n-1), es decir
el total de años menos el primer año.

• Reemplazamos los valores de los
datos.
• Resolvemos primero lo que se
encuentra dentro de paréntesis
como exponente.
• Hallamos la potencia y después
multiplicamos y dividimos.
a × 1 an r(n–1)=
a6 410 427 × =
1 5
3 ( )
a6 410 427 × 1 =
729
410 427 = 563
729
a6 410 427 × =
1 (6–1)
3 ( )
Quinto propietario: a
1
5 Costo inicial
del auto: a Número de veces que se
devaluó el auto: (n - 1)
Variación de precio: r = 1/2
1
2
10 480 × ( ) = 655 4
a × 1 an r(n–1)=
Al reemplazar los valores por los datos iniciales
obtenemos una fórmula que nos ayudará a calcular
cualquier término de una progresión geométrica.
R: El empresario, el quinto año ganó $ 563.
Practica
En un pozo hay 60 000 m3 de agua. Esta semana se observó que había disminuido
a la mitad, la siguiente semana la mitad de lo anterior y así sucesivamente. ¿Qué
cantidad de agua contendrá el pozo la sexta semana?
Ejercicios y problemas
60Distribución Fracciones
Explica qué es una fracción y en qué casos es conveniente
el uso de fracciones. Ilustra tu explicación
con ejemplos.
Nombra las siguientes fracciones y represéntalas
gráficamente.
Escribe estas fracciones: dos tercios, once quinceavos,
trece décimos, dieciséis sesenta y cuatroavos.
Escribe las fracciones representadas y exprésalas
en forma de división.
Expresa las siguientes divisiones en forma de fracción
y halla su resultado.
a) 9 ÷ 5 b) 7 ÷ 5 c) 3 ÷ 8 d) 2 ÷ 4
Observa la siguientes figuras y completa:
• La razón entre la cantidad de números enteros
positivos y la de negativos es .
• La altura del primer libro es de la altura del
segundo libro.
Di si estas fracciones son propias,
impropias o iguales a la unidad.
— Si alguna de estas fracciones puede expresarse
mediante un número natural o mixto, transfórmala.
Calcula:
a) de 1 000 dólares c) de 49 h
b) de 243 personas d) de 50 km
Calcula el valor que falta.
a) de .….. = 200 c) de .….. = 15
b) de .….. = 80 d) de .….. = 48
Fracciones equivalentes
Di si son equivalentes los siguientes pares de
fracciones.
a) y b) y c) y
Escribe tres fracciones equivalentes a cada una de
las dadas.
Determina la fracción equivalente a que tiene
por denominador 21.
Completa los términos que faltan para que estas
fracciones sean equivalentes.
a) c)
b) d)
Halla la fracción con denominador 25 equivalente
a la fracción representada por la división 3 ÷ 15.
57
58
11
12
3
5
17
5
2
3
3
10
7
2
4
8
, , , , , ,
59
60
61
62




63
11
26
27
15
17
17
10
2
3
2
7
14
8
5
, , , , , ,
64
4
7
3
5
4
2
2
9
65
3
5
1
5
3
4
4
7
66
185
250
37
50
85
192
17
64
120
175
24
35
67
15
64
36
35
81
128
77
26
22
33
, , , ,
2
7
68
69
4

12
15
=
2
3
8

=
16
20

10
=
5
7

21
=
70
a
b
c
1
2
−15
−2
4
5
−3
3
−8
−1
−34
−18
+17
9 Comprensión de conceptos y conocimiento de procesos En tu cuaderno
Simplifica las siguientes fracciones.
a) b) c) d)
Halla la fracción irreducible equivalente a cada una
de estas fracciones.
a) b) c) d)
¿Es posible que la fracción irreducible de otra
fracción sea ? ¿Por qué?
Reduce a común denominador:
a) y b) , y
Ordena de menor a mayor las fracciones de cada
uno de los siguientes apartados.
a) c)
b) d)
Operaciones con fracciones
Efectúa las siguientes operaciones y, si es posible,
simplifica el resultado obtenido.
a) d)
b) e)
c) f)
Calcula:
a) de b) de
Resuelve:
a) c)
b) d)
Material concreto: En una
cartulina A4, dibuja un cuadrado
de 20 cm x 20 cm;
traza líneas y escribe la
fracción que relaciona el
área de cada una de las
piezas con el área total del
tangram.
—Efectúa con las fracciones anteriores.
a) Área (pieza 2) + Área (pieza 3)
b) Área (pieza 4) − Área (pieza 5)
c) Área (pieza 1) + Área (pieza 6) × Área (pieza 7)
d) Área (pieza 4) : Área (pieza 3)
Luego, recorta las piezas y arma un triángulo y luego
un rectángulo con todas las piezas del rompecabezas.
Resuelve:
a)
b)
Resta la suma de y de la fracción .
Calcula:
Calcula mentalmente los números que faltan.
a) de 50 = … d)
b) de = e)
c) f)
Aplicación en la práctica
Un depósito tiene sus partes llenas de agua y
se sacan del agua que contiene.
a) ¿Qué parte del depósito está llena?
b) ¿Qué parte queda vacía?
73
75
74
6
5
14
3
7
2
25
9
, , ,
7
11
2
11
9
11
, ,
2
3
5
8
3
4
4
14
5
7
13
221
78
77
76
3
7
5
21
1
14
− +

⎝ ⎜

⎠ ⎟
5
3
1
2
3
4
+ +
8
5
17
10
3
2
− −

⎝ ⎜

⎠ ⎟
7
4
7
8
5
2
+ −
121
240
3
11
3
4
1
2
1
6
3
4
2 :
1
5
+
1
2
2
5
×
1
5
2
18

7
1
7
×
2
7
1
5
+
2
3
7
5
19
21
15
7
, , ,
2
5
2
3
2
17
, ,
71
702
1625
24
15
65
143
18
36
72
150
900
14
69
21
27
24
80
79
80
2
3
4
2
5
2
1
6
+ × +

⎝ ⎜

⎠ ⎟ 4
6
3
2
3
4
1
6
+ × −

⎝ ⎜

⎠ ⎟
5
6
2
7
1
5
81
3
7
4
1
3
7
15
2
2
5
2
7
− × +
× −

⎝ ⎜

⎠ ⎟

⎝ ⎜

⎠ ⎟

⎝ ⎜

⎠ ⎟
82
83
17
6


6
=
1
5
4
10
1
5

10
+ =
3
10


1
2
4
10
1
5

10
: = = …
2
7
14

=
84
1
2
5
6 7
3 4
2
3
5
8
.
62Distribución Para realizar un trabajo de Lengua se recomienda
un libro de lectura que tiene 162 páginas. Juan ha
leído de las páginas del libro y a Óscar le
quedan por leer de las páginas del libro.
a) ¿Cuántas páginas ha leído cada uno?
b) ¿Cuál de los dos ha leído más páginas?
La distancia entre dos ciudades de la Costa es de
35 km. En un mismo instante, un auto sale de la
ciudad A hacia la ciudad B y otro sale de la segunda
hacia la primera. Transcurridos 15 min, han
recorrido respectivamente y de la carretera
que une los dos pueblos.
a) ¿Cuántos kilómetros ha recorrido cada automóvil?
b) ¿Se han cruzado los dos carros?
Un concurso musical consiste en adivinar los nombres
de distintas canciones. El concursante de Guaranda
ha adivinado 17 de las 30 canciones que
ha escuchado y el de Machala ha adivinado 16 de
las 25 canciones que ha escuchado. ¿Cuál de los
dos concursantes ha conseguido un mejor resultado?
Un excursionista ha escalado de una montaña
y aún le quedan 40 m para llegar al tercer tramo.
¿Qué altura tiene la montaña?
La distancia que separa dos pisos consecutivos
de un edificio nuevo es m. Un ascensor
que se encuentra en el piso 5 desciende hasta la planta
baja, sube hasta la planta 4 y desciende hasta el
primer piso. Dibuja el trayecto del ascensor y halla la
longitud del trayecto que ha recorrido.
Responde las siguientes preguntas:
a) ¿Qué fracción de la masa del Sistema Solar
está formada por el Sol?
b) ¿Qué fracción del hielo de un iceberg está sobre
el agua?
— Investiga en una página de ineternet.
Más a fondo
Una persona, que está realizando ejercicios, ha recorrido
3 km. Para recorrer el primer kilómetro ha tardado
10 minutos y en cada uno de los kilómetros
siguientes tarda menos del tiempo que ha
necesitado para recorrer el kilómetro anterior. Expresa
mediante un número mixto el tiempo que tarda
en recorrer los 3 km.
Observa en la figura de
la derecha lo que marca
la aguja del indicador
de la gasolina del
camión.
Añadimos 35 l y las partes del depósito están
llenas. ¿Qué capacidad tiene el depósito? ¿Cuántos
litros de gasolina había inicialmente en el depósito?
Se tiene un rectángulo y un cuadrado. La al tura del
rectángulo mide 24 cm y su base, los de la altura.
El perímetro del cuadrado es del perímetro
del rectángulo. Calcula el área del cuadrado.
Manuel ha pintado los de una pared en h.
¿Cuánto tiempo ha necesitado para pintar los
de la pared?
Material concreto: En grupos de 5, recorten 25 cartulinas
iguales y repartan 5 a cada alumno/a.
Cada alumno/a escogerá una de estas fracciones:
a) b) c) d) e)
y la escribirá en una cartulina. Además, calculará
cuatro fracciones equivalentes a la elegida y anotará
cada una de ellas en una cartulina.
Se mezclan las cartulinas y se reparten cinco a cada
participante.
Los cinco jugadores pasan a la vez al compañero/a
de la derecha la carta que no quieren, así sucesivamente,
hasta conseguir cinco fracciones equivalentes.
— Puedes organizar el mismo juego con fracciones
con el mismo denominador o con el mismo numerador.
90
87
86
3
7
3
5
95
94
93
92
91
89
88
10
12
25
100
3
7
2
3
1
2
2
3
1
1
2
3
4
1
2
5
4
5
6
1
20
2
1
2
1
7
40
81
85
A
35 km
B
_
@
13
27
:
En tu cuaderno
¡Un conflicto de... fracciones!
Un turista dio ocho monedas a dos fabricantes de quesos de Salinas por haber compartido su comida
con él. El primero aportó 5 quesos y el segundo aportó 3. El segundo fabricante pensó que le correspondían
3 monedas pero el primero dijo que a él le correspondían 7 de las ocho monedas. Llevaron este
problema a un juez y éste determinó que el primer fabricante tenía la razón.
Si tú fueses el juez, ¿cómo justificarías este reparto?
— Completa, en tu cuaderno, los términos de las fracciones que faltan para hallar la solución del problema.
Fracción de queso que come cada uno:
Fracción de queso que come el turista procedente del primer fabricante:
Fracción de queso que come el turista procedente del segundo fabricante:
Si hay 8 monedas, ……… monedas corresponden al primero y ……… monedas al segundo.
... –




=
Serie de figuras
a)
b)
Seis vasos
Mueve un solo vaso de manera que consigas esta
secuencia:
LLENO-VACÍO-LLENO-VACÍO-LLENO-VACÍO


8
3
Buen Vivir
Se entiende por medioambiente todo lo que
afecta a un ser vivo y condiciona especialmente
las circunstancias de vida de las personas o la
sociedad en su vida. Comprende el conjunto
de valores naturales, sociales y culturales existentes
en un lugar y un momento determinado,
que influyen en la vida del ser humano y en
las generaciones venideras. Es decir, no se trata
sólo del espacio en el que se desarrolla la
vida sino que también abarca seres vivos,
objetos, agua, suelo, aire y las relaciones entre
ellos, así como elementos tan intangibles
como la cultura.
Existen altos niveles de contaminación causados
por el hombre, pero no sólo el hombre
contamina, sino que también existen algunos
factores naturales que así como benefician,
perjudican al medio ambiente.

http://es.wikipedia.org/wiki/Medio_ambiente

Actividades
Piensen en algunas alternativas para utilizar
nuestros recursos sin dañar la naturaleza;
por ejemplo: el agua, el viento, el
sol, la tierra, etc.
Los ecuatorianos compartimos un espacio
diverso. ¿Cuál debe ser nuestro
compromiso para conservar adecuadamente
los recursos natrales como el
agua, el suelo y el aire?
Propongan alguna alternativa para aprovechar
la energía solar y un experimento
para comprobar su utilidad. Pueden recurrir
a Internet como fuente de consulta.
¿Qué vas a hacer para cuidar la naturaleza
en adelante?
1
2
3
4
Buen
Vivir
Educación ambiental
5 –
… …
=
_
Demuestra tu ingenio
64Distribución Historia Sección de historia
Autoevaluación
Los babilonios tenían símbolos
especiales para algunas
fracciones, que consideraban
como totalidades.
Los egipcios empleaban fracciones
con numerador unidad.
Para ello, colocaban un símbolo
especial encima del número que
actuaba de denominador.
Determinadas fracciones
egipcias se expresaban mediante
signos especiales.
Los griegos tendieron, al
principio, a usar fracciones
con numerador unidad,
como los egipcios.
Originariamente, los griegos
consideraron las fracciones
como razones geométricas.
Pero, en el período alejandrino,
ya les dieron entidad de
números.
Los hindúes indicaban las
fracciones escribiendo el numerador
encima del denominador.
Los árabes adoptaron el sistema
hindú y le añadieron la
barra horizontal. Así crearon
los símbolos que utilizamos
en la actualidad.
Los romanos usaban un sistema
fraccionario basado en la división
de la unidad en 12 partes.
1
3
1
10
1
110
1
3
3
4
1
2
1
4
Uno de tres Un tercio
1 onza
1
12
= as
1
2
2
3
1
2
2
3
1. Copia y completa en tu cuaderno:
2. Obtén la fracción irreducible de .
3. Resuelve:
a) b) c)
4. A un partido de fútbol, asistió las tres cuartas
partes del aforo y la mitad de los asistentes abandonó
el estadio antes de que finalizara el evento.
— Escribe los números fraccionarios que apa recen
en el texto.
— Si el aforo es de 45 000 espectadores, cal cula
cuántas personas había al final del partido.
1. Completen en su cuaderno:
a) de 750 = …....… b) de …....… = 720
2. Ordenen de menor a mayor:
3. Resuelvan:
a) b)
4. Estamos preparando la masa de un pastel y observamos
que es necesario añadirle un poco más
de azúcar. Le añadimos una cantidad equivalente
a un quinto del azúcar que ya tiene, con lo que finalmente
la masa del pastel contiene 600 g de azúcar.
¿Qué cantidad de azúcar habíamos puesto al
principio?
3
4
4
9
1
4
7
10
11
15
7
18
, , , , ,
2
3
1
5
1
7
2
3
+ 5 2
1
5
×
3
7
1
2
1
4
× :
1
5
9
1
6
− +

⎝ ⎜

⎠ ⎟
2
5
7
4
1
5
3
7
+ − ×

⎝ ⎜

⎠ ⎟
Coevaluación
Fracción Lectura Representación
…… …………………
2
7
………………… …………………
…… Siete quinceavos …………………
Si logras resolver el 70 % de estas actividades individuales y grupales, puedes avanzar.
225
600
÷
Estamos rodeados de
fracciones…
Además de estas fracciones, ¿sabrías decirnos
otras que aparecen en nuestro entorno?
Escalas y fracciones
Los mapas se dibujan a escala, es decir, re duciendo
el tamaño de manera proporcional. Así, por ejemplo,
si la escala de un mapa es 1 : 10 000 significa
que 1 cm en el mapa representa 10 000 cm
en la realidad, es decir, 100 m.
La razón entre el tamaño en el mapa y el real puede
expresarse también mediante la fracción
1 .
10 000
Las fracciones aparecen en situaciones tan distintas, como por ejemplo:
• En la compra: tres cuartos de kilogramo de naranjas, medio litro de zumo, media docena de huevos…
• En el tiempo de duración de las notas musicales (negra, corchea, semicorchea) o en el sonido de las notas musicales
(octavas).
• En las escalas de los mapas.
Música y fracciones
Tiempo de duración de las notas musicales
— Observa en la tabla la fracción de tiempo de duración
de la corchea y de la semicorchea respecto de la
negra.
Así, si una negra durase 1 segundo, ¿cuánto durarían
una corchea y una semicorchea? ¿Y si durase 3
segundos?
Sonido de una cuerda: octavas
Coge una cuerda tensa y púlsala: sonará
una nota. Ahora divide la cuerda
en dos y vuelve a pulsar: sonará
la misma nota pero una octava
más alta.
Pitágoras descubrió que existía una
relación entre la longitud de las cuerdas
y el sonido que producían, y determinó que las octavas
tenían una proporción o razón de 2 a 1.
Empezando por cualquier cuerda, puede subirse la escala
disminuyendo la longitud de la cuerda según simples
fracciones.
Así, si partimos de una cuerda que nos da el do, los
de ésta dan re; los , mi; los , fa;
los , sol; los , la; los , siy , el do de
una octava más alta.
1
2
128
243
16
27
3
4
64
81
2
3
8
9
un cuarto de hora
media docena una milésima
un décimo
Nombre Símbolo Tiempo
Negra 1
Corchea
Semicorchea
1
2
1
4
Escala 1:10 000
Escala 1:10 000
Las TIC y la Matemática
Crónica matemática
Ejercicios y problemas
35. a) −1 500 socios; b) +114 m; c) −2 piso; d) +3 pisos.
37. −6 ; −1; +2, +7.
39. +12 y −12; +170 y −170; +55 y −55
41. −6 < +4; +3 > 0; −2 < 2; −5 > −8.
43. a) Falsa. Entre −3 y 3 sólo hay cinco números enteros: −2, −1, 0,
1 y 2.
b) Falsa, ya que | −6| > |−5|.
c) Cierta. Los cinco números enteros son: −2, −1, 0, 1 y 2.
45. a) +15 b) +13 c) −32 d) −7
47. Asociativa. Respuesta abierta.
51. op (?) = −5 → ? = +5
? + 3 = +5 → ? = +2
El entero +2.
53. a) 13; b) 10; c) 0; d) 4.
55. a) 2; b) 3; c) 5.
57. a) −12; b) −18; c) 72; d) −28; e) 35; f) −80.
59. a) 340; b) 40.
61. a) −343; b) −64; c) 256; d) 16; e) −16; f) 81.
63. a) ±17; b) ±122; c) ±352; d) 2; e) 2; f) 3.
65. Pitágoras vivió 75 años.
Aristóteles vivió 62 años.
Aristóteles nació el año 384 a. C.
67. Se encuentra a 60 cm del suelo.
69. Inicialmente estaba en la planta 3.
71. En cada uno de los trayectos ha recorrido 60 km.
73. 4 + 3 × (−2) + 3 × (−1) = −5
A medianoche la temperatura era −5 °C.
75. En un mes ahorran 966 dólares.
— Sí, ya que en 4 meses ahorrarían 4 × 966 = 3 864 dólares.
77. Su oficina está en la planta 7.
79. Son dos números opuestos.
81. Nació en 598. Su principal obra es Brahmasphutasiddhanta (Sistema
revisado de Brama).
83. a) 4 < 8; b) 0 < 14; c) 8 = 8.
El valor absoluto de la suma de dos o más números es menor o
igual que la suma de los valores absolutos de dichos números.
Demuestra tu ingenio
Consigue el 0
Tres doses
(2 2) 2 = 42 = 16; −(2 2) 2 = −42 = −16
Adivinanza
Un agujero.
Buen Vivir
5. La diferencia es de 31 °C.
Autoevaluación
1. Respuesta sugerida:
El auto está en la planta −3. La temperatura pasó de +5 °C a −3 °C.
El submarino llegó a −1 400 m.
3. No, puesto que el primer número podría ser negativo y el segundo
positivo. Por ejemplo, −5 > +3 pero −5 < +3.
— Los números mayores de cada par son: 6, −2, 0 y 5.
5. a) −128; b) −32; c) 81.
Coevaluación
1.
−4 < −3 < −1 < 0 < +2 < +5 < +6
3. a) −9; b) 5.
5. 51 − 22 − 7 − 2 + 4 = 24
Eva tiene 24 años.
Ejercicios y problemas
57. Respuesta abierta.
59. ; ; ;
61. a) = 1,8; b) = 1,4; c) = 0,375; d) = 0,5.
63. Propia, impropia , igual a la unidad
, impropia , impropia
, propia e impropia .
65. a) 1 000; b) 140; c) 25; d) 64.
67. Respuesta abierta.
meros enteros 1Módulo
Números fraccionarios 2 Módulo
3
2
1
5
4
7
5
1
2
0
6
4
−3
−6
0 +30
31
–1
–4 –3 –1 0 +2 +5 +6
73. No, porque 221 =

13 y, por tanto, la fracción es reducible.
75. a) ; b) ;
c) ;
d) .
77. a) ; b) .
79. Área (pieza 1) = , Área (pieza 2) = ,
Área (pieza 3) = , Área (pieza 4) = ,
Área (pieza 5) = , Área (pieza 6) = ,
Área (pieza 7) = .
a) , b) , c) , d) 2.
81.
83. a) 10; b) ; c) 49; d) 2, 5; e) 6; f) 20, 2.
85. a) de 162 = 80. Juan ha leído 80 páginas.
de 162 = 84. Óscar ha leído 84 páginas.
b) Óscar ha leído más páginas.
87. , ya que
El concursante de Machala ha conseguido un mejor resultado.
89.
Del piso 5 a la planta baja:
De la planta baja al piso 4:
Del piso 4 al primer piso:

Longitud del trayecto:
m.
91. Tiempo del segundo kilómetro:
Tiempo del tercer kilómetro:
Tiempo total:
Ha necesitado minutos para recorrer los tres kilómetros.
93. Base del rectángulo: de 24 cm = 30 cm
Perímetro del rectángulo: 2 × (24 + 30) = 108 cm
Perímetro del cuadrado: de 108 cm = 54 cm
Lado del cuadrado: cm = cm
Área del cuadrado:
A = a × a = × = cm2
Demuestra tu ingenio
¡Un conflicto de… fracciones!
; ; 7; 1
Serie de figuras
a)
b)
Seis vasos
Autoevaluación
1. , tres medios; dos séptimos,
.
,