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TEORIA DE EXPONENTES EJERCICIOS Y PROBLEMAS RESUELTOS EN PDF Y VIDEOS

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Esta unidad es importante para el estudiante porque le permite identificar, reconocer qué propiedades se pueden aplicar para solucionar un problema planteado. Además la expresión an se puede extender al caso que “n” no sea un entero positivo , siempre que el desarrollo sea consistente con las leyes de los exponentes. Es decir, los exponentes pueden ser enteros positivos o negativos o cero, números racionales o complejos.

Al finalizar la unidad el alumno será capaz de:

* Identificar los diferentes exponentes y el significado de cada uno de ellos .

* Realizar las operaciones de multiplicación y división de potencias en una misma base .

* Expresar un número de diferentes formas , como potencias de una cierta base .

* Entender que las leyes de exponentes son la base para el manejo de los distintos tipos de operaciones y artificios dentro de la matemática

OBJETIVOS :
 Dar a conocer explícitamente las diversas propiedades de la potenciación con exponente natural.
 Analizamos cada una de las leyes o propiedades innatas; introduciendo así una visión moderna de estos teoremas en base a ejercicios sencillos que el alumno pueda captar.
 Capacitar para que así se reconozca los exponentes mayores de cocientes productos, potencias.
 Dejar atrás los esquemas domésticos de la “teoría de exponentes” clásicos conociendo teoremas asociados con el concepto del valor absoluto.
 Establecer el conocimiento de las propiedades de la radicación en el conjunto de los números reales (R)
 Dar a conocer que la radicación se genera por la presencia del exponente fraccionario.
 Exponer las propiedades de exponentes que han de servir también para números trascendentes.
 Esperar que el alumno adquiera la habilidad y práctica necesaria para resolver cualquier ejercicio por difícil que parezca; haciendo uso de leyes de exponentes.
Lectura

¿CUÁL ES EL VALOR DE 0°?
La respuesta más simple es 0° es una expresión sin significado matemático.
Una respuesta más informativa sería: 0° es una expresión indeterminada.
Para explicar estas respuestas, tal vez sea mejor examinar dos ejemplos más simples de fórmulas desprovistas de significado matemático, que son De acuerdo con la definición de división, significa que . Por tanto, si escribiésemos estas igualdades significarían que 0=0. x y 1=0. y Ahora bien, TODO número x es tal que y NINGÚN número y es tal que 0.y=1. Por eso se dice que es una “expresión indeterminada” y que es una “división imposible”. (Más generalmente, toda división del tipo , con es imposible).
Volviendo al símbolo 0°, recordamos que las potencias de exponente cero fueron introducidas a fin de que la fórmula , que es evidente cuando m>n, continúe siendo válida para m=n. Haciendo am=b tenemos entonces luego b0=1 si b0. En el caso b=0, la igualdad tomaría la forma , lo que lleva a considerar 00 como una expresión matemática.
Esta conclusión también es reforzada por el siguiente argumento: como 0y=0 para todo y0, sería natural hacer 00=0; por otra parte, como x0=1 para todo x0, sería también natural hacer 00=1. Luego, el símbolo 00 no posee un valor que se imponga naturalmente, lo que nos lleva a considerarlo como una expresión indeterminada.
Las explicaciones anteriores tienen carácter elemental y abordan el problema de las expresiones indeterminadas a partir del intento de extender ciertas operaciones aritméticas a casos que no estaban contemplados en las definiciones originales de esas operaciones. Existe, sin embargo, una razón más profunda, que resulta de la teoría de los límites, en virtud de la cual (así como otras fórmulas análogas) son expresiones indeterminadas.
Se escribe limxa f(x)=A para significar que el número A es el valor para el cual tiende el valor f(x) de la función f cuando x se aproxima a a. Se sabe que si limxa f(x)=A y limxa g(x)=B entonces limxa f(x)/g(x)=A/B, siempre que sea B0. Por otra parte, cuando limxa f(x)=0 y limxa g(x)=0 entonces no se puede garantizar nada con respecto al límite del cociente f(x)/g(x) cuando x se aproxima a a. Dependiendo de las funciones f y g que se escojan, se puede conseguir que el cociente f(x)/g(x) tenga como límite cualquier valor c dado de antemano, o también que no tienda a ningún límite. Por ejemplo, si tomamos f(x)=c(x–a) y g(x)=x–a entonces f(x)/ g(x)=c para todo xa, luego limxa f(x)/g(x)=c. Por este motivo se dice que 0/0 es una expresión indeterminada.
Análogamente, dado a priori cualquier número real c>0, podemos hallar funciones f, g tales que limxa f(x)=0, limxa g(x)=0 mientras que limxa f(x) g (x)=c. Basta, por ejemplo, tomar f(x)=x y g(x)=log c/log x; esto hace que f(x) g (x) = x log c/log x = c para todo x>0, luego limx0 f(x) g (x)=c. (Para convencerse de que x log c/log x = c, tome logaritmos en ambos miembros de esta igualdad).
Por tanto, cuando limxa f(x)=0 entonces limxa f(x) g (x) puede tener cualquier valor c, dado de antemano, siempre que escojamos convenientemente las funciones f y g. Entonces se dice que 00 es una expresión indeterminada.
CONCEPTO:
Las leyes de exponentes constituyen un conjunto de proposiciones deducidos a partir de los axiomas del sistema de los números reales, que trata sobre el estudio de los exponentes y de las relaciones que se dan entre ellos.
Las operaciones algebraicas que permiten la presencia de los exponentes, son la Potenciación y la Radicación.

POTENCIACIÓN (En R)
Es aquella operación algebráica que se genera por la presencia del EXPONENTE NATURAL , el cual nos indica el número de veces que debe repetirse otra cantidad llamada base, como factor.
ALGORITMO:
donde: n : exponente natural
a : base de la potencia
b : potencia enésima

EXPONENTE NATURAL NO NULO

Ejemplos explicativos:
• 45 = 4 · 4 · 4 · 4 · 4 = 1 024
• (–2)6 = (–2) (–2) (–2) (–2) (–2) (–2) = 64
• (–7)3 = (–7) (–7) (–7) = –343
Podemos establecer la siguiente regla de signos para potencias de base negativa:

Por ello: (–3)4 = +34 = 81
(–5)3 = –53 = –125
Recíprocamente, según la definición del exponente natural, se verifican:

Tener en cuenta, que la igualdad algebraica:

no tiene sentido, ya que no es un número natural.

PROPIEDADES DE LA POTENCIACIÓN
Teorema 1
Multiplicación indicada de bases iguales.

Ejemplos Explicativos:
• 33 · 3· 32 = 33+1+2 = 36 = 729

• m3x + 4y . m5x – 3y = m3x + 4y + 5x – 3y = m8x+y

Teorema 2
División indicada de bases iguales.

Ejemplos Explicativos:


En el teorema 2, si a = 0, se tendrá:

Consecuencias del Teorema 2:
Corolario 1.- Ley del exponente cero

Ejemplos Explicativos:




En el corolario 1, si a = 0,se tendrá:

Por ejemplo:
• Si m0;
(5m0 – 5)0 = 00 = Valor indeterminado
En el sistema ampliado de los números reales, los símbolos (+¥) y (–¥) son elementos del conjunto R, y con estos se puede demostrar que:

Corolario 2.- Ley del exponente negativo o del inverso multiplicativo.

Ejemplos Explicativos:



transformemos la expresión :

Observar que (2n-1) nos expresa un número impar cualquiera, para todo “n” natural.
En el corolario 2, si a = 0, se tendrá:

Es decir, cero elevado a un exponente negativo, no esta definido en el conjunto R. Esto se sustenta, por la ley del inverso multiplicativo, que dice:

Por ejemplo:
• El valor numérico de T = (a2+a3)-1
Para a = –1, es inoperable; ya que:

Teorema 3
Propiedad distributiva de la potenciación respecto a la multiplicación.

Ejemplos Explicativos:
• 30m = (2 · 3 · 5)m = 2m · 3m · 5m
• (x2 – y2)3=[(x + y) (x – y)]3=(x + y)3 (x – y)3

Corolario 3.- Generalización del Teorema 3.

Por ejemplo:
• (x5 y3 z4)2 = x10 y6 z8

Teorema 4
Propiedad distributiva de la potenciación respecto de la división.

Ejemplos Explicativos:


Corolario 4.- Inverso multiplicativo de una fracción (Equivalente del Corolario 2).

Ejemplos Explicativos:




Teorema 5.- Potencia de potencia.

• (x3)4 = x3.4 = x12
• {(22)4}2 = 22 · 4 · 2 = 216 = 65 536
• Para , efectuemos:

I.
II.
Debido a esto último, debemos tener
en cuenta la propiedad:
POTENCIA EN CADENA DE EXPONENTES

Por ejemplo:

VALOR ABSOLUTO
Sea “a” un número real y “P” un número natural no nulo, se define:

RADICACIÓN (En R)
Es aquella operación algebráica que se genera por la presencia del EXPONENTE FRACCIONARIO, que consiste en hallar una cantidad llamada RAIZ, de tal manera que elevado al valor del índice nos reproduce otra, denominada SUBRADICAL o RADICANDO.
Algoritmo:
donde n : índice del radical
a : subradical o radicando
b : raíz enésima
EXISTENCIA Y UNICIDAD DE LA RAÍZ
En el conjunto de los números reales, los radicales de índice par cuyas cantidades subradicales son negativas no estan definidos. En los demás casos se establece la existencia de la raíz, cuyo valor intrínseco es único.
EXPONENTE FRACCIONARIO

Ejemplos explicativos:
• 491/2 =
• 641/3 =
• (–32)1/5 =

Podemos establecer la siguiente regla de signos para las raíces, cuyos subradicales son positivos o negativos, veamos:

Donde las cantidades (2n + 1) y 2n nos expresan una cantidad impar y par respectivamente:
Ejemplos diversos:
• •
• •

PROPIEDADES DE LA RADICACIÓN
Teorema 6
Generalización del exponente fraccionario.

Ejemplos Explicativos:


TEOREMA RECIPROCO

Por ejemplo:

Es importante observar que si “n” es un número par, el valor de “a” no debe ser un real negativo.
Debido a esto se tiene:
Teorema General 7

Ejemplos Explicativos:


• Si x < 0; efectuar Corolario 5 Si “n” es par,el valor de “a” no debe ser negativo. Corolario 6 tal que , se cumple: Si “np” es par, el valor de “a” no debe ser negativo. Ejemplos Explicativos: • • • Teorema 8 Raíz de una multiplicación indicada. Si “n” es par, “a” y “b” por separados no deben ser negativos. Por ejemplo: • Teorema 9 Raíz de una división indicada. Si “n” es par, “a” y “b” por separados no deben ser negativos. Por ejemplo: • Las siguientes propiedades se pueden generalizar del siguiente modo: I. ; siendo “n” par II. ; siendo “n” par Los valores de “a” y “b” pueden ser del mismo signo. Teorema 10 Raíz de Raíz. Ejemplos Explicativos: • • = | x3 | = x3; si x > 0
Finalmente, no debemos olvidar los siguientes detalles, en la transformación de un radical:



PROPIEDADES AUXILIARES
P1.
Ejemplos explicativos:




• Sabiendo que a > 0, efectuar:

• Con el número real x < 0, efectuar:

P2.
Por ejemplo:

P3.

Por ejemplo:
P4.

Por ejemplo:

P5.

Por ejemplo:

GENERALIZACIÓN DE LAS PROPIEDADES
A mediados del siglo XIX como consecuencia del descubrimiento de nuevas propiedades del conjunto R, los matemáticos establecieron una clasificación moderna de los números reales sustentada en los aportes de CANTOR, CAUCHY, WEIERSTRASS y fundamentalmente DEDEKIND, según el esquema siguiente:

Concepto
Un número real será algebraico si es raíz de una ecuación polinomial de coeficientes enteros, tal como se muestra:

Siendo:
Por ejemplo:

Son números algebráicos aquellas cantidades numéricas que no verifican la definición anterior, serán trascendentes, tales como:

Las propiedades de exponentes expuestas inicialmente se pueden extender también para números trascendentes; estableciendo de esta manera su generalización, independientemente de su naturaleza.
Para ciertas cantidades trascendentes es necesario aplicar las siguientes propiedades:
P6.
Por ejemplo:
P7.
Por ejemplo:



P8.
Por ejemplo:

PROPIEDADES DIVERSAS

R1.
R2.

R3.

R4.

R5.

CASOS ESPECIALES
A) “n” puede ser PAR o IMPAR

B) se cumplen:

FÓRMULAS DE APROXIMACIÓN
AL INFINITO

C)

D)

EXPONENCIAL CONTINUO E INFINITO
Propiedad (I)
Se establece:
Siendo 0 < n < e, el intervalo de convergencia. En el cual el número «e» es la base de los logaritmos naturales, cuyo valor resulta de la serie infinita: Propiedad (II) Si: APLICACIONES USUALES 1) Sabiendo que: Evaluar: efectuando: De los datos: Por definición: 2) Considerando que x > 0 e y < 0
Efectuar:
Por el Teorema 8:
Por definición: E = |x| · |y|
Por datos: R = (x) (–y) = –xy

3) Tomando m < 0, se pide reducir:
Por el Teorema 5:
Aplicando la definición: E = |m3|
Según el dato ; m < 0 m3 < 0
Luego, se tendrá: E = –m3

4) Si 1 < x < 2; Simplificar la expresión:

Como 1 < x < 2, se tendrá:
5 < x + 4 < 6 |x + 4 | = x + 4
–5 < x – 6 < –4 |x – 6| = –(x – 6) y además: |x| = x; luego: PROPIEDADES BÁSICAS P1. P2 P3. P4. P5. P6. Se cumple: |a · b| = |a| · |b| P7. Se cumple : P8. Se cumple: | a | = | b | a2 = b2 P9. Se cumple: Si: b > 0; |a| = b a2 = b2
En particular; si b = 0, se tiene:
|a| = 0 a = 0