Archive for MULTIPLICACION DE MATRICES

MATRICES EJERCICIOS Y PROBLEMAS RESUELTOS EN PDF Y VIDEOS

OBJETIVOS:
* Valorar la importancia del álgebra matricial y la adquisición de estrategias para la simplificación de los cálculos.

* Identificar los tipos de matrices.

* Operar con matrices: suma y diferencia de matrices, producto de un número real por una matriz, producto de matrices. Conocer las propiedades de estas operaciones.

INTRODUCCIÓN:
Hablar de matrices hoy en día es hablar de una herramienta tan común en matemáticas, que con el tiempo apareció en forma independiente. La teoría de matrices y su proceso de formación fue a mediados del siglo pasado, pero su plenitud y elegancia la adquiere después. Hasta hoy la teoría de matrices es un instrumento de investigación apropiado a las necesidades prácticas y a las construccions abstractas de las matemáticas modernas.
Si se conoce la naturaleza de una matriz, es posible valerse de ella en el almacenamiento, presentación y manipulación de datos. Si los datos se guardan dentro de una matriz con algún patrón lógico, la recuperación de los elementos individuales o grupos de elementos puede ser relativamente fácil. A menudo, se necesita manipular datos que se almacenan en una matriz. Por ejemplo las tablas del impuesto sobre la renta, las calificaciones obtenidas por un grupo de estudiantes, los informes económicos de una compañía , y muchos otros datos.
En la actualidad, la principal utilidad de las matrices tiene que ver con aplicaciones computarizadas. Los programas de computación se valen periódicamente de matrices ‘‘arreglos’’ para guardar y procesar información.
Las matrices surgen de un gran número de situaciones de la vida diaria.
MATRIZ
Una matriz es un arreglo o disposición rectangular de números. Si el arreglo tiene m filas (horizontales) y n columnas (verticales), se llama matriz de orden m×n.
ORDEN O DIMENSIÓN DE UNA MATRIZ
Es una característica de toda matriz, viene dado por la multiplicación indicada del número de filas y el número de columnas de dicha matriz, así si la matriz tiene m filas y n columnas, diremos que la matriz es de orden m×n.

V


MATRICES Y DETERMINANTES
CONCEPTOS PREVIOS
MATRIZ
Es un arreglo rectangular de elementos distribuidos en filas y columnas. Dichos elementos están encerrados por corchetes, paréntesis o doble barra, tales como:
a) b)
c) d)
Los elementos de una matriz pueden ser números reales, expresiones complejas, funciones escalares, submatrices, etc.
REPRESENTACIÓN GENERAL
DE UNA MATRIZ
Según LEIBNITZ, una matríz puede ser expresada de la forma siguiente:

Donde el elemento aij de la matriz A nos expresa directamente su carácter posicional. De acuerdo a esto, la notación de KRONECKER simplifica la representación matricial.
Veamos:

donde:
aij es un elemento de A ubicado en la i-ésima fila y j-ésima columna.
Como este arreglo admite m filas y n columnas, diremos que la matriz A es de orden mxn.
MATRIZ CUADRADA
Es aquella matriz que tiene igual número de filas y columnas. Por ejemplo, la matriz:

ya que presenta n filas y “n columnas. En consecuencia, se dirá que A es una matriz de orden n.
DETERMINANTE DE UNA MATRIZ CUADRADA
Es la regla polinomial o valor numérico obtenido escalarmente, al desarrollar convenientemente una matriz cuadrada.
Representa extensivamente por todos los productos que se pueden formar entre todos sus elementos, de tal modo que en cada producto participen tantos factores como lo indique el orden de la matriz. El concepto de orden también se extiende a los determinantes.
En este nivel, solo nos interesa estudiar a los determinantes de 2do. y 3er. orden, y en casos especiales, a los de 4to. orden.

DETERMINANTE DE SEGUNDO ORDEN

Se determina restando los productos de los elementos de la diagonal principal y de la diagonal secundaria.
Así:
Ejemplo 1: Desarrollar:

Ejemplo 2: Resolver la ecuación

4 (x + 1) – 7 (x – 2) = (5x) (3) – (2x) (6)
4x + 4 – 7x + 14 = 15x – 12x
–3x + 18 = 3x
18 = 6x x = 3

DETERMINANTE DE TERCER ORDEN

Para desarrollarlo, tomamos como referencia a sus dos diagonales con sus respectivos signos. De lo anterior, existen dos maneras de desarrollar esta expresión. Veamos:
A. REGLA DE SARRUS POR FILAS
Se disponen después de la última fila, las dos anteriores, respetando el orden de la ubicación. Luego, tomando como referencia a la diagonal principal se trazan paralelas a ella, de tal modo que siempre se encuentren tres elementos (triadas). Efectuamos el producto de estos sin cambiarle el signo del mismo. Analogamente se procede para la diagonal secundaria y sus paralelas, pero estas al ser efectuadas se les cambia de signo. Veamos, de la matríz A expuesta anteriormente:

B. REGLA DE SARRUS POR COLUMNAS
Es semejante al anterior, solo que se toman en cuenta las columnas; esto es, después de la última columna, se disponen las dos anteriores respetando el orden de su ubicación. Veamos:

Nosotros utilizaremos este último procedimiento.

Ejemplo 1:
Sabiendo que:
Calcular el valor de:
* Por Sarrus:

Ejemplo 2.
Que valor de x verifica la ecuación:

* Aplicando Sarrus:

(2) (8) (5) + (3) (2) (4) + (5) (x) (–7) –
(4) (8) (5) – (–7) (2) (2) – (5) (x) (13) =
–128–50x – 28= –128 x = 2

C. REGLA DE LA ESTRELLA
(Sarrus simplificado)
En el determinante mostrado:

Representemos sus elementos por medio de puntos. Separemos en dos grupos, los productos ternarios de dichos elementos, tal como se muestra:

Al desarrollar el determinante, se obtiene:

D. REGLA DE LAPLACE O DE LOS
MENORES COMPLEMENTARIOS
Menor complementario.- Es la submatriz cuadrada que resulta después de eliminar todos los elementos de la fila y columna a la cual pertenece el elemento tomado como referencia.
Por ejemplo:
Dado el determinante:

CUADRO DE SIGNOS DE LOS ELEMENTOS TOMADOS COMO REFERENCIA

PROCEDIMIENTO GENERAL:
1. A cada uno de los elementos del determinante le asociamos el cuadro de signos establecido, empezando siempre con el signo positivo, y los demás de manera alternada.
2. Se elige una fila o columna, de preferencia, la que tenga mayor número de ceros, la cual se denominará fila o columna referencia.
3. Cada elemento de la fila o columna referencia asociado a su signo, se multiplica por su menor complementario.

Ejemplo explicativo
Desarrollemos el determinante de la matriz A, por la regla de LAPLACE de los menores complementarios:

tomando como referencia la primera fila del mismo, se tiene:

El determinante de orden 3, se ha reducido a una suma de determinantes de orden 2.
Ejemplo numérico:
Calcular:
Tomando menores complementarios a lo largo de la tercera columna, por ser la que tiene mayor número de ceros. Veamos:

Es decir:

Ejemplo Literal
Calcular:

Tomando como referencia la 1ra. columna, se tiene:

Aplicando la regla de la estrella, por su rapidez:

Efectuando, resulta:

1. La siguiente información da cuenta del número de veces que tres amigos asistieron a tres cines diferentes durante este año.
• Pamela fue al cine Salinas 13 veces, al cine Estación 7 veces y al cine Arias 10 veces.
• Remigio fue al cine salinas 17 veces, al cine Estación 8 veces y al cine Arias 11 veces.
• Pada fue al cine Salinas 5 veces, al cine Estación 9 veces y al cine Arias 16 veces.
A partir de los datos proporcionados:

I. Expresar la información en una matriz de datos, ¿cuál es el orden de la matriz?
II. Hallar el elemento a31, ¿qué significa este número?
III. Determinar cuál de los tres amigos asistió más veces al cine.
Resolución:
I. Si ubicamos en la primera, segunda y tercera fila a Pamela, Remigio y Paola, respectivamente, y en la primera, segunda y tercera columna a los cines Salinas, estación y Arias, respectivamente, podremos representar la información en la siguiente matriz:

El elemento 13, que corresponde a la primera fila y primera columna, indica que Pamela fue al cine Salinas 13 veces. El elemento 11 corresponde a la segunda fila y tercera columna, indica que Remigio fue al cine Arias 11 veces. La matriz es de orden 3 × 3.
II. El elemento a31 es igual a 5 e indica que Paola fue al cine Salinas 5 veces.
III. Sumando las filas podemos decir: Pamela fue al cine 30 veces, Remigio 36 veces y Paola 30 veces, luego, Remigio fue más veces al cine.

2. Problema
Sea la matriz
tal que det(H) = 4, luego: H2 es:
Resolución:

PREMIOS NOBEL
Fundados por el químico sueco Alfred Nobel (1833-1896) en su testamento para repartir su fortuna, fueron originalmente cinco: Física, Química, Fisiología y medicina, Literatura y de la Paz. Estos 5 premios empezaron a repartirse anualmente a partir de 1901. En 1968 el Banco central de Suecia añadió el premio de Ciencias Económicas. Los cinco premios básicos han tenido años en los que el premio ha quedado sin atribuir, siendo lo más destacable el premio Nobel de la Paz, que quedó sin atribuir los años de 1914, 1915, 1916 y 1918, años de la Primera Guerra Mundial (1914-1919) y los años entre 1939 y 1943, años de la II Guerra Mundial (1939-1945). Los años de 1917 y 1944 el premio Nobel de la Paz fue otorgado al Comité Internacional de la Cruz Roja en Ginebra. El primer Premio Nobel de cada especialidad y algunos de los más famosos son:
• Física: W.C. Roentgen (1901), H. Becquerel, P. Curie y M. Curie (1903), G. Marconi y K.F. Braun (1909), A. Einstein (1921), W. Heisenberg (1932), E. Schrödinger y P.A.M. Dirac (1933), E. Fermi (1938), M. Born y W.W. Bothe (1954) y Julian Schwinger (1965).
• Química: J.H. Van’t Hoff (1901), D. Rutherford (1908), M. Curie (1911) y Joliot-Curie (1935).
• Fisiología y Medicina: E.A. von Behring (1901), C. Colgi y S. Ramón y Cajal (1906), A. Fleming, E.B. Chain y H.W. Florey (1945) y Severo Ochoa y A. Kornberg (1959).
• Literatura: Sully Prudhomme (1901), F. Mistral y J. Echegaray (1904), J.R. Kipling (1907), R. Tagore (1913), Jacinto Benavente (1922), G.B. Shaw (1925), H. Hesse (1946), E.M. Hemingway (1954), Juan Ramón Jiménez (1956), A. Camus (1957), Jean-Paul Sartre (1964) que declinó el premio, P. Neruda (1971), V. Aleixandre (1977), G. García Márquez (1982), Camilo José Cela (1989) y Dario Fo (1997).
• Paz: H. Dunant y F. Passy (1901), Comité Internacional de la Cruz Roja en Ginebra (1917 y 1944), Alto Comisariado de las Naciones Unidas para los refugiados, en Ginebra (1954 y 1981), Unicef (1965), Amnesty International (1977), Madre Teresa de Calcuta (1979), L. Walesa (1983), D. Tutu (1984), Asociación internacional de médicos para la prevención de la guerra nuclear (1985), el dalai-lama Tenzin Gyatso (1989), M.S. Gorbachov (1990), Rigoberta Menchú (1992), la Campaña Internacional para Erradicar las Minas Antipersonales (ICBL) y su coordinadora Jody Williams (1997).
• Economía: R. Frisch y J. Tinbergen (1969) y P.A. Samuelson (1970).
FELIPE II (Valladolid 1527-El Escorial 1598)
Rey de España, hijo del emperador Carlos V (de Alemania, I de España) y de Isabel de Portugal, fue gobernante del mayor imperio del mundo, unas veinte veces mayor que el imperio Romano. Sus dominios se extendían desde la mayor parte de la actual Estados Unidos, todo Centroamérica y el Oeste de Sudamérica. También incluían las islas Filipinas (que tienen un nombre dedicado al monarca) y sus alrededores y, en Europa, además de la actual España, los países bajos y parte de las actuales Alemania e Italia. A esto hay que sumarle que en 1580 consiguió la unificación pacífica de la península Ibérica al ser coronado rey de Portugal y de su imperio, formado principalmente por la costa Este de Sudamérica, las costas atlántica e índica de África, parte de la actual India y las islas Indonesias. Felipe II fue quien instauró la capital de España en Madrid de forma fija.