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MAXIMO COMUN DIVISOR Y MINIMO COMUN MULTIPLO EJERCICIOS Y PROBLEMAS RESUELTOS EN PDF Y VIDEOS

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Al concluir el estudio de este capítulo el alumno será capaz de:
* Estudiar de los múltiplos comunes que tienen dos o más números.
* Obtener el máximo común divisor de números enteros positivos .
* Aplicar las propiedades del máximo común divisor en la solución de problemas .
*Obtener el mínimo común múltiplo de números enteros positivos .
* Aplicar las propiedades del mínimo común múltiplo en la solución de problemas .
* Resolver problemas cotidianos o de la vida común, utilizando las definiciones de máximo común divisor y mínimo común múltiplo.
MÁXIMO COMÚN DIVISOR (MCD )
Es el mayor de los divisores comunes de varios números .
MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO (MCM)
Es el menor múltiplo positivo común de varios números.



MÁXIMO COMÚN DIVISOR (m.c.d.)

Es el mayor de los divisores comunes que presentan dos o más números enteros positivos.

• Ejemplo: Sean los números 8 y 12.
Veamos:
Número Divisores
8 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
12 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _

Los divisores comunes son: _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
El mayor divisor común es: _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
Entonces el m.c.d.(8;12) = _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _

• Ejemplo: Sean los números 6, 12 y 18
Veamos:
Número Divisores
6 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
12 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
18 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _

Los divisores comunes son: _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
El mayor divisor común es: _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
Entonces el m.c.d.(6;12;18) = _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _

MÉTODOS PARA HALLAR EL m.c.d.

1. Por descomposición simultánea
Se extrae de los números todos los factores comunes hasta obtener números PESI, luego el m.c.d. de dichos números es el producto de los factores extraídos.

• Ejemplo: Hallar el m.c.d. de 12 y 18

• Ejemplo: Hallar el m.c.d. de 60; 80 y 120

2. Por descomposición canónica
A los números se les descompone canónicamente, luego el m.c.d. de dichos números es el producto de todos sus divisores primos comunes elevados a su menor exponente.

• Ejemplo: Hallar el m.c.d. de 12 y 18.
Veamos, se halla la descomposición canónica de cada número:

luego: 12 = _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
18 = _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _

Entonces: el m.c.d.(12;18) = _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _

Ejemplo: Hallar el m.c.d. de 60; 80 y 120
Veamos, se halla la descomposición canónica de cada número:

Luego: 60 = _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
80 = _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
120 = _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
Entonces: el m.c.d.(60;80;120) = _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _

EJERCICIOS PARA LA CLASE

1. Completa el siguiente cuadro:

Ahora completa el siguiente cuadro:

2. Hallar el m.c.d. por descomposición simultánea, en cada caso:

a. 49 y 63 b. 48 y 72 c. 75 y 125
d. 45 y 95 e. 90 y 120 f. 24; 36 y 68
g. 30; 60 y 90 h. 20; 36 y 40

3. Hallar el m.c.d. por descomposición canónica, en cada caso:

a. 52 y 78 b. 56 y 72 c. 84 y 96
d. 64 y 96 e. 160 y 180 f. 30; 60 y 72
g. 48; 52 y 72 h. 50; 300; 600

4. Hallar el m.c.d. en cada caso:

a. Si: A = 22 × 34 × 5 b. Si: C = 33 × 54 × 8
B = 23 × 15 D = 12 × 27
Hallar: m.c.d.(A;B) E = 25 × 36
Hallar: m.c.d.(C;D;E)

MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO (m.c.m.)

Es el menor de los múltiplos comunes que presentan dos o más números enteros positivos.

• Ejemplo: Sean los números 4 y 6.
Veamos:
Número múltiplos
4 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
6 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _

Los múltiplos comunes son: _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
El menor múltiplo común es: _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
Entonces el m.c.m.(4;6) = _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _

• Ejemplo: Sean los números 10; 15 y 30.
Veamos:
Número múltiplos
10 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
15 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
30 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _

Los múltiplos comunes son: _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
El menor múltiplo común es: _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
Entonces el m.c.m.(10;15;30) = _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _

MÉTODOS PARA HALLAR EL m.c.m.

1. Por descomposición simultánea
Se extraen de los números todos los factores comunes y no comunes hasta obtener la unidad en cada número, luego el m.c.m. de dichos números es el producto de los factores extraídos.

• Ejemplo: Hallar el m.c.m. de 25 y 30.

• Ejemplo: Hallar el m.c.m. de 16; 40 y 60.

2. Por descomposición canónica
A los números se les descompone canónicamente, luego el m.c.m. de dichos números es el producto de todos los divisores primos comunes y no comunes elevados a su mayor exponente.

• Ejemplo: Hallar el m.c.m. de 25 y 30.
Veamos se halla la descomposición canónica de cada número.

Luego: 25 = _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
30 = _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
Entonces: el m.c.m.(25;30) = _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _

Ejemplo: Hallar el m.c.m. de 16; 40 y 60
Veamos: Se halla la descomposición canónica de cada número.

Luego: 16 = _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
40 = _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
60 = _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
Entonces: el m.c.m.(16;40;60) = _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _

EJERCICIOS PARA LA CLASE

1. Completa el siguiente cuadro:

Ahora completa el siguiente cuadro:

2. Hallar el m.c.m. por descomposición simultánea, en cada caso:

a. 35 y 63 b. 12 y 60 c. 15 y 25
d. 24 y 36 e. 30 y 45 f. 12; 15 y 20
g. 42; 36 y 48 h. 120; 148 y 200

3. Hallar el m.c.m. por descomposición canónica, en cada caso:

a. 85 y 30 b. 36 y 99 c. 96 y 100
d. 24 y 30 e. 45; 75 y 90 f. 12; 14 y 16
g. 200; 300 y 400 h. 160; 180 y 360

4. Hallar el mcm, en cada caso:

a Si: A = 23 × 32 × 53
B = 26 × 3 × 52
Hallar: m.c.m.(A;B)

b. Si: P = 32 × 53 × 72
Q = 2 × 33 × 52 × 7
R = 32 × 7
Hallar: m.c.m.(P;Q;R)
PROBLEMAS PARA LA CASA

1. Hallar el m.c.d. por descomposición simultánea, en cada caso:

a. 25 y 60 b. 40 y 32 c. 60; 40 y 80
d. 36; 72 y 120 e. 46; 84 y 92

2. Hallar el m.c.d. por descomposición canónica, en cada caso:

a. 20 y 64 b. 28 y 42 c. 48; 72 y 16
d. 30; 54 y 18 e. 40; 90 y 45

3. Hallar el m.c.m. por descomposición simultánea, en cada caso:

a. 30 y 72 b. 25 y 120 c. 48; 60 y 96
d. 45; 90 y 30 e. 54; 81; 108

4. Hallar el m.c.m. por descomposición canónica, en cada caso:

a. 70 y 80 b. 80 y 140 c. 32; 36 y 27
d. 36; 30 y 48 e. 20; 300 y 250

5. Sea: A = 32 × 23 × 12
B = 25 × 18
hallar: m.c.d.(A;B) + m.c.m.(A;B)

introducción
En la teoría del máximo común divisor juega un papel muy importante el siguiente teorema:
Si donde D = d × q + r …………… ( I )
Entonces el conjunto de los divisores comunes de los números D y d coincide con el conjunto de los divisores comunes de los números d y r.
Demostración: Sea K el mayor divisor común de D y d. Luego: D = d +
En ( I ) = + r entonces r = MCD (D, d) = MCD (d, r)

MÁXIMO COMÚN DIVISOR (M.C.D.)
Concepto
Es el mayor divisor común que hay entre dos o más números o cantidades.
Sean los números 24 y 30.
Número Divisores
24: 1; 2; 3; 4; 6; 8; 12; 24
30: 1; 2; 3; 5; 6; 10; 15; 30
Divisores comúnes
MCD (24; 30) = 6
Se observa que 1; 2; 3 y 6 son divisores de 6.
Luego:
“Los divisores comunes de dos o más números son a su vez divisores del MCD de ellos”
Ejemplos:
 Halle el MCD de 8 y 15
Número Divisores
8: ; 2; 4; 8
15: ; 3; 5; 15
único divisor común
MCD
En general: Si A; B y C son PESI
MCD (A; B; C) = 1
 Hallar el MCD de los números 4; 8 y 12.
Número Divisores
4 1; 2; 4
8 1; 2; 4; 8
12 1; 2; 3; 4; 6; 12

Divisores comunes {1; 2; 4}
Máximo
MCD (4; 8; 12) = 4

En general
Si A es divisor de B y C entonces
MCD (A, B, C) = A

Metódo para el cálculo del MCD
1) Descomposición simultánea.
 El MCD de dos o más números será el producto de todos los factores comunes extraídos a los números hasta conseguir en ellos números primos entre sí.

Ejemplo:
Halle el MCD de 60; 40 y 100
* Para el MCD

MCD (60, 40, 100) = 20

Además:

En general: si MCD (A, B, C) = K

2) Descomposición canónica
 El MCD de los números será el producto de los factores primos comunes afectados de su menor exponente.
Ejemplo:
* Hallar el MCD de A; B y C si:
A = 22 × 33 × 5
B = 23 × 32 × 7
C = 24 × 33 × 5 × 11
Para el MCD
MCD (A, B, C) = 22 × 32 = 36

3) Divisiones sucesivas o Algoritmo de Euclides (sólo permite el cálculo del MCD de dos números)

Ejemplo:
Calcule el MCD de 132 y 36.
Los divisores son:

Se dispone así:

MCD (132; 36) = 12

Ejemplo:
Halle el MCD de 208 y 88.

MCD (208; 88) = 8

propiedades del MCD
1) Si MCD (A, B; C) = K

Multiplicando cada igualdad por un entero n >1
MCD (An, Bn, Cn) = K × n

2) MCD (A, B, C, D) = ……..

 MCD (A, B) = x
 MCD (C, D) = y
MCD (A, B, C, D) = MCD (x, y)

1. Demostrar que el MCD de dos números enteros positivos consecutivos es la unidad.
Resolución:
Sean los números enteros positivos consecutivos: n y n+1.
Sea d el MCD de n y n+1, luego, n = dp
y (n+1) = dq; donde p y q son enteros positivos.
La diferencia entre los números consecutivos es 1: (n + 1) – n = dq – dp1 = d (p – q). Como d es divisor común de n y n+1 además es divisor de 1 entonces d=1.

2. Problema
Demostrar que el MCD de tres números enteros positivos consecutivos es la unidad.
Resolución:

1. Se han colocado árboles igualmente espaciados en el contorno de un campo triangular cuyos lados miden 182; 234 y 260 respectivamente. Sabiendo que hay un poste en cada vértice y que la distancia entre árboles está comprendida entre 4 y 20 metros ¿Cuántos árboles se colocaron?
A) 50 B) 51 C) 52 D) 53 E) 54

2. ¿Cuántos divisores de 6020 son divisores de 7030 y 11040?
A) 650 B) 651 C) 652
D) 653 E) 654

3. Si el MCD de y N es 17, ¿cuántos valores puede tomar N, si se sabe que es menor que 500 pero mayor que 200?
A) 12 B) 11 C) 10 D) 9 E) 8

4. Si los cocientes sucesivos obtenidos en la determinación del MCD de A y B mediante el algoritmo de Euclides, han sido 14; 1; 1; 1; y 2 respectivamente y si ambos números son primos entre sí. ¿Cuál es la suma de éstos?
A) 125 B) 130 C) 117
D) 135 E) 120

5. Calcular n si el MCD de:
es 9:
A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5

6. ¿Cuál es el menor número de ladrillos cúbico que se necesitan para formar un sólido concreto, cuyas dimensiones sean 180; 126 y 252 cm?
A) 490 B) 980 C) 240
D) 480 E) 560

7. Si se cumple: Calcular (a + b + c).
A) 0 B) 2 C) 4 D) 6 E) 8

8. Se tienen 3 números A; B y C al calcular el MCD de A y B por el algoritmo de Euclides se obtuvieron como cocientes 1; 1 y 2 y al calcular el MCD de A y C por el mismo método se obtuvo como cocientes 1; 2 y 2. Hallar el menor de dichos números si A + B + C = 1053 si se sabe que A > B > C.
A) 255 B) 273 C) 325
D) 383 E) 455

9. Si y MCD(A; B)=18. Calcular (A+B).
A) 240 B) 210 C) 250
D) 288 E) 300

10. Si: MCD(15A, 25B) = 560
MCD( 25A, 15B) = 480
Calcular MCD( A, B).
A) 12 B) 14 C) 8 D) 10 E) 16

1. Se desea elegir un recipiente cuya capacidad sea un número entero de litros de modo que con este se pueda extraer de 3 cilindros diferentes (cuyos volúmenes son 144; 168; 216 litros y están llenos con agua) el agua que contiene en el menor número de extracciones con el recipiente lleno y sin desperdiciar líquido. ¿Cuál será la capacidad del recipiente?
A) 16 B) 18 C) 24 D) 26 E) 32

2. Al calcular el MCD de dos números mediante el algoritmo de Euclides, se obtuvieron como tercer y último cociente a 2 y como suma de sus residuos 3060. Determinar dicho MCD.
A) 765 B) 512 C) 1530
D) 6120 E) 1020

3. Se han colocado postes igualmente espaciados en el contorno de un campo triangular, cuyos lados miden 210, 270 y 300 m respectivamente) Sabiendo que hay postes en cada vértice y que la distancia entre poste y poste está comprendido entre 10 m y 20 m. Calcular cuántos postes se colocaron.
A) 50 B) 51 C) 52 D) 48 E) 60

4. Las dimensiones de un terreno rectangular son 882 y 336 m. Se desea parcelarlo en terrenos cuadrados de tal modo que no sobre nada y se obtenga el menor número de parcelas. ¿Cuántas parcelas cuadradas resultarán?
A) 84 B) 168 C) 8232
D) 4116 E) 588

5. El MCD de y es un número capicúa de dos cifras. ¿Cuál es la suma de a y b?
A) 10 B) 11 C) 12 D) 13 E) 14

6. El MCD de dos números es 8. Si los cocientes sucesivos de estos números son 2, 2, 1, 1, 7 la diferencia de los números es:
A) 424 B) 728 C) 304
D) 312 E) 334

7. Calcular (a + b +c) sabiendo que los cocientes obtenidos al hallar el MCD de y por el algoritmo de Euclides fueron 1, 2 y 3.
A) 10 B) 12 C) 14 D) 15 E) 21

8. Se han dividido tres barras de acero de 54, 48 y 36 cm en trozos de igual longitud siendo éste lo mayor posible. ¿Cuántos trozos se han obtenido?
A) 6 B) 23 C) 18 D) 9 E) 8

9. ¿Cuántos pares de números cumplen que su MCD sea 6 y que su producto sea 142560?
A) 8 B) 7 C) 9 D) 16 E 15

10. Dados 3 números A, B y C se sabe que:
MCD (A, B) = 30 y MCD ( B, C) = 198.
¿Cuál es el MCD de A, B y C?
A) 3 B) 6 C) 12 D) 15 E) 30

Es el menor de todos lo múltiplos comunes que hay entre dos o más números.
Sean los números 4 y 6
Número Múltiplos
4 4; 8; 12;16;20;24;28;32; 36;….
6 6; 12; 18; 24; 30; 36; …..
Múltiplos comunes {12; 24; 36; ……}
Mínimo
MCM [4; 6] = 12.
Se observa que:
12; –24; 36; …. son múltiplos de 12.
Luego:
“Los múltiplos comunes que tienen dos o más números son a su vez los múltiplos del MCM de ellos”
Ejemplos:
 Halle el MCM de 3 y 5

Número Múltiplos
3 3; 6; 9; 12; 15; 18; 21;….
5 5; 10; 15; 20; 25; …..
MCM
En general si A y B son PESI entonces
MCM [A, B] = A × B
 Calcular el MCM de 4 y 8
Número Múltiplos
4 4; 8;12; 16; ….
8 8; 16 ; 24; ….
MCM [4; 8] = 8
En general: Si A y B son divisores de C entonces
MCM [A, B, C] = C

Metódo para el cálculo del MCM
1) Descomposición simultánea.
 El MCM de dos o más números será el producto de todos los factores comunes y no comunes extraídos a todos los números hasta conseguir en ellos la unidad.
Ejemplo:
Halle el MCM de 60; 40 y 100
* Para el MCM
MCM [60; 40; 100] = 600
Además:

En general si MCM [A; B; C] = m

2) Descomposición canónica
 El MCM de los números será el producto de los factores primos comunes y no comunes afectados de su mayor exponente.
Ejemplo:
* Hallar el MCM de A; B y C si:
A = 22 × 33 × 5
B = 23 × 32 × 7
C = 24 × 33 × 5 × 11
Para el MCM
MCM [A, B, C] = 24 × 33 × 5 × 7 × 11

propiedades del MCM
1) Si: MCM [A; B; C] = m, donde:

Multiplicando cada igualdad por un entero n >1
MCM [An; Bn; Cn] = m × n.
2) Sólo para el MCD y MCM de dos números.
Sean los números A y B donde:
MCD (A; B) = K
MCM [A; B] = m
A × B = K . m
3) MCM [A, B, C, D] = …….
 MCM [A, B] = m
 MCM [C, D] = n
MCM [A, B, C, D] = MCM [m, n]

1. Demostrar que el producto de dos números enteros positivos es igual al producto de su MCD por su MCM
Resolución:
Sean los números enteros positivos A y B, sea su Máximo Común Divisor (MCD) d y su Mínimo Común Múltiplo (MCM) m, luego:
A = d p y B = d q; donde p y q son primos entre sí. Además también: m = d p q … ( 1 )
Luego si multiplicamos por el valor de d ambos lados de la igualdad de (1):
d m = d p q d d m = A B (Demostrado).

2. Problema
Demostrar que el producto de dos números PESI es igual al MCM de los mismos.
Resolución:

1. Dos engranajes A y B están en contacto, el primero gira a 60 RPM y el segundo a 35 RPM. Al cabo de qué tiempo volverán a estar en la misma posición que al inicio.
A) 420 minutos
B) 5 minutos
C) 12 segundos
D) 420 segundos
E) 5 segundos

2. Si: ;
,
se sabe además que el MCM de A y B es 7875 y su MCD es 525. Calcule la menor diferencia de A y B)
A) 1050 B) 1150 C) 950
D) 7350 E) 1250

3. Si se cumple: , entonces la suma de todas las sumas (a + n) posibles es:
A) 33 B) 30 C) 20 D) 16 E) 24

4. (UNI 2001-2)
Una persona trata de formar un cubo de ladrillos cuyas dimensiones (del ladrillo) son 20 cm, 15 cm y 8 cm. Entonces, el número de ladrillos que necesita para formar el cubo más pequeño (de manera que las aristas de igual longitud sean paralelas) son:
A) 129 B) 143 C) 680
D) 2400 E) 720

5. Calcule el menor número mayor que 500 que sea el MCM de 24 números enteros positivos y diferentes. Dé como respuesta la suma de divisores compuestos de dicho número.
A) 1560 B) 1650 C) 1520
D) 1457 E) 1547

6. Tres números A, B y C tienen 12 divisores cada uno, su MCM y MCD tienen los mismos factores primos. Si a A se le multiplica por 35, a B por 21 y a C por 15 el MCM no se altera. Calcule la suma de los números.
A) 1275 B) 1575 C) 1625
D) 1525 E) 1785

7. Se sabe que:

¿Cuántos divisores múltiplos de 5 y PESI con 28 posee A?
A) 2 B) 4 C) 6 D) 8 E) 10

8. Si: , ,
calcule (p +r +a +m +n + u).
A) 25 B) 26 C) 27 D) 24 E) 22

9. Tres obreros que colocan losetas en un área de 548 m2, emplean 24, 50 y 63 minutos por m2 respectivamente. ¿Cuántos días tardarán en culminar dicho trabajo si se desea que cada uno emplee un mínimo de tiempo y que en un mismo tiempo cada uno realice un número entero de m2?
A) 15 B) 7,5 C) 35 D) 10 E) 7

10. Se tiene:

y además se sabe que el producto de A y B es 18144. Calcular el MCM(A,B).
A) 6048 B) 1008 C) 9072
D) 3024 E) 2016

1. Dos números A y B tienen 16 múltiplos comunes menores a 10 000. Sabiendo que el MCM de A y B tiene 18 divisores y que es divisible entre 34. Calcular (A + B) si se sabe que A y B tienen 9 divisores comunes.
A) 612 B) 630 C) 648
D) 600 E) 594

2. El producto de dos números menores a 1000 es 214375, además al calcular el MCD de los números mediante divisiones sucesivas se obtuvo dos números consecutivos como residuos. Halle la cantidad de divisores de su diferencia.
A) 6 B) 8 C) 10 D) 20 E) 12

3. Si además, sólo uno de los números es múltiplo de 7, sólo uno de los números es múltiplo de 23 y sólo uno de los números es múltiplo de 11 y tiene 12 divisores. Calcular a × b × c.
A) 70 B) 84 C) 77 D) 91 E) 98

4. Las longitudes de las circunferencias de las ruedas delanteras y traseras de una locomotora miden y cm. ¿Qué distancia tendrá que recorrer dicha máquina para que una de las ruedas dé 80 vueltas más que la otra? Se sabe que el MCD de y 1 es 60 y además a es un número primo impar .
A) 4320 B) 3420 C) 5400
D) 4500 E) 2430

15. Si:
,
calcular (a + b + c + p + n).
A) 18 B) 20 C) 25 D) 29 E) 31

16. Al dividir entre M a los números 1020, 1600 y 1750 se obtienen como restos 12, 16 y 22 respectivamente. ¿Cuántos valores puede tomar M?
A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 E) 8

17. ¿Cuál es el menor de 2 números sabiendo que la suma de sus cuadrados es 10530 y que su MCM es 297?
A) 3 B) 11 C) 27 D) 99 E) 297

18. Al dividir el MCM de N! y (N +2)! entre el MCD de N! y 7N! se obtiene . Determine la suma de valores de (a + b).
A) 13 B) 12 C) 11 D) 8 E) 7

19. Tres ciclistas A, B y C parten al mismo tiempo de un punto de una pista circular de 600 m de circunferencia, si la rapidez de A es 15 m/s, la de B es 10 m/s y la de C es 6 m/s. ¿Luego de qué tiempo se encontrarán por tercera vez en el punto de partida?
A) 10 min B) 15 min
C) 20 min D) 30 min
E) 60 min

20. Si y , calcular (a +b +k).
A) 5 B) 6 C) 7 D) 8 E) 9