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FACTORIZACION DE POLINOMIOS EJERCICIOS Y PROBLEMAS RESUELTOS EN PDF Y VIDEOS

Al finalizar éste capítulo , el estudiante será capaz de:
* Expresar un polinomio como una multiplicación indicada de factores primos.
* Reconocer un factor primo de un polinomio factorizado
* Identificar el algoritmo a utilizar de acuerdo al tipo de polinomio que se presente
* Manejar de modo fluido las diferentes herramientas que se utilizan para factorizar polinomios.
* Para la resolución de las ecuaciones polinomiales del tipo: P(x) =0; la descomposición en factores de la expresión P, será necesaria para despejar explícitamente los valores de las raíces.
* Del mismo modo, para determinar el conjunto solución de las inecuaciones polinomiales de la forma: , se requiere factorizar P , para ubicar los puntos críticos sobre la recta numérica real.
* A corto plazo , este acápite será Importante para la simplificación de una fracción reductible
FACTORIZACIÓN
Proceso inverso de la multiplicación por medio del cual una expresión algebraica racional entera es presentada como el producto de dos o más factores algebraicos.


OBJETIVOS:
• Nos permitirá expresar un polinomio como una multiplicación indicada de otros polinomios de menor grado que él.
• Para la resolución de las ecuaciones polinomiales del tipo: P(x) = 0; la descomposición en factores de la expresión P, será necesaria para despejar explícitamente los valores de las raíces.
• Del mismo modo, para determinar el conjunto solución de las inecuaciones polinomiales de la forma: , se requiere factorizar P, para ubicar los puntos críticos sobre la recta numérica real.
• A corto plazo, este acápite será importante para la simplificación de una fracción reductible.
INTRODUCCIÓN
CARL FRIEDRICH GAUSS
Brunswick (Alemania) 1777 – Gotinga 1855
Matemático, físico y astrónomo alemán.
Gauss es el más grande matemático del siglo XIX y probablemente, junto con Arquímedes y Newton, uno de los tres más grandes matemáticos de todos los tiempos.
Nació en el seno de una familia obrera. Fue un niño prodigio y desde muy pronto mostró una asombrosa habilidad para el cálculo. Cuando tenía quince años, el Duque de Brunswick se fijó en él convirtiéndose en su protector y, tres años más tarde, le ayudó a ingresar en la universidad en Göttingen, donde cursó estudios de matemáticas.
El 30 de marzo de 1796 comenzó un diario en el que aparecían las intrucciones para construir un polígono regular cuyo número de lados no fuese múltiplo de 2, 3 o 5. El diario, que contiene 146 enunciados de resultados en tan sólo 19 páginas, es uno de los documentos más importantes en la historia de las matemáticas.
A la edad de veinte años, ya en la universidad de Helmstädt, escribió su ahora famosa disertación doctoral. En ella, dio la primera demostración rigurosa del teorema fundamental de álgebra, según el cual todo polinomio de grado n tiene exactamente n raíces. Muchos matemáticos, entre ellos Euler, Newton y Lagrange, habían intentado antes demostrar este resultado.
Realizó brillantes trabajos en astronomía y electricidad, pero las obras realmente asombrosas de Gauss son las que desarrolló en el terreno del álgebra y de la geometría.
En 1811descubrió un resultado que permitió a Cauchy desarrollar la teoría de variable compleja. Otras grandes aportaciones son su famoso método de eliminación para resolver sistemas de ecuaciones y la cuadratura gaussiana, técnica de integración numérica.
Su espítiru matemático no dejó de acosar a los matemáticos del siglo XIX. A menudo resultaba que un nuevo resultado importante ya había sido descubierto por Gauss, pudiendo verse en sus notas inéditas.
Catedrático de matemáticas en Göttingen desde 1807 hasta su muerte, fue honrado poco después con una medalla en la que estaba inscrito: “George V, Rey de Hannover, al Príncipe de los Matemáticos”.
FACTORIZACIÓN I
Conceptos Fundamentales de la Factorización
1) Polinomio definido en Z
Es aquel polinomio cuyos coeficientes son números enteros. Tales como:
• P(x) = 10×54 – 86×32 + 42×18 – 17×5 + 24
• Q(x,y) = 9×5 y3 + 7×2 y6 – 8×5 y9 + 4y7

2) Factores de un Polinomio de grado no nulo
Son aquellos factores numéricos y literales que están contenidos en dicho polinomio.
Veamos: Si
Es decir: para que A, B y C sean factores de P, es suficiente que estos se multipliquen mutuamente.
Ejemplo Explicativo:
• Descompongamos en factores una misma expresión, tal como:
P = (3x) (4y2) (x+y) ¬ 3 factores
P = (4x) (3y2) (x+y) ¬ 3 factores
P = (12) (xy2) (x+y) ¬ 3 factores
• Sigamos con la misma expresión, pero descompuesta de manera distinta en más factores:
P = (3) (4) (xy2) (x+y) ¬ 4 factores
P = (12) (y) (xy) (x+y) ¬ 4 factores
P = (3) (4x) (y2) (x+y) ¬ 4 factores
CONCLUSIÓN:
Como un polinomio se puede descomponer en FACTORES de manera diversa; no se puede establecer formalmente el número de factores de dicha expresión.
3) Factor Literal de un Polinomio
Un polinomio F de grado n no nulo, es considerado factor literal de otro polinomio P de grado m, si existe un único polinomio G de grado (m – n), tal que:
Por Ejemplo:
En la expresión P = 12xy2 (x+y)
x, y2 y (x+y). Son factores literales del polinomio P.
4) Polinomio irreductible en el conjunto Z
Un polinomio es irreductible sobre Z, si no admite ser expresado como la multiplicación indicada de otros factores definidos sobre dicho conjunto Z.
Por Ejemplo:
1. Es irreductible P = 3×2 – 12 ?
No, debido a que se puede descomponer en función de otros factores. Veamos:
P = 3 (x2 – 4) = 3 (x + 2) (x – 2)
hemos obtenido tres factores definidos en Z
2. Es irreductible Q = 5×3 + 10?
No, ya que admite ser descompuesto, tal como se muestra: Q = 5 (x3 + 2)
Resultan dos factores definidos en Z.
3. Es irreductible R = 7x – 3 ?
Si, debido a que es IMPOSIBLE expresarlo como una multiplicación indicada de otros factores enteros.
5) Factor Primo de un Polinomio en Z
Dado un polinomio P de grado n (n ³ 1), se dice que F es un factor primo de P en Z, si este es irreductible en dicho conjunto Z.
Por Ejemplo:
1. Dado: P = 5x + 10
Descomponiendo:
2. Se tiene: Q = 6×2 – 24x
Descomponiendo: Q = 6x (x – 4)
Explícitamente:
3. De la expresión: R = 8xy2 (x – y)4
Explícitamente, se tiene :

Observar que 2, y y (x – y) son factores primos MÚLTIPLES.

6) Divisores de una Expresión Entera en Z
Son aquellas cantidades numéricas y literales definidas en Z, que están contenidas en dicha expresión entera.
De todos los divisores obtenidos, los que son irreductibles, serán PRIMOS.
Ejemplos Explicativos:
1. Sea el monomio M = 6x

Por lo tanto: Nº divisores = 8
Nº divisores (primos) = 4
2. Dado el monomio N = 4×3

Por lo tanto: Nº divisores = 12
Nº divisores (primos) = 3
3. Se tiene el monomio T = x2 y z3

Por lo tanto: Nº divisores = 24
Nº divisores (primos) = 4
4. Se tiene el polinomio descompuesto en factores:
P = 2x (x – y) (x2 + y2)

Por lo tanto: Nº divisores = 16
Nº divisores (primos) = 5

Teorema Nº 12
Se tiene el polinomio general P, descompuesto en factores numéricos y literales, todos ellos irreductibles:

Donde: a, b y c son primos entre sí F, G y H polinomios irreductibles
Formalicemos las siguientes denominaciones:
Nd : Número de divisores totales
: Número de divisores numéricos
: Número de divisores literales
Se cumplen las relaciones:
i)
ii)
iii)

Apliquemos estas fórmulas a los ejemplos anteriores. Veamos:
1. Del monomio: M = 6x
Descomponiendo: M = 21 · 31 · x1
Nd = (1+1) (1+1) (1+1) = 8
Nd l = (1+1) (1+1) = 4
\ Nd l = 8 – 4 = 4
2. En el monomio: N = 4×3
Si se descompone: N = 22 · x3
Nd = (2+1) (3+1) = 12
Nd n = 2+1 = 3
\ Nd l = 12 – 3 = 9
3. De la expresión: T = x2 y z3
Nd = (2+1) (1+1) (3+1) = 24
Nd n = 0+1 = 1
Esto último, debido a que su coeficiente es la unidad, y este se puede expresar como un numeral elevada a la cero.
\ Nd l = 24 – 1 = 23
4. Del polinomio expuesto:
P = 21 x1 (x – y)1 (x2+y2)1
Se tiene:
Nd = (1+1) (1+1) (1+1) (1+1) = 16
Nd n = 1+1 = 2
\ Nd l = 16 – 2 = 14

CONCEPTO DE FACTORIZACIÓN EN Z
Es el proceso de transformación de un polinomio, que consiste en expresarlo como una multiplicación indicada de sus factores primos definidos en Z, siendo dichos factores, expresiones enteras simples o múltiples.
Ejemplo: En el polinomio factorizado:

Se deduce que:
– Los factores simples son únicos.
– Los factores múltiples son repetitivos.
Finalmente, de todos los conceptos teóricos expuestos podemos afirmar lo siguiente:
1. Por la forma como está descompuesta la expresión: Nº Factores (P) = 5
2. En la expresión expuesta:
P = 32 · 5 · (x + y)3 · (4x – y) · (x2 – x y – y2)4
123 14444424444443
2 factores 3 factores
númericos literales
3. Considerando los factores primos simples y múltiples, se concluye que:
Nº Factores primos (P) = 2+1+3+1+4 = 11
4. Aplicando el teorema 12, se tienen:
Nº Divisores (P)
= (2+1)(1+1)(3+1)(1+1)(4+1)=240
Nº Divisores Numéricos (P) = (2+1)(1+1) = 6
\ Nº Divisores Literales (P) = 240 – 6 = 234

Teorema Nº 13.-
(TEOREMA DE LA FACTORIZACIÓN ÚNICA)
La representación factorizada de un polinomio es ÚNICA, considerando la yuxtaposición de los factores múltiples y sin tomar en cuenta el ORDEN de los factores literales, salvo el coeficiente numérico factorizado que se coloca al inicio de dicha representación.
CRITERIOS DE FACTORIZACIÓN
I. CRITERIO DEL FACTOR COMÚN
a) Factor Común Monomio (FCM)
• Factorice: P(a,b) = a3 b3 – a2 b4 + ab7
Para obtener el FCM, se aplica la regla: “variables comunes afectadas de sus menores exponentes”.
Es decir: P(a,b) = ab3 (a2 – ab + b4)
• Factorice: F(x,y) = x3m yn–m + xm+n yn + xm yn+m
Siendo: m, n N*, tal que n>m>0
Para hallar el FCM, aplicamos la regla:
F(x,y) = xm yn–m (x2m + xn ym + y2m)

b) Factor Común Polinomio (FCP)
• Factorice:
Q(a,b) = 3a2 (a+4b) – 5b3 (a+4b) + ab(a+4b)
Es evidente que el FCP = a + 4b
Extrayendo este factor, resulta:
Q(a,b) = (a+4b) (3a2 – 5b3 + ab)
• Factorice:
R(m,n,p) = (2m+3n)(m+n+p)2 +4(m+n+p)3
Por simple inspección, se deduce que el
FCP=(m+n+p)2
Aplicando la regla anterior, se obtendrá:
R(m,n,p) = (m+n+p)2 [ (2m+3n)+4(m+n+p) ]
Efectuando dentro del corchete:
R(m,n,p) = (m + n + p)2 (6m + 7n + 4p)

II. CRITERIO DE LA AGRUPACIÓN
DE TÉRMINOS
Se utiliza cuando la extracción del factor común no es directa. Para ello, se tienen que agrupar convenientemente los términos del polinomio, con el objetivo de encontrar dicho factor común.
Ejemplos Explicativos:
• Factorice: P(x,y) = xy3 + xyz3 + y2 z + z4
como son 4 términos, se pueden agrupar de 2 en 2, tal como se muestra:

P(x,y) = xy (y2 + z3) + z (y2 + z3)
hemos obtenido como FCP = y2 + z3
Extrayéndolo, resulta:
\ P(x,y) = (y2 + z3) (xy + z)

• Factorice:
Q(m,n,p) = 6m3– 8m2p+9mn3–12n3p+3mp4– 4p5
como son 6 términos, se pueden agrupar de 2 en 2 ó de 3 en 3. Veamos la primera opción, así:

Q(m,n,p) = 2m2(3m–4p)+3n3(3m–4p)+p4(3m–4p)
Sa ha obtenido el FCP = 3m – 4p
Extrayéndolo, se obtiene lo siguiente:
\ Q(m,n,p) = (3m – 4p) (2m2 + 3n3 + p4)
• Factorice:
R(a,b,c)=a4+b3+c5+a3b+b2c+ac4+a3c+ab2+bc4
si tenemos 9 términos, podemos agrupar de 3 en 3. Tal como se indica:

R(a,b,c) = a3 (a+b+c)+ b2 (b+c+a) + c4 (c+a+b)
Se observa que el FCP = a + b + c
Extrayendolo, resulta lo siguiente:
\ R(a,b,c) = (a + b + c) (a3 + b2 + c4)

III. CRITERIO DE LAS IDENTIDADES
A) Trinomio Cuadrado Perfecto
Es aquel polinomio de tres términos que tiene raíz cuadrada exacta, que se caracteriza porque sus términos extremos son cuadrados perfectos, y el término central es igual al doble de las raíces cuadradas de dichos términos extremos.
Forma General:

Tcentral = 2 (Am) (Bn)

Ejemplos explicativos:
• Sea:

Tcentral = 2 (2x) (3y) = 12xy
Por lo tanto: P(x,y) = (2x + 3y)2

• Dado:

Tcentral = 2 (9×3) (7yz5) = 126x3yz5
Por lo tanto: F(x,y,z) = (9×3 – 7yz5)2

B) Diferencia de Cuadrados
Forma General:

Ejemplos explicativos:
• Sea:

Por lo tanto: Q(x,y) = (8x + 5y) (8x – 5y)

• Dado:

Luego: T(a,b,c) = (9a3 + 11bc2) (9a3 – 11bc2)

• Se tiene:
H(m,n) =256m8 – n8
Directamente, tomando como términos de los factores a descomponer, las raíces cuadradas de los términos propuestos:
H(m,n) = (16m4 + n4) (16m4 – n4)
Factorizando el segundo de los factores:
H(m,n) = (16m4 + n4) (4m2 +n2) (4m2 – n2)
Del mismo modo, el tercer factor:
H(m,n) = (16m4+n4)(4m2+n2)(2m+n)(2m–n)

C) Suma y Diferencia de Cubos
Forma General:

Ejemplos explicativos:
• Sea:

\ P(x,y) = (3x + 2y) (9×2 – 6xy + 4y2)

• Dado:

\ Q(c) = (10c2 + 1) (100c4 – 10c2 + 1)

Forma General:

Ejemplos explicativos:
• Sea:

\ F(a,b,c) = (5a3 – bc4) (25a6 + 5a3 bc4 + b2c8)

Siempre debemos tener en cuenta lo siguiente :
a3 + b3 = (a + b) (a2 – ab + b2)
a3 – b3 = (a – b) (a2 + ab + b2)
a3 + 1 = (a + 1) (a2 – a + 1)
a3 – 1 = (a – 1) (a2 + a + 1)

D) Polinomio de Stevin

Ejemplos:
• Factorice : P(x) = x2 + 8x + 15
P(x) = x2 + (5+3)x + (5) (3)
\ P(x) = (x + 5) (x + 3)
• Factorice: F(a) = a2 – 11a + 30
F(a) = a2 + (–6 – 5)a + (–6) (–5)
\ F(a) = (a – 6) (a – 5)
• Factorice: R(m) = m4 + 4m2 – 21
R(m) = m4 + (7–3)m2 + (7) (–3)
\ R(m) = (m2 + 7) (m2 – 3)
• Factorice: F(c) = c6 – c3 – 72
F(c) = c6 + (–9 + 8)c3 + (–9) (8)
\ F(c) = (c3 – 9) (c3 + 8)
El segundo factor es una suma de cubos.
F(c) = (c3 – 9) (c + 2) (c2 – 2c + 4)
• Factorice : F(x) = x2 + ax + bx + cx + ac + bc
F(x) = x2 + (a+b+c)x + (a+b) (c)
\ F(x) = (x+a+b) (x+c)
• Factorice : Q(y) = y2 + 2my + m2 – 1
Q(y) = y2+[(m+1)+(m–1)]y+(m+1)(m–1)
\ Q(y) = (y + m + 1) (y + m – 1)
E) Polinomio Trinómico de Argand

Ejemplos:
• Factorice: P(a,b) = a8 + a4 b4 + b8
Identificando m=2 y n=2. Descomponiendo:
P(a,b) = (a4 + a2 b2 + b4) (a4 – a2 b2 + b4)
Para el primer factor m=1 y n=1. Luego:
P(a,b)=(a2+ab+b2) (a2–ab+b2) (a4–a2b2+b4)
• Factorice: P(x,y) = x28 + x14 y10 + y20
Por comparación se deduce que m=7 y n=5
Factorizando, se tiene:
P(x,y) = (x14 + x7y5+ y10) (x14 – x7y5+ y10)
• Factorice: F(m) = m32 + m16 + 1
F(m) = (m16 + m8 + 1) (m16 – m8 + 1)
F(m) = (m8+m4+1) (m8–m4+1) (m16–m8+1)
F(m) = (m4+m2+1) (m4–m2+1) (m8–m4+1) (m16–m8+1)
F(m) = (m2+m+1)(m2–m+1)(m4–m2+1)
(m8–m4+1)(m16–m8+1)

F) Polinomio de Gauss

Ejemplos:
• Factorizar: P(x,y) = x3 + y3 + 6xy – 8
Dándole la forma general, se tiene:
P(x,y) = x3 + y3 + (–2)3 – 3xy (–2)
Identificando: a=x, b=y, c=–2
Los factores resultantes serán:
P(x,y)= [x+y+(–2)][x2+y2+(–2)2–(x)(y)
–(y)(–2) –(–2)(x)]
Por lo tanto:
P(x,y) = (x+y – 2) (x2+y2+4 – xy+2y+2x)

Teorema Nº 14
Todo polinomio cuadrático de coeficientes enteros de la forma general:
P(x) = Ax2 + Bx + C ; A ¹ 0
es factorizable racionalmente, si y solo sí, el discriminante D = B2 – 4AC es un cuadrado perfecto.
Ejemplos explicativos:
• El polinomio (5×2 + 7x – 6) ¿es factorizable?
Calculemos el valor del discriminante:
D = (7)2 – 4 (5) (–6) = 49 + 120 = 169
Resultó un cuadrado perfecto. Por lo tanto, la expresión podrá ser descompuesta en factores racionales.
• La expresión (8×2 – 22xy + 15y2) podrá ser factorizada racionalmente?
Aplicando el Teorema 14, se tiene:
D = (–22)2 – 4 (8) (15) = 484 – 480 = 4
Se ha obtenido un cuadrado perfecto. Por lo tanto, es factorizable en Q.
• ¿Es factorizable (7×2 + x + 8) en el conjunto Q ?
Aplicando la propiedad:
D = (1)2 – 4 (7) (8) = 1 – 224 = -223
Se observa que (–223) no es un cuadrado perfecto. Por lo tanto, el polinomio no es factorizable en Q.
• Demostrar que , el polinomio:
[x2 + (k+1) x + k] es factorizable en Q.
Calculemos su discriminante:
D = (k+1)2 – 4 (1) (k) = (k–1)2
Es evidente que (k –1)2 es un cuadrado perfecto . Por lo tanto, el polinomio siempre será factorizable.

IV. CRITERIOS PARA APLICAR ARTIFICIOS
A) Cambio de Variable
Nos permite encontrar una expresión equivalente más sencilla, para lo cual la parte repetitiva de la expresión original, se debe SUSTITUIR por una nueva variable simple.
Ejemplos explicativos:
• Factorice: P(x) = x3 + 3×2 + 3x + 2
Formando el desarrollo del cubo de un binomio:
P(x) = (x3 + 3×2 + 3x + 1) +1
P(x) = (x + 1)3 + 1
Sustituyendo: x + 1 = a
Resulta como equivalente: P = a3 +1
Ejemplos explicativos:
• Factorice: P(x) = x5 + x + 1
Restando y sumando x2, se tiene:
P(x) = x5 – x2 + x2 + x + 1
P(x) = x2 (x3 – 1) + (x2 + x + 1)
P(x) = x2 (x – 1) (x2 + x + 1) + (x2 + x + 1)
Extrayendo el FCP = x2 + x + 1, se tiene:
P(x) = (x2 + x + 1) [x2 (x – 1) + 1]
Efectuando: P(x) = (x2 + x + 1) (x3 – x2 + 1)

• Factorice: P(x) = x5 + x4 + 1
Restando y sumando x2, se tiene:
P(x) = x5 – x2 + x4 + x2 + 1
P(x) = x2 (x3 – 1) + (x4 + x2 + 1)
P(x) = x2 (x–1) (x2+x+1) + (x2+x+1) (x2–x+1)
Extrayendo el FCP = x2 + x + 1, resulta:
P(x) = (x2 + x + 1) [x2 (x – 1) + (x2 – x + 1]
Por lo tanto: P(x) = (x2 + x + 1) (x3 – x + 1)

• Factorice: P(x) = x7 + x2 + 1
Restando y sumando x4, tal como sigue:
P(x) = x7 – x4 + x4 + x2 + 1
P(x) = x4 (x3 – 1) + (x4 + x2 + 1)
P(x) = x4 (x–1) (x2+x+1) + (x2+x+1) (x2–x+1)
Extrayendo el FCP = x2 + x + 1, resulta:
P(x) = (x2 + x + 1) [x4 (x – 1) + (x2 – x + 1]
Finalmente:
P(x) = (x2 + x + 1) (x5 – x4 + x2 – x + 1)

• Factorice: P(x) = x7 + x5 + 1
Restando y sumando x4, se tiene:
P(x) = x7 – x4 + x5 + x4 + 1
P(x) = x4 (x3 – 1) + (x5 + x4 + 1)
Recordando el ejemplo 2, se muestra:
P(x) = x4 (x–1) (x2+x+1) + (x2+x+1) (x3–x+1)
Extrayendo el FCP = x2 + x + 1, queda:
P(x) = (x2 + x + 1) [x4 (x – 1) + (x3 – x + 1]
Reduciendo:
P(x) = (x2 + x + 1) (x5 – x4 + x3 – x + 1
2. Dar el factor cuadrático irreductible:
x5 + x2y3 – x3y2 – y5

Rpta.:

3. Dar la suma de los factores primos mónimos:
x3 (y – z) + y3 (z – x) + z3 (x – y)

Rpta.:

4. Dar el factor cuadrático mónico irreductible:
x5 – x4 – 1

Rpta.:

5. Factorizar en R(x) y dar la suma de los factores primos: x4 + y4

Rpta.:

6. Factorizar:
• z16 – 1
• a2 – 4m2 + 4ab + 4b2


• a4 + 4b4
• a4 + 2a2 + 9
• 36m8 + 15m4 + 4
• x5 + x + 1
• x4 + x2 + 1
• x10 + x5 + 1
• x5 – x4 – 1

7. Indique el númreo de factores primos:
m7 + m6 – m5 – m4 – m3 – m2 + m + 1

Rpta.:

8. Factorizan y dar la suma de factores primos:
M(x) = x5 – x4 – 2×3 + 2×2 + x – 1

Rpta.:

9. Dar la suma de factores primos:
S(a;b;x;y) = ab (x + y)2 + xy (a – b)2

Rpta.:

10. Factorizar:

Rpta.:

11. Factorizar e indicar el número de factores primos:
P(a;b;c;d) = b2 + c2 – a2 – d2 + 2ad + 2bc

Rpta.:

12. Dar la suma de factores primos:
F(a;x) = ax (ax – 2) – (x2 – 1) + a (2x – a)

Rpta.:

13. Dar la suma de coeficientes de los factores primos:
Q(a;b;c)=(a + b)(b + c)(c + a)+a3 b3+c3–2abc

Rpta.:

14. Indique un factor cuadrático:
S(x) = x5 + 2×3 + x – 1

Rpta.:

15. Dar la suma de los términos independientes de los factores primos:
P(z) = z10 + z2 + 1

Rpta.:

16. halle la suma de los factores primos:
M(a;b;c) = a4bc + ab4c + abc4 – b3c3 – a3c3 – a3b3

Rpta.:

17. La diferencia de sus factores primos de:
P(x) = x4 + (1 + x4) (1 + x2)2, es:

Rpta.:

18. ¿Cuántos factores cuánticos adimte el polinomio?
F(x)=(x – 1) (x + 1) (x2 + 1) (x4 + 1) + x4 (2×2 + 1)

Rpta.:

19. Factorizar:
P(a;b;c)=(2a2+3ab+b2)2– 4(a2–b2)(a2+3ab+2b2)

Rpta.:
1. Factorizar:
• x3 + 2×2 + x + 2
• x5 + x4 +x3 + x2 + x + 1
• x5 + 2×4 – x3 – 2×2
• x5 – 2×4 – 16x + 32
• x9 – 1
• x8 + x4 + 1
• x4 + 15×2 + 64
• x5 + x + 1

2. Hallar el número de factores primos de:
A(x) = x3 – 9×2 + 9x – 81
A) 2 B) 4 C) 5 D) 8 E) 3

3. Calcule la suma de los factores primos del polinomio:
a2b + ab2 + b2c + c2a + 2abc + c2b + ca2
A) a + b B) 2 (a + b)
C) a + b + c D) a + 2b + c
E) 2 (a + b + c)

4. Obtener el número d efactores primos de:
P(x) = (x + 1)7 · (x2 + 1)10 – (x + 1)5 · (x2 + 1)4
A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5

5. Con respecto a la expresión:
4x4y – 4x3y2 – 24x2y3
señale verdedero o falso:
I. Un factor primo es (x – 3y)
II. Un factor primo es (x + 2y)
III. Tiene más de dos factores primos.
A) VVV B) VFV C) FVF
D) FFV E) VVV

6. Factorice: (x5 + x)2 – 1 e indique la suma de sus dos factores primos.
A) 2×2 + x + 1
B) 2×2 + 1
C) 2×2 + 2
D) x + 1
E) 2×2 + x + 2

7. Se descompone:
a3 – ab2 + a2b – b3 + a2 – b2 en factores lineales. hallar la suma de dichos factores primos.
A) 2a + b – 1
B) 2a – b + 1
C) 3a + b + 1
D) 3a – b + 1
E) a + b + 1

8. Los factores primos de:
a (b – c)2 + b (c – a)2 + c (a – b)2 + 8abc
suman:
A) a + b + c B) 2abc
C) 3a + 3b + 3c D) 3abc
E) 2a + 2b 2c

9. Hallar n si es un trinomio cuadrado perfecto:

A) 16 B) 12 C) 10 D) 8 E) 6

10. Dar la suma de los términos independientes de los factores primos:
(x4 + x3 + x2 + x + 1)2 – x4
A) 4 B) 5 C) 3 D) 6 E) 8

11. Factorizar e indicar un factor primo:
P(m,n) = –8m2n2 + (m2 + n2) · (n – m)2
A) m2 + n2 B) 2m – n
C) 2m + n D) m – n
E) m + n

12. Dar la suma de factores primos:
(mx+ny+pz)2+(my–nx)2+(nz–py)2 +(px–mz)2
A) x2 + y2 + z2
B) m2 + n2 + p2
C) x2 + y2 + z2 +m2 + n2 + p2
D) x2 + p2 + m2
E) x2 + z2 + n2

13. Indicar un factor primo:

A) 1 – yz – xy –xz
B) x + y + z – xyz
C) x + y + z
D) yz + xy + xz
E) x + xy – z

14. Dar la suma de coeficientes de uno de sus factores primos:
(x3 – 2)2 – x2 {(x – 2)2 + 3 (x + 2)2}
A) 9 B) 3 C) 5 D) 8 E) 7

15. Dar la suma de factores primos:
c2 – a2 – b2 + 2a – 2b + 2c + 2ab
A) 2c + 2 B) 2b + 2
C) 2a + 2 D) 2c + 1
E) c + 2

16. Dar la suma de factores primos de:

A) 2c + 2m + 2a B) 2d + 2n + 2b
C) 2c – 2m – 2a D) 2d –2n – 2d
E) m + n + a – b

17. Indicar el número de factores primos:
P(x,y,x) = (x – y)3 + (y – z)3 + (z – x)3
A) 4 B) 8 C) 10 D) 12 E) 6

18. Al descomponer en dos factores primos la expresión:
(m – 5) (m – 6) (m – 7) + (m –5) (m – 6) – (m – 5)
el resultado del producto de los valores absolutos de los términos no literales es:
A) 175 B) 165 C) 155
D) 145 E) 176

19. Indicar el número de factores primos:
P(x,y)=x3y2+x3y+x2y+x2y3+xy3+xy2+2x2y2
A) 5 B) 3 C) 2 D) 1 E) 4

20. Con respecto al polinomio:
a (x – 1) – b (1 – x) + cx – c
señale verdadero o falso:
I. a + b + c, es un factor primo.
II. x + 1, es un factor primo.
III. Sólo tiene 2 factores primos.
A) VFV B) FVF C) FFF
D) VVV E) VFF
V. CRITERIO DEL ASPA
Son un conjunto de modelos matemáticos que nos permiten descomponer un polinomio en factores, dependiendo su aplicación, del número de términos y de la forma que presenta dicho polinomio.
Los modelos diseñados por este criterio son:
– El Aspa simple (para 3 términos)
– El Aspa doble (para 6 términos)
– El Aspa doble especial (para 5 términos), y
– El Aspa triple (para 10 términos)
En este nivel, nos centraremos en estudiar detalladamente los tres primeros, por su mayor utilidad.
a) Aspa Simple
Se utiliza para factorizar polinomios de la forma general:
P(x,y) = Ax2m + Bxmyn + Cy2n ; {A,B,C,}
o de expresiones enteras reducibles a él.
Procedimiento general
Para factorizar el polinomio:
(Ax2m + Bxmyn + Cy2n)
Se deben seguir los siguientes pasos:
1. Se ordena el polinomio de acuerdo a la forma general.
2. Se descompone los términos extremos en dos factores cada uno, de tal manera que la suma de los productos de dichos factores en aspa, sea equivalente al término central.
Según el esquema: P(x,y) = Ax2m + Bxmyn + Cy2n

3. Los términos de los factores obtenidos, se toman horizontalmente. Tal como se muestra:
P(x,y) = (a1xm + c1yn) (a2xm + c2yn)
Aplicaciones diversas
• Factorice:
P(x,y) = 12×2 + 23xy + 10y2
12×2 + 23xy + 10y2

Por lo tanto: P(x,y) = (4x+5y) (3x+2y)

• Factorice:
Q(x) = 91×4 + 27×2 – 88
91×4 + 27×2 – 88

Por lo tanto:
Q(x) = (13×2 – 11) (7×2 + 8)

• Factorice:
R(a,b,c) = 15a6 – 34a3bc2 + 16b2c4
15a6 – 34a3bc2 + 16b2c4

Por lo tanto: R(a,b,c) = (5a3 – 8bc2) (3a3 – 2bc2)

• Factorice:
F(x) = x2 + 4abx – (a2 – b2)2
x2 + 4abx – (a+b)2 (a – b)2

Luego: F(x) = [x + (a+b)2] [x – (a – b)2]

• Factorice:
G(x,y) = x4 + x2y2 + 2×2 – y3 + 1
x4 + (y2+2)x2 – (y3–1)

Finalmente:
G(x,y) = (x2 – y + 1) (x2 + y2 + y + 1)

• Factorice: H(m) = m7 + 2m5 + 2m3 – 1
Para el caso de polinomios de grado impar, lo que se debe hacer, es ADAPTAR la expresión para aplicar el criterio mencionado.
En el polinomio expuesto, descomponiendo 2m3 y agrupando convenientemente, se tiene:
m7 + 2m5 + m3 + (m3–1)

Por lo tanto:
H(m) = (m3+m–1) (m4+m2+m+1)

B) Aspa Doble
Se utiliza para factorizar polinomios de seis términos de la forma general:
P(x,y) = Ax2m+Bxmyn+Cy2n+Dxm+Eyn+F(*)
o de expresiones enteras reducibles a él.

Procedimiento general
Para descomponer en factores el polinomio P(x,y), se deben seguir los siguientes pasos:
1. Se ordena el polinomio de acuerdo a la forma general.
2. De faltar algún término, se sustituirá con un cero, el espacio correspondiente del termino que faltase en la ordenación mencionada.
3. Se aplicarán sucesivamente tres aspas simples:
ASPA (I) ® a los términos 1º, 2º y 3º
ASPA (II) ® a los términos 1º, 4º y 6º
y el aspa simple auxiliar:
ASPA (III) ® a los términos 3º, 5º y 6º
Según el esquema mostrado:
P(x,y) = Ax2m+Bxmyn+Cy2n+Dxm+Eyn+F

4. Los términos de los factores obtenidos se toman horizontalmente. Tal como se muestra:
P(x,y) = (a1xm+c1yn+f1) (a2xm+c2yn+f2)

(*) Si en la forma general m=n=1 y P(x,y)=0, es decir: Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0. Se genera una relación muy importante en la geometría analítica, denominada la ECUACIÓN GENERAL DE UNA CÓNICA, y dependiendo del valor de un parámetro crítico llamado invariante, esta ecuación dará lugar a la construcción de diversos LUGARES GEOMÉTRICOS, llámese circunferencia, elipse, parábola e hipérbola.
Aplicaciones diversas
• Factorice:
P(x,y) = x2 + 4xy + 3y2 + 6x + 10y + 8

Por lo tanto: P(x,y) = (x+3y+4) (x+y+2)

• Factorice:
Q(x,y) = 6×2 + 5xy – 4y2 + 13x + 10y + 6

Los factores obtenidos son:
Q(x,y) = (3x + 4y + 2) (2x – y + 3)

• Factorice:
R(x,y) = 18×2 – 27xy + 10y2 + 4y – 32
Se observa que falta el 4to. término, según la forma general, luego tenemos:
R(x,y) = 18×2 – 27xy + 10y2 + 0x + 4y – 32

Finalmente: R(x,y) = (6x – 5y+8) (3x – 2y – 4)

• Factorice:
F(x,y) = 8xy – 6y2 + 4x + 7y + 5
Completando con cero el 1er. término, así:
F(x,y) = 0×2 + 8xy – 6y2 + 4x + 7y + 5

Por lo tanto: F(x,y) = (4x – 3y+5) (2y+1)

• Factorice: T(x,y) = x2 – 4y2 + 6x + 9
Faltan el 2do. grado y 5to. término, según la forma general. Entonces:
T(x,y) = x2 + 0xy – 4y2 + 6x + 0y + 9

Finalmente, resulta:
T(x,y) = (x – 2y+3) (x+2y+3)
En la práctica permanente, a veces se presentan problemas de mayor dificultad. Tal como mostraremos a continuación:

• Factorizar:
P(x,y) = ab(x2+y2) – (a2+b2)xy + (a – b) (x+y) –1
Efectuando y ordenando convenientemente, se tiene:
P(x,y) = abx2–(a2+b2)xy+aby2+(a–b)x+(a–b)y–1

Por lo tanto:
P(x,y) = (ax – by – 1) (bx – ay + 1)

• Factorizar:
F(x) = 6×6 + 2×4 + 7×3 – 8×2 – 14x – 5
Ordenándolo y adaptándolo para que verifique la regla del aspa doble, se tiene:
F(x) = 6×6 + 2×4 – 8×2 + 7×3 – 14x – 5

Por lo tanto:
F(x) = (3×3 + 4x + 5) (2×3 – 2x – 1)

C) Aspa Doble Especial
Se utiliza para factorizar polinomios de cinco términos de la forma general:
P(x) = Ax4n+Bx3n+Cx2n+Dxn+E; A¹0(*)
o de expresiones enteras reducibles a él.
Procedimiento general
Para descomponer en factores el polinomio P(x), se deben seguir los siguientes pasos:
1. Se ordena el polinomio de acuerdo a la forma general.
2. De faltar algún término, se sustituirá con un cero, el espacio correspondiente del término que faltase en la ordenación mencionada.
3. Se descompone los términos extremos (1º y 5º) en dos factores cada uno. Seguidamente, se calcula la suma de los productos de dichos factores en aspa, obteniéndose un resultado.
4. Para hallar el término que sustituye al central (TSC), se resta del término central, el resultado obtenido anteriormente.
5. Se descompone convenientemente el TSC, tratando que verifiquen simultáneamente dos aspas simples:
ASPA (I) ® a los términos 1º, 2º y TSC.
ASPA (II) ® a los términos TSC, 4º y 5º
Según el esquema explícito mostrado:
P(x) = Ax4n + Bx3n + Cx2n + Dxn + E

TSC: Cx2n – (a2e1 + a1e2)x2n = Fx2n
Luego, se descompone Fx2n en el recuadro, del modo siguiente: Fx2n = (f1xn) (f2xn)
tratando de verificar por medio de las aspas, los términos Bx3n y Dxn. Tal como se muestran:

6. Los términos de los factores obtenidos se toman horizontalmente. Tal como se indica :
P(x) = (a1x2n+f1xn+e1) (a2x2n+f2xn+e2)
(*) Si en la forma general n=1 y P(x)=0
Es decir: Ax4 + Bx3 + Cx2 + Dx + E = 0.
Se genera la ecuación GENERAL DE 4TO. GRADO, cuya resolución general se le debe a SCIPIÓ FERRARI. En el caso de que esta ecuación acepte raíces racionales, se podrá aplicar el aspa doble especial y llevarlo a la forma equivalente:
(a1x2 + m1x + e1) (a2x2 + m2x + e2) = 0
Aplicaciones diversas
• Factorice:
P(x) = x3 (x+3) + 8 (x2+x+1)
P(x) = x4 + 3×3 + 8×2 + 8x + 8

TSC: 8×2 – (4+2)x2 = 2×2

Por lo tanto:
P(x,y) = (x2 + 2x + 4) (x2 + x + 2)

• Factorice:
Q(x) = 6×4 + 7×3 – 9x – 4
Como falta el término cuadrático, completamos con un cero en el espacio correspondiente a él. así:
Q(x) = 6×4 + 7×3 + 0×2 – 9x – 4

TSC: 0×2 – (8 – 3)x2 = –5×2

Por lo tanto:
Q(x) = (3×2+5x+4) (2×2 – x – 1)
El segundo factor, descomponiéndolo por aspa simple, resulta:
Q(x) = (3×2 + 5x + 4) (2x + 1) (x – 1)

• Factorice:
R(x) = 12×4 + 44×3 + 11×2 – 36x + 9

TSC: 11×2 – (–6 – 18)x2 = 35×2

Por lo tanto:
R(x) = (6×2+7x – 3) (2×2+5x – 3)
Finalmente, descomponiendo ambos factores:
R(x) = (3x – 1) (2x + 3) (2x – 1) (x+3)

• Factorice:
F(x) = x4 + 39x – 22
Completando con ceros, los términos cúbico y cuadrático respectivamente, se tiene:
F(x) = x4 + 0×3 + 0×2 + 39x – 22

TSC: 0×2 – (11 – 2)x2 = 9×2
Directamente, la expresión factorizada, será:
F(x) = (x2 – 3x + 11) (x2 + 3x – 2)

• Factorice:
G(x) = 49×4 + 54×2 + 25
G(x) = 49×4 + 0×3 + 54×2 + 0x + 25

TSC: 54×2 – (35 + 35)x2 = –16×2
Por lo tanto:
G(x) = (7×2 + 4x + 5) (7×2 – 4x + 5)

• Factorice:
P(x) = 12×8 + 4×6 – 9×4 + 1
P(x) = 12×8 + 4×6 – 9×4 + 0×2 + 1

TSC: –9×4 – (3 + 4)x4 = –16×4
La expresión factorizada es:
P(x) = (4×4 – 4×2 + 1) (3×4 + 4×2 + 1)
Luego: P(x) = (2×2 – 1)2 (3×2 + 1) (x2 + 1)
• Factorice: F(x,y)=4×4+9x3y+3x2y2–5xy3–3y4

TSC: 3x2y2 – (–3+4)x2y2 = 2x2y2
Los factores resultantes serán:
F(x,y) = (4×2 + xy – 3y2) (x2+2xy+y2)

Luego: F(x,y) = (4x – 3y) (x+y) (x+y)2
Por lo tanto: F(x,y) = (4x – 3y) (x + y)3

VI. CRITERIO DE LOS DIVISORES
BINÓMICOS
Finalidad.- Se utiliza para factorizar polinomios de grado arbitrario y de una variable, que acepten factores racionales de primer grado.
Raíz de un polinomio:
Dado un polinomio P(x) de grado n (n ³ 1) y el valor de a un escalar cualquiera. Si se verifica P(a) = 0, entonces a es una raíz de dicho polinomio.
Por ejemplo:
Los valores 1, 2 y son raíces del polinomio:
P(x) = 3×3 – 7×2 + 4
Debido a que: P(1) = 3(1)3 – 7(1)2 + 4 = 0
P(2) = 3(2)3 – 7(2)2 + 4 = 0

DETERMINACIÓN DE LOS POSIBLES CEROS
O RAÍCES RACIONALES (P.C.R.)
DE UN POLINOMIO
Para conocer los posibles ceros racionales de un polinomio P(x) de coeficientes enteros, tal como:
P(x) = a0xn+a1xn–1+a2xn–2+ ….. + an–1x+an; a0 ¹ 0

Donde: a0 = Coeficiente principal de P(x)
an = Término independiente de P(x)
Se utilizará la siguente propiedad:

Por ejemplo:
Los posibles ceros racionales del polinomio:
P(x) = 4×5 – 29×3 – 24×2 + 7x + 6
Es decir, los posibles valores racionales que anulen dicha expresión, se calculan mediante la propiedad mencionada.
Identifiquemos:
• Coeficiente principal de P(x) = 4
• Término independiente de P(x) = 6
Luego:

Por lo tanto:

Es decir, tenemos 16 posibles ceros (por el doble signo) para el polinomio. En el proceso evaluativo, algunos de estos valores ANULARAN realmente dicha expresión.

TEOREMA DEL FACTOR LINEAL
Dado un polinomio P(x) de grado n (n ³ 1), si el número racional a es un cero o raíz de dicha expresión, entonces (x – a) será un factor racional de P(x).
Por ejemplo:
En el polinomio: P(x) = 3×3 – 7×2 + 4
Sabemos que 1, 2 y son ceros o raíces de P(x). Entonces, por el teorema expuesto, podemos afirmar que (x – 1), (x – 2) y son factores racionales de la expresión.

PROCEDIMIENTO GENERAL
PARA FACTORIZAR
Para factorizar el polinomio de coeficientes enteros:
P(x)=a0xn+a1xn–1+a2xn–2+ ….. + an–1x+an; a0 ¹ 0
Se siguen los siguientes pasos:
1. Se determinan los posibles ceros o raíces del polinomio.
2. Tomando los valores del P.C.R., empezamos a evaluar la expresión P(x), hasta encontrar exactamente los ceros o raíces del polinomio.
3. Para aplicar el teorema del factor, debemos establecer el siguiente criterio general:
• Si P(x) es un polinomio de 3er. grado
Se busca un cero; es decir; se obtiene por el teorema UN FACTOR.
• Si P(x) es un polinomio de 4to. grado no busques ceros, ya que se puede aplicar directamente el ASPA DOBLE ESPECIAL.
• Si P(x) es un polinomio de 5to. grado
Se busca un cero; es decir; se obtiene por el teorema UN FACTOR.
• Si P(x) es un polinomio de 6to. grado
Se buscan dos ceros; es decir, se obtienen por el Teorema DOS FACTORES.
* Si P(x) es un polinomio de 7mo. grado
Se buscan tres ceros; es decir; se obtienen por el Teorema TRES FACTORES. Y así sucesivamente para los polinomios de grado superior.
4. Para el primer asterisco, los otros factores se hallan utilizando el ASPA SIMPLE.
A partir del tercer asterisco, los otros factores se determinan aplicando el ASPA DOBLE ESPECIAL o la agrupación de términos, si el polinomio cuártico resultante es sencillo. En todos los casos, excepto en el segundo asterisco, aplicaremos una o más veces la regla de Paolo Ruffini para hallar el otro factor del polinomio P(x), que falta descomponer en factores.
Aplicaciones diversas
• Factorice: P(x) = x3 – 7x + 6
Como el polinomio es MÓNICO, los posibles ceros racionales vendrán dados exclusivamente por los divisores del término independiente 6.
Es decir: P.C.R. = ± { 1, 2, 3, 6 }
Evaluando, se obtienen directamente los tres ceros racionales de la expresión. Veamos:
x=1 : P(1) = (1)3 – 7(1) + 6 = 0
Por lo tanto, (x – 1) es un factor.
x=2 : P(2) = (2)3 – 7(2) + 6 = 0
Se obtiene, (x – 2) como otro factor.
x=–3 : P’ = (–3)3 – 7(–3) + 6 = 0
resulta como tercer factor (x+3)
finalmente: P(x) = (x – 1) (x – 2) (x+3)

• Factorice: P(x) = 6×3 + 17×2 + x – 10

Evaluando, para el valor entero (–1) así:
x=–1: P(–1) = 6(–1)3 + 17(–1)2 + (–1) – 10 = 0
Por lo tanto, (x+1) es un factor de P(x).
Es decir: P(x) = (x+1) F(x) ¬ 2do. grado
Para hallar el otro factor F(x), aplicamos la regla de Ruffini, debido a que F(x) es el cociente de la división indicada:

Luego: P(x) = (x+1) (6×2 + 11x – 10)

P(x) = (x+1) (3x – 2) (2x+5)
Observar que estos últimos factores se generan a partir de los ceros racionales , que son elementos del P.C.R.

• Factorice:
P(x) = 8×5 – 14×4 – 15×3 + 20×2 + 7x – 6

Evaluando para x=1:
P(1) = 8(1)5–14(1)4–15(1)3+20(1)2+7(1)–6=0
Por lo tanto; (x–1) es un factor de P(x).
Es decir: P(x) = (x–1) F(x) ¬ 4to. grado
Aplicando la Regla de Ruffini como en el ejemplo anterior, se tiene:

Luego: P(x) = (x–1) [8x4–6x3–21x2–x+6]

Tomando horizontalmente los factores de F:
P(x) = (x–1) (4×2+7x+3) (2×2–5x+2)

Finalmente:
P(x) = (x–1) (4x+3) (x+1) (2x–1) (x–2)
Observar que los últimos factores obtenidos se generan de los ceros racionales que son elementos del P.C.R.

• Factorice:
P(x) = x6 – 2×5 – x4 + x3 + 2×2 + x – 2
Como el polinomio es MONICO, los posibles ceros racionales vendrán dados por los divisores del término independiente (–2). Es decir:
P.C.R. = ± { 1, 2 }
Por simple inspección, se observa que:
P(1) = 0 y P(–1) = 0
Entonces, (x–1) y (x+1) son factores de P(x).
Es decir: P(x) = (x–1) (x+1) F(x) ¬ 4to. grado
Aplicando dos veces la Regla de Ruffini, sobre un mismo diagrama, se tiene:

Luego: P(x) = (x–1) (x+1) [x4–2x3–x+2]
Como el polinomio cuártico es simple, factoricemoslo por agrupación de términos, así:
P(x) = (x–1) (x+1) [x3 (x–2) – (x–2)]
P(x) = (x–1) (x+1) (x–2) [x3 – 1]
Como: x3 – 1 = (x–1) (x2+x+1)
Se obtiene finalmente:
P(x) = (x–1)2 (x+1) (x–2) (x2+x+1)

• Factorice:
P(x) = 8×7 – 46×5 + 48×4 – 73×3 + 60×2 + 21x – 18
luego de determinar los P.C.R., seguidamente empezamos a evaluar el polinomio, obteniendose:
P(1) = 0 ; P(2) = 0 ; P(–3) = 0
Por lo tanto, (x – 1), (x – 2) y (x+3) son factores de P(x). Es decir:
P(x) = (x–1) (x–2) (x+3) F(x) ¬ 4to. grado
Aplicando tres veces la regla de Ruffini, sobre un mismo diagrama, resulta:

Luego: P(x) = (x–1)(x–2)(x+3)[8x4+10x2–3]

P(x) = (x–1) (x–2) (x+3) (4×2–1) (2×2+3)
Descomponiendo el cuarto factor, por diferencia de cuadrados, resulta:
P(x) = (x–1) (x–2) (x+3) (2x+1) (2x–1) (2×2+3)

–PARA EJERCITARSE–
• Demuestre usted que al factorizar el polinomio:
P(x) = x8 + x7 – 5×6 + 9×4 – 9×3 – x2 + 8x – 4
Se obtiene (x+1) (x–1)3 (x+2)2 (x2–x+1)
• De la identidad mostrada:
3×5 + 10×4 + 10×3 – 5x – 2 º (x+c)n (ax+b)
Demuestre que:
• Investigue usted el siguiente teorema:
Si (x – k) es un factor de multiplicidad r de un polinomio. Se cumplen las relaciones simultáneas:

Siendo k una de las raíces del polinomio P(x), y las notaciones del cálculo diferencial :
P’ : Primera derivada de P
P’’ : Segunda derivada de P
P’’’ : Tercera derivada de P

Pr-1 : (r–1) ava derivada de P

1. Consideremos el polinomio en Z:
P(x,y,z,)=x2y + xy2 + xyz – z2 – xy + zy + z2
a. Encuentre el número de factores primos.
b. ¿Cuál de los factores primos tiene mayor suma de coeficientes?

Resolución:
Para que pueda ser factorizable agrupemos sus términos convenientemente así:
(x2y + xy2 + xyz) + (z2 – x2 + zy – xy)
Nótese que los tres primeros términos tienen a xy como factor común:
(xy) (x + y + z) + [z2 – x2 + zy – xy]
Luego observamos que dentro de los corchetes aparece (z – y) de factor común, por tanto:
(xy) (x + y + z) + [(z – x) (z + x) + y (z – x)]
(xy) (z + y + z) + (z – x) [z + x + y]
Hasta que por fin apareció el factor común:
(z + y + z), extrayéndolo resulta:

a. Como (x + y + z) y (xy + z – x) son ambos primos (es decir ya no se pueden seguir descomponiendo), entonces P(x,y,z) tiene 2 factores primos.
b. El factor primo (x + y + z) tiene la mayor suma de coeficientes y vale: 1 + 1 + 1 = 3.

2. Problema
Sea dado el polinomio en tres variables:
P=b2c2+a(a+b+c)(a+b)(a+c)+abc(a+b+c)
a. Calcular una diferencia de sus factores primos.
b. Señale el número de divisores compuestos que posee el polinomio P.
Resolución:

ASPA SIMPLE
1. Factorizar:
• 20×4 + 19×2 – 6
• abx2 + (a2 – b2) x – a · b
• ab x6 + (2a + b) x3 + 2
• (m – 1)4 + (m – 1)2 – 6
• m2(3m – 4)2 – 57m2 + 76m + 60
• 2(a + b)2 + (a + b) (c + d) + c (d – c)
• 3(x + 15)2 + 2(x + 14)2 – 2(x + 13)2 + 2
• 2(x2 + y2 +z2) – 5y(x + z) + 4xz
• (x3+3)2 + 4 (x3+3) (x6–36) + (x3+6)2 – 9

ASPA DOBLE
2. Factorizar:
• 2×2 – xy – y2 – x – 5y – 6
• 15×2 – 8xy + y2 + 8x – 2y + 1
• 8×2 – 10xy + 3y2 – 2yz – 8z2
• x2 + 2xy + y2 + 3xz + 3yz – 4z2

ASPA DOBLE ESPECIAL
3. Factorizar:
• x4 + 7×3 + 14×2 + 7x + 1
• m4 + 2m3 + 6m2 + 5m + 6
• 2×4 – x3 + 2×2 – 6x – 5
• x8 + 2×6 + 3×4 + 2×2 + 1

DIVISORES BINÓMICOS
4. Factorizar:
• x3 – 6×2 + 11x – 6
• x3 + 3×2 – 4
• x5 + 4×4 – 10×2 – x + 6
• 6×3 – 25×2 – 24x – 5

5. Hallar el número de factores primos de:
P(x) = 8×5 – 22×3 + 9x

Rpta.:

6. Hallar la suma de los coeficientes de un factor primo cuadrático irreductible en R[x] de:
P(x)=(x – 1) (x + 2) (x – 3) (x – 6) + 7×2 – 28x + 1

Rpta.:

7. Hallar el mayor término independiente de los factores primos mónicos en R(x) del polinomio:

Rpta.:

8. Factorizar y dar la suma de los factores primos:
8×2 + 26xy + 15y2 + 18x + 31y + 10

Rpta.:

9. Hallar la suma de los coeficientes de los factores primos:
15×2 + 16xy – 15y2 – 3x + 29y – 12

Rpta.:

10. Hallar la suma de factores primos de:
P(x)= x4 – 14×3 + 65×2 – 110x + 52

Rpta.:

11. Al factorizar en Z[x] el polinomio:
x4 + 10×3 + 32×2 + 38x + 15; indicar el factor que se repite.

Rpta.:

12. Hallar el factor primo cuadrático:
P(x) = x4 + 3×3 – x2 – 2x – 4

Rpta.:

13. Al factorizar el polinomio en el conjunto de los números enteros, mediante el procedimiento del aspa simple se realiza lo siguiente:

entonces, un factor primo es:

Rpta.:

14. Hallar la suma de factores primos:
P(x) = x3 + 4×2 – 20x – 48

Rpta.:

15. Hallar el factor primo en Z(x) del polinomio:
P(x) = 8×3 + 12×2 – 20x – 24

Rpta.:

16. Luego de factorizar por aspa doble especial al polinomio P(x) se obtiene el siguiente esquema:

dar el valor de: a + b + m ; a < b

Rpta.:

17. Si: x2 – 5x + 6 es un factor primo de:
P(x) = x4 – 9×2 + mx + n. Hallar el valor de:

Rpta.:

18. Factorizar: 10×3 – 9×2 + 4x – 1. Dar como respuesta el producto de los coeficientes de un factor primo.

Rpta.:

19. Indicar el factor primo como menor término independiente.

Rpta.:

20. Indicar la suma de factores primos cuadráticos:

Rpta.:
1. MÉTODO DEL ASPA SIMPLE
Factorizar:
• H(a,b,c) = 144a11b2 – 436a9b4 + 100a7b6
• P(a) = a12 – 6a8 + 5a4 + 2a6 – 6a2 + 1
• G(z) = z2 – 2a2z – a8 – a4 – 1
• Q(m,n) = 11 (5m2 – n2)2 – 31(5m2 – n2) (m2 + 2n2)
• R(a) = 13 (a + 1)3 (a – 1) – 4a2 – (a – 1)3 (a + 1) + 4
• M(x,y) = (x – y) (x – 3y) (x + 4y) (x + 6y) + 40y4
• R(a,b,x,y) = (a + b)2 + 4xy (a + b) – (x2 – y2)2

2. MÉTODO DEL ASPA DOBLE
Factorizar:
• P(x,y,x) = 6×2 – 20y2 – 14z2 + 7xy + 38yz – 17xz
• Q(a,b) = 6a2 + 12ab + 6b2 +ab + 29b + 26a + 28
• F(m,n,p,) = m2 + n2 – 4p2 + 2mn + 3mp + 3mp
• R(a,b) = 28a2 – 69ab – 22b2 – 36a – 71b – 40
• H(z,w) = 4z4 –3w4 + 11w2z2 + 4w3z – 16wz3
• K(x,y) = 648×8 – 342x4y2 + 576×4 + 128 – 152y2 + 45y4

3. MÉTODO DEL ASPA DOBLE ESPECIAL
Factorizar:
• Q(z) = 12z4 – 56z3 + 89z2 – 56z + 12
• H(a) = a7 – 20a5 – 2a4 + 64a3 + 40a2 – 128
• P(m) = 2m3 + 8m – 320 + m4 – 78m2
• F(x,y)=(x+y)4+5(x2+2xy+y2) (x+y+1)+3 (x+y) (2+4x+4y)+12(x+y+1)–4(x+y)2
• R(a,b) = 16a4 + 31a2y4 + 25b8
• S(x,y) = 320x4y4 + 658x3y3 + 675x2y2 + 357xy + 90

4. MÉTODO DE LOS DIVISORES BINOMIOS
Factorizar:
• P(a) = a3 + 6a2 + 3a – 10
• G(w) = w5 + 3w4 – 17w3 + 27w2 + 52w + 60
• F(z) = z4 + 5z3 – 7z2 – 29z + 30
• U(p) = 12p5 – 8p4 – 13p3 + 9p2 + p – 1
• H(x) = x3 + 2×2 – 5x – 6
• M(y) = 2y5 – y4 – 10y3 + 5y2 + 8y – 4
• B(n) = 2n4 + 5n3 + 2n2 – n – 2
5. Factorice e indique un factor primo:
P(x,y) = 15×2 – xy –6y2 + 34x + 28y – 16
A) 5x + 3y + 2 B) 5x + 3y – 2
C) 5x – 3y – 9 D) x + y – 2
E) x + y + 2

6. Factorizar: P(x) = (x + 1)4 – 5 (x + 1)2 + 4
Indicar un factor primo.
A) x + 3 B) x – 7 C) x – 8
D) x – 9 E) x – 6

7. Factorizar:
P(x) = (x2 + 5x + 4) (x2 + 5x + 6) – 3
Indicar la suma de términos constantes de sus factores primos.
A) 6 B) 8 C) 10 D) 12 E) 14

8. Indicar un factor primo:
P(n) = n4 – 13n3 + 60n2 – 116n + 80
A) n – 5 B) n – 16 C) n – 18
D) n + 18 E) n + 5

9. Señale la suma de todos los factores posibles lineales del polinomio:
P(x) = 4×3 – 11×2 + 5x + 2
A) 6x – 3 B) 5x + 1
C) 5x + 2 D) 6x – 2

10. Indique la suma de los factores primos no mónicos de la expresión:
P(x) = 6×3 + 17×2 + x – 10
A) 5x + 2 B) 7x + 4
C) 6x + 4 D) 5x + 3

11. ¿Para qué valor de n el polinomio:
P(x) = 77×4 + (n + 44)x3 – 99x – 65
se puede descomponer en dos factores primos cuadráticos.
A) 5 B) 7 C) 8 D) 9 E) 10

12. Se sabe que al factorizar:
R = (x – 1)4 + 3x (x – 2)2 – 17
se obtiene dos factores primos, tal que uno de ellos es positivo para todo Muestre dicho factor.
A) x2 – x + 2 B) x2 + x + 1
C) x2 – x + 1 D) x2 + x + 2
E) x2 – 2x + 3

13. Muestre dos raíces racionales del polinomio de grado superior:
P(x) = 8×5 – 14×4 – 15×3 + 20×2 + 7x – 6
A) B)
C) D)
E)

14. Muestre el divisor primo cuadrático que está contenido en:
P(x) = x7 – 5×6 + 9×5 – 6×4 – 3×3 + 9×2 – 7x + 2
si acepta un factor primo múltiple.
A) x2 + x + 1 B) x2 – x – 1
C) x2 – x – 1 D) x2 + x – 1
E) x3 + x2 – 2

15. Calcular m si el polinomio:
x4 + (m2 – 5) x3 + (m2 + 3m + 1) x + 2×2 7
es factorizable.
A) 2 B) 5 C) 6 D) 7 E) 8

16. Hallar m si los polinomios:
P(x) = x3 + mx2 – 5x – 6
Q(x) = x3 + (m – 3) x2 – 17x – 15
tienen factores primos comunes.
A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6

17. Indique cuántas veces se repite el polinomio factorizado.
P(a,b,c,) = (a – b)4 + (b – c)4 + (c – a)4
A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 1

18. Dar la suma de sus coeficientes de los factores primos.
abx2–bcy2+(ac–b2)xy–(a2–bc)x+(ab+c2)y–ac
A) 2a B) 2b C) 2c D) a E) c

19. Un factor primo de:
2×2 + 1 – [4x3y+6x2y2+4xy3+y4] es:
A) 1 – 2xy + y2
B) x2 – 2xy + 1
C) 1 + 2xy + 2y2
D) x2 + y2 + 1
E) 2xy –2y2 – 1

20. Sabiendo que el polinomio:
F(x) = x2 + x + 1, es un factor primo de:
P(x) = x7 + ax2 + bx + c
Calcular:
A) 8ab B) 4b C) 2 D) 1 E) 5

21. Al factorizar:

indicar la suma de los factores primos.
A) 2x + y + 3 B) 4x + 2y + 1
C) 3x + y D) 4x + 3y
E) 4x + y + 5