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DIVISION DE POLINOMIOS , HORNER , RUFFINI, COCIENTES NOTABLES EJERCICIOS Y PROBLEMAS RESUELTOS EN PDF Y VIDEOS

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Al finalizar la unidad, el alumno será capaz de:
* Reconocer los elementos y las propiedades de la división
* Efectuar la división usando los métodos de Horner y Ruffini
* Encontrar el resto de una división sin efectuar la operación (en ciertos casos)
* Reconstruir polinomios, bajo ciertas condiciones, usando la divisibilidad polinómica
* Conocer la importancia y aplicaciones del teorema del factor.
División de Polinomios
La operación de división tiene por objeto calcular dos polinomios denominados COCIENTE y RESIDUO , partiendo de dos polinomios conocidos: DIVIDENDO y DIVISOR.
DIVISIóN ENTRE DOS POLINOMIOS
La división de polinomios está definida para una variable tomada como referencia, a la cual se le llama variable ordenatriz.
MÉTODOS PARA DIVIDIR POLINOMIOS
Para dividir polinomios se utilizan los siguientes métodos:
• Método clásico o general
• Método de los coeficientes separados
•Método de Horner
• Método de los coeficientes indeterminados
•Regla de Ruffini




DIVISION ALGEBRAICA
• Determinación del cociente, utilizando el método de Horner o la regla práctica de Ruffini. Descartando el procedimiento clásico del álgebra tradicional.
• En la resolución de ecuaciones polinomiales para la obtención de raíces racionales y de raíces irracionales sin aproximación.
• En el cálculo inmediato del residuo de una división cualquiera, por el teorema de Descartes.
• Para la factorización de un polinomio de grado superior en el campo racional, se utiliza el criterio de los divisores binómicos, como aplicación de la regla de Ruffini.
SINTESIS TEÓRICA:
Dados dos polinomios D(x) y d(x) de grados “m” y “n” respectivamente llamados dividendo y divisor; dividir D(x) entre d(x) consiste en hallar otros dos polinomios q(x) y R(x) denominados cociente y residuo, donde el máximo grado de R(x) es (n–1) o bien R(x) = o; si es que la operación fuera exacta, de tal manera que estas expresiones verifiquen la identidad fundamental de la división entera, establecida por Euclides.
Identidad fundamental de la división entera
Dados los polinomios dividendo D(x), divisor d(x), cociente q(x) y residuo R(x), establecidos por la definición. Se cumple la identidad:

conocido universalmente como el ALGORITMO DE EUCLIDES, desde el punto de vista algebraico.
Ejemplos explicativos:
1. Dividir (x2+3x+4) entre (x-2)
Efectuando por el método clásico:

según la identidad, podemos expresarlo así:

2. Dividir (x3+8) entre (x2-2x+4)
De igual manera, por el procedimiento tradicional:

Expresándolo como la identidad, se tiene:

Como se puede observar, el residuo es nulo. El ejemplo 1 nos representa a una división inexacta y el 2 a una división exacta. Por esto, dependiendo del residuo, las divisiones se clasifican tal como sigue:
CLASES DE DIVISIÓN
1. División exacta:
Si el residuo de la división es un polinomio idénticamente nulo. Es decir luego, por ello se tendrá:

Al cual se le denomina “algoritmo de la divisibilidad”; cuyo equivalente racional, también se puede expresar así:

Donde q(x) es el cociente entero que se genera de la división exacta de los polinomios D(x) y d(x). Del ejemplo 2 anterior, se tiene:

2º. División inexacta:
Si el residuo de la división no es un polinomio idénticamente nulo.
Es decir:
Por esto, se tendrá: como su equivalente racional será:

donde Q(x) es el cociente no entero de la operación. Del ejemplo 1 anterior, se tiene:

la característica más importante de un polinomio es su GRADO y si queremos relacionar los elementos de una división entera, tendremos que establecer propiedades entre los grados de los elementos de dicha operación. Para lo cual mencionaremos los fundamentos básicos que definen a una división entera cualquiera.
PROPIEDADES DE GRADO EN UNA
DIVISIÓN:
Establezcamos la siguiente simbología convencional:
: grado del dividendo
: grado del divisor
: grado del cociente entero
: grado del residuo
Con respecto a una variable definamos los siguientes principios de una división euclídea:
1.
2.
3.
De esta última relación de orden, se deduce que:

Ejemplos explicativos:
1. Dado:
como la expresión no se puede dividir.
2. Dado:

Se puede deducir que:
– El grado del cociente:
– El máximo grado del residuo es uno menos que la del divisor. Es decir:
máx
Esto significa que el residuo, también puede ser de 1er grado o de grado cero.

CASOS QUE SE PRESENTAN EN LA
DIVISIÓN DE EXPRESIONES
ENTERAS
1. División de monomios

Tener en cuenta que la división de monomios siempre es EXACTA.
2. División de un polinomio entre
un monomio:

Se tendrá que aplicar la propiedad distributiva de la división respecto de la adición.
• Para una división exacta

• Para una división inexacta

Por simple inspección, se puede deducir que:
El cociente : q(x) = 4×3 + 3x
El residuo : R(x) = 5x – 4

3. División de polinomios cualesquiera
En este caso debemos tener en cuenta todos los principios de una división euclídea y que el proceso de la operación lo vamos a realizar con respecto a una variable tomada como referencia, a la cual se le denomina ORDENATRIZ de la división.
Para dividir polinomios existen diversos métodos, cuyos procedimientos presentan reglas particulares que facilitan la resolución de la operación. Presentaremos a continuación algunos criterios para efectuar una división:

I. MÉTODO CLÁSICO O DIVISIÓN NORMAL
Para dividir dos polinomios cualquiera mediante este método, se debe seguir el siguiente procedimiento:
1º Los polinomios dividendo y divisor deben estar ordenados en forma decreciente. En el caso de que la división sea exacta, la ordenación es arbitraria.
2º Se divide el primer término del dividendo entre el primer término del divisor, y se obtiene el primer término del cociente.
3º El primer término del cociente se multiplica por cada uno de los términos del divisor y se les cambia de signo, colocándolos debajo del dividendo con su correspondiente término semejante.
4º Se divide el primer término del resto obtenido entre el primer término del divisor, y se obtiene el segundo término del cociente.
5º Se procede como en el paso número 3.
6º Se continúa la operación hasta que se llegue a la última columna del dividendo.
Ejemplos aplicativos
1. Dividir :

Disponiendo el dividendo y el divisor, según el esquema del método clásico:

2. Dividir:
Del mismo modo, aplicando el procedimiento clásico:

Resultados obtenidos:
Cociente : q(x) =2×3 – 4×2 + x – 1
Residuo : R(x) = 5x + 2

II. MÉTODO DE LOS COEFICIENTES
SEPARADOS
Es un procedimiento similar a la de la metodología clásica, con la diferencia que en este caso, sólo se utilizan los coeficientes. Debemos tener en cuenta que a parte de la ordenación, tanto el dividendo como el divisor deben estar completos. Caso contrario, se sustituirán con CEROS los espacios correspondientes de los términos que faltasen.
Ejemplos explicativos
1. Dividir:
utilizando sólo los coeficientes, se tiene:

donde Cociente: q(x)= 2×5–3×4+x3+4
Residuo: R(x) =–7

2. Dividir:
del mismo modo, separando los coeficientes:

Por lo tanto: Cociente: q(x) = x+1
Residuo: R(x) = 2×3+2×2–x

III. MÉTODO DE GUILLERMO HORNER
Es el criterio equivalente del método de los coeficientes separados, y por ello, este procedimiento requiere las mismas condiciones. Su utilidad es muy frecuente, debido a que el DIAGRAMA establecido por Horner, facilita el proceso operativo.
Ejemplos aplicativos
1. Dividir

Del esquema de Horner, se tiene:

Se obtienen: q(x) = 5×3+x2+2x+6
R(x)= 6x+11

2. Dividir:
Del mismo modo, tenemos:

cuyos resultados se muestran:
Cociente : q(x) = 2×4+x2+3
Residuo : R(x) = 3×2+8

3. Dividir:

Dividiendo con respecto al a variable “x”, se tiene el diagrama adjunto:

Cociente: q(x) = x3+x2+1
Residuo : R(x) 0 (División exacta)

IV. REGLA DE PAOLO RUFFINI
Es un caso particular del método de Horner, y se utiliza para dividir un polinomio de cualquier grado entre un divisor de primer grado o transformable a él.
1er. Caso: Divisor de la forma (x+b)
Si el coeficiente a=1, el procedimiento simplificado de Ruffini generará directamente el cociente y el residuo de la operación. Veamos:
Ejemplos aplicativos
1. Dividir:
Regla :

Los elementos de la división obtenidos son:
Cociente:
Residuo: R(x) = 4

2. Dividir:

Regla: x – a + b = 0x = a – b

Resultados obtenidos:
Cociente :

Residuo: R(x) = a2

2do. Caso: Divisor de la forma (ax+b)
Si el coeficiente , se tendrá:

Del algoritmo de Euclides:
D(x) (ax+b) q(x) + R(x)
Llevándolo al primer caso; es decir, haciendo que el coeficiente principal del nuevo divisor sea igual a uno. Se tiene lo siguiente:

Se observa que el cociente queda multiplicado por “a”, generando un nuevo cociente q’(x), tal que:

Donde:
En este caso, el residuo es inalterable. Expliquemos todo lo anterior, mediante el esquema diseñado por Ruffini; para lo cual aplicamos la regla:
Regla: ax+b=0 (Reducción al 1er. caso).

Ejemplos aplicativos
1. Dividir:
Regla: 2x – 1= 0

Se obtienen los elementos de la operación:
q(x) = 3×4 + 4×3 + 2×2 + x – 3
R(x) = 1

2. Dividir:
Regla:

Resultan:
Cociente: q(x)= 4×5 + x4 + 3×3 + 5
Residuo : R(x) = –4

Ejercicios Especiales

3. Dividir:

Como 18, 15, 9, 6 y 3 son múltiplos de tres, se tiene:

Sustituyendo: x3=y
Resulta:

Regla: 4y – 1=

El cociente verdadero será:

Es decir:
como es exacta: R(x)=0

4. Dividir:

Como se repite (x–1), se tiene como división equivalente:

Sustituyendo : x–1=a
Resulta:

Regla: 3a+1=

El cociente verdadero será:
; y como a = x – 1
Se tiene : q(x) = 2(x–1)n +1; y el residuo será
R(x) = 4
• El teorema del resto es una regla práctica que nos va a permitir determinar el residuo de una división cualquiera, sin necesidad de efectuar dicha operación.
• Aplicar el Teorema mencionado en las siguientes divisiones :

Resultaría complicada su aplicación directa. Para evitar aquello, expondremos dos propiedades que nos van a permitir determinar sus residuos, sin necesidad de dividirlos.
• La finalidad de la divisibilidad polinómica, es conocer el manejo de las divisiones exactas, obtener cocientes de ciertas divisiones notables y tener una idea precisa de la relación numérica:

Como aplicación equivalente del teorema del factor de un polinomio.
RENÉ DESCARTES
Nació en La Haye de Turena, 31 de marzo de 1596 y murió en Estocolmo, 11 de Febrero de 1650.
Participó en la Guerra de los Treinta años, retirándose a Holanda, y terminando sus días en la corte de la reina de Suecia.
Muy conocido como filósofo racionalista, más polemizado que estudiado, sus aportaciones importantes las realizó en el terreno de las matemáticas.
Las líneas generales de su filosofía las recopila en su Discurso del método que se publica en Leiden en 1637, con tres apéndices científicos: Dióptica, Meteoros y Geometría.
El libro se difunde rápidamente; es comentado y discutido, y Descartes tiene que responder a gran número de objeciones, sobre todo de carácter filosófico y teológico, relativas al contenido del método; otras, las menos, de índole científica, referentes a las restantes partes de la obra.
La menos discutida fue la Geometría, sin duda porque, como el mismo Descartes dice, tendría un pequeño número de lectores, pues debían ser personas que no solamente estuvieran al corriente de todo lo que se sabía de Geometría y Álgebra, sino que debían ser, además, “laboriosos, ingeniosos y atentos”. Descartes agrega a su Discurso la Geometría, para demostración del procedimiento de raciocinio que en él se expone; los otros dos tratados, Dióptrica y Meteoros se limitan a ampliar capítulos de la Física y las ciencias naturales.
La Geometría constituye, pues, la exposición más acabada del método que se propone Descartes. Está formada por tres libros, en la edición original, de 120 páginas con 48 figuras, aunque sólo 30 son diferentes.
El libro primero trata de los problemas que pueden resolverse sin emplear más que círculos y líneas rectas; relaciona el cálculo de la Aritmética con las operaciones de Geometría, introduciendo el concepto de unidad. Trata de cómo pueden emplearse letras en Geometría, simplificando así las notaciones. Explica la manera de llegar a las ecuaciones que sirven para resolver los problemas, aplicando el procedimiento de suponer previamente el problema resuelto.
El libro segundo se denomina “De la naturaleza de las líneas curvas”. Trata especialmente de las de grado superior, la representación de las curvas por ecuaciones y, sobre todo, de la construcción y propiedades de tangentes y normales, cuya importancia deriva de los problemas de la reflexión de la luz sobre las superficies curvas.
El libro tercero está dedicado a los problemas que se resuelven por ecuación de tercer grado o superior. Esto se lleva al estudio de la resolución de ecuaciones, discusión de sus raíces y relaciones entre los coeficientes, enunciando su famosa regla de los signos.
La aportación de Descartes a la Matemática fue el antecedente necesario del cálculo infinitesimal creado por Newton y Leibniz 40 años después. Cuando Descartes tuvo la idea de definir la posición de un punto sobre un plano por las distancias x (abcisa) e y (ordenada) de este punto a dos ejes rectangulares fijos, arbitrariamente elegidos, intuyó inmediatamente que, si el punto recorre una determinada curva, estas variables x e y quedan ligadas por una cierta relación f(x, y) = 0, característica de esta curva a la que llama su ecuación. Y, al aplicar los procedimientos del Álgebra a los problemas geométricos, creó la Geométría Analítica.

SÍNTESIS TEÓRICA
TEOREMA DE RENATO DESCARTES
(Teorema del Resto)
El residuo de dividir P(x) entre (ax + b), se calcula al evaluar dicho polinomio P(x), cuando su variable “x” asume el valor de (–b/a).
Demostración: Por la identidad fundamental de la división, se tiene:
P(x) º (ax + b) q(x) + R(x)
Evaluando la identidad para

Como el divisor es de primer grado, el residuo es una constante real. Por esto:

Finalmente: (Lqqd)
Ejemplo explicativo:
Calcular el residuo de dividir:

De acuerdo al teorema, se trata de evaluar el polinomio: P(x) = 6×5 + 9×4 + 4×2 + 8x + 5
para x = . Es decir:

Esto nos conducirá a la obtención del residuo.
Efectuando, resulta:

R = 9 – 12 + 5 = 2

GENERALIZACIÓN DEL TEOREMA DEL RESTO
Si el divisor de la operación es de grado arbitrario, se establece la siguiente regla general:
Para determinar el residuo de una división cualquiera; el divisor deberá igualarse a cero, y a partir de esta igualdad se despejará una relación conveniente, el cual se reemplazará directamente en el dividendo.
El resultado de este reemplazo, nos representará el residuo de la división. Teniendo en cuenta que el máximo grado del residuo es uno menos que la del divisor.
Recordando :
Ejemplo (1) Calcular el resto de dividir :

Regla: x + 1 = 0 ® x = –1
Reemplazando en el dividendo, se tiene :
R = 4 (–1)121 + 7 (–1)84 – 5 (–1)33 + 8 (–1)18 + 6 (–1)5 –9
R = – 4 + 7 + 5 + 8 – 6 – 9
Por lo tanto, el resto es : R = 1

Ejemplo (2) Determinar el resto de la división :

Regla: x2 – 2 = 0 ® x2 = 2
En el dividendo debemos buscar todos los x2 posibles, para lo cual, cada uno de los términos se tienen que descomponer convenientemente, tal como sigue:
P =16(x2)3x – 24(x2)2x + 10(x2)3 – 7(x2)x – 22(x2)2 + 9
Reemplazando la relación x2 = 2, se obtendrá el residuo:
R = 16 (2)3x – 24 (2)2x + 10 (2)3 – 7 (2)x – 22 (2)2 + 9
R = 128x – 96x + 80 – 14x – 88 + 9
Finalmente: R = 18x + 1

Ejemplo (3) Para que valor de “a”, la siguiente división:
es exacta.
Regla: x – 2 = 0 ® x = 2
El residuo se obtiene al evaluar el dividendo, para dicho valor, así:
R = 2 (2)5 – 6 (2)3 + (a – 7) (2)2 + 16
R = 64 – 48 + 4 (a – 7) + 16
Reduciendo: R = 4a + 4
como es exacta: 4a + 4 = 0 ® a = –1

Ejemplo (4) Hallar el resto de dividir :

Regla: (x + 2) (x – 3) = 0
Efectuando: x2 – x – 6 = 0 ® x2 – x = 6
En el dividendo, debemos buscar la expresión:
(x2 – x), para luego sustituirlo por el valor de 6. Veamos:
P = (x+1)(x2–x+1)(x–2) (4×2–4x+1) – 3 [x(x–1)]3

P = (x2–x–2) (x2–x+1) [4 (x2–x)+1] – 3 [x2–x]3
El residuo de la división, se obtendrá de :
R = (6 – 2) (6 + 1) [4 (6) + 1] – 3 [6]3
R = (4) (7) (25) – 3 (216)
Finalmente : R = 700 – 648 = 52
Lectura
PIERRE DE FERMAT

Este matemático francés nació en Beaumont de Lomagne, en agosto de 1601, y falleció en Castres, el 12 de enero de 1665. Se educó en su ciudad natal y en Toulouse, dedicándose a la abogacía al terminar sus estudios. Fue nombrado Consejero del Parlamento de Toulouse en el año 1631.
Entre sus maestros tuvo a Blaise Pascal, con quien posteriormente mantendría correspondencia sobre temas matemáticos. Entre sus cartas relativas a un juego de azar se encontraba el germen del cálculo de probabilidades. También mantuvo correspondencia con Descartes y otros sabios, pero es especialmente recordado por sus aportaciones a la teoría de números, a la que contribuyó con la formulación de numerosos teoremas (aunque en la mayoría de los casos no daba su demostración). El más famosos de estos teoremas es el llamado “último teorema de Fermat” cuya demostración ha representado un gran reto para los matemáticos durante más de trescientos años: “ no existen a, b, c enteros positivos tales que si n>2 se cumple an +bn = cn”.
Fermat solía escribir sus teoremas en los márgenes de los libros que tenía en sus manos y junto a este teorema dejó anotado “haber encontrado una maravillosa demostración de este teorema pero no cabe en la estrechez del margen”.
La demostración maravillosa que no cabía en la estrechez del margen ha sido fuente de numerosas aportaciones matemáticas hasta convertirse en los doscientos folios que el matemático británico Andrew Wiles presentó en 1993 y que contenía un error hacia el final, corregido en 1995 por el propio Wiles y su colega Taylor. Con esta demostración cayó uno de los mayores mitos de las matemáticas.

RESTOS ESPECIALES.
DIVISIBILIDAD
Teorema Nº 1
En toda división de polinomios, si al dividendo y al divisor se les multiplica por un polinomio de grado no nulo, el residuo quedará multiplicado por dicho polinomio; es decir, resultará alterado. Mientras que el cociente permanecerá constante. Veamos:
Por definición: D(x) º d(x) q(x) + R(x)
Multiplicando m.a.m. por S(x), tal que S(x) º 0:

De la identidad, observamos que:
R (x) ® Resto verdadero
R’(x) ® Resto falso o aparente
Se deduce que:
Ejemplo explicativo:
Determinar el residuo de dividir:

Resolución: Aplicar el teorema del resto con el divisor (x2–x+1), es muy complicado. Busquemos un artificio que nos permita trabajar con un divisor más simple.
Como: (x2 – x + 1) (x + 1) = x3 + 1
Multipliquemos al dividendo y al divisor por (x + 1), así:

Efectuando, resulta:

Tener en cuenta que esta es una nueva división, cuyo residuo es R’. Por el teorema del resto, se tiene: x3 + 1 = 0 ® x3 = –1
En P, busquemos todos los x3 posibles, así :
P = 5(x3)25+5(x3)24×2+6(x3)10×2+6(x3)10x–4x–4
Sustituyendo x3 por (–1), resulta el resto falso o aparente:
R’ = 5(–1)25+5(–1)24×2+6(–1)10×2+6(–1)10x–4x–4
Operando:
R’ = –5 + 5×2 + 6×2 + 6x – 4x – 4
Reduciendo : R’ = 11×2 + 2x – 9
Nos interesa el resto verdadero. Por el teorema 1, se tiene:

Por lo tanto: R = 11x – 9

Teorema Nº 2
En toda división de polinomios, si al dividendo y al divisor se les divide entre un polinomio de grado nulo, el residuo quedará dividido entre dicho polinomio; es decir, resultará alterado. Mientras que el cociente permanecerá constante. Veamos:
Por definición: D(x) º d(x) q(x) + R(x)
Dividiendo m.a.m. por S(x), siendo S(x) º 0:

De la identidad, observamos que:
R (x) ® Resto verdadero
R’(x) ® Resto falso o aparente
Se deduce que:
Ejemplo explicativo:
Determinar el residuo de dividir:

Resolución:
Descomponiendo el dividendo por los productos notables: x3 + 8 = (x + 2) (x2 – 2x + 4)
x2 – 4 = (x + 2) (x – 2)
y factorizando el divisor; la división propuesta queda así:

Es evidente que, al dividendo y al divisor debemos dividirlo entre (x – 2). La nueva división cuyo residuo es R’, será:

Por el Teorema del resto:
x + 1 = 0 ® x = –1
Sustituyendo en el dividendo, obtendremos el resto falso o aparente:
R’ = (–1 + 2)2 (1 + 2 + 4) = 7
Por el Teorema 2, el resto verdadero será:
Por lo tanto: R = 7x – 14

DIVISIBILIDAD
SÍNTESIS TEÓRICA
Definición
Dados dos polinomios f(x) y g(x) de grados no nulos; se dirá que f(x) es divisible entre g(x), si existe un único polinomio h(x), tal que verifique la identidad de la división exacta:

Ejemplo explicativo:
El polinomio: P(x) = 2×3 + 5×2 – 7x – 12 será divisible entre (x + 3), si existe un único h(x), tal que verifique:

Encontremos el polinomio de 2do grado h(x), mediante la regla de Paolo Ruffini.
Es evidente que h(x), es el cociente de dividir , según el diagrama establecido :

Entonces, el polinomio “h” buscado es:
h(x) = 2×2 – x – 4

PROPIEDADES DE LA DIVISIBILIDAD:
Teorema Nº 3
Si el polinomio P(x) es divisible separadamente entre los binomios (x–a), (x–b) y (x–c); entonces, también P(x) es divisible entre el producto de:
(x–a) (x–b) (x–c).
Descriptivamente:
Si: P(x) ¸ (x – a) ® R = 0
P(x) ¸ (x – b) ® R = 0
P(x) ¸ (x – c) ® R = 0
Entonces: P(x) ¸ (x – a) (x – b) (x – c) ® R = 0

Teorema Nº 4 (Teorema recíproco)
Si el polinomio P(x) es divisible entre el producto de (x – a) (x – b) (x – c); entonces P(x) es divisible separadamente entre (x – a), (x – b) y (x – c).
Descriptivamente:
Si: P(x) ¸ (x – a) (x – b) (x – c) ® R = 0
Entonces: P(x) ¸ (x – a) ® R = 0
P(x) ¸ (x – b) ® R = 0
P(x) ¸ (x – c) ® R = 0

Teorema Nº 5
Si f(x) es divisible entre g(x), y g(x) es divisible entre h(x), entonces f(x) es divisible entre h(x).
Demostremos esta afirmación, utilizando la identidad de la división exacta :
f(x) º M(x) · g(x) ………. (a)
g(x) º N(x) · h(x) ………. (b)
Sustituyendo (b) en (a):
f(x) º M(x) · [N(x) · h(x) ]
Asociando convenientemente:
f(x) º h(x) · [M(x) · N(x) ]
El cual nos indica que f(x) es divisible entre h(x)

Teorema Nº 6
Si f(x) y g(x) son divisibles entre h(x), entonces la suma y la diferencia de f(x) y g(x), también son divisibles entre h(x) .
Demostremos la afirmación, partiendo de las identidades:
f(x) º M(x) · h(x) ………. (a)
g(x) º N(x) · h(x) ………. (b)

(a) + (b): f(x) + g(x) º [M(x) + N(x) ] h(x) ……… (1)
Siendo: M(x) + N(x) º 0

(a) – (b): f(x) – g(x) º [M(x) – N(x) ] h(x) ………… (2)
Siendo: M(x) – N(x) – 0

De (1) y (2), se deduce que [ f(x) + g(x) ] y
[ f(x) – g(x) ] son divisibles entre h(x).

Teorema Nº 7
Si f(x) es divisible entre g(x), el producto de f(x) por cualquier otro polinomio no nulo h(x), es también divisible entre g(x).
Demostremos partiendo de la identidad :
f(x) º M(x) · g(x)
Multiplicando m.a.m. por el polinomio h(x) º 0:
f(x) · h(x) º M(x) · g(x) · h(x)
Por la propiedad asociativa:
f(x) · h(x) º [M(x) · h(x) ] · g(x)
Se concluye que f(x) · h(x) es divisible entre g(x).

Teorema Nº 8
Si al dividir el polinomio P(x) separadamente entre (x–a), (x–b) y (x–c), se obtiene el mismo residuo, entonces al dividir P(x) entre el producto de (x–a) (x–b) (x–c), también se obtendrá el mismo residuo.
Descriptivamente:
Si: P(x) ¸ (x – a) ® R1(x) = 0
P(x) ¸ (x – b) ® R2(x) = 0
P(x) ¸ (x – c) ® R3(x) = 0
Entonces:
P(x) ¸ (x – a) (x – b) (x – c) ® R(x) = R

Teorema Nº 9
Si un polinomio P(x) es divisible separadamente entre F(x), G(x) y H(x), respectivamente. Entonces P(x) también es divisible entre el MCM de F(x), G(x) y H(x).
Descriptivamente:
Si: P(x) ¸ F(x) ® R(x) º 0
P(x) ¸ G(x) ® R(x) º 0
P(x) ¸ H(x) ® R(x) º 0
Entonces:
P(x) ¸ MCM [P(x), R(x), R(x)] ® R(x) º 0

Teorema Nº 10
Todo polinomio P(x) de grado no nulo, es divisible entre cualquier polinomio constante diferente de cero.
En efecto, si tenemos el polinomio:
P(x) = a0xn + a1xn-1 + a2xn-2 + ……… + an
y la constante monómica: F(x) = C; C ¹ 0.
Se verifica la identidad de la divisibilidad:

donde los son los coeficientes del segundo factor.

9. Al dividir un polinomio P(x) entre (x + 3) se obtiene por residuo –5 y un cociente cuya suma de coeficientes es igual a 3. Determinar el residuo de dividir P(x) entre (x – 1).

Rpta.:

10. Un polinomio entero en x de tercer grado se anula para x = 7 y para x = 3 y al dividirlo entre (x – 10) da como residuo 78. Sabiendo que el coeficiente principal del polinomio es 3, determinar el resto de dividir el polinomio entre (x – 8).

Rpta.:

11. Si al dividir P(x) = 12×3 – 36×2 + 13mx – 10 entre (6x – 3) se obtiene un cociente cuya suma de coeficientes es 1. Calcular el residuo.

Rpta.:

12. Si al dividir un polinomio P(x) entre (x + 3) y entre (2x – 1) se obtuvieron como residuos –27 y 1, respectivamente. Hallar el residuo de dividir P(x) entre (x + 3) (2x – 1).

Rpta.:

13. Hallar el término independiente del polinomio P(x) de tercer grado sabiendo que al dividirlo separadamente entre (x – 5) y (x – 4) deja como resto 34 y 40 respectivamente.

Rpta.:

14. Un polinomio P(x) de tercer grado, al dividirlo entre (x – 1), (x + 2) y (x – 3) da el mismo resto 3. Si se divide P(x) entre x + 1 se obtiene como resto 19. Calcular P(4).

Rpta.:

15. Un polinomio P(x) de cuarto grado, al dividirlo separadamente entre x2 + x + 1 y x2 +x – 2 se obtiene el mismo residuo de 2x + 5. Si se divide P(x) entre x + 1 se obtiene como residuo 26. hallar la suma de coeficientes de dicho polinomio.

Rpta.:

16. Calcular la suma de coeficientes de un polinomio de tercer grado P(x), cuyo coeficiente principal es la unidad. Además es divisible entre (x – 2) y (x + 1) y carece de término cuadrático.

Rpta.:

17. Un polinomio P(x) cuyo término independiente es –30 y la suma de sus coeficientes es –48, al dividirlo entre (x + 2) se obtiene como residuo 12. Hallar el coeficiente del término lineal del residuo de dividir P(x) entre: (x) (x – 1) (x + 2).

Rpta.:

18. Los restos de las divisiones de un polinomio P(x) entre los binomios: (x + 3), (x – 2) y (x – 1) son 16, 11 y 4 respectivamente. Entonces el residuo de la división de dicho polinomio entre x3 – 7x + 6 será:

Rpta.:

1. Calcular el resto de dividir un polinomio entre x – 10 si se sabe que el término independiente del cociente es 5 y el termino independiente de dicho polinomio es 2.

Rpta.:

2. Encontrar un polinomio que sea divisible entre (x – 3), se anule para x = 1, su término independiente sea 6 y al dividirlo entre (x + 1) se tenga –8 como resto. Nota: El polinomio ers de tercer grado.

Rpta.:

3. Indicar la suma de coeficientes de un polinomio mónico P(x) de tercer grado sabiendo que es divisible entre (x – 2) (x + 1) y además carece de término cuadrático.

Rpta.:

4. Al dividir P(x) entre (x + 1) el resto es 1 y si se divide entre (x + 2) el residuo es –94.
Encuentre el residuo de dividir P(x) entre el producto (x + 1) (x + 2).

Rpta.:

5. Al dividir un polinomio P(x) entre (x – 1) se obtiene como residuo R(x), además el término independiente del polinomio, cociente y residuo son en este orden: (4n – 5), (5n – 1) y (4n – 1). Según lo enunciado, calcular: P(n).

Rpta.:

6. Indicar la suma de coeficientes de un polinomio P(x) de cuarto grado sabiendo que al ser dividido separadamente entre x2 + x + 1 y x2 – x + 2 otorga el mismo resto 3x – 5, pero al dividir P(x) entre (x + 1) el residuo que se obtiene es 12.

Rpta.:

7. Un polinomio P(x) de sexto grado tiene raíz cúbica exacta, es divisible separadamente entre: (x – 1) y (2x + 1) y si se le divide entre (x – 2) el resto es 1000. Indicar su término independiente.

Rpta.:

8. Encontrar un polinomio P(x) de tercer grado que sea divisible separadamente entre: (x + 3) y (x – 2), sabiendo además que la suma de sus coeficientes es –12 y que si término independiente es 12.

Rpta.:

9. Un polinomio P(x) mónico de cuarto grado es divisible entre (x2 – 1) y (x – 4) y al dividirlo entre (x + 3) da como residuo 56. Calcular el resto de dividir P(x) ÷ (x – 5).

Rpta.:

10. Al dividir un polinomio P(x) entre (x + 2) se obtiene como resto –4 y un cociente cuya suma de coeficientes es 4.
Hallar el resto de dividir P(x) ÷ (x – 1).

Rpta.:

11. Un polinomio P(x) se ha dividido entre (2x + 1) y (x – 1) halándose los residuos 6 y 3 respectivamente. Según esto hallar el resto de dividir:
P(x) ÷ [(2x+ 1) (x – 1)].

Rpta.:

12. Al dividir dos polinomios enteros entre x el producto d elos términos independientes del divisor y el cociente es 8. La diferencia de los cuadrados de los términos independientes del dividendo y el resto es 24. Calcular la suma de los términos independientes del dividendo y el resto.

Rpta.:

13. Hallar el resto de la división:

Rpta.:

14. Un polinomio P(x) al dividirlo separadamente entre (x + 1) y (x – 1) origina el mismo resto 7. Hallar el resto de P(x) ÷ (x – 1)

Rpta.:

15. Encontrar un polinomio de tercer grado que es divisible en forma separada entre: (x + 2)
y (x + 1), sabiendo además que la suma de sus coeficientes es 24 y que su término independiente es 2.

Rpta.:

16. Encontrar un polinomio P(x) de segundo grado que sea divisible en forma separada entre (x – 2) y (x + 1) y cuya suma de coeficientes sea –6.

Rpta.:

17. Encontrar un polinomio P(x) de tercer grado sabiendo que al dividirlo separadamente entre (x + 3) y (x + 2) y (x + 1) se obtiene el mismo resto 8 y al dividirlo entre (x + 4) se obtiene como resto 20.

Rpta.:

18. Encontrar el resto de dividir un polinomio P(x) entre (2x – 1) si se sabe que el término independiente del cociente es 5 y además P(0) = 18.

Rpta.:

19. Si un polinomio P(x) se divide entre (x – 1)4 se obtiene como resto un polinomio de tercer grado cuya suma de coeficientes es 3. Hallar el residuo de dividir el polinomio original entre (x – 1).

Rpta.:

20. Un polinomio entero en x de tercer grado se anulapara x = 7 y para x = –3 y al dividirlo entre x – 10 da como residuo 39. Si el primer coeficiente del polinomio es 3, hallar el resto de dividirlo entre x – 8.

Rpta.:

21. Al dividir un polinomio P(x) separadamente entre (x – 3) y (x + 1) se obtienen como restos 20 y –8 respectivamente.
Hallar el resto de dividir P(x) ÷ [(x – 3) (x + 1)].

Rpta.:

22. Al dividir un polinomio cúbico de coeficiente principal 3 entre (x2 – 9) se obtuvo como residuo 6, el término independiente del polinomio es –3. hallar el resto al dividir el polinomio entre (x – 2).

Rpta.:

23. Si al dividir el polinomio P(x) separadamente entre (x – 2) y (x – 3) se obtiene el mismo residuo 5, el término principal del polinomio es 2×3 y el término independiente es 17. Determine el resto de la división:

Rpta.:

24. Determine el residuo de:

e indicar su término independiente.

Rpta.:

25. Al dividir un polinomio P(x) entre (x – 3) el residuo es 6, al dividir P(x) entre (x + 3) el resto es 0, hallar el resto de la división:

Rpta.:

26. Un polinomio P(x) de cuarto grado al ser dividido entre (x2 + x + 1) da como resto (3x – 1), la suma de coeficientes del polinomio es 2, al ser dividido entre (x2 + 1) el residuo es x. Hallar el residuo de la división:

Rpta.:

27. Hallar el cociente y el resto en la división:

Rpta.:

28. Al dividir un polinomio P(x) separadamente entre (x – a) y (x – b) los restos obtenidos son:
(2b + a) y (2a + b) respectivamente. Hallar el residuo de dividir entre x2 – (a + b) y x + ab.

Rpta.:

29. ¿Cuál es la suma de coeficientes de un polinomio P(x) si se sabe que es de tercer grado, cuyo primer coeficiente es la unidad y es divisible entre (x – 2) (x + 1) y carece de término cuadrático?

Rpta.:

30. Un polinomio P(x) de segundo grado y primer coeficiente 1, al ser dividido entre (x + 3) da como resultado un cierto cociente Q(x) y un resto 12. Si se divide P(x) entre el mismo cociente aumentado en 4, la división resulta exacta. Hallar el resto de dividir P(x) ÷ (x – 5).

Rpta.:

INTRODUCCIÓN
EUCLIDES
Siglo IV – III a. de J.C.
Matemático griego. Llamado por Ptolomeo, rey de Egipto, a la Biblioteca de Alejandría, donde se había creado un gran centro cultural, su cometido consistía en reunir todos los conocimientos matemáticos existentes. Euclides realizó esta labor mediante una serie de grandes compilaciones, la más notable de las cuales se titula Elementos. Se trata de 13 volúmenes, de los cuales, los cuatro primeros se refieren a la Geometría Plana; el V y VI, a las proporciones geométricas; los tres siguientes son aritméticos; el X trata de los números irracionales; y los tres últimos, de la Geometría del Espacio.
Euclides tiene el mérito de haber utilizado por priemera vez un método de gran fecundidad para la ciencia. El método seguido por Euclides es el llamado Axiomático: Parte de una hipótesis o principios, de los que se obtiene la teoría de un modo rigurosamente deductivo. Así, por ejemplo, en el llamado Quinto Postulado, que se expresa del siguiente modo: “Si una línea recta que corta a otras dos forma ángulos internos del mismo lado de la secante cuya suma sea menor que dos rectas aquellas dos rectas, prolongadas hacia ese lado,se encuentran”.
Se ha considerado que este postulado no era evidente para aceptarlo sin demostración, dando lugar al nacimiento de Geometrías no euclidianas (Gauss, Lobachevski, Bolyai)