Archive for MATEMATICA DE CUARTO DE SECUNDARIA

ECUACIONES DE PRIMER Y DE SEGUNDO GRADO , SISTEMAS LINEALES Y NO LINEALES , INECUACIONES 4TO DE SECUNDARIA – ESO EJERCICIOS RESUELTOS PDF

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- Resolución algebraica de ecuaciones de primer y segundo grado.
- Utilización de las ecuaciones en la resolución de problemas.

•Sistemas de ecuaciones:
- Resolución algebraica y gráfica de sistemas de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas.
- Utilización de los sistemas de ecuaciones en la resolución de problemas.
Diofanto (siglo iii) propuso problemas algebraicos
complejos y los resolvió por métodos originales y
muy interesantes. Pero su aportación careció de método
y tuvo poco valor pedagógico.
Al-Jwarizmi (siglo ix) fue quien, por primera vez,
realizó un tratamiento sistemático y completo de la
resolución de ecuaciones de primero y segundo grados.
Su libro Al-jabr wa-l-muqabala, elemental, didáctico
y exhaustivo, fue muy conocido y estudiado
y, posteriormente, traducido a todos los idiomas.
En el siglo xvi, varios algebristas italianos (Tartaglia,
Cardano, Ferrari, Fior) mantuvieron unas interesantísimas,
agitadas y fecundas discusiones sobre la
resolución de distintos tipos de ecuaciones cúbicas
(de tercer grado). Sus diatribas, en muchos casos, se
dilucidaban en debates públicos a los que se retaban
mediante pasquines. A pesar de que el tono de estos
y de aquellas (pasquines y diatribas) distaba mucho
de ser correcto, sirvieron para dar un gran impulso a
la resolución de ecuaciones de grado superior.
Los sistemas de ecuaciones se plantearon y resolvieron
de forma simultánea a las ecuaciones, ya que el
paso de un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas
a una ecuación con una incógnita no supone
ningún problema especial.
Históricamente, los sistemas de ecuaciones lineales
no han sido un reto especialmente difícil. Ya en el
siglo ii a.C., los chinos resolvían sistemas lineales de
varias ecuaciones con el mismo número de incógnitas,
mediante un método elegante y potente, similar
al que se usa en la actualidad.
y sistemas
DEBERÁS RECORDAR
■ Qué entendemos por ecuación y por su solución.
■ En qué consisten y cómo se manejan las desigualdades.
Ecuaciones,
inecuaciones
34 1 Ecuaciones de segundo grado
Las ecuaciones de segundo grado son de la siguiente forma:
ax2 + bx + c = 0, con a ? 0
Ecuaciones completas
Cuando b ? 0 y c ? 0, se dice que la ecuación es completa y se resuelve aplicando
la siguiente fórmula:
x = –b ± √b 2 – 4ac
2a
8
°
§
¢
§
£ Si b2 – 4ac > 0, hay dos soluciones.
Si b2 – 4ac = 0, hay una solución.
Si b2 – 4ac < 0, no hay ninguna solución.
Por ejemplo, la ecuación x2 + x – 2 = 0 es completa. En ella, a = 1, b = 1,
c = –2. La resolvemos aplicando la fórmula:
x = –1 ± √1 + 8
2
= –1 ± √9
2
= –1 ± 3
2
x1 = 1
x2 = –2
° ¢°
£¢
Tiene dos
soluciones.
Ecuaciones incompletas
Si b = 0 o c = 0, la ecuación se llama incompleta y se puede resolver con mucha
sencillez, sin necesidad de aplicar la fórmula anterior:
• Si b = 0 8 Despejamos directamente x2. Por ejemplo:
3x2 – 48 = 0 8 3x2 = 48 8 x2 = 16 8 x = ±√16 = ±4
• Si c = 0 8 Factorizamos sacando factor común. Por ejemplo:
2x2 – x = 0 8 x(2x – 1) = 0
x1 = 0
2x – 1 = 0 8 x2 = 1/2
1 Resuelve las siguientes ecuaciones:
a) 10x2 – 3x – 1 = 0 b) x2 – 20x + 100 = 0
c) 3x2 + 5x + 11 = 0 d) 2x2 – 8x + 8 = 0
2 Resuelve estas ecuaciones:
a) 2x2 – 50 = 0 b) 3x2 + 5 = 0
c) 7x2 + 5x = 0 d) 2x2 + 10x = 0
Actividades
Resuelve sin utilizar la fórmula y, si es
posible, a ojo:
a) x2 = 9
b) x2 – 9 = 0
c) 5x2 – 20 = 0
d) 3x2 – 300 = 0
e) (x – 5)2 = 25
f ) (x – 5)2 = 4
g) 3(x – 2)2 = 3
h) 3(x – 2)2 – 3 = 0
i) 7(x – 4)2 = 63
j) 7(x – 4)2 – 63 = 0
Cálculo mental
Las ecuaciones incompletas también
se pueden resolver por la fórmula anterior,
pero es mucho más cómodo
resolverlas mediante el procedimiento
adjunto.
Ten en cuenta
Resolver las siguientes ecuaciones:
a) 9x2 + 6x + 1 = 0 b)5x2 – 7x + 3 = 0 c) 5x2 + 45 = 0
a) x = –6 ± √36 – 36
18
= – 6
18
= –1
3
. Solución única.
b) x = 7 ± √49 – 60
10
= 7 ± √–11
10
. Sin solución.
c) 5x2 + 45 = 0 8 5x2 = –45 8 x2 = –9 8 x = ± √–9. Sin solución.
Ejercicio resuelto
35
2 Otros tipos de ecuaciones
Hay ecuaciones que no son de primer ni de segundo grado, pero que podrás
resolver aplicando lo que ya sabes. Veamos algunos ejemplos.
Ecuaciones factorizadas
Queremos resolver la ecuación x (x – 1)(x2 – 5x + 6) = 0.
En el primer miembro aparece el producto de tres factores. Para que un producto
sea cero, es necesario que uno de los factores sea cero.
Por tanto, igualamos a cero cada uno de los factores:
x(x – 1)(x2 – 5x + 6) = 0
x1 = 0
x – 1 = 0 8 x2 = 1
x2 – 5x + 6 = 0
x3 = 2
x4 = 3
Ecuaciones con radicales
Resolvamos la ecuación √x 2 + 7 + 2 = 2x :
• Aislamos el radical en un miembro, pasando al otro lo demás:
√x 2 + 7 = 2x – 2
• Elevamos al cuadrado los dos miembros:
(√x 2 + 7)2 = (2x – 2)2 8 x2 + 7 = 4x2 – 8x + 4
• Pasamos todo a un miembro y lo ordenamos:
x2 + 7 – 4x2 + 8x – 4 = 0 8 –3x2 + 8x + 3 = 0
• Resolvemos la ecuación obtenida: (a = –3, b = 8, c = 3)
x = – 8 ± √64 + 36
– 6
= – 8 ± √100
– 6
= – 8 ± 10
– 6
x1 = –1/3
x2 = 3
• En este tipo de ecuaciones (con radicales), al elevar al cuadrado (2.° paso), pueden
aparecer soluciones falsas. Por eso, es necesario comprobar las soluciones
obtenidas sustituyéndolas en la ecuación inicial. En este caso, x = –1/3 no es
solución, pero x = 3 sí lo es.
La ecuación tiene una solución: x = 3
1 Resuelve las siguientes ecuaciones:
a) (x – 4)(x – 6) = 0 b) (x + 2)(x – 3) = 0
c) x(x + 1)(x – 5) = 0 d) (3x + 1)(2x – 3) = 0
e) x (x2 – 64) = 0 f ) (2x + 1)(x2 + 5x – 24) = 0
2 Resuelve.
a) √x – 3 = 0 b)√x + 2 = x
c) √4x + 5 = x + 2 d)√x + 1 – 3 = x – 8
e) √2x 2 – 2 = 1 – x f ) √3x 2 + 4 = √5x + 6
Actividades
Para resolver una ecuación de este
tipo:
[…] · […] · […] = 0
es decir, “producto de varios factores
igualado a cero”, igualamos a cero
cada uno de los factores y resolvemos
las correspondientes ecuaciones.
No lo olvides
Para resolver una ecuación en la que
aparece un radical:
• Se aísla el radical en uno de los
miembros.
• Se elevan al cuadrado los dos
miembros, con lo que desaparece
el radical.
• Se resuelve la ecuación resultante.
• Se comprueba la validez de cada
solución sobre la ecuación inicial.
No lo olvides
36 Ecuaciones con la x en el denominador
Resolvamos la ecuación 200
x
+ 5 = 200
x – 2
:
• Para suprimir los denominadores, multiplicamos todo por x · (x – 2):
200(x – 2) + 5x(x – 2) = 200x 8 200x – 400 + 5x2 – 10x = 200x 8
8 5x2 – 10x – 400 = 0 8 x2 – 2x – 80 = 0 8
8 x = 2 ± √4 + 320
2
x1 = 10
x2 = – 8
• Comprobamos en la ecuación inicial y vemos que ambas soluciones son válidas.
Por tanto, la ecuación inicial tiene dos soluciones: x = –8 y x = 10.
Ecuaciones bicuadradas: ax 4 + bx 2 + c = 0
Son ecuaciones de 4.° grado sin términos de grado impar. Para resolverlas, hacemos
x2 = z y, por tanto, x4 = z2. Se obtiene así una ecuación de segundo
grado cuya incógnita es z:
az2 + bz + c = 0
Una vez resuelta, se obtienen los correspondientes valores de
x. Por cada valor
positivo de z habrá dos valores de x, pues x2 = z 8 x = ±√

z .
Actividades
3 Un vendedor callejero lleva un cierto número de relojes,
por los que piensa sacar 200 €. Pero comprueba
que dos de ellos están deteriorados. Aumentando el
precio de los restantes en 5 €, consigue recaudar la
misma cantidad. ¿Cuántos relojes llevaba?
☞ Llevaba x relojes. El precio de cada uno iba a ser 200
x .
4 El lado menor de un triángulo rectángulo mide 5 cm.
Calcular el otro cateto sabiendo que la hipotenusa
mide 1 cm más que él.
☞ Si los catetos miden 5 cm y x cm, la hipotenusa medirá
√x 2 + 25 cm.
5 Un grupo de amigos alquilan un autocar por 2 000 €
para una excursión.
Fallan 4 de ellos, por lo que los restantes deben pagar
25 € más cada uno.
¿Cuántos había al principio?
6 En un triángulo rectángulo, un cateto mide 8 cm.
Calcula la longitud del otro cateto sabiendo que la
hipotenusa mide 2 cm más que él.
Resolver la ecuación x4 – 13x2 + 36 = 0.
x4 – 13x2 + 36 = 0 x Ä2Ä = 8z z2 – 13z + 36 = 0
z = 13 ± √169 – 144
2
= 13 ± 5
2
8 °¢ ° £ ¢£ ¢z
=
9
8
x
=
±
3
z = 4 8 x = ±2
Soluciones: x1 = 3, x2 = – 3, x3 = 2, x4 = –2
Ejercicio resuelto
1 Resuelve las ecuaciones siguientes:
a) 10
x + 3
+ 5 = 4x – 1
b) 2 000
x
+ 25 = 2000
x – 4
c) 1x
+ 1
x 2 = 34
2 Resuelve las siguientes ecuaciones
bicuadradas:
a) x4 – 5x2 + 4 = 0
b) x4 + 3x2 – 4 = 0
c) x4 + 5x2 + 4 = 0
d) x4 – 25x2 = 0
e) x4 – 3x2 + 4 = 0
Entrénate
UNIDAD
3
37
3 Sistemas de ecuaciones lineales
Vamos a recordar qué son los sistemas de ecuaciones y cómo se resuelven.
Dos ecuaciones forman un sistema de ecuaciones cuando lo que pretendemos
de ellas es encontrar su solución común.
Si ambas ecuaciones son lineales, se dice que el sistema es lineal.
°¢ °
£ ¢£ ¢
a x + b y = c
a'x + b'y = c'
Resolución de un sistema lineal
■Método de sustitución
Se despeja una incógnita en una de las ecuaciones y se sustituye en la otra. Se obtiene,
así, una ecuación con una incógnita. Se resuelve. Su solución se sustituye en la
primera ecuación. Por ejemplo:
3x – 5y = 1
x + 2y = 15
° ¢°
£¢
8 x = 15 – 2y 8 3(15 – 2y) – 5y = 1 8 … 8 y = 4 8
8 x = 15 – 2 · 4 = 15 – 8 = 7
Solución: x = 7, y = 4
■Método de igualación
Se despeja la misma incógnita en las dos ecuaciones y se igualan los resultados. Al
igual que en el método anterior, también en este se obtiene una ecuación con una
incógnita. Por ejemplo:
3x – 5y = 1
x + 2y = 15
°
§
¢
§
£8 x = 1 + 5y
3
8 x = 15 – 2y
°
§
¢
§
£8 1 + 5y
3
= 15 – 2y 8 y = 4
x = 15 – 2 · 4 = 7
Solución: x = 7, y = 4
■Método de reducción
Se preparan las dos ecuaciones (multiplicando por los números que convenga) para
que una de las incógnitas tenga el mismo coeficiente en ambas. Al restarlas se obtiene
una ecuación sin esa incógnita. Por ejemplo:
3x + 5y = 76
4x – 2y = 6
° ¢°
£¢
ÄÄ1.ª Ä· 48
ÄÄ2.ª Ä· 38
12x + 20y = 304
12x – 6y = 18
Restando: 26y = 286 8 y = 11
3x + 5 · 11 = 76 8 x = 7
Solución: x = 7, y = 11
Resuelve los siguientes sistemas de
ecuaciones aplicando los tres métodos
que conoces: sustitución, igualación
y reducción:
a)
° ¢°
£¢
x + y = 5
x – y = –1
b)
° ¢°
£¢
x + 2y = 1
3x + 2y = –5
c)
° ¢°
£¢
–x – 3y = –15
x – y = –5
d)
° ¢°
£¢
2x + 3y = 2
x – y = 1/6
e)
° ¢°
£¢
x + 4y = 0
2x – 4y = –3
f )
° ¢°
£¢
x + y = 1
x – y = 0
g)
° ¢°
£¢
x + y = 5
2x + 2y = –1
h)
° ¢°
£¢
2x – y = 3
x – 12y = –1
i)
° ¢°
£¢
x + y = 5
2x + 2y = 10
j)
° ¢° £¢ 2x –
y
=
5
6x + 3y = –15
Entrénate
38
38 4 Sistemas de ecuaciones no lineales
Son aquellos en los que una de las dos ecuaciones, o ambas, son no lineales, es
decir, tienen monomios de segundo grado (x2, y2, x · y) o de grado superior, o
radicales, o alguna incógnita en el denominador…
Para resolverlos, podemos despejar una incógnita en una ecuación y sustituir el
resultado en la otra (método de sustitución) o eliminar una incógnita simplificando
entre las dos ecuaciones (método de reducción) o cualquier otro método
por el que podamos pasar a una ecuación con una incógnita.
Los sistemas de ecuaciones no lineales
se resuelven de forma esencialmente
igual a los sistemas lineales.
Ten en cuenta
Si hay raíces o incógnitas en el denominador,
al resolver la ecuación
puede aparecer alguna solución falsa.
Por eso, en tales casos, es necesario
comprobar todas las soluciones sobre
el sistema inicial.
No lo olvides
1 Resuelve los siguientes sistemas:
a) °¢ °
£ ¢£ ¢
x – y = 15
x · y = 100
b) °¢ °
£ ¢£ ¢
x2 + xy + y 2 = 21
x + y = 1
c) °¢ °
£ ¢£ ¢
2x – y = 2
x2 + xy = 0
d) °¢ °
£ ¢£ ¢
y = √x + 1
y = 5 – x
Actividades
Resolver los siguientes sistemas de ecuaciones:
a) °¢ °
£ ¢£ ¢
°y – x = 1
x2 + y 2 = 5
b)°¢ °¢ °
£ ¢£ ¢
x2 + y2 = 58
x2 – y 2 = 40
a) Aplicamos el método de sustitución:
°¢ °
£ ¢£ ¢
°y – x = 1 8 y = 1 + x
x2 + y 2 = 5 8 x2 + (1 + x)2 = 5 8 x2 + 1 + x2 + 2x = 5 8
8 2x2 + 2x – 4 = 0 8 x2 + x – 2 = 0 8
8
x1 = 1 8 y1 = 1 + 1 = 2
x2 = –2 8 y2 = 1 – 2 = –1
Hay dos soluciones: x1 = 1, y1 = 2
x2 = –2, y2 = –1
b) Aplicamos el método de reducción:
°¢ °
£ ¢£ ¢
x2 + y2 = 58
x2 – y 2 = 40
Sumando: 2x2 = 98 8 x2 = 49 8 x = ±7
Si x = 7 8 49 + y2 = 58 8 y2 = 9 8 y = ±3
Si x = –7 8 49 + y2 = 58 8 y2 = 9 8 y = ±3
Hay cuatro soluciones: x1 = 7, y1 = 3
x2 = 7, y2 = –3
x3 = –7, y3 = 3
x4 = –7, y4 = –3
Ejercicio resuelto
UNIDAD
3
39
5 Inecuaciones de primer grado
A veces, los enunciados que dan lugar a una expresión algebraica no dicen “es
igual a”, sino “es mayor que” o “es menor que”. Estos enunciados dan lugar a
expresiones como estas, llamadas inecuaciones:
2x + 4 > 0 10 – 5x Ì 15
Una inecuación es una desigualdad algebraica. Tiene dos miembros entre los
cuales aparece uno de estos signos: <, Ì, >, Ó.
Se llama solución de una inecuación a cualquier valor de la incógnita que
hace cierta la desigualdad.
Las inecuaciones suelen tener infinitas soluciones (solo hay un número igual,
pero hay infinitos números menores que otro).
Resolución de una inecuación de primer grado
Para resolver una ecuación, seguíamos una serie de pasos: quitar paréntesis, quitar
denominadores, pasar las x a un miembro y los números al otro…
Todos ellos son válidos, exactamente igual, para las inecuaciones, salvo uno:
Si se multiplican o se dividen los dos miembros de una inecuación por un
número negativo, la desigualdad cambia de sentido.
1 Traduce a lenguaje algebraico.
a) El triple de un número más 8 unidades es menor
que 20.
b) El doble del número de personas de mi clase no
supera a 70.
2 Resuelve y representa gráficamente las soluciones.
a) 5x < –5 b) 2x + 3 Ó 7
c) 104 – 9x Ì 4(5x – 3) d)3(4 – x) > 18x + 5
e) x4
– x Ó 5x
3
– 16
f ) 4 – 2x
3
> 2(x – 3)
Actividades
a < b a es menor que b.
a Ì b a es menor que b o igual a b.
a > b a es mayor que b.
a Ó b a es mayor que b o igual a b.
Recuerda
2 < 5 8 –2 > –5
–x > 3 8 x < –3
–2x Ó 1 8 x Ì –1
2
No lo olvides
Resolver estas inecuaciones:
a) 2x + 1 < 7
b)7 – 5x Ì 12
Ejercicio resuelto
a) 2x + 1 < 7 8 2x < 6 8 x < 6 : 2 8 x < 3
Solución: x puede ser cualquier número menor que 3.
Conjunto de soluciones: (–@, 3)
0 1 2 3
b)7 – 5x Ì 12 8 –5x Ì 12 – 7 8 –x Ì 5 : 5 8 –x Ì 1 8 x Ó –1
(Al cambiar de signo, cambia el sentido de la desigualdad).
Solución: x puede ser –1 o cualquier número mayor que él.
Conjunto de soluciones: [–1, +@)
–2 –1 0 1 2 3
40
Sistemas de inecuaciones
Si deseamos encontrar las soluciones comunes a varias inecuaciones, decimos que
estas forman un sistema de inecuaciones.
Por ejemplo:
• Las soluciones de 2x + 1 < 7 son x < 3
–2 –1 0 1 2 3 4
• Las soluciones de 7 – 5x Ì 12 son x Ó – 1
–2 –1 0 1 2 3 4
Por tanto, las soluciones del sistema formado por ambas ecuaciones:
°¢ °
£ ¢£ ¢
2x + 1 < 7
7 – 5x Ì 12
son –1 Ì x < 3 –2 –1 0 1 2 3 4
Cuando decimos “las soluciones son
x < 3” queremos decir “las soluciones
son todos los números menores
que 3”.
Análogamente, x Ó –1 significa “el
número –1 y todos los números mayores
que él”.
Observa
3 Resuelve los siguientes sistemas de inecuaciones:
a) °¢ °
£ ¢£ ¢
3x Ì 15
2x Ó 8
b) °¢ °
£ ¢£ ¢
3x – 5 Ì x + 12
x + 4 < 5x – 8
c) °¢ °
£ ¢£ ¢
5x – 7 > 23
3 – 2x > x – 30
d) °¢ °
£ ¢£ ¢
–2x – 1 Ó 14 – 8x
5x + 8 > 6x + 5/2
4 Tres amigos contratan tres viajes a Praga. Les cuesta
algo menos de 2 200 € en total. Cinco amigos contratan
el mismo viaje. Por ser cinco, les hacen una bonificación
de 500 €, y pagan algo más de 3 000 €.
¿Cuánto vale ese viaje a Praga, si sabemos que es múltiplo
de 10 €?
Actividades
1. Resolver este sistema de
inecuaciones:
°¢ °
£ ¢£ ¢
3x + 2 Ì 17
5 – x < 2
2. ¿Cuánto vale un chocolate con
churros en el bar de la esquina?
Ayer fuimos 6 personas y
nos costó más de 20 €. Hoy
hemos ido 8 personas y ha
costado menos de 30 €.
Problema resuelto
1. 1.a inecuación: 3x + 2 Ì 17 8 3x Ì 15 8 x Ì 5
0 1 2 3 4 5 6
2.a inecuación: 5 – x < 2 8 –x < –3 8 x > 3
0 1 2 3 4 5 6
Sistema: Solución: 3 < x Ì 5
0 1 2 3 4 5 6
La solución del sistema es cualquier número mayor que 3, que no supere al 5.
2. Llamamos x al precio del chocolate con churros:
Ayer: 6x > 20 8 x > 3,
)
3 8 x Ó 3,34 €
Hoy: 8x < 30 8 x < 3,75 € 8 x Ì 3,74 €
Por tanto, su precio está comprendido entre 3,34 € y 3,74 €. Probablemente,
sea 3,50 €.
■ Practica
Ecuaciones: soluciones por tanteo
1 Busca por tanteo una solución exacta de cada
una de las siguientes ecuaciones:
a) 2x + 3 = 32 b)√2x + 1 = 9
c) xx + 1 = 8 d) (x – 1)3 = 27
2 Busca por tanteo, con la calculadora, una solución
aproximada hasta las décimas.
a) x3 + x2 = 20 b) xx = 35
c) 3x = 1 000 d) x3 = 30
Ecuaciones de segundo grado
3 Resuelve las siguientes ecuaciones:
a) x2 – 2x – 3 = 0 b)2x2 – 7x – 4 = 0
c) 2x2 – 5x – 3 = 0 d) x2 + x + 2 = 0
4 Resuelve:
a) 4x2 – 64 = 0 b)3x2 – 9x = 0
c) 2x2 + 5x = 0 d)2x2 – 8 = 0
5 Las siguientes ecuaciones son de segundo grado
e incompletas. Resuélvelas sin aplicar la fórmula
general:
a) (3x + 1)(3x – 1) + (x – 2)2
2
= 1 – 2x
b) x 2 + 2
3
– x 2 + 1
4
= x + 5
12
c) (2x – 1)(2x + 1)
3
= 3x – 2
6
+ x 2
3
6 Resuelve las siguientes ecuaciones de segundo
grado:
a) (2x + 1)2 = 1 + (x – 1)(x + 1)
b) (x + 1)(x – 3)
2
+ x = x4
c) x + 3x + 1
2
– x – 2
3
= x2 – 2
Otros tipos de ecuaciones
7 Resuelve las siguientes ecuaciones:
a) (2x – 5)(x + 7) = 0 b) (x – 2)(4x + 6) = 0
c) (x + 2)(x2 + 4) = 0 d) (3x + 1)(x2 + x – 2) = 0
8 Resuelve.
a) x – √x = 2 b) x – √25 – x 2 = 1
c) x – √169 – x 2 = 17 d) x + √5x + 10 = 8
e) √2x 2 + 7 = √5 – 4x f ) √x + 2 + 3 = x – 1
9 Resuelve estas ecuaciones:
a) 2x
– 1
2x
= 3x
2
b) 800
x
– 50 = 600
x + 4
c) 1
x 2 – 2 = 3 – x
3x 2 d)x2
= 1 + 2x – 4
x + 4
Inecuaciones
10 Halla el conjunto de soluciones de cada
inecuación y represéntalo.
a) 3x – 7 < 5 b) 2 – x > 3
c) 7 Ó 8x – 5 d) 1 – 5x Ì –8
e) 6 < 3x – 2 f ) –4 Ó 1 – 10x
11 Halla el conjunto de soluciones de los siguientes
sistemas de inecuaciones:
a) °¢
°
£ ¢£
¢
x – 1 > 0
x + 3 > 0
b)°¢ °¢
°
£ ¢£
¢
2 – x > 0
2 + x Ó 0
c) °¢
°
£ ¢£
¢
x + 1 Ó 0
x – 4 Ì 0
d) °¢
°
£ ¢£
¢
x > 0
3 – x Ì 0
Sistemas lineales
12 Completa en tu cuaderno para que los siguientes
sistemas tengan como solución x = –1, y = 2:
a) °¢
°
£ ¢£
¢
x – 3y = …
2x + y = …
b) °¢
°
£ ¢£
¢
y – x = …
2y + x = …
c) °¢
°
£ ¢£
¢
3x + y = …
… + y/2 = 0
d) °¢
°
£ ¢£
¢
… – 2x = 4
3y + … = 1
41
UNIDAD
3
Ejercicios y problemas
42 Ejercicios y problemas
Consolida lo aprendido utilizando tus competencias
13 Resuelve estos sistemas por el método de sustitución:
a)°¢ °¢ °
£ ¢£ ¢
3x – 5y = 5
4x + y = –1
b) °¢ °
£ ¢£ ¢
8x – 7y = 15
x + 6y = –5
c) °¢ °
£ ¢£ ¢
2x + 5y = –1
3x – y = 7
d) °¢ °
£ ¢£ ¢
3x – 2y = 2
5x + 4y = 7
14 Resuelve los siguientes sistemas por el método
de igualación:
a)
°
§
¢
§
£ °y = 2x – 3
y
£
= x – 3
2
b) °¢ °
£ ¢£ ¢
5x + y = 8
2x – y = –1
c) °¢ °
£ ¢£ ¢
x + 6y = –2
x – 3y = 1
d) °¢ °
£ ¢£ ¢
4x – 5y = –2
3x + 2y = 10
15 Resuelve los siguientes sistemas por el método
de reducción:
a) °¢ °
£ ¢£ ¢
3x + 2y = 4
5x – 2y = 4
b) °¢ °
£ ¢£ ¢
2x + 5y = 11
4x – 3y = –4
c) °¢ °
£ ¢£ ¢
x + 6y = –4
3x – 5y = 11
d) °¢ °
£ ¢£ ¢
5x – 2y = 3
10x + 3y = –1
16 Resuelve por el método que consideres más
adecuado:
a) °¢ °
£ ¢£ ¢
7x + 6y = 2
£y + 5 = 3
b) °¢ °
£ ¢£ ¢
5x – 3y = 1
4x + 2y = 14
c) °¢ °
£ ¢£ ¢
3(x + 2) = y + 7
x + 2(y + 1) = 0
d)
°
§
¢
§
£ x3
+ y2
= 3
2(x + y) = 16
Sistemas no lineales
17 Halla las soluciones de estos sistemas:
a) °¢ °
£ ¢£ ¢
x + y = 1
xy + 2y = 2
b) °¢ °
£ ¢£ ¢
2x + y = 3
x2 + y 2 = 2
c) °¢ °
£ ¢£ ¢
2x + y = 3
xy – y 2 = 0
d) °¢ °
£ ¢£ ¢
3x – y = 3
2×2 + y2 = 9
18 Resuelve los sistemas siguientes por el método
de reducción y comprueba que tienen cuatro
soluciones:
a) °¢ °
£ ¢£ ¢
x2 + y2 = 74
2×2 – 3y2 = 23
b) °¢ °
£ ¢£ ¢
3×2 – 5y 2 = 7
2×2 = 11y 2 – 3
■ Aplica lo aprendido
19 El área de una lámina rectangular de bronce
es de 60 cm2 y su base mide 5/3 de su altura. Halla
las dimensiones de la lámina.
20 Una persona compra un equipo de música y
un ordenador por 2 500 €, y los vende, después de
algún tiempo, por 2 157,5 €. Con el equipo de música
perdió el 10% de su valor, y con el ordenador, el
15%. ¿Cuánto le costó cada uno?
21 En una papelería, el precio de una copia en
color es 0,75 € y el de una en blanco y negro es
0,20 €. En una semana, el número de copias en
color fue la décima parte que en blanco y negro y
se recaudaron 110 €. Calcula cuántas copias se hicieron
de cada tipo.
22 Se mezclan 8 l de aceite de 4 €/l con otro
más barato para obtener 20 l a 2,5 €/l. ¿Cuál es el
precio del aceite barato?
23 La suma de dos números consecutivos es menor
que 27. ¿Cuáles pueden ser esos números si sabemos
que son de dos cifras?
24 Un grupo de amigos han reunido 50 € para
ir a una discoteca. Si la entrada cuesta 6 €, les sobra
dinero, pero si cuesta 7 € no tienen bastante.
¿Cuántos amigos son?
25 En un rectángulo en el que la base mide 3 cm
más que la altura, el perímetro es mayor que 50 pero
no llega a 54. ¿Cuál puede ser la media de la base?
26 Cuatro barras de pan y seis litros de leche
cuestan 6,80 €; tres barras de pan y cuatro litros de
leche cuestan 4,70 €. ¿Cuánto vale una barra de
pan? ¿Cuánto cuesta un litro de leche?
43
UNIDAD
27 Una empresa aceitera ha envasado 3 000 l de
aceite en 1 200 botellas de 2 l y de 5 l. ¿Cuántas
botellas de cada clase se han utilizado?
28 Un test consta de 48 preguntas. Por cada
acierto se suman 0,75 puntos y por cada error se
restan 0,25. Mi puntuación fue de 18 puntos.
¿Cuántos aciertos y errores tuve, si contesté a todo?
29 Un fabricante de bombillas obtiene un beneficio
de 0,80 € por cada pieza que sale de su taller
para la venta, pero sufre una pérdida de 1 € por
cada pieza defectuosa que debe retirar. En un día
ha fabricado 2 255 bombillas, obteniendo unos beneficios
de 1 750 €. ¿Cuántas bombillas válidas y
cuántas defectuosas se fabricaron ese día?
30 Una empresa de alquiler de coches cobra por
día y por kilómetros recorridos. Un cliente pagó
160 € por 3 días y 400 km, y otro pagó 175 € por
5 días y 300 km. Averigua cuánto cobran por día y
por kilómetro.
31 La edad de un padre es hoy el triple que la del
hijo y hace 6 años era cinco veces la edad del hijo.
¿Cuántos años tiene cada uno?

edad actual edad hace 6 años
padre x y – 6
hijo y x – 6
32 En una cafetería utilizan dos marcas de café, una
de 6 €/kg y otra de 8,50 €/kg. El encargado quiere
preparar 20 kg de una mezcla de los dos cuyo precio
sea 7 €/kg. ¿Cuánto tiene que poner de cada clase?

cantidad precio coste
café a x 6 6x
café B y 8,50 8,50y
mezcla 20 7 140
¿Dominas la resolución de ecuaciones de segundo
grado y de otros tipos de ecuaciones?
1 Resuelve:
a) 5(x – 3)2 + x 2 – 46 = –(2x + 1)(1 – 3x)
b) (x + 3)(2x – 5) = 0
c) 3
2x
– 3
4x
= x + 1
8
¿Sabes resolver inecuaciones?
2 Resuelve y representa las soluciones.
a) 2(x – 5)
3
Ì 2x – 6 b) °¢ °
£ ¢£ ¢
5x – 3 > x + 5
x – 6 Ì 0
¿Sabes resolver con soltura sistemas de ecuaciones?
3 Resuelve:
a)
°
§
¢
§
£ °y + 1 = 6 – x
x3
+ y2
= 12
b)
°
§
¢
§
£ x3
+ y = 52
2x + 6y = 15
c) °¢ °
£ ¢£ ¢
x2 – y = 8
x – 2y = 1
d) °¢ °
£ ¢£ ¢
x2 – y2 = 34
2×2 – y2 = –7
¿Has adquirido destreza en el planteamiento y la resolución
de problemas algebraicos?
4 Dos bocadillos y un refresco cuestan 5,35 €; tres
bocadillos y dos refrescos cuestan 8,60 €. Calcula el
precio de un bocadillo y el de un refresco.
5 Los lados de un triángulo miden 18 cm, 16 cm y
9 cm. Si restamos una misma cantidad a los tres lados,
obtenemos un triángulo rectángulo. ¿Qué cantidad
es esa?
6 En una empresa alquilan bicicletas a 3 € la hora y
motocicletas por 5 € fijos más 2 € por hora. ¿A partir
de cuántas horas es más económico alquilar una
motocicleta que una bicicleta?
Autoevaluación