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POLINOMIOS Y FRACCIONES ALGEBRAICAS 4TO DE SECUNDARIA – ESO EJERCICIOS RESUELTOS PDF

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- Operaciones con polinomios.
- Teorema del resto. Factorización de polinomios.
El lenguaje algebraico actual es sencillo, cómodo y
operativo. En el largo camino para llegar a él, cabe
considerar tres grandes etapas.
Álgebra primitiva o retórica. En ella, todo se describe
con lenguaje ordinario. Babilonios, egipcios y
griegos antiguos la practicaban; y también los árabes,
quienes, entrado ya el siglo ix, retornaron a ella.
Álgebra sincopada. Diofanto (s. iii) fue el pionero,
utilizando una serie de abreviaturas que aliviaban los
procesos. Por ejemplo, 7x 4 + 2x 3 – 4x 2 + 5x – 6 lo
escribía ss7 c2 x5 M s4 u6 (s significa cuadrado;
c, cubo; x, incógnita; M, menos; u, número).
Durante el Renacimiento (ss. xv y xvi), el álgebra
sincopada mejoró debido a la incorporación de nuevos
símbolos: operaciones, coeficientes, potencias…
Álgebra simbólica. Consiste en una simbolización
completa. Vieta, a finales del xvi, mejoró lo que ya
había, de modo que su lenguaje algebraico fue predecesor
del actual. Y Descartes, en el siglo xvii, lo acabó
de perfeccionar. Actualmente, escribimos el álgebra
tal como lo hacía él, a excepción del signo =, que
él lo ponía así: (parece que este signo proviene de
una deformación de æ, iniciales de aequalis, igual).
La falta de operatividad del álgebra durante muchos
siglos obligó a los matemáticos a agudizar su ingenio
para obtener y demostrar relaciones algebraicas. Algunos
se valieron, para ello, de figuras geométricas,
dando lugar al álgebra geométrica.
2Polinomios
y fracciones
algebraicas
DEBERÁS RECORDAR
■ Cómo se operan los polinomios (suma, resta y
multiplicación).
■ Cómo sacar factor común.
■ Las identidades notables.
© GRUPO ANAYA, S.A., Matemáticas 4.° B ESO. Material fotocopiable autorizado.
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1 Operaciones con polinomios
Suma y resta de polinomios
Para sumar dos polinomios, agrupamos sus términos y simplificamos los monomios
semejantes. Para restar dos polinomios, se suma al minuendo el opuesto del
sustraendo.
Por ejemplo: A = 3×2 + 5x – 2, B = x3 + 4×2 – 5
3×2 + 5x – 2 3×2 + 5x – 2
8 x3 + 4×2 – 5 8 –x3 – 4×2 + 5
A
+ B
A + B x3 + 7×2 + 5x – 7
A
– B
A – B –x3 – x2 + 5x + 3
A veces, escribimos directamente el resultado, quitando paréntesis (si los hay) y
agrupando los monomios semejantes. Por ejemplo:
• (x2 + 3x + 2) + (2×2 – 5) = x2 + 3x + 2 + 2×2 – 5 = 3×2 + 3x – 3
• (3x + 1) – (2x – 3) = 3x + 1 – 2x + 3 = x + 4
Producto de un monomio por un polinomio
Para multiplicar un monomio por un polinomio, se multiplica el monomio por
cada término del polinomio.
Por ejemplo: M = x3 – 2×2 + 5x – 1, N = 3×2
x3 – 2×2 + 5x – 1
8 3×2
M
Ò N
M · N 3×5 – 6×4 + 15×3 – 3×2
También, en este caso, podemos escribir directamente el resultado. Por ejemplo:
• (2×2 – 3) · (2x) = 4×3 – 6x
• 7(2x + 5) = 14x + 35
• (5×2)(6×2 – 4x + 3) = 30×4 – 20×3 + 15×2
1 Sean P = x4 – 3×3 + 5x + 3, Q = 5×3 + 3×2 – 11.
Halla P + Q y P – Q.
2 Efectúa.
a) 2x (3×2 – 4x) b)5(x3 – 3x)
c) 4×2(–2x + 3) d)–2x (x2 – x + 1)
e) –6(x3 – 4x + 2) f ) –x (x4 – 2×2 + 3)
3 Halla los productos siguientes:
a) x (2x + y + 1) b)2a2(3a2 + 5a3)
c) ab (a + b) d)5(3×2 + 7x + 11)
e) x2y (x + y + 1) f ) 5xy 2(2x + 3y)
g) 6x2y 2(x2 – x + 1) h)–2(5×3 + 3×2 – 8)
i) 3a2b 3(a – b + 1) j) –2x (3×2 – 5x + 8)
Actividades
Se llama opuesto de un polinomio al
que resulta de cambiar de signo todos
sus términos:
–(x3 + 2×2 – 5x – 11) =
= –x3 – 2×2 + 5x + 11
Definición
Producto de dos polinomios
Para multiplicar dos polinomios, se multiplica cada monomio de uno de los factores
por todos y cada uno de los monomios del otro factor y, después, se suman
los monomios semejantes obtenidos.
Por ejemplo: P = 2×3 – 4×2 – 1, Q = 3x – 2
2×3 – 4×2 – 1 6Ä P
3x – 2 6Ä Q
–4×3 + 8×2 + 2 6Ä producto de –2 por P
6×4 – 12×3 – 3x 6Ä producto de 3x por P
6×4 – 16×3 + 8×2 – 3x + 2 6Ä P · Q
A veces, cuando hay pocos términos, realizamos el producto escribiéndolo directamente.
Por ejemplo:
(2×2 – 1) (3x + 4) = 6×3 + 8×2 – 3x – 4
División de polinomios
La división de polinomios es similar a la división entera de números naturales.
Veamos cómo se procede en la práctica dividiendo dos polinomios concretos:
P (x) = 2×3 – 7×2 – 11x + 13 Q(x) = 2x + 3 P (x) : Q(x)
dividendo = divisor · cociente + resto
Por tanto: 2×3 – 7×2 – 11x + 13 = (2x + 3) · (x2 – 5x + 2) + 7
Esta forma de disponer los cálculos
permite multiplicar polinomios de
manera ordenada y segura. Cuando
falta algún término, hay que dejar un
hueco en el lugar correspondiente.
Ten en cuenta
Si un polinomio P depende de la
variable x, se le suele designar P (x).
Nomenclatura
4 Dados los polinomios P = 3×2 – 5, Q = x2 – 3x + 2,
R = –2x + 5, calcula:
a) P · R b)Q · R c) P · Q
5 Opera y simplifica:
a) 2x (3×2 – 2) + 5(3x – 4)
b) (x2 – 3)(x + 1) – x (2×2 + 5x)
c) (3x – 2)(2x + 1) – 2(x2 + 4x)
6 Efectúa P(x) : Q(x) en cada caso y expresa el resultado
así:
P(x) = Q(x) · cociente + resto
a) P(x) = 3×2 – 11x + 5 Q(x) = x + 6
b)P(x) = 6×3 + 2×2 + 18x + 3 Q(x) = 3x + 1
c) P(x) = 6×3 + 2×2 + 18x + 3 Q(x) = x
d)P(x) = 5×2 + 11x – 4 Q(x) = 5x – 2
Actividades
Restamos x2(2x + 3) ÄÄ8
Restamos –5x(2x + 3) ÄÄÄÄÄ8
Restamos 2(2x + 3) ÄÄÄÄÄÄÄÄÄ8
2×3 – 7×2 – 11x + 13 | 2x + 3
– 2×3 – 3×2 x2 – 5x + 2
– 10×2 – 11x + 13
10×2 + 15x
4x + 13
– 4x – 6
7
(2×3) : (2x) = x2
(–10×2) : (2x) = –5x
(4x) : (2x) = 2
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División de un polinomio por x – a.
Regla de Ruffini
Es muy frecuente tener que dividir un polinomio por una expresión del tipo x – a.
El procedimiento que exponemos a continuación permite realizar esas divisiones de
forma rápida y cómoda. Veámoslo por medio de un ejemplo:
7×4 – 11×3 – 94x + 7 | x – 3
– 7×4 + 21×3 7×3 + 10×2 + 30x – 4
10×3
– 10×3 + 30×2
30×2
– 30×2 + 90x
– 4x
+ 4x – 12
– 5
Esta misma división puede realizarse, sintéticamente, del siguiente modo:
3 21 30 90 –12
7 –11 0 –94 7
7 –
5
1 7 9
3 · 107 3 · 307 3 · (–4)2
–11 + 21
3 · 7
0 + 30 –94 + 90
RESTO
7 – 12
3 5
4
2
6 8
10 30 –4 cociente: 7 10 30 –4 significa: 7×3 + 10×2 + 30x – 4
resto: –5
Los pasos, numerados en verde, son los mismos que se hacen en la división realizada
arriba.
Este método, en el que solo intervienen los coeficientes y solo se realizan las operaciones
que realmente importan, se llama regla de Ruffini.
La regla de Ruffini sirve para dividir un polinomio por x – a. Las operaciones
(sumas y multiplicaciones por a) se realizan una a una. Se obtienen, así,
los coeficientes del cociente y el resto de la división.
Paolo Ruffini fue un matemático italiano
que vivió entre los siglos xviii y
xix. Se le dio su nombre a esta regla
porque la utilizó en la demostración
de una importante propiedad matemática.
Pero dicha regla ya aparecía
en un libro de álgebra de Pietro Paoli
publicado 25 años antes.
Paolo Ruffini
7 Aplica la regla de Ruffini para efectuar las siguientes
divisiones:
a) (5×4 + 6×2 – 11x + 13) : (x – 2)
b) (6×5 – 3×4 + 2x) : (x + 1)
c) (7×2 – 5×3 + 3×4 – 2x + 13) : (x – 4)
d) (4×3 – 9 – 51×2 + 6×4 – 3x) : (x + 3)
8 Aplica la regla de Ruffini para calcular el cociente y el
resto de las siguientes divisiones de polinomios:
a) (x2 + 3x + 2) : (x + 2)
b) (2×3 + 3x + 1) : (x – 1)
c) (x4 – 3×3 + 2x + 8) : (x – 2)
d) (x5 – 4×3 + 3×2) : (x – 1)
Actividades
7 –11 0 –94 7
3 21 30 90 –12
17 44104 24304 4–34 | –5
coeficientes resto
del cociente
2 Factorización de polinomios
Raíces de un polinomio
Un número a se llama raíz de un polinomio P(x) si P(a) = 0. Las raíces de
un polinomio son las soluciones de la ecuación P(x) = 0.
Para localizar las raíces enteras de un polinomio, probaremos con los divisores
(positivos y negativos) de su término independiente.
Una vez localizada una raíz, a, puesto que P(x) es divisible por x – a, podremos
ponerlo así: P(x) = (x – a) · P1(x). Las restantes raíces las buscaremos en P1(x).
Procedimiento para factorizar un polinomio
Factorizar un polinomio es descomponerlo en producto de polinomios (factores)
del menor grado posible.
Veamos, prácticamente, cómo factorizar P(x) = 4×4 – 4×3 – 9×2 + x + 2:
• Para localizar las raíces de P(x), iremos probando con los divisores (positivos
y negativos) de 2. Empecemos por 1 y por –1:
4 –4 –9 1 2
1 4 0 –9 –8
4 0 –9 –8 |–6
4 –4 –9 1 2
–1 –4 8 1 –2
4 –8 –1 2 |0
1 no es raíz. –1 sí es raíz.
Escribimos P(x) factorizado: P(x) = (x + 1)(4×3 – 8×2 – x + 2)
• Ahora buscamos las raíces de P1(x) = 4×3 – 8x 2 – x + 2:
1 ha quedado descartado. Probamos de nuevo con –1 y resulta que no lo es (es
decir, –1 es una raíz simple). A continuación, probamos con 2:
2 sí es raíz de P1(x) [y, por tanto, de P(x)]
P1(x) = (x – 2)(4×2 – 1)
4 –8 –1 2
2 8 0 –2
4 0 –1 | 0
• Cuando queda un polinomio cuyas raíces se pueden localizar por otros medios,
al hacerlo se concluye el proceso. En nuestro caso, reconocemos que
4×2 – 1 = (2x + 1)(2x – 1). Por tanto, el resultado final es:
P(x) = (x + 1)(x – 2)(2x + 1)(2x – 1) = 4(x + 1)(x – 2)(x + 1/2)(x – 1/2)
Hay polinomios para cuya factorización no es necesario aplicar la regla de
Ruffini. Por ejemplo, Q(x) = x4 – x3 – 20×2.
• Empezamos por extraer x2 como factor común: Q(x) = x2 (x2 – x – 20)
• Ahora hallamos las raíces de x2 – x – 20: x1 = 5 y x2 = –4.
Por tanto, Q(x) = x2 (x – 5)(x + 4).
Di si 0, 1, –1, 2 o –2 son raíces de los
siguientes polinomios:
a) x3 – 4x
b) x4 – x3 – 2×2
c) x3 + x2 – 25x – 25
d) x5 – 5×3 + 4x
Cálculo mental
Las igualdades notables, así como
la extracción de factor común, son
procedimientos sencillos que ayudan
en la factorización de polinomios.
Igualdades notables
• Si llegamos a un polinomio de segundo
grado sin raíces, dicho polinomio
queda como un único factor
(no se puede descomponer en
dos).
• Si un polinomio tiene más de dos
raíces no enteras, entonces, aunque
pueda factorizarse, nosotros
no sabremos hacerlo.
Notas
26
1. Factorizar y decir cuáles son
las raíces.
P(x) = 12×5 – 36×4 + 27×3
2. Factorizar.
Q(x) = 4×2 – 8x + 3
3. Factorizar.
R(x) = x3 – x + 6
Ejercicios resueltos
1. Todos los sumandos tienen el factor x3. Los coeficientes 12, –36 y 27 son
múltiplos de 3. Por tanto, podemos sacar 3×3 como factor común.
P(x) = 3×3 (4×2 – 12x + 9)
Observamos que 4×2 – 12x + 9 es igual a (2x – 3)2.
P(x) = 3×3 (2x – 3)2
Obtenemos las raíces igualando a 0 cada factor.
Las raíces de P(x) son 0 (raíz triple) y 3/2 (raíz doble).
2. Buscamos las raíces igualando a 0 y resolviendo la ecuación:
4×2 – 8x + x 3 = 0 8 x = 12
; x = 32
Por tanto: Q(x) = 4 x (x – 12
)(x – 32
), o bien:
Q(x) = 2 x (x – 12
) 2(x – 32
) = (2x – 1)(2x – 3)
3. Utilizamos la regla de Ruffini para localizar una raíz entre los divisores de 6:
–2 es una raíz de R(x).
Buscamos raíces de x2 – 2x + 3:
x2 – 2x + 3 = 0 no tiene solución.
1 0 –1 6
–2 –2 4 –6
1 –2 3 | 0
Hemos llegado a un polinomio de segundo grado que no tiene raíces.
Entonces: R(x) = (x + 2)(x2 – 2x + 3)
1 Factoriza los siguientes polinomios:
a) 3×2 + 2x – 8
b) 3×3 – 48x
c) x3 – 2×2 – 5x + 6
d) x3 – 7×2 + 8x + 16
e) x3 – 2×2 – 15x
f ) 2×3 – x2 – x + 2
2 Expresa los polinomios siguientes como cuadrado de
un binomio (hazlo en tu cuaderno):
a) x2 + 12x + 36 = (x + )2 b) 49 + 14x + x2
c) 4×2 – 20x + 25 = ( – 5)2 d) 1 + 4x + 4x 2
3 Expresa en cada caso como producto de dos binomios
(hazlo en tu cuaderno):
a) x2 – 16 = (x + ) (x – ) b) x2 – 1
c) 9 – x2 d) 4×2 – 1
4 Saca factor común y utiliza las identidades notables
para factorizar los siguientes polinomios:
a) x3 – 6×2 + 9x b) x3 – x
c) 4×4 – 81×2 d) x3 + 2×2 + x
e) 3×3 – 27x f ) 3×2 + 30x + 75
5 Factoriza los polinomios siguientes:
a) x 4 – 8x 3 + 16x 2 b) x 3 – 4x
c) 9x 3 + 6x 2 + x d) 4x 2 – 25
Actividades
3 Fracciones algebraicas
Se llama fracción algebraica al cociente indicado de dos polinomios.
Por ejemplo: x
3x 2 – 5
, 1
x + 1
, 3x + 1
x 2 + 6x – 3
Las fracciones algebraicas se comportan de forma muy similar a las fracciones
numéricas, como veremos a continuación.
Simplificación
Para simplificar una fracción, se dividen el numerador y el denominador por uno
o más factores comunes a ambos. Se obtiene así otra fracción equivalente.
Por ejemplo: 3x (x + 1)2
6x 2(x + 1)
= 3x (x + 1)(x + 1)
3 · 2 · x · x · (x + 1)
= x + 1
2x
Reducción a común denominador
Para reducir varias fracciones a común denominador, se sustituye cada fracción
por otra equivalente, de modo que todas tengan el mismo denominador. Este
será múltiplo de todos los denominadores.
3x
, 5
x – 2
Denominador común: x · (x – 2)
9 9
3 · (x – 2)
x · (x – 2)
, 5 · x
(x – 2) · x
Observa que en cada fracción se han multiplicado
numerador y denominador por el factor apropiado
para obtener el denominador común que se desea.
Suma y resta
Para sumar o restar fracciones algebraicas, se reducen a común denominador y
se suman o se restan los numeradores, dejando el mismo denominador común.
Por ejemplo: 3x
+ 5
x – 2
= 3(x – 2)
x (x – 2)
+ 5x
x (x – 2)
= 3x – 6 + 5x
x (x – 2)
= 8x – 6
x 2 – 2x
1. 3x + 5
2x + 3
– x – 7
2x + 3
2. 5x + 4
x
+ x – 2
2x
3. 3
x 2 + x + 3
x
4. 3x
x – 1
– 2
x + 1
Ejercicios resueltos
1. 3x + 5
2x + 3
– x – 7
2x + 3
= 3x + 5 – (x – 7)
2x + 3
= 2x + 12
2x + 3
2. 5x + 4
x
+ x – 2
2x
= 2(5x + 4) x x2
x
+ x – 2
2x
= 10x + 8 + x – 2
2x
= 11x + 6
2x
3. 3
x 2 + x + 3
x
= 3
x 2 + x (x + 3)
x · x
= 3 + x 2 + 3x
x 2 = x 2 + 3x + 3
x 2
4. 3x
x – 1
– 2
x + 1
= (x + 1) · 3x
(x + 1)(x – 1)
– (x – 1) · 2
(x + 1)(x – 1)
= 3x 2 + 3x – (2x – 2)
(x + 1)(x – 1)
=
= 3x 2 + x + 2
x 2 – 1
Para sumar (o restar) fracciones algebraicas
con el mismo denominador,
se suman los numeradores y se mantiene
el denominador común.
3
x + 1
+ x
x + 1
– x – 2 xx
x + 1
=
= 3 + x – (x – 2)
x + 1
= 5
x + 1
Atención
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Producto
El producto de dos fracciones algebraicas es el producto de sus numeradores
partido por el producto de sus denominadores.
Por ejemplo: 2x
x – 3
· 5x + 1
x 2 = 2x · (5x + 1)
(x – 3) · x 2 = 10x 2 + 2x
x 3 – 3x 2
Cociente
El cociente de dos fracciones algebraicas es el producto de la primera por la inversa
de la segunda (producto cruzado de términos).
Por ejemplo: 3x
: 5
x + 2
= 3x
· x + 2
5
= 3(x + 2)
5x
= 3x + 6
5x
1 Simplifica las fracciones siguientes. Para ello, saca
factor común cuando convenga:
a) 15x 2
5x 2(x – 3)
b) 3(x – 1)2
9(x – 1)
c) 3x 2 – 9x 3
15x 3 – 3x 4 d) 9(x + 1) – 3(x + 1)
2(x + 1)
e) 5x 2(x – 3)2(x + 3)
15x (x – 3)
f ) x (3x 3 – x 2)
(3x – 1)x 3
2 Opera y simplifica.
a) 2x
+ 3
2x
+ x – 2
x
b) 3
x + 1
– 2x 2 + 8x
x 2 + x
– 4x
c) 2
x 2 – 9
– 7x
x – 3
+ 3
d) 5x 3 + 15x 2
x + 3
– 10x 3 + 15x 2
5x 2 + 2x
3 Efectúa las siguientes operaciones y simplifica. Ten
en cuenta las identidades notables:
a) x 2 – 1
x
: (x – 1) b) x (x – 2)
x
: x 2 – 4
x + 2
c) x 2 – 2x + 1
x
: x – 1
x
d)6x 2 · x – 3
x 3
e) 3x – 3
x 2 · x (x + 1)
x 2 – 1
f ) 2x
x – 1
: 4x 2
2x – 2
g) x + 5
10
· 5
(x + 5)2 h) 2x 2
3x
· 6x
4x 3
i) 4x – 3
2x
· 4x 2
8x – 6
j) 3x – 3
x 2 · 3x
18(x – 1)
4 Opera y simplifica.
a) 6x 2
4x 2 – 9
: ( 5x
2x – 3
+ 5x
2x + 3 )
b) x 2
5x 2 – 25
– 15
– x 3 + x 2
(x + 1)(5x 2 – 25)
Actividades
Se llama inversa de una fracción algebraica
a la que se obtiene intercambiando
numerador y denominador:
La inversa de 5
x + 2
es x + 2
5
.
Definición
1. 2x – 7
x
· 3
x + 1
2. 5
x – 3
: x
x 2 + 1
3. 3x
· (5x + 3
x – 1
: 5x + 3
x )
Ejercicios resueltos
1. 2x – 7
x
· 3
x + 1
= 3(2x – 7)
x (x + 1)
= 6x – 21
x 2 + x
2. 5
x – 3
: x
x 2 + 1
= 5
x – 3
· x 2 + 1
x
= 5(x 2 + 1)
(x – 3)x
= 5x 2 + 5
x 2 – 3x
3. 3
x
· (5x + 3
x – 1
: 5x + 3
x ) = 3
x
· 5x + 3
x – 1
· x
5x + 3
= 3
x – 1
■ Practica
Operaciones con polinomios
1 Opera y simplifica las siguientes expresiones:
a) 3x(2x – 1) – (x – 3)(x + 3) + (x – 2)2
b) (2x – 1)2 + (x – 1)(3 – x) – 3(x + 5)2
c) 43
(x – 3) 2 – 13
(3x – 1)(3 x x + 1) – 13
(4×3 + 35)
2 Efectúa las siguientes operaciones y simplifica
el resultado:
a) (2y + x)(2y – x) + (x + y)2 – x(y + 3)
b) 3x(x + y) – (x – y)2 + (3x + y)y
c) (2y + x + 1)(x – 2y) – (x + 2y)(x – 2y)
3 Halla el cociente y el resto de cada una de estas
divisiones:
a) (7×2 – 5x + 3) : (x2 – 2x + 1)
b) (2×3 – 7×2 + 5x – 3) : (x2 – 2x)
c) (x3 – 5×2 + 2x + 4) : (x2 – x + 1)
4 Calcula el cociente y el resto de las divisiones
siguientes:
a) (3×5 – 2×3 + 4x – 1) : (x3 – 2x + 1)
b) (x4 – 5×3 + 3x – 2) : (x2 + 1)
c) (4×5 + 3×3 – 2x) : (x2 – x + 1)
Factor común e identidades notables
5 Expresa como cuadrado de un binomio.
a) 16×2 + 1 – 8x b) 36×2 + 25y2 + 60xy
c) 9×4 + y2 + 6x2y d) y4 – 2y2 + 1
6 Expresa como producto de dos binomios.
a) 49×2 – 16 b)9×4 – y2 c) 81×4 – 64×2
d)25×2 – 3 e) 2×2 – 100 f ) 5×2 – 2
7 Saca factor común e identifica los productos
notables como en el ejemplo.
• 2×4 + 12×3 + 18×2 = 2×2(x2 + 6x + 9) = 2×2(x + 3)2
a) 20×3 – 60×2 + 45x b) 27×3 – 3xy2
c) 3×3 + 6x2y + 3y2x d)4×4 – 81x2y2
Regla de Ruffini. Aplicaciones
8 Aplica la regla de Ruffini para hallar el cociente
y el resto de las siguientes divisiones:
a) (5×3 – 3×2 + x – 2) : (x – 2)
b) (x4 – 5×3 + 7x + 3) : (x + 1)
c) (–x3 + 4x) : (x – 3)
d) (x4 – 3×3 + 5) : (x + 2)
9 Comprueba si los polinomios siguientes son
divisibles por x – 3 o x + 1.
a) P1(x) = x3 – 3×2 + x – 3
b)P2(x) = x3 + 4×2 – 11x – 30
c) P3(x) = x4 – 7×3 + 5×2 – 13
☞Recuerda, para que sea divisible, el resto debe ser 0.
Factorización de polinomios
10 Factoriza los siguientes polinomios:
a) x2 + 4x – 5 b) x2 + 8x + 15
c) 7×2 – 21x – 280 d) 3×2 + 9x – 210
11 Busca, en cada caso, una raíz entera y factoriza,
después, el polinomio:
a) 2×2 – 9x – 5 b) 3×2 – 2x – 5
c) 4×2 + 17x + 15 d) –x2 + 17x – 72
12 Saca factor común y utiliza las identidades
notables para factorizar los siguientes polinomios:
a) 3×3 – 12x b) 4×3 – 24×2 + 36x
c) 45×2 – 5×4 d) x4 + x2 + 2×3
e) x6 – 16×2 f ) 16×4 – 9
13 Descompón en factores y di cuáles son las
raíces de los siguientes polinomios:
a) x3 + 2×2 – x – 2 b) 3×3 – 15×2 + 12x
c) x3 – 9×2 + 15x – 7 d) x4 – 13×2 + 36
14 Factoriza los siguientes polinomios y di cuáles
son sus raíces:
a) x3 – 2×2 – 2x – 3 b) 2×3 – 7×2 – 19x + 60
c) x3 – x – 6 d) 4×4 + 4×3 – 3×2 – 4x – 1
Consolida lo aprendido utilizando tus competencias
Ejercicios y problemas
30 Ejercicios y problemas
Consolida lo aprendido utilizando tus competencias
Fracciones algebraicas
15 Simplifica estas fracciones algebraicas:
a) 9x
12x 2 b) x (x + 1)
5(x + 1)
c) x 2(x + 2)
2x 3
16 Simplifica las siguientes fracciones algebraicas.
Para ello, saca factor común:
a) x 2 – 4x
x 2 b) 3x
x 2 + 2x
c) 3x + 3
(x + 1)2
d) 2x 2 + 4x
x 3 + 2x 2 e) 8x 3 – 4x 2
(2x – 1)2 f ) 5x 3 + 5x
x 4 + x 2
17 Efectúa.
a) 1
6x
+ 1
3x 2 – 1
2x 3 b)2x
+ x – 1 xx
x – 7
c) 2x
– 3
x – 4
+ x + 1 xx
x – 4
d) 2x
x – 3
– x – 1 xx
x + 3
e) 3
x – 1
+ 12
+ x4
f ) 3x
– 1
x 2 + x
+ 2
18 Simplifica. Para ello, transforma en producto
el numerador y el denominador.
a) 2x + 4
3x 2 + 6x
b) x + 1
x 2 – 1
c) x – 2
x 2 + 4 – 4x
d) x 2 – 3x
x 2 – 9
e) x 2 – 4
x 2 + 4x + 4
f ) x 3 + 2x 2 + x
3x + 3
19 Opera, y simplifica si es posible.
a) x
x + 1
· 3
x 2 b) 3x + 2
x – 1
: x + 1
x
c) 3
(x – 1)2 : 2
x – 1
d) (x + 1) : x 2 – 1
2
■ Traducción al lenguaje algebraico
20 Expresa mediante un polinomio cada uno de
estos enunciados:
a) La suma de los cuadrados de dos números consecutivos.
b)El área total de un ortoedro de dimensiones x,
2x y 5 cm.
c) La cantidad de leche envasada en “x” botellas
de 1,5 l y en “y” botellas de 1 l.
d)El área de un triángulo rectángulo en el que un
cateto mide 3 cm más que el otro.
21 Expresa algebraicamente y simplifica cada expresión
obtenida:
a) La edad de Alberto dentro de 22 años.
b)La cantidad que se obtiene al invertir x euros y
ganar el 11%.
c) Por un ordenador y un equipo de música se pagan
2 500 €. Si el ordenador cuesta x euros,
¿cuánto cuesta el equipo de música?
d)Comprar un artículo por x euros y perder el
15% de su valor. ¿Cuánto costaría ahora?
e) El perímetro de un triángulo rectángulo en el
cual uno de los catetos mide los 3/5 de la hipotenusa,
y el otro cateto, 5 cm menos que esta.
f ) Los lados de un triángulo rectángulo isósceles de
24 cm de perímetro.
22 Expresa algebraicamente y simplifica cada expresión
obtenida:
a) El área de una lámina de bronce cuya base mide
5/3 de su altura.
b) El cuadrado de la hipotenusa de un triángulo
rectángulo cuyos catetos miden 16 – x y 9 – x.
c) El área de un cuadrado de lado x + 3.
d) La diferencia de áreas de dos cuadrados de lados
x y x + 3, respectivamente.
e) La superficie de un jardín rectangular de base x
y perímetro 70 m.
f ) El cuadrado de la hipotenusa de un triángulo
rectángulo isósceles de 24 cm de perímetro.
g) El área de un rombo sabiendo que la longitud de
una diagonal es el triple de la otra.
23 Expresa algebraicamente cada enunciado.
a) El cuadrado de la diferencia de dos números.
b) La suma de los cuadrados de dos números.
c) La diagonal de un rectángulo de dimensiones x e y.
d)El coste de la mezcla de dos tipos de café, cuyos
precios son 8 €/kg y 10 €/kg.
© GRUPO ANAYA, S.A. Matemáticas 4.° B ESO. Material fotocopiable autorizado.
24 Expresa algebraicamente el área de esta corona
circular.
■ Aplica lo aprendido
25 Escribe, en cada caso, un polinomio de segundo
grado que tenga por raíces:
a) 7 y –7 b) 0 y 5
c) –2 y –3 d) 4 (doble)
26 Escribe, en cada caso, un polinomio que tenga
las siguientes raíces:
a) x1 = 1; x2 = –1; x3 = 2
b) x1 = 0; x2 = 2; x3 = –1
27 Expresa mediante
polinomios el área y
el volumen de este ortoedro:
x + 4
x – 2
x
28 En un rectángulo de lados x e y inscribimos
un rombo. Escribe el perímetro del rombo en función
de los lados del rectángulo.
x
y
29 Expresa algebraicamente
el área de la parte coloreada
utilizando x e y. y x
¿Sabes operar con polinomios?
1 Opera y simplifica:
a) (2x + 3) · (x2 – 3x) – x(x + 8)
b) (x 3 – 2x + 3)(x 2 + 4x – 1)
2 Halla el cociente y el resto:
a) (2×3 + 3×2 – 7) : (x + 1)
b) (2x 3 – 11x 2 + 5x) : (2x – 1)
¿Factorizas un polinomio con agilidad?
3 Completa en tu cuaderno estas expresiones:
a) (x + 5)2 = x 2 + + 25
b) (2x – )2 = 4x 2 – 12x + 9
c) (7x + )2 = x 2 + x + 16
4 Factoriza:
a) x4 – 16×2 b) x 3 – 25x
c) x3 – 6×2 + 9x d) x3 – 2×5 – 5x + 6
¿Manejas los procedimientos para simplificar distintas
expresiones algebraicas?
5 Reduce:
a) 6 · (x 2 + 1
3
– x 2 – 4
6
– x + 1)
b) 3 – x
x2 + 1x
– x + 5
2x
6 Sustituye x por 1 + 2y en x2 – y – 8 y simplifica.
¿Sabes traducir un enunciado al lenguaje algebraico?
7 Expresa algebraicamente y simplifica.
a) La diferencia de los cuadrados de dos números que
suman 7 unidades.
b)Precio final de un producto que costaba x euros
después de una subida del 8%.
c) La hipotenusa de un triángulo rectángulo en el que
un cateto mide la mitad del otro.
d) Lo que pago por tres bocadillos y cinco refrescos