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FUNCIONES Y SUS CARACTERISTICAS 4TO DE SECUNDARIA – ESO EJERCICIOS RESUELTOS PDF

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Funciones:
- Variables y funciones.
- Estudio de una función.
- Características globales de las gráficas: crecimiento y decrecimiento, máximos y mínimos, simetrías, continuidad y periodicidad.
- Funciones de proporcionalidad directa. Funciones afines.
© GRUPO ANAYA, S.A., Matemáticas 4.° B ESO. Material fotocopiable autorizado.
El concepto de función ha ido evolucionando y perfilándose
a lo largo del tiempo. ¿Qué requisitos se le
ha ido exigiendo a dicho concepto?
— Una función relaciona dos variables.
— Las funciones describen fenómenos naturales.
— Las relaciones funcionales pueden ser descritas
mediante fórmulas (relaciones algebraicas).
— Las funciones pueden ser representadas gráficamente.
Oresme (matemático francés del siglo xiv) afirmó
en 1350 que las leyes de la naturaleza son relaciones
de dependencia entre “dos cantidades”. Puede considerarse
una primera aproximación al concepto de
función.
Galileo (finales del siglo xvi) utiliza por primera vez
la experimentación cuantitativa (diseña, experimenta,
mide, anota) para establecer relaciones numéricas
que describan fenómenos naturales.
Descartes (siglo xvii), con su algebrización de la
geometría, propicia que las funciones puedan ser representadas
gráficamente.
Leibniz, en 1673, utiliza por primera vez la palabra
función para designar estas relaciones.
Euler, entre 1748 y 1755, fue perfilando el concepto,
al que dio precisión y generalidad, admitiendo,
finalmente, que una relación entre dos variables puede
ser función aunque no haya una expresión analítica
que la describa. El propio Euler fue quien aportó
la nomenclatura f (x).
DEBERÁS RECORDAR
■ Cómo se representan y se interpretan funciones
descritas mediante enunciados.
■ Qué es y cómo se obtiene la pendiente de un segmento.
Funciones.
Características
1 Conceptos básicos
Una función liga dos variables numéricas a las que, habitualmente, se las llama
x e y:
x es la variable independiente y es la variable dependiente
La función, que se suele denotar por y = f (x), asocia a cada valor de x un
único valor de y:
x 8 y = f (x)
Para visualizar el comportamiento de una función, recurrimos a su representación
gráfica: sobre unos ejes cartesianos con sendas escalas, representamos las
dos variables:
La x sobre el eje horizontal (eje de abscisas).
La y sobre el eje vertical (eje de ordenadas).
Cada punto de la gráfica tiene dos coordenadas, su abscisa, x, y su ordenada, y.
Se llama dominio de definición de una función, f, y se designa por Dom f,
al conjunto de valores de x para los cuales existe la función.
Se llama recorrido de f al conjunto de valores que toma la función. Es decir,
al conjunto de valores de y para los cuales hay un x tal que f (x) = y.
1 Esta gráfica corresponde a la función:
profundidad dentro del agua 8 presión
PROFUNDIDAD
(m)
PRESIÓN
(atm)
10 20 30 40 50 60
1
2
3
4
5
6
7 a) ¿Cuáles son las variables?
b) ¿Qué escalas se utilizan?
c) Di cuál es el dominio
de definición y el recorrido.
2 Esta gráfica muestra la humedad relativa del aire en
una ciudad.
60
70
80
1 2 3 4 5 6 7 8 9 101112
TIEMPO
(horas)
HUMEDAD (%)
a) ¿Cuáles son las variables dependiente e independiente?
¿Qué escalas se utilizan?
b)¿Durante cuánto tiempo se midió la humedad?
c) ¿Entre qué valores varió la humedad?
3 La gráfica describe la
temperatura a la que sale
el agua de un grifo.
a) ¿Cuáles son las dos variables?
b) Explica por qué es una
función. 1
10
20
30
40
50
60
2 3 4 5 6
TIEMPO (min)
TEMPERATURA (°C)
c) ¿Cuáles son el dominio de definición y el recorrido?
4 Y
X
Y
X
I II
Una de estas dos gráficas corresponde a una función,
y la otra, no. Identifica cada cual, razonadamente.
Actividades
X
(ordenada) y (x, y)
Y
X
x
(abscisa)
Recorrido
de f
Dominio de f
f
Y
47
2 Cómo se presentan las funciones
Tanto para el estudio de las matemáticas como para otras ciencias o en la vida
cotidiana, nos encontramos frecuentemente con funciones.
Las funciones nos vienen dadas de muy diversas formas: mediante su gráfica, por
una tabla de valores, por una fórmula o mediante una descripción verbal (enunciado).
Mediante su expresión gráfica
Las siguientes dos funciones vienen dadas por sus representaciones gráficas:
ÍNDICE DE LA BOLSA EN UN AÑO VELOCIDAD DE UN CICLISTA
EN CADA INSTANTE DE UN RECORRIDO
5
10
15
20
25
30
35
40
10 20 30 40 50 60 70
VELOCIDAD (km/h)
TIEMPO (min)
100%
50%
E F M A M J J A S O N D
PORCENTAJE SOBRE
EL VALOR AL
COMIENZO DEL AÑO
Como mejor se puede apreciar el comportamiento global de una función es
mediante su representación gráfica. Por eso, siempre que pretendamos analizar
una función, intentaremos representarla gráficamente, cualquiera que sea
la forma en la cual, en principio, nos venga dada.
Mediante un enunciado
Cuando una función viene dada por un enunciado o una descripción (como la
que se hace en la siguiente actividad 1 para describir el recorrido de Alberto hasta
la escuela), la idea que nos podemos hacer de ella es, casi siempre, cuantitativamente
poco precisa.
1 Haz una gráfica en la que se vea representado el
recorrido de Alberto desde su casa hasta el colegio,
en función del tiempo: de casa salió a las
8:30 h y fue seguidito hasta casa de su amigo Íker.
Lo esperó un rato sentado en un banco y luego
se fueron juntos, muy despacio, hacia el colegio.
Cuando ya estaban llegando, se dio cuenta de
que se había dejado la cartera en el banco. Volvió
corriendo, la recuperó y llegó al colegio a las
9 en punto.
2 Vamos a analizar la gráfica de arriba que describe la
velocidad del ciclista:
a) ¿Cuánto tiempo tarda en hacer el recorrido?
b) En los primeros 15 minutos circula en llano. ¿A
qué velocidad lo hace? ¿Qué distancia recorre?
c) Entre el minuto 18 y el 27 va cuesta arriba. Di a
qué velocidad.
d) Señala un intervalo de 5 minutos en el que marcha
cuesta abajo. ¿A qué velocidad lo hace?
Actividades
1 El consumo de agua de un colegio
viene dado por esta gráfica:
0,40
4
0,80
8 12 16 20 24
1,20
CONSUMO (m3)
TIEMPO (h)
Haz un pequeño informe relacionando
la gráfica con los movimientos
del colegio (horas de entrada
y de salida, recreos…).
Entrénate
48 Mediante una tabla de valores
Con frecuencia se nos dan los valores de una función mediante una tabla en la cual
se obtienen directamente los datos buscados. Sin embargo, en otros casos, como en
la tabla siguiente, hay que efectuar complejos cálculos para obtener lo que se busca.
Esta tabla de valores permite calcular lo que cada persona debe pagar a Hacienda
un cierto año (cuota íntegra) en función de lo que gana (base liquidable).
base liquidable
hasta euros
cuota íntegra
euros
resto base liquidable
hasta euros
tipo aplicable
%
0 0 4000 15
4 000 600 10 000 25
14 000 3 000 12 000 28
26 000 6 360 20 000 37
46 000 13 760 en adelante 45
Alguien que gane 32 500 €:
• Se sitúa en la 4.ª fila.
• Por los primeros 26 000 € paga
6 360 €, y por el resto, el 37%:
32 500 – 26 000 = 6 500 €
37% de 6 500 = 6 500 Ò 0,37 =
= 2 405 €
Por tanto, paga 6 500 + 2 405.
Es decir, si gana 32 500 €, ha de pagar
8 905 €.
Ejemplo
Mediante su expresión analítica o fórmula
La expresión analítica es la forma más precisa y operativa de dar una función.
Pero requiere un minucioso estudio posterior.
Veamos algunos ejemplos:
▼ ejemplo 1
Una bola que se deja caer por un plano levemente inclinado
lleva una aceleración de 0,2 m/s2.
La distancia, e, en metros, que recorre en función del
tiempo, t, en segundos, viene dada por la fórmula
e = 0,1t 2. t (s)
e (m)
▼ ejemplo 2
El volumen de una esfera en función de su radio es:
V = 43
πr3 (r en cm, V en cm3)
r (cm)
V (cm3)
3 En el ejemplo 1, calcula la distancia que recorre
la bola en 1, 2, 3, 4 y 5 segundos. ¿A qué tiempo
corresponde una distancia de 2 m?
4 En el ejemplo 2, halla el volumen de una esfera
de radio 5 cm y el radio de una esfera de volumen
800 cm3.
5 cm
800 cm3
5 El coste de una línea de telefonía móvil para internet
es C = 10 + 1,5t (C, en €; t, en horas). Representa
la función.
6 Esta tabla muestra cómo varía la cantidad de agua
que hay en un depósito cuando se abre un desagüe:
t (min) 0 1 2 3 5
V (l) 20 18 16 14 10
Representa la función tiempo 8 volumen.
Actividades
UNIDAD
4
49
3 Funciones continuas. Discontinuidades
a
La función de la izquierda es continua en todo su dominio de definición.
La función de la derecha no es continua, porque presenta una discontinuidad en
el punto de abscisa a.
Hay distintos tipos de discontinuidad. Observa algunos:
Hay un salto. Le falta un punto. Solo está definida en
puntos aislados.
Una función es continua cuando no presenta discontinuidades de ningún tipo.
Se puede decir de una función que es continua en un intervalo [a, b] si no
presenta ninguna discontinuidad en él.
Hasta hace poco, los aparcamientos cobraban “por horas”. Esto quiere decir que
solo por entrar ya se pagaba 1 h. Si se estaba 1 h y 10 min se pagaban 2 h. La
primera de las tres gráficas siguientes describe esta forma de pago:
1
2 4 6 8
10
2 3 4 5 TIEMPO (h)
PAGO ()
1
2 4 6 8
10
2 3 4 5 TIEMPO (h)
1 PAGO () 2
1
2 4 6 8
10
2 3 4 5 TIEMPO (h)
PAGO () 3
Los usuarios prefieren que las tarifas se rijan por la función continua de en medio.
Los representantes de los aparcamientos preferirían, si se quiere que la función
sea continua, la de la derecha.
La primera gráfica, discontinua, refleja
el pago “por horas” (hora empezada,
hora pagada). La segunda
consiste en pagar exactamente lo que
se gasta. En la tercera, hay un pago
inicial (por entrar en el aparcamiento,
2 €) y, a continuación, se paga lo
que se gasta.
Observa
1 a) ¿Cuánto vale aparcar media hora según cada modelo
1 , 2 y 3 ?
b) ¿Cuánto dinero cuesta aparcar 1 h 15 min según
cada modelo?
c) ¿Y aparcar 4 h y 6 minutos?
d) Propón un modelo de tarifa que sea intermedio
entre la preferencia de los usuarios y la de los representantes
de los aparcamientos.
Actividades
Un representante de ordenadores recibe
cada mes 1 000 € fijos más 50 €
por cada aparato vendido. Esta es la
gráfica de la función:
aparatos vendidos 8 ganancias mensuales
Explica por qué no se pueden unir
los puntos.
Entrénate
VENTAS
(n.o de aparatos)
5 10
GANANCIAS ()
1 000
2 000
50 4 Crecimiento, máximos y mínimos
1 De la función de la derecha di:
a) En qué intervalos es creciente y en cuáles es decreciente.
b) Cuáles son sus máximos y sus mínimos relativos.
Actividades
Decir los intervalos en que es creciente
y en los que es decreciente
la función dada gráficamente a la
derecha. ¿Cuáles son sus máximos
y sus mínimos relativos?
–7 11
La función está definida entre –7 y 11.
Es creciente en los intervalos (–7, –3) y (1, 11).
Es decreciente en el intervalo (–3, 1).
Tiene un máximo relativo en el punto de abscisa –3. Su valor es 2.
Tiene un mínimo relativo en el punto de abscisa 1. Su valor es –5.
Hay puntos en los que la función toma valores menores que en el mínimo
relativo. Por ejemplo, para x = –7, la función toma el valor –6.
Ejercicio resuelto
CRECIENTE DECRECIENTE
La función f es creciente en este tramo porque
si x1 < x2, entonces f (x1) < f (x2).
Análogamente, una función es decreciente en un
intervalo cuando
si x1 < x2, entonces f (x1) > f (x2).
Una función puede ser creciente en unos intervalos
y decreciente en otros.
x1 x2
f (x1)
y = f (x )
f (x2)
Una función tiene un máximo relativo en
un punto cuando en él la función toma un
valor mayor que en los puntos próximos.
En tal caso, la función es creciente hasta el
máximo y decreciente a partir de él.
Análogamente, si f tiene un mínimo relativo
en un punto, es decreciente antes del
punto y creciente a partir de él.
MÁXIMO
MÍNIMO
CRERER CIENTE
DECRERER CIENENE TNTN ETET
DECRERER CIENTE
CRERER CIENTE
La función puede tomar en otros puntos
valores mayores que un máximo relativo
y menores que un mínimo relativo.
Observa la gráfica del consumo de
agua de un colegio que aparece en el
margen de la página 47 y responde:
a) ¿Cuándo el consumo es creciente?
¿Cuándo es decreciente?
b) ¿Durante qué horas se alcanza los
valores máximos y mínimos de
consumo de agua?
Entrénate
UNIDAD
51
5 Tendencia y periodicidad
La siguiente gráfica muestra la cantidad media de ejemplares por hectárea que hay
de una cierta especie de planta a distintas alturas:
500 1000 1500
300
200
100
ALTURA (m)
NÚMERO DE EJEMPLARES
Observamos que, a partir de una cierta altura, cuanto más se sube menos ejemplares
se encuentran. Y que, a partir de 1600 m, casi no hay plantas de este tipo.
Podemos afirmar que:
Cuando la altura aumenta por encima de los 1600 m, el número de
plantas tiende a cero.
Hay funciones en las que, aunque solo conozcamos un trozo de ellas, podemos
predecir cómo se comportarán lejos del intervalo en que han sido estudiadas,
porque tienen ramas con una tendencia muy clara.
Periodicidad
Observamos la variación de la altura de un cestillo de una noria cuando esta da
una vuelta. Tarda medio minuto (30 segundos), y en ese tiempo sube, llega al
punto más alto, baja y llega al suelo. Pero este movimiento se repite una y otra
vez. Su representación gráfica es esta:
30
40
60 90 120
En esta función, lo que ocurre en el intervalo [0, 30] se repite reiteradamente. Se
trata de una función periódica de periodo 30.
Función periódica es aquella cuyo comportamiento se repite cada vez que la
variable independiente recorre un cierto intervalo. La longitud de ese intervalo
se llama periodo.
1 La cantidad de radiactividad que
posee una sustancia se reduce a la
mitad cada año. La gráfica adjunta
describe la cantidad de radiactividad
que hay en una porción de esa
sustancia al transcurrir el tiempo.
1
RADIACTIVIDAD
1 2 TIEMPO (años)
¿A cuánto tiende la radiactividad
con el paso del tiempo?
2 La cisterna de unos servicios públicos
se llena y se vacía, automáticamente,
cada dos minutos, siguiendo
el ritmo de la gráfica adjunta.
a) Dibuja la gráfica correspondiente
a 10 min.
b) ¿Cuánta agua habrá en la cisterna
en los siguientes instantes?
I) 17 min II) 40 min 30 s
III) 1 h 9 min 30 s
Entrénate
1
10
20
30
2
VOLUMEN (l )
TIEMPO (min)
52
Ejercicios y problemas
Consolida lo aprendido utilizando tus competencias
■ Practica
Interpretación de gráficas
1 Pepe y Susana han medido y pesado a su hijo
David cada mes, desde que nació hasta los 21 meses.
Estas son las gráficas de la longitud y del peso
de David en función de la edad:
2
4
6
8
10
12
14 PESO (kg)
EDAD (meses)
3 6 9 12 15 18 21
3 6 9 12 15 18 21
50
60
70
80
90 LONGITUD (cm)
EDAD (meses)
a) ¿Cuánto medía y pesaba David cuando nació?
b) ¿Cuánto creció David los seis primeros meses?
¿Y de los seis a los veintiún meses? ¿En qué meses
fue mayor su crecimiento?
c) ¿Cuánto aumentó de peso David los dos primeros
meses? ¿Y del mes 12 al mes 18?
d)¿Cuánto pesaba David cuando medía 80 cm?
¿Qué edad tenía entonces?
2 Hemos sacado de la nevera un vaso con agua
y lo hemos dejado sobre la mesa de la cocina. Esta
gráfica muestra la temperatura del agua en grados
centígrados al pasar el tiempo.
20 40 60
2
8
16
22
TEMPERATURA (°C)
TIEMPO (min)
a) ¿A qué temperatura está el interior de la nevera?
b) ¿A qué temperatura está la habitación?
c) Imagina que en ese mismo momento sacamos
del microondas un vaso con agua a 98 °C y lo dejamos
sobre la mesa. Dibuja una gráfica aproximada
que muestre la temperatura del agua en
este segundo vaso al pasar el tiempo.
Enunciados, fórmulas y tablas
3 Representa la función y = x3 – 3x + 2 definida
en [–2, 3]. Para ello, completa en tu cuaderno:
x –2 –1 0 1 2 3
y
¿Cuál es el recorrido de la función?
4 Tres deportistas han estado nadando durante
media hora. Su entrenador ha medido las distancias
recorridas cada 5 minutos y ha obtenido los
siguientes datos:
tiempo (min) 5 10 15 20 25 30
distancia A
(m) 95 235 425 650 875 1100
distancia B
(m) 250 500 750 1 000 1250 1500
distancia C
(m) 360 710 1 020 1 300 1490 1600
a) Dibuja la gráfica que relaciona la distancia y el
tiempo de cada nadador y descríbelas.
b) ¿Ha habido algún adelantamiento durante la media
hora?
c) Calcula la velocidad media de cada uno en todo
el recorrido.
d) ¿Cuál es el dominio y el recorrido de cada una de
las tres funciones?
5 Los coches, una vez que se compran, empiezan
a perder valor a un ritmo de un 20% anual,
aproximadamente.
a) Haz una tabla de valores que dé el valor, en años
sucesivos, de un coche que costó 12 000 €.
b)Representa gráficamente la función años transcurridos-
valor del coche.
c) Encuentra una fórmula que permita hallar el precio
del coche en función de los años transcurridos.
UNIDAD
4
53
Características de una función
6 De cada una de las siguientes funciones di:
a) En qué intervalos crece y en cuáles decrece.
b) Cuáles son sus máximos y sus mínimos relativos.
–4 –2 2 4
Y
X
–2
2
4
–4 –2 2 4
Y
X
–2
2
4
I II
7 Observa las siguientes gráficas de funciones:
TIEMPO
TEMPERATURA (°C)
2
–12
23
A
B
C
a) Relaciona cada curva con uno de estos enunciados.
I. Temperatura de un vaso de agua cuando pasa
de la mesa a la nevera.
II. Temperatura de un vaso de agua cuando sale
de la nevera y se deja en la mesa.
III. Temperatura de un vaso de agua cuando pasa
de la mesa al congelador.
b)Determina a qué tiende cada una cuando crece la
variable independiente.
8 ¿Es periódica esta función? ¿Cuál es su periodo?
1
Y
X
2 3 4 5 6 7 8 9
2
1
Averigua los valores de la función en los puntos de
abscisas x = 1, x = 3, x = 20, x = 23 y x = 42.
9 Continúa esta gráfica sabiendo que se trata de
una función periódica. Di cuál es su periodo.
1
Y
X
2 3 4 5 6 7 8 9
2
1
10 Observa la gráfica de la función y responde:
–4 –2 2
Y
X
–2
2
4
4
a) ¿Cuáles son su dominio de definición y su recorrido?
b) ¿Tiene máximo y mínimo relativos? En caso afirmativo,
¿cuáles son?
c) ¿Cuáles son los puntos de corte con los ejes?
d) ¿En qué intervalos es la función creciente y en
cuáles es decreciente?
■ Resuelve problemas
11 Esta es la gráfica de la evolución de la temperatura
de un enfermo.
1 2 3 4 5 6 7
36
37
38
39
40 TEMPERATURA (°C)
TIEMPO (días)
a) ¿Cuánto tiempo estuvo en observación?
b) ¿En qué día la temperatura alcanza un máximo?
¿Y un mínimo?
c) ¿En qué intervalos de tiempo crece la temperatura
y en cuáles decrece?
d) ¿Qué tendencia tiene la temperatura?
e) Elabora un pequeño informe interpretando tus
resultados.
54
12 Un nadador se deja caer desde un trampolín.
Su entrenador ha medido el espacio que recorre cada
cuatro décimas de segundo mediante un método
fotográfico. Obtiene la siguiente tabla:
tiempo (s) 0 0,4 0,8 1,2 1,6 2 2,4 2,8
espacio (m) 0 0,78 3,13 7,05 12,5 14 14,5 15
El nadador se ha detenido a los 15 metros.
a) Representa la gráfica espacio-tiempo.
b) ¿Sabrías decir en qué momento entró en el agua?
c) ¿Qué velocidad estimas que llevaba en el momento
de entrar en el agua?
d) ¿Qué altura tiene el trampolín?
13 Cuando una persona sana toma 50 g de glucosa
en ayunas, su glucemia (% de glucosa en la
sangre) se eleva, en una hora aproximadamente,
desde 90 mg/dl, que es el nivel normal, hasta
120 mg/dl.
Luego, en las tres horas siguientes, disminuye hasta
valores algo por debajo del nivel normal, y vuelve a
la normalidad al cabo de 5 horas.
a) Representa la curva de glucemia de una persona
sana.
b) Di cuál es su máximo, su mínimo y explica su
tendencia.
Ejercicios y problemas
Consolida lo aprendido utilizando tus competencias
¿Sabes interpetar la gráfica correspondiente a una situación
real o construirla a partir de un enunciado?
1 Un ciclista hace una excursión a un lugar que dista
30 km de su casa. Al cabo de una hora, cuando ha recorrido
15 km, hace una parada de media hora. Reanuda
la marcha con la misma velocidad hasta llegar a su
destino, donde descansa otra media hora, y regresa al
punto de partida a la misma velocidad que a la ida. Representa
la gráfica tiempo-distancia al punto de partida.
2 La siguiente gráfica representa la altura a la que se
encuentra, con el paso del tiempo, un globo de hidrógeno
que se va elevando… hasta que estalla:
2
100
200
300
400
500
TIEMPO (min)
ALTURA (m)
ESTALLA
4 6 8 10 12
a) ¿Cuánto tarda en estallar desde que lo soltamos?
b)¿Qué altura gana entre el minuto 3 y el minuto 6?
¿Y entre el 7 y el 11?
c) ¿Cómo es esta función, crece o decrece?
d) ¿Cómo continuarías la gráfica si el globo no hubiera
estallado?
¿Reconoces las características más relevantes de una
función?
3 Observa la gráfica y halla:
–2
–4
–4 –2 2
Y
X
2
4
a) Dominio y recorrido.
b) Máximos y mínimos.
c) Intervalos de crecimiento y decrecimiento.
d) Dónde es continua y los puntos de discontinuidad.
4 a) ¿Es periódica esta función?
2
Y
X
2
4
6
8
¿Cuál es su periodo?
b) Halla los valores de la función en los puntos de
abscisas:
x = 2; x = 4; x = 40; x = 42
Autoevaluación

1 En un libro de pesca hemos encontrado la siguiente gráfica que relaciona la
resistencia de un tipo de hilo con su grosor:
a) ¿Qué grosor debe tener
el sedal de un pescador
que quiera pescar salmones
cuyo peso no
supere los 2 kg?
b)¿Con cuántos gramos
se podría romper un
sedal de 0,2 mm de
grosor?
¿Y de 0,35 mm?
a) Un grosor de, al menos, 0,17 mm.
b) Con más de 2 200 g se rompería un sedal de 0,2 mm.
Con más de 7 000 g se rompería un sedal de 0,35 mm.
2 La siguiente gráfica nos muestra la temperatura de un radiador desde que se
enciende la calefacción (8 h) hasta 14 horas más tarde.
a) ¿Cuál es la temperatura
máxima que alcanza y
cuándo la alcanza?
b)Calcula el aumento de
temperatura por hora
entre las 8 h y las 10 h.
¿Es el mismo entre las
10 h y las 12 h?
c) ¿Cuál es el dominio de
definición?
d)Di en qué intervalo es decreciente la función.
a) La temperatura máxima es de 70 °C y la alcanza a las 14 horas.
b) = 30 = 15 °C cada hora.
2
40 – 10
10 – 8
1000
3000
5000
7000
0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6
GROSOR (mm)
RESISTENCIA (g)
20
0
40
60
80
8 10 12 14 16 18 20 22
TEMPERATURA (°C)
TIEMPO (h)
I n t e r p r e t a c i ó n d e g r á f i c a s