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SEMEJANZA DE FIGURAS Y SUS APLICACIONES 4 ESO-CUARTO DE SECUNDARIA EJERCICIOS RESUELTOS PDF

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SEMEJANZAs:
- Figuras semejantes. Razón de semejanza.
- Mapas y planos. Escalas.
- Teorema de Tales.
El estudio teórico de la semejanza se suele basar en el
teorema de Tales. Recordemos quién fue este personaje.
Tales nació en Mileto (actualmente, en la costa occidental
de Turquía), aproximadamente, en el año
640 a.C. Murió con más de 90 años.
Visitó Egipto y, posiblemente, Babilonia, y aprendió
la ciencia práctica acumulada durante siglos por estas
civilizaciones. Aportó estos conocimientos, seguramente
muy elaborados, al mundo griego.
Fue el primero que exigió que las afirmaciones matemáticas
y de otras ciencias fueran avaladas por razonamientos
bien fundamentados. Por eso, se le considera
el fundador de la ciencia griega.
Muy admirado en su época y en siglos posteriores, se
le dio el rango del primero de “los siete sabios de Grecia”.
Esta gran admiración de la que fue objeto hizo
que se le mitificara y se le atribuyeran méritos que
realmente no eran suyos. Por ejemplo, la predicción
de un eclipse. Y la paternidad del teorema que lleva
su nombre.
Parece cierto que en Egipto midió la altura de una
pirámide comparando su sombra con la que arrojaba,
en el mismo instante, una vara vertical. Pero esta aplicación
práctica de la semejanza no significa que diera
forma al enunciado del teorema, ni mucho menos
que lo demostrara.
Ambos logros, junto con una adecuada fundamentación
y su desarrollo teórico de la semejanza, hay que
atribuírselos a Euclides, dos siglos y medio posterior.
DEBERÁS RECORDAR
■ Qué representan los planos, las maquetas y los
mapas. Cómo se interpretan. Para qué sirven.
La semejanza.
Aplicaciones
66 1 Semejanza
Dos figuras semejantes tienen la misma forma. ¿Cómo se manifiesta matemáticamente
esta apariencia?
—Los ángulos correspondientes en figuras semejantes son iguales.
—Las longitudes de los segmentos correspondientes en figuras semejantes son
proporcionales. La razón de proporcionalidad se llama razón de semejanza.
Figuras semejantes en la vida corriente
Estamos rodeados de reproducciones:
—Fotografías, vídeos, películas en pantallas de distintos tamaños…
—Maquetas de monumentos o de urbanizaciones, copias de cuadros famosos,
reproducciones de coches…
—Planos de edificios o de ciudades, mapas…
Las primeras pretenden, exclusivamente, transmitir unas características que se
conservan con la semejanza: la imagen, la forma, el color, la belleza del original.
Con los planos y los mapas pretendemos más: queremos que además de apreciar
la forma, se puedan obtener con precisión medidas, distancias. Por ello, van
acompañados de una escala con la que se pueden obtener magnitudes de la realidad
midiendo sobre su reproducción (plano o mapa).
Escala es el cociente entre cada longitud de la reproducción (mapa, plano,
maqueta) y la correspondiente longitud en la realidad. Es, por tanto, la razón
de semejanza entre la reproducción y la realidad.
Una escala 1:200 significa, como ya sabes, que 1 cm del plano corresponde a
200 cm = 2 m de la realidad.
La expresión 1:200 puede ponerse así: 1
200
, con lo que se muestra la razón de
semejanza entre las dos figuras.
Relación entre las áreas y entre los volúmenes
Si la razón de semejanza entre dos figuras es k, la razón entre sus áreas es k2 y
la razón entre sus volúmenes es k3.
La razón entre las áreas de dos figuras semejantes es igual al cuadrado de la
razón de semejanza.
La razón entre los volúmenes de dos figuras semejantes es igual al cubo de la
razón de semejanza.
Si una maqueta está a escala 1:200, la razón entre la superficie de una parcela y la
de su representación es 2002 = 40 000. Y la razón entre el volumen de un edificio
y el de su representación en la maqueta es 2003 = 8 000 000.
1 Una parcela con forma de cuadrilátero
irregular tiene 820 m2 de
área y su lado menor mide 40 m.
Hacemos un plano de la parcela en
el que el lado menor mide 16 cm.
¿Cuál será el área de la parcela en el
plano?
2 La razón entre las áreas de dos rectángulos
semejantes es 9/16. Si el
perímetro del menor es 138 m, ¿cuál
será el perímetro del mayor?
3 Queremos hacer una maqueta a
escala 1:25 de un barco que mide
9 m de largo. La superficie de la
cubierta es de 21 m2 y el volumen
del casco es 31,5 m3. ¿Cuáles serán
estas medidas en la maqueta?
4 Los catetos de un triángulo rectángulo
miden 12 cm y 16 cm. ¿Cuál
será el área de otro semejante cuya
hipotenusa mide 85 cm?
5 Las áreas de los círculos máximos
de dos esferas son 100π cm2 y
16π cm2. ¿Cuál será la razón entre
su radios? ¿Y la razón entre los volúmenes
de las dos esferas?
Entrénate
67
1 a) Un edificio de la maqueta anterior tiene forma de
ortoedro. Sus dimensiones son 9 cm Ò 6,4 cm de
planta y 4 cm de altura. Halla las dimensiones, el
área de la fachada y el volumen en la realidad.
b) La superficie de un campo de fútbol sala en la maqueta
es de 32 cm2. ¿Cuál es la superficie en la realidad?
c) Una caseta de la maqueta está hecha con 0,3 cm3
de poliexpán. ¿Cuál es su verdadero volumen?
d) La altura de un edificio en la realidad es 65 m.
¿Cuál es su altura en la maqueta?
2 La Luna está a 384 000 km de nosotros y su diámetro
es 3 500 km.
a) Calcula su superficie y su volumen.
b) El Sol está a 150 000 000 km de nosotros. Y su tamaño
aparente es igual que el de la Luna. Según
esto, halla el diámetro del Sol. Halla también su
superficie y su volumen
a partir de
las correspondientes
magnitudes de
la Luna.
Actividades
El dibujo adjunto representa la
maqueta de una urbanización a
escala 1:500.
Sobre la maqueta se han tomado
las siguientes medidas:
polideportivo
°¢ °
£ ¢£ ¢
largo = 30 cm
ancho = 18 cm
depósito
cilíndrico
°¢ °
£ ¢£ ¢
diámetro = 6 cm
altura = 10 cm
carpa: diámetro = 16 cm
Para construir la carpa de la maqueta
se han necesitado 402 cm2
de tela.
En el depósito de la maqueta caben
283 cm3 de arena.
Hallar:
a) La superficie total del polideportivo.
b)El volumen del depósito.
c) La superficie y el volumen de
la carpa, en la realidad.
Ejercicio resuelto
Dimensiones en la realidad:
polideportivo °¢ °
£ ¢£ ¢
Largo = 30 cm Ò 500 = 15 000 cm = 150 m
Ancho = 18 cm Ò 500 = 9 000 cm = 90 m
depósito °¢ °
£ ¢£ ¢
Radio = 3 cm Ò 500 = 1 500 cm = 15 m
Altura = 10 cm Ò 500 = 5 000 cm = 50 m
carpa: Radio = 8 cm Ò 500 = 4 000 cm = 40 m
a) Superficie del polideportivo = 150 m Ò 90 m = 13 500 m2
b) Volumen del depósito = πr2h = π · 152 · 50 = 35 342,9 m3
También se puede calcular a partir del volumen del depósito en la maqueta:
Vdepósito real = Vdepósito maqueta · 500
3 = 283 cm3 · 5003 =
= 35 375 000 000 cm3 = 35 375 m3
c) Superficie de la carpa = 12
4πr2 = 2π · 402 = 10 053,1 m2
También se puede calcular a partir de la superficie en la maqueta:
Scarpa real = Scarpa maqueta · 500
2 = 402 cm2 · 5002 =
= 100 500 000 cm2 = 10 050 m2
Volumen de la carpa = 12
· 43
πr3 = 23
π403 = 134 041,3 m3
LUNA SOL
68 2 Semejanza de triángulos
Teorema de Tales
Si las rectas a, b y c son paralelas y cortan a otras dos rectas r y s, entonces
los segmentos que determinan en ellas son proporcionales.
AB
BC
= A’B’
B’C’
Como consecuencia, se verifica: AB
A’B’
= BC
B’C’
= OA
OA’
También ocurre lo recíproco: si los segmentos AB y BC son proporcionales
a A’B’ y B’C’ y las rectas a y b son paralelas, entonces la recta c es paralela
a ellas.
El teorema de Tales sirve para estudiar la semejanza de triángulos.
Triángulos semejantes
a’
b’
c’
A’
B’
C’
a
b
c
A
B
C
Dos triángulos semejantes tienen:
• Sus lados proporcionales:
a
a’
= b
b’
= c
c’
= razón de semejanza
• Sus ángulos, respectivamente iguales:
A^ = A^’, B^ = B^’, C^ = C^’
Triángulos en posición de Tales
Los triángulos ABC y AB’C’ tienen un ángulo común, el A^. Es decir, el
triángulo pequeño está encajado en el grande.
Además, los lados opuestos a A^ son paralelos.
Decimos que esos dos triángulos están en posición de Tales.
Dos triángulos en posición de Tales son semejantes.
C
A
a
b
c
B
C’
O A’
s
r
B’
a’
a
B’
A C’
B
C
1 Las medidas de este dibujo son:
AB = 2,3 cm
BC = 1,5 cm
B’C’ = 2,4 cm
Aplica el teorema de Tales y calcula la longitud de A’B’.
2 Para aplicar el teorema de Tales, trazamos por A una
recta paralela a b y a c:
Calcula x.
Actividades
C
A
a
b
c
B
C’
A’
s
r
B’
C
A
b
c
B
C’
s
1,5 cm
4 cm x
2,5 cm
r
B’
69
La semejanza en los triángulos rectángulos
Los triángulos rectángulos son particularmente importantes, tanto desde el punto
de vista teórico como práctico. Por eso les vamos a dedicar una atención especial.
Empecemos por estudiar un criterio de semejanza muy fácil de aplicar.
Criterio de semejanza de triángulos rectángulos
Dos triángulos rectángulos son semejantes si tienen igual uno de sus ángulos
agudos.
Esto es así, pues con ese ángulo y el ángulo recto ya son dos los ángulos iguales y,
por tanto, también será igual el tercero.
Por ejemplo:
90° + 35° + a = 180°
90° + 35° + b = 180°
° ¢°
£¢
8 a = b
a b
35°
35°
Consecuencias del criterio de semejanza anterior
Todos los triángulos obtenidos al trazar perpendiculares a alguno de los lados
de un ángulo son semejantes.
Todos esos triángulos (ABO, A’B'O, A”B”O) son semejantes por tener el ángulo
a común.
Por tanto, sabemos, sin más comprobación (por el criterio anterior), que sus
lados son proporcio nales .
OA
OB
= OA’
OB’
= OA”
OB”
AB
OB
= A’B’
OB’
= A”B”
OB”
En un triángulo rectángulo, la altura sobre la hipotenusa determina dos triángulos
semejantes al original.
En la figura II encontramos tres triángulos rectángulos: ABC, AMB y AMC.
— ABC y AMB son semejantes por compartir el ángulo B^.
— ABC y AMC son semejantes por compartir el ángulo C^.
A
A’
O B B’ A”
a
B”
I
A
C M B
a
b
m n h
c
II
En el triángulo rectángulo ABC conocemos
AB = 9 cm y AC = 26 cm.
A 6 cm del vértice C cortamos el
triángulo CDE de forma que DE
sea paralela a AB. Halla el área del
trapecio ADEB.
Entrénate
A B
D E
C
6 cm
26 cm
9 cm
3
70
70 Veamos algunos ejemplos de aplicaciones del criterio de semejanza en triángulos
rectángulos.
1. Para medir la altura de un edificio,
Miguel se sitúa de modo
que ve alineados la parte alta
de la verja y la del edificio. Señala
su posición y toma las medidas
que se ven en el dibujo.
a) Explicar por qué los triángulos
ABC y ADE son semejantes.
b)Calcular ED y la altura del
edificio.
2. Hallar el volumen de un tronco
de cono de 9 cm de altura
sabiendo que los radios de sus
bases miden 20 cm y 8 cm.
Problemas resueltos
1.
2 m
1,6 m
7 m
3 m
B
A
C
E
D
a) Los triángulos ABC y ADE son semejantes por ser rectángulos con un
ángulo agudo igual, A^.
b) ED
CB
= AD
AB
8 ED
3 – 1,6
= 2 + 7
2
8 ED = 9 · 1,4
2
= 6,3 m
La altura del edificio es 6,3 + 1,6 = 7,9 m.
2. Ampliamos el tronco hasta
completar un cono. Llamamos
x al incremento de la altura.
Tenemos en cuenta la semejanza
de los dos triángulos: el
pequeño, de catetos 8 y x; y el
grande, de catetos 20 y x + 9:
x
8
20
9
x8
= x + 9
20
8 20x = 8x + 72 8 12x = 72 8 x = 6 cm
El volumen del tronco de cono es la diferencia de volúmenes de dos conos:
Vtronco V = 13
π · 202 · (9 + 6) – 13
π · 82 · 6 = 13
π (6 000 – 384) = 5 881,06 cm3
1 Calcula la altura de un árbol que proyecta una sombra
de 7,22 m en el momento en que un poste de
1,60 m da una sombra de 67 cm.
2 Halla los lados del triángulo
ABC. 5 cm
4 cm
8 cm
B
D
A C
E
3 En el mismo instante y lugar de la actividad 4, ¿qué
longitud tendrá la sombra de un edificio que mide
32 m de altura?
4 Si la altura de Rita es
1,65 m, ¿cuál es la altura
de la farola?
Actividades
1,5 m
1,65 m
2,5 m
6
4 Homotecia y semejanza
Cada punto de la figura azul (por ejemplo,
el A) se ha transformado en un
punto de la roja (A’ ) que cumple las
condiciones:
• O, A y A’ están alineados.
• OA’ = 2 · OA
A’
B’
D’
C’
A
O
B
D
C
Es una homotecia de centro O y razón 2.
La homotecia es una transformación que produce figuras semejantes. La razón de
semejanza es igual a la razón de homotecia. Si dos figuras son homotéticas, sus
segmentos correspondientes son paralelos.
Observa cómo se aplica la homotecia para construir un rectángulo áureo a partir
de una hoja A-4, teniendo en cuenta que el D.N.I. es un rectángulo áureo.
A-4
NOMBRE
P APELLIDO
S APELLIDO
Recuerda que un rectángulo se llama áureo si su lado
mayor se obtiene multiplicando el menor por F. El
número F = √5 + 1
2
se llama número áureo. 1
F
En el dibujo de la izquierda se ve cómo un chico ayuda a una chica a “tapar” la
luna con una moneda. En esa situación, la moneda y el disco de la Luna son figuras
homotéticas. Es una homotecia en el espacio, pues los discos están en planos
distintos. El centro de la homotecia es el ojo de la chica.
Observa cómo utiliza la chica de
la derecha este mismo procedimiento
para comprobar si “aquella
ventana que ve allí enfrente” es
un rectángulo áureo: la compara
con su D.N.I., mediante una homotecia
con centro en su ojo.
1 En el procedimiento descrito arriba para obtener una hoja de papel con dimensiones
áureas a partir de una A-4 y con la ayuda del D.N.I., se aplica una homotecia. ¿Cuál es
su centro? ¿Y su razón?
NOMBRE
P APELLIDO
S APELLIDO
Actividades
Se llama homotecia de centro O y
razón k a una transformación que
hace corresponder a cada punto P
otro P’ tal que:
• O, P y P’ están alineados.
• OP’ : OP = k
• °¢ °
£ ¢£ ¢
Si k > 0,
Si k < 0,
O P P’
P’ O P
Dos figuras homotéticas son semejantes
de razón |k|.
Definición
72 Ejercicios y problemas
Consolida lo aprendido utilizando tus competencias
■ Practica
Figuras semejantes
1 ¿Cuáles de estas figuras son semejantes? ¿Cuál
es la razón de semejanza?
F1 F2 F3
2 a) ¿Son semejantes los triángulos interior y exterior?
b) ¿Cuántas unidades medirán
los catetos de un triángulo
semejante al menor cuya razón
de semejanza sea 2,5?
3 Una fotografía de 9 cm de ancha y 6 cm de
alta tiene alrededor un marco de 2,5 cm de ancho.
¿Son semejantes los rectángulos interior y exterior
del marco? Responde razonadamente.
4 Un joyero quiere
reproducir un broche
como el de la figura
duplicando su
tamaño.
1 cm
a) Haz un dibujo de la figura ampliada.
b) Calcula su superficie.
5 Un rombo cuyas diagonales miden 275 cm y
150 cm, ¿qué área ocupará en un plano de escala
1:25?
6 Una maqueta está hecha a escala 1:250.
Calcula:
a) Las dimensiones de una torre cilíndrica que en la
maqueta mide 6 cm de altura y 4 cm de diámetro.
b) La superficie de un jardín que en la maqueta
ocupa 40 cm2.
c) El volumen de una piscina que en la maqueta
contiene 20 cm3 de agua.
7 En un mapa de escala 1:1 500 000, la distancia
entre dos poblaciones es de 2 cm.
a) ¿Cuál es la distancia real?
b) ¿Qué distancia habrá en el plano entre dos ciudades
que distan 180 km?
8 Esta figura es el logotipo de una empresa
automovilística. Quieren reproducirlo de forma
que ocupe 54 cm2 de superficie. ¿Cuáles serán sus
dimensiones? Dibújalo.
1 cm
9 ¿Cuánto medirán los lados de un trapecio semejante
al de la figura, cuyo perímetro sea 163,2 cm?
21 cm
8 cm
12 cm
10 cm
10 a) Copia esta figura en tu cuaderno y amplíala
al doble tomando O como centro de homotecia.
b) Redúcela a 1/3 tomando A como centro de homotecia.
A
B
C
D
O
11 Halla el centro y la razón de homotecia que
transforma la figura ABCDE en A’B'C’D'E’.
A’ E’
B’ D’
C’
E
C
B D
A
73
Semejanza de triángulos
12 El perímetro de un triángulo isósceles es
49 m y su base mide 21 m. Halla el perímetro de
otro triángulo semejante, cuya base mide 4 m.
¿Cuál es la razón de semejanza entre el triángulo
mayor y el menor?
13 En el triángulo ABC hemos trazado DE
paralelo a CB.
18 cm
12 cm
7 cm 10 cm
A
C B
D E
¿Por qué son semejantes los triángulos ABC y
ADE ? Calcula AC y AB.
14 ¿Por qué son semejantes
los triángulos ABC
y AED?
Halla el perímetro del trapecio
EBCD. A
C
D
E
B
6 cm
10 cm
17 cm
15 Observa esta figura, en la que el segmento
AB es paralelo a CD.
C
B
A
O y D
x 10,6 cm
8,5 cm
6 cm
7,2 cm
a) Di por qué son semejantes los triángulos OAB y
ODC.
b)Calcula x e y.
16 En un triángulo rectángulo, la relación entre
los catetos es 3/4. Halla el perímetro de otro triángulo
semejante en el que el cateto menor mide
54 cm.
17 La razón de semejanza entre dos triángulos es
2/5. Si el área del mayor es 150 cm2, ¿cuál es el
área del menor?
18 El perímetro de un triángulo isósceles es 64 m,
y el lado desigual mide 14 m. Calcula el área de un
triángulo semejante cuyo perímetro es de 96 m.
■ Aplica lo aprendido
19 En una carretera de montaña,
nos encontramos una señal que nos
advierte que la pendiente es del 8%;
es decir, por cada 100 m que recorremos,
el desnivel es de 8 m.
8%
a) ¿Cuál es el desnivel que se produce cuando recorremos
3 km?
b) Para que el desnivel sea de 500 m, ¿cuántos kilómetros
tendremos que recorrer?
20 Esta figura representa,
a escala 1:2 000, una parcela
de terreno. Calcula su perímetro
y su área, tomando
las medidas necesarias.
21 Dos triángulos ABC y PQR son semejantes.
Los lados del primero miden 24 m, 28 m y
34 m. Calcula la medida de los lados del segundo
triángulo sabiendo que su perímetro es 129 m.
22 Los lados mayores de dos triángulos semejantes
miden 8 cm y 13,6 cm, respectivamente. Si el
área del menor es 26 cm2, ¿cuál es el área del mayor?
■ Resuelve problemas
23 ¿Cuál es la profundidad de un pozo, si su anchura
es 1,2 m y alejándote 0,8 m del borde, desde
una altura de 1,7 m, ves que la visual une el borde
del pozo con la línea del fondo?
24 Entre dos pueblos A y B hay una colina. Para
medir la distancia AB, fijamos un punto P desde el
que se ven los dos pueblos y tomamos las medidas:
A B
M N
P
AP = 15 km, PM = 7,2 km y MN = 12 km.
(MN es paralela a AB). Calcula la distancia AB.
74
Ejercicios y problemas
Consolida lo aprendido utilizando tus competencias
25 Una lámpara situada a 25 cm de una lámina cuadrada
de 20 cm de lado, proyecta una sombra sobre
una pantalla paralela que está a 1,5 m de la lámpara.
¿Cuánto mide el lado del cuadrado proyectado?
26 Queremos construir un ortoedro de volumen
36 015 cm3 que sea semejante a otro de dimensiones
25 Ò 15 Ò 35 cm. ¿Cuánto medirán sus aristas?
27 Para hacer un embudo de boca ancha, hemos
cortado un cono de 5 cm
de radio a 3 cm del vértice.
La circunferencia obtenida
tiene 2 cm de radio.
Halla el volumen del embudo.
3 cm
5 cm
28 Hemos recubierto con un tejado
cónico un depósito cilíndrico
de 4 m de radio y 14,4 m de altura.
Si el radio del cono es 10 m, ¿cuál
es el volumen de la zona comprendida
entre el cono y el cilindro?
29 La base de una escultura tiene forma de tronco
de pirámide cuadrangular regular
en el que los lados de las
bases miden 80 cm y 140 cm, y
su altura, 150 cm. Halla su volumen.
140 cm
150 cm
80 cm
30 Halla el volumen de una
maceta como la de la figura, en
la que los radios de las bases miden
6 cm y 14 cm, y la generatriz,
30 cm. 6 cm
14 cm
30 cm
¿Manejas la semejanza de figuras para obtener medidas
de una a partir de la otra?
1 Queremos hacer una maqueta de un jardín rectangular
a escala 1:400. Su perímetro es de 850 m, y su
área, de 37 500 m2. ¿Cuáles serán estas medidas en la
maqueta?
¿Conoces las condiciones que se deben comprobar
para asegurar que dos triángulos son semejantes?
2 Comprueba si son semejantes dos triángulos ABC y
A’B'C’ que cumplen las condiciones siguientes:
a) AB = 10, BC = 18; CA = 12
A’B’ = 25; B’C’ = 45; C’A’ = 30
b) AB = 20; BC = 30; CA = 40
A’B’ = 40; B’C’ = 50; C’A’ = 60
c) A^ = 58°; B^ = 97°
A^’ = 58°; C^’ = 35°
¿Utilizas con soltura la semejanza para resolver problemas?
3 Álvaro debe situarse a 3 m de un charco para ver la
copa de un árbol reflejada en él. Si la distancia del
charco al árbol es de 10,5 m y la estatura de Álvaro es
de 1,72 m, ¿cuál es la altura del árbol?
4 Un centro comercial P está situado
entre dos vías paralelas r
y s. Se quiere unir, mediante
carreteras, con las poblaciones
A, B, C y D. Con los datos de
la figura, calcula x e y.
6 km10 km
B
x
y
D r
s
P
C 6,75 km
A 9 km
5 Un florero tiene forma de tronco
de pirámide de bases cuadradas
de 8 cm y 12 cm de lado, y altura
16 cm. Calcula su volumen.
8 cm
12 cm
16 cm
Autoevaluación
RAC T I C A
F i g u r a s s e m e j a n t e s
1 ¿Cuáles de estas figuras son semejantes? ¿Cuál es la razón de semejanza?
F1 es semejante a F3. La razón de semejanza es .
2 a) ¿Son semejantes los triángulos interior y exterior?
b)¿Cuántas unidades medirán los catetos de un triángulo semejante al menor
cuya razón de semejanza sea 2,5?
a) No. La razón entre los catetos es en el interior y en el exterior.
b) 2 · 2,5 = 5
3 · 2,5 = 7,5
Los catetos medirán 5 y 7,5 unidades.
3 Una fotografía de 9 cm de ancha y 6 cm de alta tiene alrededor un marco
de 2,5 cm de ancho. ¿Son semejantes los rectángulos interior y exterior del
marco? Responde razonadamente.
6 ? 8 No son semejantes.
9
11
14
11
6
14
9
5
7
2
3
3
2
F1 F2 F3
P
Unidad 6. La semejanza y sus aplicaciones