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Entendamos el límite de una función; como aquel valor al que tiende una función, conforme su variable independiente se aproxima a otro.
Algunos límites de funciones trigonométricas, son un aporte valioso para el cálculo de funciones más complejas. Los principales límites trigonométricos a utilizar son:…
Se dice que una función es continua en un intervalo abierto si sólo si es continua en cada número del intervalo abierto.
Un límite en geometría
Se inscribe un polígono regular en un círculo, la diferencia entre el perímetro del polígono y la circunferencia del circulo puede hacerse tan pequeña como se quiera con sólo tomar un polígono de suficiente número de lados. La figura límite es el círculo, el área límite. El área del círculo.

En estos ejemplos no hay dificultad alguna para determinar el límite; sin embargo, esto es la excepción y no la regla. Por lo general, se requieren formidables procedimientos matemáticos
para determinar el límite de una cantidad variable.
Consideremos esto: trácese un círculo de radio igual a la unidad; inscríbase en él un triángulo equilátero.
En este triángulo inscríbase otro círculo; en el segundo círculo, un cuadrado. Continúese con un círculo en este cuadrado y sígase con un pentágono regular inscrito en el nuevo círculo. Repítase este procedimiento, aumentando cada vez, en uno más, el número de lados del polígonos regular. (Fig.1)
A primera vista, uno podría suponer que los radios de los círculos, que van desminuyendo, se aproximan a cero como valor límite. Pero no es así; los radios convergen a un valor límite definido, distinto de cero.

Como guía explicatoria, sólo debe recordarse que el proceso de reducción mismo, se aproxima a un límite a medida que los círculos, y los polígonos inscritos llegan a ser aproximadamente iguales.

El valor límite de los radios está dado por el producto infinito al cuadrado (Fig.2).

Estrechamente vinculado con este problema, es el de circunscribir los polígonos regulares y los círculos en lugar de inscribirlos.

Aquí parecería que los radios debieran crecer superando todo límite, hasta hacerse infinitos. Esto también es engañoso, puesto que los radios de los círculos resultantes se aproximan a un valor límite dado por el producto infinito:

Y, lo que bastante interesante, los dos radios límites están relacionados entre sí de tal manera que uno es el recíproco del otro.


ObjetivoS:
* Definir y aplicar el límite de una función.
* Demostrar y conocer sus aplicaciones.

Un límite en geometría
Se inscribe un polígono regular en un círculo, la diferencia entre el perímetro del polígono y la circunferencia del circulo puede hacerse tan pequeña como se quiera con sólo tomar un polígono de suficiente número de lados. La figura límite es el círculo, el área límite. El área del círculo.

En estos ejemplos no hay dificultad alguna para determinar el límite; sin embargo, esto es la excepción y no la regla. Por lo general, se requieren formidables procedimientos matemáticos
para determinar el límite de una cantidad variable.
Consideremos esto: trácese un círculo de radio igual a la unidad; inscríbase en él un triángulo equilátero.
En este triángulo inscríbase otro círculo; en el segundo círculo, un cuadrado. Continúese con un círculo en este cuadrado y sígase con un pentágono regular inscrito en el nuevo círculo. Repítase este procedimiento, aumentando cada vez, en uno más, el número de lados del polígonos regular. (Fig.1)
A primera vista, uno podría suponer que los radios de los círculos, que van desminuyendo, se aproximan a cero como valor límite. Pero no es así; los radios convergen a un valor límite definido, distinto de cero.

Como guía explicatoria, sólo debe recordarse que el proceso de reducción mismo, se aproxima a un límite a medida que los círculos, y los polígonos inscritos llegan a ser aproximadamente iguales.

El valor límite de los radios está dado por el producto infinito al cuadrado (Fig.2).

Estrechamente vinculado con este problema, es el de circunscribir los polígonos regulares y los círculos en lugar de inscribirlos.

Aquí parecería que los radios debieran crecer superando todo límite, hasta hacerse infinitos. Esto también es engañoso, puesto que los radios de los círculos resultantes se aproximan a un valor límite dado por el producto infinito:

Y, lo que bastante interesante, los dos radios límites están relacionados entre sí de tal manera que uno es el recíproco del otro.
Concepto del Límite
Dada una función y F=(x), el límite de F(x) cuando x se aproxima o tiende a un valor h, es el valor hacia donde se aproxima la función.

Ejemplo 1 :
Sea F(x)=x2+3 cuando x tiende a 2 (observa el cuadro adjunto) , F(x) tienda a 7.

EJEMPLO 2 :
* En la figura se muestra el gráfico de:

* Note que : f(2) = 7

ahora tabulemos con algunos valores cercanos a 2 :

* Note cuando “x” se aproxima a 2; f(x) se aproxima a 7, esto va a significar que el límite sea f(x) cuando “x” tiende a 2 es igual a 7; lo cual se va representar así:

* En una función trigonométrica , también podemos analizar:

* Es decir:

* Ahora bien, si tenemos en cuenta el gráfico siguiente; tenemos que cuando:

* Se define los límites laterales:

* Ahora bien, para que el exista, los límites laterales deben existir y ser iguales;
* Es decir:

OBSERVACIÓN :
Si los límites laterales son diferentes, el no existe .

Por ejemplo:

Entendamos entonces el límite de una función; como aquel valor al que tiende una función, conforme su variable independiente se aproxima a otro.

Recordemos algunas propiedades sobre límites de funciones :

7) Teorema del emparedado :
Si:
(en un intervalo abierto que contiene a “x0”)

Ejemplo :
Calcular:

RESOLUCIÓN :
* Sabemos que :

* Entonces :

* Observa :

* Aplicando el teorema anterior se deduce:

Límites Trigonométricos
Algunos límites de funciones trigonométricas, son un aporte valioso para el cálculo de funciones más complejas. Los principales límites trigonométricos a utilizar son:

* Demostración de:

* Observa que: MP = senx ; AQ = tanx

* Además el arco AP = x
Se deduce del gráfico que:

* Se divide a toda la expresión por senx, obteniendo:

* Calculando el límite:

* Entonces:

* La gráfica de la función f, con regla de correspondencia.

, se muestra a continuación

* A partir de los límites anteriores se puede deducir los siguientes:

ejemploS :

Límites de Funciones Trigonométricas Inversas

EJEMPLOS :

CONTINUIDAD DE FUNCIONES
I) Continuidad en un Punto
Se dice que una función f es continua en “a” si y sólo si se cumple las tres condiciones siguientes:

Si una o más de estas tres condiciones no se cumple en “a”, entonces se dice que la función f es discontínua en “a”.

* Por ejemplo , en los Gráficos.

* También tenemos
Si f y g son dos funciones continuas en el número “a”, entonces:

* f + g es continua en “a”.
* f – g es continua en “a”.
* f×g es continua en “a”.
* f/g es continua en “a” ; g(a)0

II) Continuidad en un Intervalo :
Se dice que una función es continua en un intervalo abierto si sólo si es continua en cada número del intervalo abierto.
* Una función f es continúa en el intervalo cerrado [a ; b], si es continua en el intervalo abierto y además:

La función f se dice que es continua por la derecha en “a” y continúa por la izquierda en “b”.

Definiciones Análogas:
Cubren el caso de intervalos semi-intervalos de la forma < a ; b] ó [a ; b> ó intervalos infinitos.
EJEMPLOS :
Sobre continuidad de funciones:
I) ¿La función f(x) es continua en ?

RESOLUCIÓN :
* Analizando las condiciones de continuidad en un punto.

* Dado que estos valores son diferentes, esta condición no se cumple , no es continua en , luego se dice f es discontinua en , luego llamado también discontinua no removible o discontinua esencial.

PROBLEMA 1:
Calcular:

A)1 B)0 C) + D)– E)p
RESOLUCIÓN :
* De :

Rpta : “A”

PROBLEMA 2 :
Calcular:

A)2 B)5 C)10 D)7 E)6

RESOLUCIÓN :
* En el límite:

Rpta : “B”
PROBLEMA 3 :
Calcular:

A)1 B)0 C)0,5 D)2 E)

RESOLUCIÓN :
* De:

Rpta : “c”
PROBLEMA 4:

Calcular:

A)1 B)2 C)3 D)4 E)5

RESOLUCIÓN:
* De:

* Desdoblando en fracciones homogéneas:

Rpta : “C”

PROBLEMA 5 :
Determina el valor aproximado cuando x está

muy próxima a .

A)1 B)–1 C)0 D) E)2

RESOLUCIÓN :
* Se pide :Evaluando, tendremos : ….

* Luego:

* Finalmente:

Rpta : “B”
PROBLEMA 6 :
Calcular:

A)5 B)10 C)100 D)20

RESOLUCIÓN :
* En la expresión:

* Desdoblando el límite:

Rpta : “B”
PROBLEMA 7:
Calcular :

A)1 B) C) 2 D) E)2

RESOLUCIÓN :

Rpta : “D”

PROBLEMA 8 :
Calcular:

A)5 B)2 C)0,4 D)2,5

RESOLUCIÓN :
* En la expresión:

* Dando forma a la expresión para aplicar propiedad:

* Desdoblando el límite:

Rpta : “D”
PROBLEMA 9 :

A)1 B)2 C) D) 4 E)6
RESOLUCIÓN :

Rpta : “C”
PROBLEMA 10:
Calcular:

A)12 B)8 C)24 D)10
RESOLUCIÓN :
* En la expresión:

* Transformando a producto el numerador:

* Desdoblando el límite:

Rpta : “C”
PROBLEMA 11 :

A)1 B)2 C)3 D)4 E)0

RESOLUCIÓN :
* De :

Rpta : “B”
PROBLEMA 12 :
Calcular:

A)2 B)4 C)6 D)8

RESOLUCIÓN :
* De la expresión:

* Transformando a producto el numerador:

* Ordenando:

Rpta : “B”
PROBLEMA 13 :
El verdadero valor de , para: x = 360°, es:

A)0 B)1 C)2 D)3 E)N.A.

RESOLUCIÓN:
* Evaluando la expresión para: x = 360° , tenemos:

* Luego, dándole la forma siguiente, obtendremos:

* Ahora :

* Evaluando una vez más tendremos:

Rpta : “A”
PROBLEMA 14 :
Si x se aproxima a entonces la expresión.
se aproxima a :

RESOLUCiÓN :
Considerando a E para cuando , se encuentra la indeterminación de la forma , luego reduciendo E.

* Luego tomando límite y evaluando :

RPTA : ‘‘C’’
PROBLEMA 15 :
Calcular:

A)9 B)10 C)25 D)625 E)100
RESOLUCIÓN :
* Recuerde que :

* Luego en la expresión:

* Por propiedad :

Rpta : “A”
PROBLEMA 16 :
Calcular:

RESOLUCIÓN :
* De:

Rpta : “E”

PROBLEMA 17 :
Calcular:

A)2 B)4 C)6 D)8

RESOLUCIÓN:
* En la expresión:

Rpta : “D”
PROBLEMA 18 :
Calcular:

A) 9 B) 2 C) 10 D) 18

RESOLUCIÓN :
* En la expresión , factorizando “tanx”

Rpta : “D”
PROBLEMA 19 :
Calcular:

A)1 B)-1 C)2 D)–2 E)
RESOLUCIÓN :
* Note que a diferencia de los ejercicios anteriores, “x” no tiende a cero, sino a /2;entonces la idea es hacer cambio de variable:
* Como :

* Luego:

* Recuerde que:

* Luego:

Rpta : “A”
PROBLEMA 20 :
Calcular:

A)2 B) C)2 D)0 E)

RESOLUCIÓN:
* Hacemos cambios de variable:

* Luego:

Rpta : “B”
PROBLEMA 21 :
Calcular:

A) B)2 C)4 D)

RESOLUCIÓN :
* Hacemos un cambio de variable:

* Luego :

Rpta : “B”
PROBLEMA 22 :
Calcular:

A)1 B)–1 C) D) E)no existe

RESOLUCIÓN :
Cuando hay valor absoluto, lo mejor es trabajar con límites laterales.

* Como:

Rpta : “E”

PROBLEMA 23 :
Calcular:

A)e B)e2 C)e-1 D)e-2 E)e3

RESOLUCIÓN :
* Para este tipo de problemas, debemos recordar que si: es de la forma: ; entonces se hace el siguiente cambio :

e: Base de los logaritmos neperianos.

* En el problema:

* Hacemos el cambio:

* En el limite:

* Reemplazando en (I):

Rpta : “B”
PROBLEMA 23 :
¿La siguiente función es continua en x=0?

RESOLUCIÓN :
* Investigando las condiciones:

* Debido a que la condición III no se cumple , “f” es discontinua en x=0 llamado también discontinuidad removible:

PROBLEMA 24 :
Si la siguiente función:

es continua en todo su dominio, calcular: J=A2 +B2
A) B) C)5 D)10

RESOLUCIÓN :
* Como es continua en todo su dominio, lo es en cada punto de él, así que vamos analizar en

; donde existe si sus límites
laterales son iguales
* Es decir:

: donde : existe si sus límites laterales son iguales

* Es decir

* Luego, de (I) y (II):

Rpta : “B”

Calcular:

A)1 B)2 C)3 D)4 E)5

Evaluar:

A)3/1 B)1/3 C)4/3 D)3/5 E)5/3

Evaluar:

A)1 B)–1 C)2 D)0 E)3

Hallar:

A)6 B)5 C)3 D)-6 E)7

Determinar:

A)1 B)2 C)3 D)4 E)-2

Calcular:

A)6 B)5 C)3 D)2 E)7
Hallar:

A)2/3 B)4/3 C)1/2 D)2/1 E)3/2

Calcular:

Hallar:

A)1/2 B)2/1 C)3/2 D)1/3 E)N.A.

Calcular:

A)3 B)2 C)1 D)0 E)4

Calcular:

A) –1 B)–2 C)0 D)1 E)2

Calcular:

Calcular:

Calcular:

Calcular:

A)0 B)1 C)–1 D)2 E)–2

Calcular:

A)0 B)1 C)1/2 D)-1/2 E)-1/4

Calcular:

A)4/3 B)8/3 C)16/3 D)1/3 E)2/3

A)5 B)10 C)20 D)15 E)40

A)2 B)4 C)6 D)8 E)12

A)2 B)–2 C)4 D)-4 E)-8

A)2 B)22 C)23 D)24 E)25

A)sen B)cos C)sen2 D)cos2 E)

A)sen2 B)2sen2 C)2cos2 D)2sen E)cos

A)1 B)2 C)3 D)-3 E)-1

* Evaluar los siguientes límites:

A)1 B)2 C)3 D)4 E)5

A)2 B)4 C)6 D)8 E)10

A)1 B)2 C)3 D)4 E)5

A)1 B)2 C)3 D)4 E)5

Calcule:

Calcule:

Sea:

Determine

A) B)1 C)0 D)2 E)-1

Calcule el siguiente límite

Determine el valor del siguiente límite

Siendo , determine
A) 2n+1 B)2n C)2n–1 D)n E)2

Siendo la función f definida por :

entonces el valor f, cuando x está muy próximo a cero será

Calcule

A) B) 1 C) 0 D) 2 E)4

Si determine el límite siguiente si existe

A) B) 1 C) 2 D) 0 E) –3
En la figura mostrada, calcule

A) 2 B) 1 C) 0 D) –1 E) 4

Calcule el verdadero valor de la siguiente diferencia, cuando x se aproxima a cero.

A) B) 0 C) D) 1 E) 2

Halle el valor del siguiente límite L, si

A) 2 B) 6 C) 10 D) 8 E) 2048
Siendo , halle el punto de intersección entre el eje de ordenadas y la recta tangente a la gráfica de f en el punto .

Una escalera de 8 m de largo está apoyada contra un muro vertical. Si su base es empujada horizontalmente lejos de la pared a , ¿con qué rapidez resbalará la parte superior de la escalera cuando rad ?

Calcule el valor aproximado de sen 30°45′.
Considere .

A) 0,501 B) 0,502 C) 0,509 D) 0,511 E) 0,522

Calcule a+b, a partir de la siguiente función

tal que si x está muy próximo a 0 entonces también f está muy próximo a 0.

En la figura mostrada, S representa el área de la región sombreada; además AOB es un sector circular con centro en O; AB=b y PM=h. Calcule

Halle el valor aproximado de la siguiente suma

Si los catetos de un triángulo ABC (B=90°) , miden y , siendo la medida del menor ángulo de dicho triángulo, halle la medida del mayor ángulo agudo aproximadamente.

Calcule el siguiente límite

A) 1 B) –1 C) D) 2 E) 0

Grafique la curva definida por las ecuaciones paramétricas dadas

! SABIAS QUE ¡
La aparición del análisis infinitesimal fue la culminación de un largo proceso, cuya esencia matemática interna consistió en la acumulación y asimilación teórica de los elementos del cálculo diferencial e integral y la teoría de las series. Para el desarrollo de este proceso se contaba con: el álgebra; las técnicas de cálculo; introducción a las matemáticas variables; el método de coordenadas; ideas infinitesimales clásicas, especialmente de Arquímedes; problemas de cuadraturas; búsqueda de tangentes… Las causas que motivaron este proceso fueron, en primer término, las exigencias de la mecánica, la astronomía y la física. En la resolución de problemas de este género, en la búsqueda de problemas generales de resolución y en la creación del análisis infinitesimal tomaron parte muchos científicos: Kepler, Galileo, Cavalieri, Torricelli, Pascal, Walis, Roberval, Fermat, Descartes, Barrow, Newton, Leibniz, y Euler.
El concepto de Cálculo y sus ramificaciones se introdujo en el siglo XVIII, con el gran desarrollo que obtuvo el análisis matemático, creando ramas como el cálculo diferencial, integral y de variaciones.
El cálculo diferencial fue desarrollado por los trabajos de Fermat, Barrow, Wallis y Newton entre otros.
Así en 1711 Newton introdujo la fórmula de interpolación de diferencias finitas de una función f(x); fórmula extendida por Taylor al caso de infinitos términos bajo ciertas restricciones, utilizando de forma paralela el cálculo diferencial y el cálculo en diferencias finitas. El aparato fundamental del cálculo diferencial era el desarrollo de funciones en series de potencias, especialmente a partir del teorema de Taylor, desarrollándose casi todas las funciones conocidas por los matemáticos de la época. Pero pronto surgió el problema de la convergencia de la serie, que se resolvió en parte con la introducción de términos residuales, así como con la transformación de series en otras que fuesen convergentes.

Junto a las series de potencias se incluyeron nuevos tipos de desarrollos de funciones, como son los desarrollos en series asintóticas introducidos por Stirling y Euler. La acumulación de resultados del cálculo diferencial transcurrió rápidamente, acumulando casi todos los resultados que caracterizan su estructura actual
Introducir el calculo integral, se logro con el estudio de J.Bernoulli, quien escribió el primer curso sistemático de cálculo integral en 1742. Sin embargo, fue Euler quien llevó la integración hasta sus últimas consecuencias, de tal forma que los métodos de integración indefinida alcanzaron prácticamente su nivel actual. El cálculo de integrales de tipos especiales ya a comienzos de siglo, conllevó el descubrimiento de una serie de resultados de la teoría de las funciones especiales. Como las funciones gamma y beta, el logaritmo integral o las funciones elípticas.
Este es el desarrollo las matemáticas han obtenido desde que el hombre vió la necesidad de contar, hasta nuestros días. Actualmente gran cantidad de matemáticos siguen en el desarrollo de las matemáticas denominadas matemáticas modernas, de donde sus conceptos son la base de la mayor parte de las ciencias actuales.
CONCLUSIONES
· La historia del cálculo, comienza desde que comenzó la historia del hombre, cuando este vio la necesidad de contar
· Han sido muchos los grandes matemáticos que han influido en el desarrollo que actualmente posee el calculo, igualmente que han sido muchas las culturas que han influido en sus avances
· Las matemáticas, actualmente son la base de todas las ciencias que maneja el hombre, debido a que su campo de acción cubre la totalidad de los conocimientos científicos.
BIBLIOGRAFÍA