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LOGICA PROPOSICIONAL EJERCICIOS Y PROBLEMAS RESUELTOS EN PDF Y VIDEOS


Frecuentemente los términos «lógico» e «ilógico» los utilizamos para indicar lo que es razonable en contraposición de lo que no es razonable. Evidentemente que estos términos tienen que ver con la lógica. Pero ¿qué es la lógica?
No trataremos de definir a la lógica porque de hacerlo. sería circunscribir su dominio o campo de aplicación. Simplemente diremos que la lógica se ocupa de examinar los diversos procedimientos teóricos y experimentales que se utilizan en la adquisición de conocimientos. Por lo tanto. la lógica estudia los procesos del pensamiento para descubrir los elementos racionales que la constituyen y las funciones que los enlazan. Igualmente la lógica indaga las relaciones mutuas y las influencias recíprocas que existen entre el pensamiento y la realidad representada por este pensamiento.
¿Por qué es necesario estudiar lógica?

LÓGICA PROPOSICIONAL
CONCEPTO
Estudio de la aseveración a través del lenguaje.
ENUNCIADO
Es toda frase u oración que se utiliza en el lenguaje común, por ejemplo:
• Lima es la capital del Perú.
• El doble de 3 es 5.
• ¿Qué hora es?
• ¡Auxilio!
• x + 2 = 7

ENUNCIADO CERRADO
O PROPOSICIÓN LÓGICA
Es toda expresión coherente que se caracteriza por el hecho de poseer un valor de verdad o veritativo, es decir si es verdadera (V) o falsa (F) sin ambigüedad en un determinado contexto.
Generalmente las proposiciones se denotan con letras minúsculas, como: p, q, r, s,…; por ejemplo:
• p : Lima es la capital del Perú ( V )
• q : El doble de 3 es 5 ( F )

Los mandatos, preguntas, exclamaciones, no son proposiciones lógicas, ya que no se pueden calificar de verdaderas o falsas.
Ejemplo: • ¿Qué hora es?
• ¡Auxilio!

ENUNCIADO ABIERTO
Es aquel enunciado que admite la posibilidad de convertirse en una proposición lógica, cuando cada variable asume un valor determinado. Ejemplo:

Si: x = 5 5 + 2 = 7 ( V )
Si: x = 3 3 + 2 ¹ 7 ( F )

CLASES DE PROPOSICIONES
1. Proposición Simple o Atómica
Es aquella proposición que nos expresa una sola idea.
Ejemplo:
• p : El acero es un metal
• q : 52 = 25

Se llaman conectivos lógicos a las palabras que sirven para enlazar proposiciones o cambiar el valor veritativo de una proposición.

2. Proposición Compuesta o Molecular
Es aquella proposición que expresa más de una idea o la negación de una proposición.
Ejemplo:
• Miguel Grau fue marino y peruano.
• La carpeta es de madera o metal

Los valores de verdad de una o más proposiciones se pueden esquematizar por medio de una tabla de verdad como:

PROPOSICIONES COMPUESTAS BÁSICAS
1. Negación (~)
Ejemplo:

2. Conjunción (Ù)
Ejemplo:

3. Disyunción
a. Inclusiva (débil)
Ejemplo:

b. Exclusiva (fuerte)
Ejemplo:

4. Condicional (®)
Ejemplo:

p : Antecedente
q : Consecuente

5. Bicondicional («)
Ejemplo:

ESQUEMAS PROPOSICIONALES
Generalmente las proposiciones estarán formadas por varias proposiciones simples generando un esquema proposicional.
Ejemplo:
• (p Ù ~ q) ® p
• (~ p Ú q) Ù (q ® r)
Ejemplo:
Halle la tabla de verdad de: (p Ú ~ q) ® q

JERARQUÍA DE LOS SIGNOS
DE PUNTUACIÓN:
• Coma: Menor jerarquía
• Punto y coma
• Punto
• Dos signos de puntuación: mayor jerarquía
Ejemplo: Formalizar la expresión:
“Si recibió su pago entonces comprará su TV, pero no recibió su pago y se fue triste”.
p : Recibió su pago
q : Compra su TV
r : Se fue triste
(p ® q) Ù ( ~ p Ù r)

TIPOS DE PROPOSICIÓN
1. Tautología
Un esquema proposicional es una tautología si al evaluar todas las posibles ordenaciones de los valores veritativos de las variables proposicionales que la componen siempre resulta verdadero.
Ejemplo:
Hallar la tabla de verdad de:

2. Contradicción
Es una contradicción si al evaluar todas las ordenaciones de los valores veritativos de las variables proposicionales que la componen resulta falso.
Ejemplo:
Hallar la tabla de verdad de:

3. Contingencia
Un esquema proposicional es una contingencia si su tabla de verdad contiene al menos un verdadero y al menos un falso.
Ejemplo:
Halle la tabla de verdad de:

EQUIVALENCIA LÓGICA
Se llama equivalencia lógica a toda bicondicional que sea una tautología, denotándose en tal caso:
Por ejemplo:

ESQUEMAS PROPOSICIONALES
LÓGICAMENTE EQUIVALENTES
Dos esquemas proposicionales se llaman equivalentes si sus tablas de verdad son idénticas:
Determinar si: A :
B :
son equivalentes.

LEYES DEL ÁLGEBRA PROPOSICIONAL
1. Idempotencia

2. Asociativa

3. Conmutativa

4. Distributiva

5. De D’Morgan

6. Absorción

7. De la condicional

Adicionales:

1. Si la proposición: es falsa, se afirma que la siguiente proposición:
es:
A) Verdadera
B) Falsa
C) No se afirma nada
D) Toma ambos valores de verdad
E) Faltan datos

2. Las letras p, q, r y s representan afirmaciones de las cuales sólo dos son verdaderas. Se sabe lo siguiente:
I. Si s es verdadera entonces q es verdadera.
II. Si q es verdadera entonces r es verdadera.
III. Si p es verdadera, entonces s es verdadera.
Las verdaderas son:
A) q, s B) p, s C) q, r
D) p, r E) p, q

3. Si la siguiente proposición compuesta:
es falsa; entonces, ¿cuáles de las siguientes afirmaciones son verdaderas?
I. p: tiene un solo valor de verdad.
II. s: puede ser verdadera.
III. r: es necesariamente verdadera.
A) Sólo I B) Sólo II C) Sólo III
D) I y III E) I y II

4. La subida del precio de la gasolina implica la subida de pasajes.
• La subida de pasajes implica el aumento del costo de vida.
• La crisis económica implica la subida de gasolina.
¿Cuáles no son correctas?
I. La crisis económica implica la subida de pasajes.
II. La subida del precio de la gasolina implica el aumento del costo de vida.
III. La subida del pasaje implica la crisis económica.
A) Sólo I B) Sólo III C) Sólo II
D) Sólo II y III E) Sólo I y III

5. Sabiendo que “p” y “q” son proposiciones con diferentes valores de verdad, además:

¿Cuáles son los valores de verdad en ese orden?
A) VVV B) VVF C) VFV
D) FVF E) FVV

6. Sabiendo que la proposición compuesta:

¿Cuántas son verdaderas?
A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 4

7. Simplificar:
A) q B) C) ~q
D) ~p E)

8. Indique cuáles son tautologías:
I.
II.
III.
A) I B) II y III C) III
D) II E) Todas

9. Si:

Simplifique y dé el equivalente del siguiente circuito lógico:

A) B)
C) D)
E)

10. Si el siguiente esquema es falso:

Indique el valor veritativo de p, q, m y r en ese orden.
A) VFFV B) VFVV C) VFFF
D) VVFF E) FVVF

1. Sean las proposiciones:
p: Eduardo estudia en la UNI.
q: Eduardo no es vendedor de periódicos.
r: Eduardo no desayuna.
Simbolice el siguiente enunciado y luego simplifíquelo: Es suficiente que Eduardo no sea vendedor de periódicos o no tome desayuno para que no estudie en la UNI. Pero si estudia en la UNI entonces es vendedor de periódicos.
A) B)
C) D)
E)

2. Dado el siguiente esquema molecular:

Si elaboramos su tabla de verdad, calcule la diferencia entre el número de verdaderos y el número de falsos de su matriz principal.
A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 0

3. Si la proposición “s” es falsa y el siguiente esquema: es una tautología, entonces los valores de verdad de p, q y r son respectivamente:
A) FVV B) VFF C) FVF
D) FFF E) VVV

4. Se define:

Al simplificar la expresión:

Obtendremos:
A) p B) C)
D) E)

5. Si:

Simplifique:

A) p B) ~p C) q
D) E)

6. ¿Cuáles de las siguientes proposiciones son tautológicas?
I.
II.
III.
Si además , indica “no p y no q”.
A) I B) II C) III
D) II y III E) Todas

7. Exprese la siguiente proposición compuesta a su equivalencia condicional más simple:

A)
B)
C)
D)
E)

8. Simplifique la siguiente proposición a su equivalencia más simple:
A) B) Verdadero
C) Falso D)
E) ~q

9. Si el enunciado: “Si hay dinero pero hay inflación entonces es suficiente que no haya trabajo, para que se tenga dinero”, es falso: concluimos que:
A) No hay dinero
B) No hay inflación
C) No hay inflación y sí dinero.
D) No hay trabajo.
E) Hay trabajo y dinero.

10. Al simplificar:

se obtiene:
A) ~q B) ~p C) ~t
D) E)
objetivos :
• Reconocer una proposición lógica.
• Clasificar las proposiciones lógicas.
• Manejar las tablas de verdad.
• Evaluar los esquemas proposicionales.
• Deducir las leyes de la lógica proposicional.
La Lógica es, probablemente, una de las ciencias de mayor importancia para la civilización humana. El desarrollo que ha alcanzado en este último siglo y principalmente estas últimas décadas, la ha convertido en el imprescindible referente del desarrollo científico y tecnológico del mundo contemporáneo.

LÓGICA: Estudia los métodos para determinar la validez del razonamiento.
ENUNCIADO: Expresión literal o matemática.
• ¡Qué miedo! • Yo ingresé
• x + y = xy

PROPOSICIÓN: Enunciado que tiene la cualidad de ser verdadero (V) o falso (F).
• Año 2000 fue el fin …………. (F)
• x = 2x ® x = 0 ……………… (V)

CLASES DE PROPOSICIONES:

I. Simple (Atómicas): Aquellas que tiene un sujeto y un predicado (no llevan conectivos lógicos).

Conectivos Lógicos: Símbolos que enlazan proposiciones simples, sin formar parte de ellas. Los que usaremos serán:
• Conjunción
• Disyunción
• Condicional
• Bicondicional
• Negación

II. Proposiciones Compuestas:
(Moleculares): Combinación de 2 o más proposiciones simples, enlazadas por medio de conectivos.

A) Conjuntivas : Cuando el conectivo es de la forma “y”, “pero”, “también”, “sin embargo”, “además”, “no obstante”, “aunque”, “a la vez” … etc.
Ejm.:

B) Disyuntiva Débil : O inclusiva, se presenta cuando es posible que sus miembros componentes sean aceptados a la vez.
Ejm.:

C) Disyunción Fuerte: O exclusiva, se presenta cuando sólo uno de sus miembros puede ser aceptado, el otro queda inválido. Ejemplo:

D) Bicondicional: Cuando el conectivo es de la forma: “si y sólo si”, “si solamente si”, “cuando y sólo cuando”, “entonces y sólo entonces”.
Ejemplo.:

E) Condicional:
1) Directa:

Ejm.:

2) Indirecta:

Ejm.:

F) En caso de negación:
1) Ligada:
Ejm.:

2) Libre: :
Cuando afecta a proposiciones compuestas.
“Es falso que”, “no es cierto que”, “es imposible que”, … etc.

Ejm.:

3) Binegación:
Negación conjunta, es decir, conjunción de negaciones y se identifica con el término “ni”.

Ejm.:

REPRESENTACIÓN SIMBÓLICA DE LAS PROPOSICIONES
Representación de las proposiciones y sus enlaces mediante variables (p, q, r, …) y conectivas (, , , ,, …)

• Si encuentro trabajo y ahorro, viajaré a Miami

JERARQUÍA DE LOS SIGNOS DE PUNTUACIÓN

• Si no apruebas o no resuelves este problema, entonces es falso, que, hayas estudiado o domines la deducción lógica.

TABULACIÓN DE ESQUEMAS PROPOSICIONALES
• A través de tablas
• A través del método abreviado
• A través de la forma normal conjuntiva (F.N.C.)

Método de las tablas: (Ejemplo ilustrado)

PROPOSICIONES EQUIVALENTES
A y B son equivalentes cuando unidos por la bicondicional es una tautología
Ejemplo:

CIRCUITOS CONMUTADORES
Son circuitos eléctricos que constan de interruptores para el paso de la corriente eléctrica. Si p y q son interruptores que dejan pasar la corriente, entonces no dejarán pasar la corriente; éstos se podrán colocar ya sea en serie o en paralelo.

1. Hallar la tabla de verdad de:

Resolución:

Resultado Final: FFFF (Contradicción)

2. Al resolver la tabla de verdad de:

Indicar el resultado de la matriz principal.

Resolución:

3. Se definen las proposiciones:

Además la proposición

es verdadera. Halle los valores de verdad de “p”, “q”, “r”.
Resolución: Reemplazando tenemos:

4. Si es falsa, determinar el valor de: p, q y r.
Resolución:

5. Si la proposición compuesta:

Es verdadera. Hallar el valor de la verdad de las proposiciones: “r”, “p” y “q” respectivamente.

Resolución:

1. Formalizar: “Si luchas por triunfar, entonces triunfarás, sin embargo no luchas por triunfar”.
A) B)
C) D)
E)

2. Si la proposición: es falsa, entonces se puede afirmar que:
I. “p” es necesariamente verdadera.
II. “r” es necesariamente verdadera.
III. “s” puede ser verdadera.
A) sólo I B) sólo II C) sólo I y III D) II y III E) sólo III

3. Sabiendo que la proposición “p” es verdadera, ¿en cuáles de los siguientes casos es suficiente dicha información para determinar el valor de verdad de las siguientes proposiciones?
I.
II.
III.
A) sólo I B) sólo II C) I y II
D) I y III E) todas

4. Hallar el equivalente de:

Rpta.:

5. Si la proposición: es verdadera, entonces determine los valores de verdad de p, q, r y s. Además: es falso.

Rpta.:

6. Se define
Además la proposición:

es falsa. Halla los valores de verdad de “p”, “q” y “r”

Rpta.:

7. Si la proposición

es verdadera, halle los valores de verdad de cada una de las proposiciones (p; q; r: s)

Rpta.:

8. Determine si las siguientes proposiciones son leyes lógicas (tautologías)
A) B)

Rpta.:

9. Al resolver la tabla de verdad del siguiente esquema:

Indica el resultado de la matriz principal.

Rpta.:

10. Determinar si el siguiente esquema es Tautológico, Contradictorio o Contingente:

Rpta.:

1. Simboliza: “Como la materia no se crea ni se destruye, sólo se transforma, luego el universo siempre ha existido”
A)
B)
C)
D)
E)

2. Formalizar: Para Epicuro la filosofía es inútil si no cicatriza las enfermedades del alma.
A) B)
C) D)
E)

3. Simbolizar: “Giordano Bruno, el Nolano, fue denunciado por la Inquisición y muerto en la hoguera en 1600, puesto que era un copernicano convencido”
A) B)
C) D)
E)

4. Formaliza: “Pico es representante del neoplatonismo, Picino también; además Pico fue maestro de la academia de Florencia”
A) B)
C) D)
E)

5. Simboliza: “Miguel Grau, el caballero de los mares, mantuvo en jaque a la flota chilena en su primer momento de la Guerra del Guano y del Salítre”
A) B) p C) D) E)
6. Formaliza: “Holbach y Helvetius son pensadores materialistas en vista que consideran a la naturaleza como frente de toda realidad”
A) B)
C) D)
E)

7. ¿Cuántas variables se emplean para simbolizar: “Perú, país limítrofe con Chile y Ecuador, explota también su riqueza turística”?
A) 1 B) 2 C) 3
D) 4 E) 5

8. ¿Con cuántas variables se simboliza: “La Lógica, que es una ciencia formal, estudia las inferencias para determinar su validez”?
A) 1 B) 2 C) 3
D) 4 E) 5

9. Simboliza: “El tiempo que tomamos en llegar es inversamente proporcional al tiempo que tardamos en regresar”
A) B)
C) D) p
E)

10. Formalizar: “El cambio se producirá siempre que se agudicen las contradicciones, no obstante la realidad está en cambio permanentemente”
A) B)
C) D)
E)

IMPLICACIONES Y EQUIVALENCIAS NOTABLES
Permiten transformar y simplificar fórmulas lógicas.
1) LEY DE INVOLUCIÓN (Doble negación)

2) LEY DE IDEMPOTENCIA

3) LEYES ASOCIATIVAS

4) LEYES DE MORGAN

5) LEYES BICONDICIONALES

6) LEYES CONMUTATIVAS

7) LEYES DISTRIBUTIVAS

8) LEYES CONDICIONALES

9) ELEMENTO NEUTRO

10) LEYES DE ABSORCIÓN

11) LEYES DE TRANSPOSICIÓN

12) EXPORTACIÓN (Exp.)

13) DISYUNCIÓN FUERTE

LEYES LÓGICAS ADICIONALES











SILOGISMO HIPOTÉTICO

• Silogismo Hipotético Puro
Modo Ponendo Ponens (Afimado Afirmando)

• Silogismo Hipotético Impuro
Modo Tollendo Tollens (Niego Negando)

1. Qué se concluye de:
• Si te levantas temprano, llegas temprano.
• El profesor te saluda, si llegas temprano.
A) No es el caso de que te levantes temprano y el profesor te saluda.
B) No es el caso que te levantes temprano o el profesor te saluda.
C) El profesor te saluda y no te levantes temprano.
D) No te levantes temprano o el profesor te saluda.
E) Ninguna anterior.

2. Si ingresas serás ingeniero
Si no eres un gerente entonces no eres ingeniero
Se deduce:
A) Si ingresas no eres ingeniero.
B) Si ingresas serás gerente.
C) Si eres gerente, entonces ingresastes
D) Si no ingresas, serás gerente.
E) Si no eres ingeniero, eres gerente.
3. No es buen deportista pero sus notas son excelentes. Es equivalente a:
A) No es cierto que, sea un buen deportista o sus notas no sean excelentes.
B) No es cierto que, sea un buen deportista o sus notas sean excelentes.
C) No es cierto que, no sea un buen deportista o sus notas no sean excelentes.
D) No es cierto que, no sea un bien deportista o sus notas sean excelentes.
E) No es cierto que, es un buen deportista y sus notas no son excelentes.

4. Hallar el equivalente a:
“Es falso que si Ud no ve un gato negro, entonces tendrá mala suerte”
A) Ve un gato negro y tiene mala suerte
B) No tiene mala suerte si ve un gato negro.
C) Ve un gato negro y no tiene mala suerte.
D) Ve un gato negro si tiene mala suerte.
E) N.A.

5. Si se define como entonces el equivalente a es:
a)
b)
c)
A) sólo a B) sólo b C) sólo c
D) a y b E) b y c

6. Si indique la proposición equivalente a:
A) B)
C) D)
E)

7. Simplificar:
A) p B) q C)
D) F E) V

8. Sabemos que: “Si Karla contesta esta pregunta será una pregunta fácil, sin embargo esta pregunta es fácil y engañosa dado que Karla no la contestó”
Si Karla no contestó esta pregunta podemos afirmar:
A) Esta pregunta es fácil
B) Esta pregunta no es fácil
C) Es fácil pero no engañosa
D) Es engañosa pero no fácil
E) Ninguna de las anteriores

9. Si no apruebas o no resuelves este problema, entonces es falso que, hayas estudiado o domines la deducción lógica. Pero no dominas la deducción lógica aunque has estudiado. Por lo tanto:
A) Apruebas y no resuelves el problema
B) No apruebas y resuelves el problema
C) No apruebas y no resuelves el problema
D) Apruebas y resuelves el problema
E) Ninguna de las anteriores

10. Sabiendo que la afirmación:
“P es verdadero siempre que Q sea falsa”, es falsa ¿Cuáles de las siguientes afirmaciones son verdaderas?
I. P es falsa y Q es verdaderas
II. Si P es falsa, Q es falsa
III. Q es verdadera si P es verdadera
IV. Q es falsa y P es falsa
A) sólo I B) sólo II C) II y III
D) I y III E) sólo IV

1. Se tiene que:

El costo de instalación de cada llave es S/. 12. ¿En cuánto se reducirá el costo de la instalación si se reemplaza este circuito por su equivalencia más simple?
A) S/. 48 B) S/. 60 C) S/. 72
D) S/. 36 E) S/. 24
2. Hallar el equivalente de:

A) B) C)
D) E) p

3. Si afirmamos: “Todas las aves vuelan”
Entonces:
A) Algunas aves no vuelan
B) No hay aves que vuelan
C) Todos los que vuelan son aves
D) Ningún ave no vuela
E) Ningún ave vuela

4. Si: “Todo desordenado es incumplido”, entonces:
A) Todo incumplido es desordenado
B) Algún desordenado es cumplido
C) Ningún cumplido es ordenado
D) Algún desordenado es cumplido
E) Ningún cumplido es desordenado

5. Si : “Ningún escritor es considerado apolítico”;
entonces:
A) Todo político es escritor
B) Ningún político es escritor
C) Todo apolítico es escritor
D) Todo escritor es político
E) Ningún político es escritor

6. Si : “Es falso que algunos políticos sean honestos”;
entonces:
A) Algún político es deshonesto
B) Ciertos honestos no son no políticos
C) Ningún deshonesto es político
D) No es el caso que los políticos son honestos
E) Los deshonestos son políticos
7. Si : “Todo matemático es científico”; concluimos que:
A) Ningún matemático es científico
B) No todo matemático es científico
C) Algunos matemáticos no son científicos
D) Todo científico es matemático
E) No es cierto que todo científico sea no matemático

8. Sabiendo que : “Todo responsable es maduro”; entonces:
A) Ningún responsable es maduro
B) Algún inmaduro es responsable
C) Todo maduro es responsable
D) Algún responsable no es maduro
E) Ningún inmaduro es responsable

9. Si es cierto que: “Ningún ornitorrinco es no mamífero”; entonces:
A) Algún ornitorrinco es mamífero
B) No todo ornitorrinco es mamífero
C) Todo ornitorrinco es mamífero
D) Ningún mamífero es ornitorrinco
E) Algún ornitorrinco es no mamífero

10. Si: “Todo orangután es simio”; entonces:
A) Algún orangután no es simio
B) Algún simio no es orangután
C) Ningún orangután es simio
D) Ningún no orangután es no simio
E) Ningún no simio es orangután