INTEGRALES DE RIEMANN CÁLCULO DE ÁREAS POR SUMATORIAS EJERCICIOS RESUELTOS PDF

  
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  • Integral de Riemann
    Sumas de Riemann y el concepto de integral
    Cálculo de integrales mediante sumas de Riemann particulares
    Propiedades de la Integral de Riemann
    Teorema Fundamental de Cálculo
    Definición y propiedades de la función logaritmo natural
    La función exponencial
    Aplicaciones de la función exponencial
    Las funciones hiperbólicas
    La regla de L’Hópital y cálculo de límites de formas indeterminadas de tipo exponencial
    Derivación logarítmica
    La integral indefinida: cálculo de primitivas
    La integral indefinida y sus propiedades
    La integral indefinida
    Fórmulas básicas de integración.
    Propiedades elementales de la integral indefinida
    Ejercicios propuestos
    Fórmulas de reducción
    Ejercicios propuestos
    Integración de funciones racionales
    Descomposición de un polinomio en factores.
    Descomposición de una función racional en fracciones simples o par-
    Integración de funciones racionales . . . . ..
    Integración de algunas funciones algebraicas ….
    Integración de funciones irracionales simples.
    Integración de J(x) = xP(axn + b)q p,q,n E Q.
    Integración de funciones racionales que involucran polinomios en x
    y raíces cuadradas de ax2 + bx + e
    Ejercicios propuestos
    Integración de ciertas funciones trascendentes
    Integración de funciones trigonométricas
    Integración de funciones trigonométricas inversas
    Integración de funciones hiperbólicas, exponenciales y logarítmicas
    Ejercicios propuestos
    Aplicaciones de la integral
    Cálculo de áreas
    Cálculo de áreas en coordenadas rectangulares
    Cálculo de áreas usando ecuaciones paramétricas
    Cálculo de áreas en coordenadas polares
    Cálculo de longitudes de curvas
    Cálculo de longitudes de curvas en coordenadas rectangulares
    Cálculo de longitudes de curvas dadas por ecuaciones paramétricas
    Cálculo de longitudes de curvas en coordenadas polares
    Volúmenes y áreas de superficies de sólidos de revolución
    Método de los discos
    Método de las cortezas o cilindros
    Areas de superficies de revolución
    Integrales elípticas e integración numérica
    Integrales elípticas
    Dos métodos numéricos de integración
    El cálculo integral tiene sus orígenes en los llamados problemas de cuadraturas. Inicialmente,
    en la antigua Grecia, dichos problemas eran geométricos y consistían en construir, siguiendo
    reglas precisas, un cuadrado con área igual a la de una figura plana dada. En el siglo
    XVII, con el descubrimiento de nuevas curvas, los aspectos geométricos de estos problemas
    pasaron a un segundo plano y las técnicas de cálculo ocuparon su lugar, los problemas de cuadraturas
    pasaron a ser simplemente problemas de cálculo de áreas y de volúmenes. Se atribuye
    a Eudoxo la invención del método de exhausción, una técnica para calcular el área de una región
    aproximándola por una sucesión de polígonos. Arquímedes perfeccionó este método y,
    entre otros resultados, calculó el área de un segmento de parábola y el volumen de un segmento
    de paraboloide, así como el área y el volumen de una esfera.
    Sorprende que, siendo tan antiguos sus orígenes, la primera definición matemática de integral
    no fuera dada hasta el siglo XIX por Augustin Louis Cauchy. Una posible explicación
    es que, durante los siglos XVII y XVIII, la integración fue considerada como la operación
    inversa de la derivación; el cálculo integral consistía esencialmente en el cálculo de primitivas.
    Naturalmente, se conocía la utilidad de las integrales para calcular áreas y volúmenes,
    pero los matemáticos de la época consideraban estas nociones como dadas de forma intuitiva
    y no vieron la necesidad de precisar su significación matemática. Los trabajos de Joseph Fourier
    (1768-1830) sobre representación de funciones por series trigonométricas, hicieron que el
    concepto de función evolucionara, desde la idea restrictiva de función como fórmula, hasta la
    definición moderna de función dada por Dirichlet en 1837. Para entender el significado de la integral
    de estas nuevas funciones más generales se vio la necesidad de precisar matemáticamente
    los conceptos de área y de volumen.
    La definición de la integral de Cauchy seguía la tradicional aproximación del área por
    rectángulos, en este sentido no era nada original; la novedad estaba en el hecho de considerar a
    la integral como un objeto matemático merecedor de estudio por sí mismo, y en el propósito de
    atribuirle un significado independiente de las técnicas que pudieran utilizarse en los cálculos.
    Este significado propio de la integral remite de forma inevitable a la idea de área. Ningún
    matemático anterior al siglo XIX había considerado necesario elaborar una teoría matemática
    del concepto de área; es en dicho siglo cuando el concepto de área adquiere un significado
    matemático preciso o, mejor dicho, varios significados matemáticos, porque dicho concepto
    evolucionó hasta que, en la primera década del siglo XX, adquirió esencialmente su forma
    actual.
    Puede que a ti el concepto de área te parezca tan evidente que te resulte extraño que se
    dedicaran tantos esfuerzos a elaborar una teoría matemática del mismo. Es natural que pienses
    así. Las regiones planas y los sólidos que usualmente nos interesan para calcular su área o
    su volumen no son tan complicados que puedan hacernos dudar de si realmente tienen área o
    volumen: polígonos o poliedros, regiones limitadas por curvas o por superficies que pueden
    definirse por sus respectivas ecuaciones, todos ellos tiene claramente su área o su volumen y
    el problema real es calcularlos y no se entiende por qué hay que empeñarse en definirlos. Así
    pensaban también los matemáticos hasta el siglo XIX. Pero cuando empezaron a considerarse
    funciones cada vez más generales, las cosas cambiaron mucho. Hay funciones para las que no
    es evidente que su gráfica determine una región con área. El siguiente ejemplo te ayudará a
    entender lo que quiero decir.
    La integración es una de las herramientas más versátiles del Cálculo, sus aplicaciones no
    se limitan a calcular áreas de regiones planas o volúmenes de sólidos, también se utiliza para
    calcular longitudes de curvas, centros de masas, momentos de inercia, áreas de superficies, para
    representar magnitudes físicas como el trabajo, la fuerza ejercida por una presión, o la energía
    potencial en un campo de fuerzas.