PRINCIPIO DE LA INDUCCIÓN MATEMÁTICA DEMOSTRACIONES , EJERCICIOS Y PROBLEMAS RESUELTOS PDF Y VIDEOS

La inducción es el proceso de razonar por el cual se extraen conclusiones a partir del análisis de casos particulares. La deducción , por el contrario , permite extraer conclusiones particulares a partir de casos generales . Cuando un experimentador observa que varias sustancias se dilatan al aumentar su temperatura, y de esta observación infiere que todas las sustancias tienen dicho comportamiento , está haciendo uso del proceso de inducción, sin embargo el análisis de algunos casos no permite saber a ciencia cierta que la conjetura sea válida, por ejemplo el agua cuando pasa de 0°C a 4°C, se contrae, no se dilata. En matemática , disciplina deductiva por excelencia, el razonamiento inductivo sólo es utilizado en la fase creativa y de construcción. Cuando un matemático encuentra ciertos patrones y regularidades al manipular los objetos matemáticos , utiliza el razonamiento inductivo al proponer una conjetura a partir de los casos que ha analizado , pero para demostrar dicha conjetura deberá utilizar necesariamente métodos deductivos. Aclaremos esto con un ejemplo, supongamos que un alumno ha sumado los tres primeros números impares positivos, obteniendo 1+3+5=9, observa además que 9 es el cuadrado de tres. Toma ahora un número mayor de sumandos , digamos 6, y obtiene 1+3+5+7+9+11= 36 , observa ahora que 36 , es el cuadrado de 6. Esto no puede ser casualidad, el alumno sospecha que debe existir algún patrón general , al parecer siempre se obtienen cuadrados perfectos al sumar los primeros números impares. El alumno inicia una comprobación ordenada. * Con un sumando : 1 =1 * Con dos sumandos : 1+3 = 4 * Con tres sumandos : 1+3+5 = 9 * Con cuatro sumandos : 1+3+5+7=16 Sucede que en cada caso se obtienen números cuadrados perfectos, además tenemos que cada cuadrado está en relación con el número de sumandos, observemos esto. * Con un sumando : 1 =1=12 * Con dos sumandos : 1+3 = 4=22 * Con tres sumandos : 1+3+5 = 9=32 * Con cuatro sumandos : 1+3+5+7=16=42 El alumno ahora utiliza el razonamiento inductivo para elaborar una conjetura sobre la suma de los n primeros impares: 1+3+5+7+…+ (2n –1) = n2 , enunciándola verbalmente sería: La suma de los n primeros impares positivos es igual al cuadrado del número de términos.
Inducción matemática