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PUNTOS NOTABLES EJERCICIOS Y PROBLEMAS RESUELTOS EN PDF Y VIDEOS

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PUNTOS NOTABLES
Son aquellos puntos de concurrencia de líneas notables de una misma característica en un triángulo.
BARICENTRO (G)
Es el punto de concurrencia de las tres medianas de un triángulo.
ORTOCENTRO (h)

Es el punto de concurrencia de las tres alturas en un triángulo o sus respectivas prolongaciones(todo triángulo tiene un solo ortocentro) .
INCENTRO (I)
Es el centro de la circunferencia inscrita en un triángulo.
EXCENTRO (E)
Es el punto de concurrencia de dos bisectrices exteriores y la bisectriz interior del tercer ángulo.
Es el centro de la circunferencia exinscrita en un triángulo.
CIRCUNCENTRO (O)
Es el punto de concurrencia de las tres mediatrices de un triángulo(todo triángulo tiene un solo circuncentro).
Es el centro de la circunferencia circunscrita a un triángulo .
Punto de Brocard
Dado un triángulo ABC si en la región interior se ubica el punto P , tal que la
entonces P es el punto de Brocard respecto del triángulo ABC. (Todo triángulo no equilátero tiene dos puntos de Brocard).
TEOREMA DE NAGEL
En todo triángulo , el segmento que une los pies de dos alturas , es perpendicular , al circunradio relativo al tercer vértice.
TRIÁNGULO MEDIANO (o complementario)
Es aquel triángulo cuyos vértices son los pies de las medianas de un triángulo.
Triangulo Ex–Incentral
El triángulo ex – incentral se determina al unir los excentros de un triángulo.
El incentro de un triángulo es a la vez ortocentro de su triángulo ex – incentral
Recta de Euler
En todo triángulo no equilátero se cumple que el ortocentro , baricentro y el circucentro están contenidos en una misma recta llamada la Recta de Euler.
TRIáNGULO TANGENCIAL
Es el triángulo cuyos vértices son los puntos de tangencia de la circunferencia inscrita , con los lados del triángulo.
TRIáNGULO PEDAL
Es el triángulo cuyos vértices son los pies de las perpendiculares trazadas desde un punto cualquiera del plano determinado por un triángulo dado , sobre los lados o sus respectivas prolongaciones.


• Reconocer la ubicación de los puntos notables de un triángulo
• Establecer las relaciones entre los puntos notables y las circunferencias que se asocian.
EXPERIENCIA: Localizando el punto de gravedad de un triángulo

En todo triángulo el baricentro resulta ser su cenro de gravedad (punto donde se concentra su masa). Compruébalo con un triángulo de cartón, haciendo pasar por el mismo un hilo anudado en su extremo y observando que se mantiene en posición horizontal o de equilibrio.
Repite la experiencia pasando el hilo por otro punto distinto del baricentro.

EXPERIENCIA: Visualizando la recta de Euler

Las figuras adjuntas te muestran el circuncentro y baricentro de un triángulo ABC y sus respectivas construcciones. Copia en diferentes hojas de papel transparente cada una de ellas y observa que al superponerlas, haciendo coincidir los lados del triángulo, vizualizarás a contraluz la recta de Euler que pasa por los tres puntos mencionados.

PUNTOS NOTABLES
Son aquellos puntos donde concurren las denominadas líneas notables.
ORTOCENTRO
Es el punto por donde concurren las alturas o sus prolongaciones de estas en un triángulo.
La ubicación del ortocentro depende de la naturaleza del triángulo.
En un triángulo acutángulo es un punto interior a él.

D ABC : Acutángulo
H : Ortocentro del DABC

En un triángulo rectángulo es un punto ubicado en el vértice del ángulo recto

D ABC : rectángulo
B : ortocentro del DABC

En un triángulo obtusángulo es un punto exterior.

BARICENTRO
Es el punto donde concurren las medianas en una región triangular este punto está ubicado en el interior a todo triángulo.

Teorema
El baricentro de toda región triangular divide a la mediana en dos segmentos que están en la razón de 2 a 1, siendo el mayor de ellos el que tiene por extremos al vértice y al baricentro.

“G”: baricentro de la región triángular ABC

INCENTRO
Es el punto donde concurren las bisectrices interiores en un triángulo.
El incentro de un triángulo coincide con el centro de la circunferencia inscrita a dicho triángulo.

Teorema
El incentro de todo triángulo equidista de sus lados.

I: incentro del DABC

EXCENTRO
Es el punto de concurrencia de dos bisectrices exteriores y la bisectriz interior del tercer ángulo de un triángulo, este punto coincide con el centro de la circunferencia exinscrita al triángulo.

Ea: excentro relativo a
Ra: exradio relativo a
Teorema
El excentro de todo triángulo equidista de un lado y de las prolongaciones de los otros dos lados.

CIRCUNCENTRO
Es el punto de concurrencia de las mediatrices de los lados de un triángulo, este punto coincide con el centro de la circunferencia circunscrita al triángulo.
La ubicación del circuncentro depende de la naturaleza del triángulo.
En un triángulo acutángulo es un punto interior al triángulo.

D ABC : acutángulo
O : circuncentro del DABC
R : circunradio

En un triángulo rectángulo es un punto que esta en el punto medio de la hipotenusa.

D ABC : rectángulo
R : circunradio

En un triángulo obstusángulo es un punto exterior al triángulo.

DABC : Obtusángulo
R : circunradio
Teorema
El circuncentro de todo triángulo equidista de sus vértices.

En un triángulo acutángulo

O: Circuncentro del DABC

En un triángulo rectángulo

O: Circuncentro del DABC

En un triángulo obtusángulo

O: Circuncentro del DABC

RECTA DE EULER
En todo triángulo no equilátero, el ortocentro, baricentro y circuncentro, se encuentran ubicados en una línea recta denominada la “recta de Euler”

H: Ortocentro, G: Baricentro, O: Circuncentro del del DABC
Teoremas
1. En un triángulo acutángulo

Si, “P”: incentro Þ (a £ 90º)
“P”: ortocentro Þ (a<90º)
“P”: circuncentro Þ (a<90º)
2. En un triángulo Obtusángulo

L: Ortocentro Þ x = 180º – a
O: circuncentro Þ y = 360 – 2a

3. En un triángulo Oblicuángulo

Si: “E” excentro Þ

1. En la figura, G es baricentro de la región triangular ABC. Si: AG = 4 y BC = 6, calcule la

A) 30º B) 60º C) 37º
D) 53º E) 45º

2. En la figura, I es incentro del triángulo ABC y . Calcule MN si AM = 3 y NC = 4.

A) 5 B) 6 C) 7 D) 8 E) 9

3. En la figura, calcule x.

A) 15º B) 20º C) 25º
D) 30º E) 40º

4. En la figura, H es ortocentro del DABC.
Si HD = 6, calcule CD.

A) 15º B) 20º C) 25º
D) 30º E) 40º

5. En la figura, O es circuncentro del DABC.
Calcular x.

A) 15º B) 20º C) 25º
D) 30º E) 40º

6. En la figura, I y H son el incentro y ortocentro del DABC respectivamente. Calcule q.

7. En la figura, ABCD es un romboide. C es excentro del DABD, calcule q.

A) 120º B) 100º C) 150º
D) 154º E) 160º

8. En un cuadrante AOB, en el arco AB se ubica el punto P, se traza el rectángulo PMOS, y . ¿Qué punto notable es Q en el DMPS?
A) Circuncentro
B) Baricentro
C) Ortocentro
D) Incentro
E) Excentro

9. En el interior de la región triangular ABC se ubica el punto P de modo que y ¿Qué punto notable es P del DABC?
A) Ortocentro B) Incentro
C) Baricentro D) Circuncentro
E) Excentro

10. En la figura, H es ortocentro del DABC,
4(HE) = 3(EC). Calcule el mayor valor entero del

A) 21º B) 31º
C) 22º D) 36º
E) 30º