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ANÁLISIS GENERAL DE LA GRÁFICA DE UNA FUNCIÓN-ASINTOTAS EJERCICIOS RESUELTOS EN PDF Y VIDEOS

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En los temas anteriores se analizó la forma como identificar los puntos en los que cambian las características de la gráfica. Se puede localizar donde existe los puntos máximos y mínimos locales y de inflexión; también se determina con precisión dónde es creciente, decreciente la gráfica o dónde es cóncava hacia arriba, cóncava hacia abajo, pero es necesario además que se tome en cuenta las asíntotas, para obtener un análisis más amplio de la funciones que se grafiquen.
Asíntotas
Si un punto (x, y) se desplaza continuamente por una función y = f (x) de tal forma que, por lo menos, una de sus coordenadas tienda al infinito, mientras que la distancia entre ese punto y una recta determinada tiende a cero, esta recta recibe el nombre de asíntota de la función.
a) Las asíntotas horizontales y oblicuas son excluyentes, es decir la existencia de unas,
implica la no existencia de las otras.
b) En el cálculo de los límites se entiende la posibilidad de calcular los límites laterales
(derecho, izquierdo), pudiendo dar lugar a la existencia de asíntotas por la derecha y por
la izquierda diferentes o solo una de las dos.
d) Para estudiar la posición relativa de la función con respecto a la asíntota, (horizontal u
oblicua) primero calcularemos los puntos de corte de ambas resolviendo el sistema

Método para analizar y graficar funciones.
Al graficar funciones, no hay sustituto para el sentido común, sin embargo el
siguiente procedimiento será de utilidad para resolver la mayoría de los casos que se
presentan.
a.‐ Dada la función f (x) determinar el dominio.
b.‐ Encuentre las asíntotas verticales, horizontales u oblicuas.
c.‐ Determine f ′(x) ; y los valores críticos.
d.‐ Luego determine f ′′(x) y los posibles puntos de inflexión (P.P.I.)
e.‐ Para analizar los signos de f ′(x) y de f ′′(x) , y determinar dónde la función
crece, dónde decrece, máximos relativos, mínimos relativos, concavidad hacia arriba,
concavidad hacia abajo y los puntos de inflexión, se realiza un cuadro de cinco columnas
con las características siguientes:
e.1) Primera columna: se organizan intervalos formados por los valores críticos, posibles
puntos de inflexión y asíntotas verticales, encontrados, ordenados de menor a mayor.
e.2) Segunda columna: se coloca la función dada, para en ella sustituir los valores críticos
y posibles puntos de inflexión para conocer donde se localizan los extremos relativos y los
puntos de inflexión en el plano cartesiano.
e.3) Tercera columna: se coloca la primera derivada, para buscar el signo que esta posee,
dándole un valor que esté en cada uno de los intervalos formados.
e.4) Cuarta columna: se coloca la segunda derivada, para buscar el signo que esta posee,
dándole un valor que esté en cada uno de los intervalos formados.
e.5) Quinta columna: indica el resumen de lo analizado. En ella se indica el resultado al
aplicar los teoremas respectivos. (Intervalos donde la función crece, Intervalos donde la
función decrece, puntos máximos, concavidad hacia arriba, concavidad hacia abajo,
puntos mínimos y los puntos de inflexión si existen).
f.‐ Se calcula los cortes entre la función dada y las asíntotas (horizontales u
oblicuas).
g.‐ Para graficar, trace las asíntotas encontradas, y localice los puntos (incluyendo
todos los puntos críticos, los puntos de inflexión, los cortes con los ejes y los cortes de la
asíntota con la curva), el resto de la gráfica se completa con el análisis.
Nota: En algunos casos observamos que un valor crítico, es también un posible punto de
inflexión, los puntos obtenidos deberán ser sustituidos en las derivadas terceras o
sucesivas hasta que nos dé un valor diferente de cero. Cuando esto suceda, si la derivada
para la que es distinto de cero es impar, se trata de un punto de inflexión; pero, si se trata
de derivada par, no lo es.