Archive for GRADO DE LAS EXPRESIONES ALGEBRAICAS

GRADOS Y POLINOMIOS EJERCICIOS Y PROBLEMAS RESUELTOS EN PDF Y VIDEOS

Share Button

Los matemáticos para poder expresarse hacen uso de símbolos o letras, es decir, hacen uso de fórmulas donde aparecen símbolos. Éstos pueden ser sustituidos por números reales. El valor de la velocidad de la luz siempre es el mismo, aproximadamente 300000 km por segundo, o sea es una constante. Mientras que la velocidad de un auto varía con el tiempo, según la aceleración que lleve, es decir, es una variable.
TÉrmino ALGEBRAICO
Es aquella expresión algebraica donde no participa la operación adición y sustracción
Polinomio
Es aquella expresión algebraica donde los exponentes de las variables son números enteros positivos , además dichas expresiones están definidas para cualquier valor que se de a sus variables.


EXPRESIONES ALGEBRAICAS
• NOTACION FUNCIONAL
OBJETIVOS
 En este capítulo del curso se representará una expresión algebraica dando a conocer explicitamente las constantes y variables.
 Se expondrá el aporte sustantivo del algebra funcional; donde se verá la relación de dependencia existente entre la variable dependiente y la variable libre independiente.
 Conociendo la notación funcional; se permitirá dar el valor numérico de la expresión; así como también se podrá transformar a la expresión mediante un cambio de variable.
 El estudiante tendrá la oportunidad de conocer que es una expresión trascendente y sus características; siendo de mucha importancia para las matemáticas superiores.
Lecturas
Parece que Diofanto de Alejandría vivió en el año 275 d.C. Escribió 13 libros de Aritmética, de los cuales sólo se conocen 6. Estos libros comenzaron a atraer la atención de los matemáticos europeos 1200 años después de haber sido escritos. Esta obra de Diofanto tiene gran importancia porque perfeccionó la notación matemática al mismo tiempo que dio amplias perspectivas al objetivo del Algebra; y sus aportaciones se evidenciaron con la creación de la primera escuela francesa en los siglos XV y XVI.
Fue Diofanto quien por primera vez introdujo letras y signos para los cálculos, de allí que su álgebra se le ha llamado “Álgebra sincopada” que antecede al álgebra simbólico actual.
En su tumba hay un epitafio que dice:
¡Caminante! Aquí yacen los restos de Diofanto.
Los números pueden mostrar,
¡oh maravilla! la duración de su vida,
cuya sexta parte constituyó la hermosa infancia.
Había transcurrido además una duodécima
parte de su vida cuando se cubrió de vello
su barba.
A partir de ahí, la sétima parte de existencia
transcurrió en un matrimonio estéril.
Pasó, además, un quinquenio y entonces
le hizo dichoso
el nacimiento de su primogénito.
Este entregó su cuerpo y su hermosa existencia
a la tierra, habiendo vivido la mitad de lo que su padre llegó a vivir.
Por su parte Diofanto descendió a la sepultura con profunda pena habiendo sobrevivido
cuatro años a su hijo.
Dime, caminante, cuántos años vivió Diofanto
hasta que le llegó la muerte.

La solución de esta ecuación nos dice que Diofanto murió a los 84 años de edad. Además, podemos deducir que fue niño hasta los 14 años, le salió la barba a los 21 años, se casó a los 33 y tuvo un hijo a los 38, el cual murió cuando su padre tenía 80 años.
Un padre al morir dejó 17 caballos para que se repartan entre sus tres hijos: el mayor debe recibir la mitad, el segundo y el menor . Como no pudieron repartirse, recurrieron a un anciano amigo, quien prometió ayudarlos. este hábil hombre, se presentó con un caballo de su propiedad, lo reunió con los 17 y procedió a la repartición: el mayor se llevó 9 caballos , el segundo 6 caballos y el tercero 2 caballos . El anciano tomó el suyo y se marchó.
¿Es correcta esta solución? ¿Por qué?
Para que se me tuviera por un niño, no por demente, balbucí los números, ya que acudieron a mi mente.
“LA NOCIÓN CLÁSICA DEL POLINOMIO”
Un ejemplo sencillo: Situémonos en el conjunto R, que es el del álgebra elemental, y denominemos «x» un número real cualquiera (lo cual, como recordamos, se escribe x R). He aquí un ejemplo de cálculo suceptible de ser efectuado sobre los números como x.
Supongamos que x designa una longitud indeterminada (medida en metros); entonces x2 designará la superficie de un cuadrado de lado x y x3 el volumen de un cubo de arista x.
Imaginemos que una persona compra una cuerda cuya longitud equivale tres veces a la longitud de x; es decir 3x metros y cuyo precio es de 2 soles el metro; esta cuerda cuesta pues: 3x . 2 = 6x soles
Un tablero de contrachapado de superficie 2×2 (en metros cuadrados), al precio de 12 soles el metro cuadrado; por lo tanto, este tablero cuesta 2×2 · 12 = 24×2 soles.
Un tonel de vino de capacidad igual a x3 (en metros cúbicos); al precio de 2 soles el litro (de 2000 soles el metro cúbico, puesto que en un metro cúbico hay 1000 litros); cuesta 2000×3 soles.
Después de estas compras, le quedan 50 soles. Se pide expresar la suma que esta persona tenía inicialmente. Es perfectamente evidente que esta suma depende de x y que no se puede conocer, puesto que x es indeterminado; sin embargo puede expresarse en soles bajo la forma: 50 + 6x + 24×2 + 2000×3 (1)
Una expresión como (1) se denomina polinomio de una indeterminada (la indeterminada es x); se representa con frecuencia por P(x), que se lee “P de x” (P es la inicial de la palabra “polinomio”).
Las compras de una segunda persona llevarán a establecer, por ejemplo, el polinomio:
P1(x) = 30 + 2x – 15×2 + 50×3
El signo “–” delante de 15×2 significa una deuda equivalente a la suma de 15×2 soles. Para otra persona podría tenerse: P2(x) = 15 – 2 x + 3×2, etc.
Lo que distingue de los polinomios P, P1, P2, … , no es la presencia de la indeterminada x a la potencia 1 a la potencia 2, etc., sino el conjunto de coeficientes:
(50, 6, 24, 2 000) para el primer polinomio;
(30, 2, –15, 50) para el segundo polinomio;
(15, –2, 3) para el tercer polinomio.
Para terminar, es posible realizar, por supuesto, operaciones con los polinomios como P + P1 o P . P2
Estas observaciones no llevarán a una definición algo más general de los polinomios. En lo que sigue, x definiría siempre la magnitud indeterminada sobre lo que se calcula y los coeficientes se indicarán mediante letras minúsculas como a, b, c, … o para no agotar demasiado aprisa el alfabeto, mediante minúsculas afectadas por un índice, es decir, por un número entero (0, 1, 2, … ) Escrito en caracteres pequeños en la parte inferior y a la derecha de una letra: a1 se lee “a uno” o “a índice 1”.
La notación por medio de índices, que ya nos es familiar, atemoriza a veces a los no matemáticos. Sin embargo, no tiene nada de misterioso; simplemente es un medio cómodo de ordenar las letras del alfabeto.
CONCEPTOS
EXPRESIÓN MATEMÁTICA
Es la representación numérica o literal de una expresión, cuyos elementos están ligados por los símbolos matemáticos convencionales.
EXPRESIÓN NUMÉRICA
Es aquella cantidad absoluta que tiene un valor fijo y determinado. Considerando que este es un elemento definido en el conjunto de los números reales. tales como :

EXPRESIÓN LITERAL
Es aquella cantidad relativa cuyos elementos numéricos y literales están relacionados por los operadores matemáticos convencionales.
Para construir una expresión literal debemos considerar dos aspectos fundamentales:
ORDEN: Para cada término, primero se escribe el coeficiente y luego la parte literal con sus respectivos exponentes.
Veamos:

YUXTAPOSICION: En cada término, sus elementos no deben escribirse de manera reiterativa.
Veamos:

Según el álgebra moderna, las expresiones matemáticas se pueden clasificar siguiendo el diagrama progresivo:

Nuestro interés se centrará en el estudio de las expresiones literales, sean estas algebraicas o trascendentes.
Empezemos a formalizar algunos conceptos primitivos que generalmente se tiende a confundir por los enfoques limitados del álgebra clásica, y a entender correctamente por el amplio panorama del álgebra moderna.

NOTACIÓN MATEMÁTICA
Es la representación simbólica convencional de una expresión matemática, que nos permite mostrar las constantes (numéricas o literales) y variables.
Ejemplos explicativos:
1. En el cual se muestran las constantes numéricas y las variables (x, y, y z).
2. donde se exponen las constantes numéricas, constantes literales (a, b, c y d) y las variables (x, y, z y w).

NOTACIÓN FUNCIONAL
Es la simbolización convencional que nos permite representar la relación de dependencia entre una o más variables respecto de otra, pudiendo estas ser de distinta naturaleza.
Ejemplos explicativos:
• Función de una variable
y = F(x) = 8×5 + 3×4 – 7
Expresión F que depende únicamente de x
• Función de dos variables

Expresión F que depende de las variables “x” e “y”.
• Función de tres variables

Expresión F que depende de las variables “x”, “y” y “z”.
EXPRESIÓN ALGEBRAICA
Es una expresión matemática en el cual las constantes y variables estan ligados por los símbolos de las operaciones aritméticas : (+), (–), (·), (÷), ( )n y o alguna combinación de éstas en un número limitado de veces. Por ejemplo:

Es una expresión algebraica de 4 términos.
• La expresión matemática:

no es algebraica, ya que admite infinitos términos.

TÉRMINO ALGEBRÁICO
Es la mínima porción de una expresión algebraica cuyas variables no estan separadas por los operadores aritméticos de la adición y sustracción.
Ejemplos diversos
Los términos expuestos:



Son algebraicos. Pero las expresiones:


no son términos algebraicos.
TÉRMINOS SEMEJANTES
Dos o más términos son semejantes, si tienen la misma parte literal variable afectada por los mismos exponentes.
Ejemplos diversos:

son semejantes.

También son semejantes ya que a3, b4, c5 y d6 son los coeficientes.
REDUCCIÓN DE TÉRMINOS SEMEJANTES
Entre estos términos se pueden establecer operaciones, tales como la adición y sustracción, cuya reducción se obtiene directamente operando los coeficientes (numéricos o literales).
De los ejemplos anteriores, efectuemos:

CLASIFICACION DE LAS EXPRESIONES
ALGEBRAICAS
De acuerdo a su naturaleza las expresiones algebraicas se pueden clasificar de la forma siguiente:
1. Expresión Algebraica Racional (E.A.R.)
Se caracteriza debido a que los exponentes de sus variables son números enteros, pudiendo contener también términos independientes de sus variables. Ejemplos explicativos:

• N(x,y,z) = ax–8y4 + (b–1) yz5 – c2z–6
Estas expresiones se subdividen a su vez en:
1a. Expresión Algebraica Racional Entera (E.A.R.E.)
Es aquella expresión racional en el cual, todos los exponentes de sus variables son números naturales (0, 1, 2, 3,… , etc).
Ejemplos:

También debemos tener en cuenta que la expresión algebraica mostrada:

Luego de efectuarla, resulta:

Una racional entera, debido a que los exponentes de las variables x, y, z son valores naturales.
1b) Expresión Algebraica Racional
Fraccionaria (E.A.R.F.)
Es aquella expresión racional en el cual, por lo menos uno de los exponentes de sus variables es un entero negativo, o si está escrita de manera fraccionaria, la variable aparece en el denominador con exponente natural.
Ejemplos:

También es racional fraccionaria:

2. Expresión Algebraica Irracional (E.A.I.)
Se caracteriza debido a que por lo menos uno de los exponentes de sus variables es un número fraccionario, o la variable aparece bajo el signo radical de manera irreducible.
Ejemplos explicativos:


También es irracional, la expresión:

* Resumiendo lo anterior, se tiene el diagrama:

En el análisis matemático, las expresiones que asumen mayor importancia por sus características y propiedades particulares, son las RACIONALES ENTERAS. Que de acuerdo al número de términos de la expresión, se les denomina semánticamente según el esquema:

Para poder reconocer con propiedad este tipo de expresiones, establezcamos formalmente algunos conceptos primitivos.
MONOMIO
Es aquel término algebraico que se caracteriza por ser racional entera, sin interesar la naturaleza de su coeficiente.
Por ejemplo:


En el caso de que la expresión no dependa de ninguna variable, se le nombra tal como sigue:
• Constante monómica
• Constante binómica

Dependiendo de la cantidad de términos de la constante (numérica o literal) expresada de forma irreducible. Tener en cuenta que las expresiones P, Q y R son MONOMIOS respecto de sus variables.

POLINOMIO
Es aquella expresión algebraica racional entera que acepta más de un término.
Por ejemplo:

POLINOMIO EN UNA VARIABLE
DEFINIDO EN R
Es aquella expresión algebraica que se reduce a la forma general típica:

Cuya variable “x” solo acepta valores reales.
Donde: a0, a1, a2, …, an coeficientes
x variable libre
n grado del polinomio
a0 coeficiente principal
an Término independiente
También, debemos considerar estos conceptos:
• Polinomio Mónico
Si el coeficiente principal de P(x), a0=1.
Por ejemplo, el polinomio de 3er. grado:
es MONICO
• Polinomio Primitivo
Si el máximo común divisor del valor absoluto de los coeficientes de P(x) es igual a uno.
Es decir :

Por ejemplo, el polinomio de 5to. grado:
es primitivo
ya que:
o de manera explícita:

EXPRESION TRASCENDENTE
Es aquella expresión matemática que se caracteriza, porque al menos una de sus variables esta afectada por un operador no aritmético. Tales como:
expb, logb, sen, arc tan, cosh, etc.
Por ejemplo, las expresiones matemáticas literales:

son trascendentes.
Respecto de las expresiones literales de infinitos términos, debemos aclarar lo siguiente :
• La expresión matemática de infinitos términos:

Cuya variable “x” esta definida en el Intervalo de convergencia ] –1; 1 [, es algebraica ya que se reduce a la forma racional fraccionaria:

• En cambio, las expresiones matemáticas definidas en el Conjunto R, tales como:

Son trascendentes. Así como también:

Siendo x > 0

Cuya variable
La utilidad de estas expresiones, es requerida en matemáticas superiores para cálculos por aproximación y para la reducción de series de potencias.

NOTACION FUNCIONAL DE UNA
EXPRESIÓN ALGEBRAICA
Para ingresar a este importante acápite del álgebra moderna, vamos a formalizar dos conceptos ; valor numérico y cambio de variable, previa exposición de algunas generalidades que nos permitirá entender con mayor precisión y actualizar algunos enfoques limitados del álgebra clásica.

VALOR NUMERICO DE UNA EXPRESIÓN
En el análisis funcional, para entender el comportamiento de las relaciones de dependencia, es necesario EVALUAR dichas expresiones para aquellos valores, que su campo de definición nos lo permite.
Este universo de valores permisibles para la variable libre, se le denomina formalmente CONJUNTO DE VALORES ADMISIBLES (C.V.A.) o dominio de la función, que hace que estas expresiones estén definidas en el conjunto R.
Ejemplos explicativos:

1. La expresión Polinomial:

Esta definida para cualquier valor real que asuma la variable libre “x”.
Por lo tanto: C.V.A. (F) = R

2. La expresión Fraccionaria:

No está definida para todo , ya que para los valores –1, 2 y –2, la función G no está definida.
Por lo tanto: C.V.A. (G) = R – {–2, –1, 2 }

3. En la expresión Irracional:

es evidente que x0, y como H es una función real, se debe cumplir que:

Luego, podemos afirmar que:
C.V.A. (H) = [ –6, ¥ [ – {0}

Finalmente, para visualizar el concepto de valor numérico de una expresión se recurre al DIAGRAMA CARTESIANO, sobre el cual se ubican todos los puntos de coordenadas reales definidos en el CVA, generándose una CURVA llamada GRAFICA DE LA FUNCION, que nos muestra con claridad el comportamiento geométrico de la expresión.
Ejemplos Explicativos:
1. Dada la función lineal de una variable:

Tabulando valores se obtiene como gráfica:

El comportamiento de la función F en todo el CVA es estrictamente CRECIENTE.

2. Se tiene la función cuadrática de una variable:

Tabulando valores se obtiene como gráfica:

El comportamiento de P no es monótona, ya que:
, la función es DECRECIENTE
, la función es CRECIENTE
Debemos observar que las expresiones F y P de una variable, las hemos graficado en el espacio bidimensional.

3. Del mismo modo, la función cuadrática de dos variables:

Tabulando valores se obtiene como gráfica:

El análisis geométrico de H, se ha realizado en el espacio tridimensional.

VALOR NUMÉRICO
El valor numérico de una expresión en R es el valor que toma la relación de dependencia, cuando su variable asume cualquier valor real definido en el C.V.A.
Ejemplos de Aplicación:
1. Calcular el valor de
Si la variable “x” asume el valor de (–2).

2. Dar el valor de
Si sus variables asumen x = –3 e y = 4

3. Evaluar:
Si las variables aceptan x=3, y=1 y z=2

4. Calcular:
Si sus variables asumen los valores de 5 y 4 respectivamente.
• Si las variables son (x–2) e (y+1), se tendrán:
x – 2 = 5 x = 7
y + 1 = 4 y = 3
• Evaluando la expresión irracional:

5. Se tiene la expresión:
Que se obtiene al evaluar en
• Veamos:

• Se obtiene un valor no definido en el conjunto R, ya que:

CAMBIO DE VARIABLE EN UNA EXPRESION
Es el proceso de transformación de una expresión, que consiste en intercambiar sus variables originales por otras.
Por ejemplo:
1. Dada la expresión racional
Determinar la expresión F(x-1)
• La transformación consiste en sustituir la variable x, por la nueva variable (x–1).
Esto se representa del siguiente modo:
T: x (x – 1)
Veamos:

reduciendo:

En el análisis matemático, esto se entiende como una COMPOSICION DE FUNCIONES, donde la variable “x” esta definida dentro de un CVA, que nos permite hacer esta transformación.
El estudio inicial de este concepto no tomará en cuenta el riguroso proceso del análisis funcional, cuyo tratamiento corresponderá a temas posteriores.
Otros ejemplos de aplicación:
2. Se tiene la expresión:
Determinar
Sustituyendo T: x F(x)
Se tendrá:
Reemplazando el dato inicial para F(x):

Efectuando:

3. Dado:
A que es equivalente la expresión
• Formando la variable (2x–1) en Q:

En el corchete restando y sumando 1, así:

Sustituyendo T: (2x - 1) (x - 2)

Efectuando:
4. De la expresión:
Encontrar otra expresión
Utilizando otra variable auxiliar “y”, del siguiente modo:
miembro a miembro al cuadrado y efectuando:

resulta:
Sustituyendo la nueva variable, y esta última igualdad en el dato inicial, tendremos:

Como nos piden , haciendo el cambio de variable correspondiente, así:

Finalmente:

5. De la expresión de variable compuesta:

Calcule los valores extremos de F(5)
• Igualando la variable a cinco, se tiene:

• Evaluando por separado la expresión F:
x = –1 : F(5) = 3 (–1) + 7 = 4
x = 5 : F(5) = 3 (5) + 7 = 22
Por lo tanto : F(5) = 4; es el menor.
F(5) = 22; es el mayor.
1. ¿Cuántos polinomios P(x) en R existen, tales que para todo real de “x” se cumple:
P(x) · P(–x) = –x2?

Resolución:
Debemos primero conocer que características tiene el polinomio P(x); en principio debe tener coeficientes reales, pero ... ¿y su grado?, ¿cómo podemos determinarlo?.. Quizá analizadno el dato: , es decir, nos encontramos frente a la identidad:

Si suponemos que el grado de P(x) es “n”, entonces el grado de (–P) también será “n”, luego por (1) tenemos: n + n = 2 (pues es una multiplicación, los grados se suman), es decir, “n = 1”, por tanto, podemos escribir: , luego: .
Así, (1) se transforma en:
.
Efectuando tenemos:
y de aquí, por teoría de polinomios idénticos concluimos que:

, conseguimos que . Realizando las combinaciones adecuadas, obtenemos sólo dos polinomios P(x), que satisfacen a (1) y estos son:
POLINOMIOS ESPECIALES
DEFINICIÓN
Son aquellas expresiones enteras cuyas características (grado, coeficientes y variables) y por la forma como se presentan, guardan ciertas propiedades implícitas que las hacen notables. En este nivel, por sus aplicaciones usuales, nos interesa el estudio de los siguientes polinomios:

1. Polinomio ordenado
Con respecto a una variable, es aquel polinomio en la cual los valores de los exponentes de dicha variable, sólo aumentan o disminuyen según que la ordenación sea CRECIENTE o DECRECIENTE.
La variable que presenta esta característica se denomina ORDENATRIZ.

Ejemplos
En el polinomio:
P(x,y) = 6x7y2+5x5y4–8x3y6+4y9
La variable x es ordenatriz decreciente de P
La variable y es ordenatriz creciente de P
En la expresión racional:

No existe una ordenación respecto de x.
Respecto de y, está ordenado en forma CRECIENTE.

2. Polinomio completo
Con respecto a una variable, es aquel polinomio en la cual, los valores de los exponentes de dicha variable aparecen de manera consecutiva desde el mayor hasta el cero inclusive, sin interesar la ordenación presentada.
Por ejemplo:
El polinomio mostrado
F(x,y) = 6xy4+5x3y2–7x2y +8x4y5–2y6
Es completo respecto de x, pero incompleto respecto a y.
Además el término que no depende de x es (–2y6). Es decir:

PROPIEDADES USUALES

Corolario 1
En todo polinomio completo de una variable, el número de términos es igual al grado de la expresión aumentado en la unidad.
Es decir:

Ejemplos
En el polinomio: P(x) = 4x + 7x3 + 5 + 6x5 + 2x2 + 8x4
# términos = grado (P) + 1
# términos = 5 + 1 = 6

Corolario 2
En todo polinomio completo y ordenado de una variable, la diferencia de grados (en valor absoluto) de dos términos consecutivos, es igual a la unidad.

Ejemplo
En el polinomio:

Veamos: | grado(t2) – grado(t3)| = |7 – 6| = |1| = 1
| grado(t5) – grado(t6)| = |4 – 3| = |1| = 1

3. Polinomio homogéneo
Un polinomio de dos o más términos y más de una variable es homogéneo, si dichos términos presentan el mismo grado absoluto, denominado grado de homogeniedad.
Ejemplo
En el polinomio:
GA(T1) = GA(T2) = GA(T3) = GA(T4) = 12
Es decir: grado de homogeneidad (P) = 12

Corolario 4
Todo polinomio homogéneo P(x,y) de grado “n” verifica la siguiente sustitución literal:

donde “n” es el grado de homogeneidad y la constante “m” es un escalar real.

Ejemplo: Dado el polinomio homogéneo: P(x,y) =4x3y2–7x2y3+5xy4
Sustituyendo: x ® mx ; y ® my \ P(mx,my) = 4(mx)3(my)2–7(mx)2(my)3+5(mx)(my)4
P(mx,my)=m5(4x3y2–7x2y3+5xy4)
finalmente: P(mx,my) = m5P(x,y) ; m Î R*
donde, 5 es el grado de homogeneidad.

4. Polinomios idénticos
Dos o más polinomios del mismo grado y en las mismas variables son idénticos, si los valores numéricos resultantes de dichas expresiones son iguales, para cualquier sistema de valores asignados a sus variables. Es decir:
Ejemplo: Dados: P(x,y) = (x + y)4 – (x – y)4
Q(x,y) = 8xy (x2 + y2)
Afirmamos que P y Q son idénticos, debido a que al evaluarlos para:

Del mismo modo, para:

los valores numéricos resultantes siempre son iguales.
Teorema 1
Dos polinomios de las mismas características, tales como:
P(x,y) = a0xm + a1xnyp + a2xqyr +...+akys
Q(x,y) = b0xm + b1xnyp + b2xqyr +...+bkys
son idénticos, si los coeficientes de sus respectivos términos semejantes, son iguales. Es decir:

Ejemplo:
Si son idénticos los polinomios:
P(x,y,z) = (a+b)x5 + (a+c)y3 + (x+a)x4
Q(x,y,z) = 5x5 + 3y3 + 4x4
Calcular el valor de (a+b+c).
Por el teorema 1: a + b = 5 .................... (1)
b + c = 3 ..................... (2)
c + a = 4 ..................... (3)
Sumando las relaciones: 2(a+b+c) = 12
Simplificando: a + b + c = 6

5. Polinomio idénticamente nulo
Es aquel polinomio de grado no definido, cuyo valor numérico resultante siempre es igual a cero, para cualquier sistema de valores que asumen sus variables. Es decir:

Ejemplo:
Dado P(x,y) = (x+4y)(x+y)–(x+3y)(x+2y)+2y2
Afirmamos que P es idénticamente nulo, debido a que al evaluarlo para:

De igual manera, para:

los valores numéricos siempre resultan ser iguales a cero.

Teorema 2
Un polinomio de la forma: P(x) = a0xm + a1xm–1 + a2xm–2 + ... + am–1 x+am
es idénticamente nulo, si todos sus coeficientes son iguales a cero. Es decir:

Ejemplo:
Calcular el grado de la expresión:
Si el polinomio mostrado: P(x) = (x–a)2 + b(x–3) + cx2
es idénticamente nulo considerando c< a < b.

Efectuando operaciones en P, se tiene:
P(x) = x2 – 2ax + a2 + bx – 3b + cx2
Agrupando: P(x) = (c+1)x2 + (b–2a)x+ (a2 – 3b)
Como P(x) 0; por el teorema 2, resultan:
 c + 1 = 0 ® c = –1
 b – 2a = 0 ® b = 2a ... (a)
 a2 – 3b = 0 ; por (a) · a2 – 6a = 0
a(a–6) = 0 por la consideración
a0, luego: a = 6 ® b = 12
Reemplazando los valores de: a, b y c en R.

\ Grado (R) = 18 + 8 = 26

Teorema 3
Si un polinomio de grado “n”, se anula por lo menos para (n + 1) valores. Dicho polinomio será identicamente nulo.
Ejemplo:
Si el polinomio de 2do. grado: P(x) = a(x+1)(x–2)+b(x–1)(x–2)+c(x2–1)+6
Verifica: P(1) = P(2) = P(–1) = 0
Calcular el valor de (a2 + b2 + c2)

Como P se anula para tres valores, necesariamente:
Pº(x) 0. Es decir, su valor numérico siempre será igual a cero, para todo x Î R.
Evaluando para:
 x = 1 ® a(2)(–1) + 6 = 0
–2a + 6 = 0 ® a =3
 x = 2 ® c(22–1) + 6 = 0
3c + 6 = 0 ® c = –2
 x = –1 ® b(–2)(–3) + 6 = 0
6b + 6 = 0 ® b = –1
Por lo tanto: a2 + b2 + c2 = (3)2 + (–1)2 + (–2)2 =14
2. Problema
Al simplificar la expresión:

se obtiene un monomio en el que se cumple:
GR(y) = 3 [GR(x)], según esto:
a. Calcular el valor de (n –3) (2n –m)–1
b. Encuentre el menor impar de “m” de dos cifras.
Resolución:
10. Marcar (V) o (F) según corresponda:
I. Todo número irracional es una
expresión algebraica ( )
II. Una de las partes de un término
algebraico es el signo ( )
III. Los términos semejantes admiten
igual coeficiente ( )
A) VVV B) VFV C) FFF
D) FVF E) VFF

11. Marcar (V) o (F) según corresponda:
I. La diferencia entre una variable y
una constante origina una expresión
algebraica ( )
II. La potencia entre una variable y una
constante origina una expresión
algebraica ( )
III. La radicación entre una variable y
una constante no origina una
expresión algebraica ( )
A) VVV B) VVF C) VFV
D) VFF E) FVF
GRADOS DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS
DIOFANTO DE ALEJANDRÍA

Matemático griego que vivió probablemente en el S. III.
Su legado matemático se considera como un precedente del álgebra.
Su obra más importante de Aritmética, de gran originalidad en la literatura matemática griega, pues, en lugar de enunciar teoremas y proposiciones, contiene problemas en su mayoría, entre números abstractos. En la resolución de estos problemas utiliza un simbolismo semejante al actual de los polinomios en una indeterminada, aplicando métodos diferentes para cada caso particular, llenos de ingenio y que ponen de manifiesto el conocimiento de una gran cantidad de propiedades aritméticas.
Se ocupó también de las ecuaciones indeterminadas, con más variables que ecuaciones, cuyas soluciones pertenece al conjunto de los números enteros. A estas ecuaciones se las denomina hoy ecuaciones diofánticas.
Su Aritmética comprende trece libros, de los cuales, desgraciadamente, sólo se conservan seis. En 1460 fue encontrada esta importante obra en la Biblioteca del Vaticano en 1575 una traducción latina con el título Diophanti Alexandrini rerum arithmeticarum libri sex. El texto griego no fue publicado hasta 1621 con una traducción latina superior a la anterior. Fermat, Euler, Lagrange y Gauss se basaron en esta obra para sus investigaciones sobre teoría de números.
Epitafio de la tumba de Diofanto, que proporciona algunos detalles de su vida

“¡Caminante! Aquí yacen los restos de Diofanto. Los números pueden mostrar, ¡oh maravilla! , la duración de su vida, cuya sexta parte constituyó la hermosa infancia. Había transcurrido además una duodécima parte de su vida cuando se cubrió de vello su barba. A partir de ahí, la séptima parte de existencia transcurrió en un matrimonio estéril. Pasó, además, un quinquenio y entonces le hizo dichoso el nacimiento de su primogénito. Este entregó su cuerpo y su hermosa existencia a la tierra, habiendo vivido la mitad de lo que su padre llegó a vivir. Por su parte Diofanto descendió a la sepultura con profunda pena habiendo sobrevivido cuatro años a su hijo. Dime, caminante, ¿cuántos años vivió Diofanto hasta que le llegó la muerte?”.
GENERALIDADES
El grado de una expresión cualquiera viene definida por los exponentes de sus variables, sin interesar la naturaleza de sus coeficientes.
Por ejemplo:
Para la expresión algebraica racional entera:

diremos que es el grado 144.
Si tenemos la expresión racional fraccionaria:

podemos afirmar que es de grado (–1), es decir, se escoge el mayor exponente de la variable.
En la expresión algebraica irracional:

obviamente tomaremos como grado el valor 5/4.
Las aplicaciones diversas de este concepto básico en la álgebra moderna, son de capital importancia en los distintos niveles de esta parte de las matemáticas.
Por Ejemplo:
– En el nivel elemental, el cálculo de grados absolutos y relativos de expresiones enteras, y la obtención del grado para las distintas operaciones algebraicas.
– En el nivel intermedio, la determinación del número de raíces complejas de una ecuación polinomial definida en el conjunto C.
– En el nivel superior, los diversos criterios teóricos en el análisis de las estructuras algebraicas: sistema, campo, anillo y grupo; piedra angular de todo el álgebra contemporánea.

Nuestro interés se centrará en el estudio del grado aplicado exclusivamente a expresiones algebraicas racionales enteras, que será el sustento básico para el posterior análisis de las ecuaciones y sistemas de ecuaciones elementales.

SÍNTESIS TEÓRICA
GRADO DE UNA EXPRESIÓN ENTERA

Objetivo
Mostrar que el grado es la propiedad implícita más importante de las expresiones algebraicas racionales enteras, ya que este nos indica el número de raíces para polinomios de una variable, y la dimensión funcional en Rn, para polinomios de varias variables
Concepto
El grado de una expresión algebraica racional entera, es una de sus características relacionadas con los exponentes de sus letras y que es un número entero positivo que nos permite determinar el número de soluciones de una ecuación algebráica. El grado de una expresión algebráica es de dos clases: grado absoluto y grado relativo.
CÁLCULO DEL GRADO DE UNA EXPRESIÓN ENTERA
A. Para un monomio
Grado absoluto (G.A.)
Se determina sumando todos los exponentes de las variables.
Grado relativo (G.R.)
Se determina ubicando el exponente de la variable referida en dicha expresión
Ejemplo explicativo:
Dado el monomio:
– El grado absoluto será:
G.A. = 5 + 3 + 4 = 12
– Con respecto a una de sus variables:
G.R.(x) = 5; G.R.(y) = 3 y el G.R.(z) = 4
B. Para un polinomio
Grado absoluto (G.A.)
Se determina tomando el mayor grado absoluto de uno de sus términos
Grado relativo (G.R.)
Se determina ubicando el mayor exponente de la variable referida en dicha expresión.

Ejemplo explicativo:
Sea el polinomio:

– Obtención del grado absoluto de cada término:
GA(T1) = 8 + 4 = 12 (es el mayor)
GA(T2) = 5 + 6 = 11
GA(T3) = 2 + 7 = 9
Por lo tanto: GA = 12
– Cálculo del grado relativo:
Mayor exponente de x: GR(x)=8
Mayor exponente de y: GR(y)=7
Finalmente, debemos tener en cuenta que:
1. El grado de una constante monómica es igual a cero. Veamos:
Sea P(x) = 5 ® grado (P) = 0
ya que se supone, que la variable está elevada a la cero.
2. El grado de la constante nula no está definida, es decir:
Si P(x) = 0 ® grado (P) es indefinida.
3. Es indiferente utilizar la terminología grado o grado absoluto
GRADO EN LAS OPERACIONES
ALGEBRAICAS
I. ADICIÓN Y SUSTRACCIÓN
Dados: grado (P) = m
grado (Q) = n; donde m > n
Se define:
II. MULTIPLICACIÓN
Dados: grado (P) = m
grado (Q) = n
Se define:
III. DIVISIÓN
Dados: grado (P) = m
grado (Q) = n; donde mn
Se define:
IV. POTENCIACIÓN
Dado: grado (P) = m, y “n” un número natural
cualquiera.
Se define:
V. RADICACIÓN
Dado: grado (P) = m, y “n” un número natural, tal que n2.
Se define:
Ejemplos explicativos:
1. Dados: grado (P) = 3 y grado (Q) = 2
Determinar el grado de la expresión:
E = 9P4+8Q5–6PQ
Calculando por separado el grado de cada término:
Grado (9P4) = 3 . 4 = 12 (Es el mayor)
Grado (8Q5) = 2 . 5 = 10
Grado (6PQ) = 3 + 2 = 5
Por lo tanto: Grado (E) = 12
Observar que los coeficientes de la expresión, 9, 8 y –6, no intervienen en el cálculo de los grados.
2. Calcular el grado de:
Si: grado (P) = 4 y grado (Q) = 5
Calculando por separado, se tiene:

grado: (7P + 6Q) = 5
(el mayor grado de los 2 términos)
Como ambos se están multiplicando, resultará: grado (A) = 2 + 5 = 7
3. Si grado (P) = 6 y grado (Q) = 2.
Dar el grado de:
Analizando por separado el grado de cada radical, se tienen:
Þ grado (P4 – Q9) = 24 (el mayor)
Por tanto:
grado
Þ grado (P8– Q6) =48 (el mayor)
grado
Luego, en resumen se tiene lo siguiente:

tomando el mayor de ellos: grado (T) = 12

EXPRESIONES TRASCENDENTES,
TRASCENDENTALES O NO ALGEBRÁICAS
Nos referimos específicamente a las funciones exponencial, logarítmica y trigonométricas, dado que representan número que no se deducen en ecuaciones algebraicas; así por ejemplo:
f(x) = tg x, es trascendente, y representa al número tg 5 cuando x = 5; etc.

FORMAS POLINÓMICAS SEGÚN EL GRADO
1. Forma general de un polinomio de 1er grado
P(x) = ax+b ; a 0
2. Forma general de un polinomio de 2do grado
P(x) = ax2 + bx + c ; a 0
3. Forma general de un polinomio de 3er grado
P(x) = ax3 + bx2 + cx + d ; a 0

n.- Forma general de un polinomio de n-mo grado
P(x)= a0xn+a1xn–1+a2xn–2 + … + an ; a00

PROPIEDADES GENERALES
A. Para determinar la suma de los coeficientes de un polinomio P(x), se evalúa dicha expresión para x=1.
Es decir:
En la expresión general de grado n:
Suma de coeficientes de P(x) = P(1)
P(1) = a0(1)n + a1(1)n–1 + a2(1)n–2 + … +an

B. Para determinar el término independiente de un polinomio P(x), se evalúa dicha expresión para x=0.
Es decir:
En la expresión general de grado n:
Término independiente P(x) = P(0)
P(0) = a0(0)n + a1(0)n–1 + a2(0)n–2+…+an

Ejemplo 1
Calcular la suma de los coeficientes de la expresión entera:
P(x) = (2x–1)3 (x+2)4 + (3x+2)2 (x–2)5
S Coef. [P(x)] = P(1) = (1)3(3)4 + (5)2(–1)5
S Coef. [P(x)] = 81 – 25 = 56

Ejemplo 2
Muestre el término independiente del polinomio:
P(x) = (5x+2)4 (7x–6) – (4x+5)2 (3x–2)3
T.I. [P(x)] = P(0) = (2)4(–6) – (5)2 (–2)3
T.I. [P(x)] = –96 + 200 = 104

Ejemplo 3
Para que valor natural de n en la expresión:
P(x) = (2x + 1)n + (3x + 1)n
La suma de coeficientes excede en 23 al término independiente.
Por dato, se tiene: P(1) – P(0) = 23
Evaluando la expresión para:
x = 1: P(1) = 3n + 4n
x = 0: P(2) = 1n + 1n = 2
En el dato inicial: (3n + 4n) – 2 = 23
resulta: 3n + 4n = 25
Por simple inspección: n = 2
11. Simplifique y clasifique la siguiente expresión:

A) Expresión racional entera
B) Expresión racional fraccionaria
C) Expresión irracional
D) Expresión trascendente
E) N.A.

12. Afirme de:
I. f(x)=xx es racional entera.
II. T(x)=x–3 es racional fraccionaria.
III.
IV. P(x,y)=x4 + 3xy + 5xy–2, es un polinomio de tres términos.
A) I es verdadero.
B) II y III son verdaderos.
C) I y II son verdaderos.
D) Ninguno es verdadero.
E) Todos son falsos menos IV.

13. Clasificar la siguiente expresión:

A) Expresión algebraica racional entera.
B) Expresión algebraica racional fraccionaria.
C) Expresión algebraica irracional.
D) No es expresión algebraica.
E) No es un polinomio.

14. (S.M.-2004-I)
Si la expresión nxn+1y2–n es racional entera, clasifíquese el equivalente de la expresión:

siendo x e y las variables.
A) Expresión algebraica irracional.
B) Expresión algebraica racional entera.
C) Expresión algebraica racional fraccionaria.
D) Expresión trascendente.
E) F.D.
1. Si el polinomio:
M(x;y)=(a+b–c–d)x2+(b–de)xy+9(b+c–a–e2)y
es idénticamente nulo. Calcular S siendo:

A) 9 B) 18 C) 18 D) 8 E) 15

2. Determinar la suma de coeficientes si el polinomio:
Q(x)=p(xm+xn)+m(xn+xp)+n(xm+xp)+mnp
es completo y ordenado.
A) 8 B) 12 C) 9 D) 18 E) 15

3. Hallar n en:
P(x–3)=(2x–5)5+(x–1)n +(x–2)n–8(3x+1)
Para que la suma de coeficientes del polinomio exceda a su término independiente en 28.
A) 3 B) 2 C) 4 D) 6 E) 9

4. Calcular la suma de coeficientes de los términos del sgte. polinomio homogéneo:

A) –4 B) –2 C) 12 D) 4 E) 6

5. Obtener la suma de los coeficientes del polinomio:

si es homogéneo.
A) 7 B) 5 C) 8 D) 4 E) 3

6. Si:

Calcular:
A) 1 B) 8 C) –8 D) 0 E) 27

7. Si el polinomio completo:
P(x)=xm–2n+xm–2n+1+xm–2n+2+…+x3n+1
posee (2m–s)términos. Señale cuántos términos se le debe agregar a la expresión entera.
Q(x)=x3m+n+x3m+n–1+…+x3m
para que sea completa.
A) 40 B) 20 C) 41 D) 21 E) 42

8. De un polinomio Q(x,y) completo, homogéneo de grado 8 y ordenado crecientemente respecto a x, se han tomado tres términos consecutivos que son:
…+xayb+2+M+xbya+2+…
obtener el GR(y) en el término M.
A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) 7

9. Señalar la suma de los coeficientes del siguiente polinomio:
F(x)=n2x2n–6+(n2–1)x2n–5+(n2–2)x2n–4+…
si es completo y ordenado.
A) 56 B) 28 C) 45 D) 36 E) 40