Archive for FUNCIONES TRIGONOMETRICAS INVERSAS

FUNCIONES TRIGONOMETRICAS INVERSAS Y SUS GRAFICAS PROBLEMAS RESUELTOS DE NIVEL UNI PDF

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FUNCION INVERSA DEL SENO

FUNCION INVERSA DEL COSENO

FUNCION INVERSA DE LA TANGENTE

FUNCION INVERSA DE LA COTANGENTE

FUNCION INVERSA DE LA SECANTE

FUNCION INVERSA DE LA COSECANTE


OBJETIVOS :
Al finalizar la unidad, el alumno será capaz de:
* Conocer para qué valores está definida y cuál es el campo de variación del arcsenx, arccosx … etc. para aplicarlos en resolución de ecuaciones.
* Utilizar las propiedades de las funciones trigonométricas inversas en la resolución de problemas.
* Conocer y la importancia del tema por sus diversas aplicaciones en distintos campos de la ciencia e ingeniería.
Introducción :
La teoría de funciones trigonométricas inversas parece en muchos casos complicada y se piensa que está desligada de lo que anteriormente ya se ha estudiado, sin embargo , en el desarrollo de la teoría de este tema y en la aplicación a problemas se mostrará que no existe tal dificultad , pues ya tenemos base de la trigonometría en general ; es decir, buscaremos relacionarlos en la definición de un ángulo trigonométrico, circunferencia trigonométrica, identidades, etc.
Por ejemplo lograremos entender la diferencia entre la expresión y=senx e y=arcsenx. En el primer caso sabemos que x asume cualquier número real , además . Mientras que en el segundo caso «y» es un arco cuyo seno es «x»; además se define para

Acontinuación mostraremos una aplicación de las funciones trigonométricas inversas. En el ejemplo un observador mira un cuadro colocado en una pared. Cuando el observador está alejado de la pared el ángulo subtendido por el cuadro en los ojos del observador es pequeño. Conforme el observador se acerca a la pared. el ángulo crece hasta alcanzar un valor máximo. Después , conforme el observador se aleja aún más de la pared , el ángulo disminuye. Cuando el ángulo es máximo , se dice que el observador tiene la «mejor vista» del cuadro.
Ejemplo:
Un cuadro de 2 m de altura se coloca en una pared con su base a 3m sobre el nivel de los ojos de un observador. Estime con aproximación de metros en la graficadora (calculadora científica) qué tan alejado debe estar el observador para que tenga la «mejor vista» del cuadro.
Resolución:

* Sean x m la distancia del observador desde la pared. la medida en radianes del ángulo subtendido en los ojos del observador por el cuadro , la medida del ángulo subtendido en los ojos del observador por la porción de la pared que se encuentra entre el nivel de sus ojos y la base del cuadro , y .
De la figura , se tiene:

Al sustituir estos valores de y en la ecuación , se tiene:
Al fin de trazar la gráfica de esta ecuación en la graficadora , primero expresa el miembro derecho de la ecuación en términos de porque no existe tecla para en la graficadora .

Al duplicar la definición se tiene:

A continuación se muestra la gráfica de esta ecuación trazada en el rectángulo de inspección , por la graficadora , en la cuál se estima que el valor mínimo de .

el ángulo óptimo de ramificación vascular
El sistema circulatorio es tal que la circulación de la sangre (del corazón a los órganos y viceversa se realice con el gasto mínimo de energía. Así es razonable suponer que, cuando una arteria se ramifica. el ángulo entre la arteria «madre» y la hija debe hacer mínima la resistencia al flujo de la sangre.

La figura muestra una arteria pequeña de radio r que es una ramificación de una mayor , de radio R.
La sangre fluye en la dirección de las flechas, desde A al punto B de ramificación, y luego hasta C y D. Queremos hallar el ángulo de ramificación que hace mínima la resistencia total del flujo de sangre cuando va de A a B y luego hasta el punto C , que está a una distancia h (en perpendicular) de la recta AB . luego se cumple:

NOCIONES PRELIMINARES
Función Inyectiva :
Una función es inyectiva cuando todo elemento del rango tiene un único elemento en el dominio al cual está asociado; si: Como conjunto de pares ordenados , una función es inyectiva si dos pares ordenados diferentes nunca tiene el mismo segundo elemento así:
Si:
llamada también función uno a uno o función univalente.
Si quisiéramos averiguar si una determinada función f es o no inyectiva tendríamos que plantear f(xl)=f(x2) y luego de resolver esta igualdad concluir como única solución x1=x2 , en caso se llegue a otra relación diferente afirmaremos que no es inyectiva.
Ejemplos :

, es univalente.

Observación:
Gráficamente se reconoce a una función univalente f, cuando toda recta horizontal intercepta a la gráfica de la función f a lo más en un punto.
Ejemplo:

fUNCIÓN SURYECTIVA
Una función , es suryectiva si el rango de f coincide con el conjunto de llegada B; es decir :

Es decir todo elemento del conjunto de llegada es imagen de algún elemento de su dominio.

Ejemplo :
La función ; tal que f(x) = senx; es suryectiva, pues

Las funciones trigonométricas estudiadas (seno, coseno, … ) dadas mediante una regla de correspondencia y no se específica el conjunto de llegada, sobreentendido está que el rango coincide con el conjunto de llegada, es decir ya son suryectivas (o sobreyectivas), entonces para que las funciones trigonométricas tengan función inversa, bastará que sean funciones inyectivas o univalentes.
Función inversa
La función inversa es el conjunto de pares ordenados que se obtiene al intercambiar los elementos de cada uno de los pares ordenados que pertenecen a una función y se representa por·; así por ejemplo:
Sea la función:
en donde:

y la función inversa es :

en donde:

Como se podrá apreciar, el dominio de F es el rango de y el rango de F es el dominio de
Es importante aclarar que la función inversa no siempre es función, así por ejemplo:
Dada la función:
y la función inversa:
Se observa que F 1 no es función debido a que tiene dos pares ordenados (2;–1) y (2;2) con un mismo primer elemento. Por lo tanto, se puede concluir:
«Para que una función (F) tenga función inversa F-1, debe ser inyectiva».. Para reconocer gráficamente si una función tiene inversa, en el gráfico de la función se traza una línea horizontal, si dicha línea la corta en un solo punto entonces esta función tiene inversa.

Como se observa en este ejemplo, la recta horizontal
L corta a la gráfica de la función f(x) en dos puntos;
por lo tanto, esta función f(x) no tiene función inversa.

En general se puede afirmar que las funciones periódicas no poseen funciones inversas puesto que al trazar la recta horizontal corta a la función en varios puntos.
Ejemplo:
Hallar la función inversa de las siguientes funciones y decir si es función o no.

Resolución:

es función
no es función
Gráfica de la función
inversa
En el caso de que gráficamente se determine si una función tiene función inversa, ésta se puede graficar de la siguiente manera:

Se traza la recta y=x la cual va a trabajar como un «espejo» que reflejará a la gráfica de la función al otro lado de la recta y=x, siendo este reflejo la gráfica de la función inversa.
Así por ejemplo:

Se observa que la gráfica de la función F* es simétrica con la función F con respecto a la recta y=x.
Ejemplo:
Trazar la gráfica de la inversa de f(x) = senx, .

Ejemplo:
Trazar la gráfica de la inversa de f(x) =Cosx, .

Nota:
Como todas las funciones trigonométricas son periódicas , hace que no sean univalenles, en consecuencia no existen sus inversas en sus respectivos dominios , por lo cual se debe restringir el dominio para cada una de ellas, de tal forma que la función sea univalente y por consiguiente exista su inversa. En el siguiente cuadro mostraremos el dominio restringido de cada función trigonométrica para que exista su inversa, y también su rango .

FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS
INVERSAS
Se sabe que las funciones trigonométricas son funciones periódicas, por lo tanto, no tienen función inversa, pero esto es cierto cuando se estudia en forma general toda la función, es decir, en todo su dominio.
Para tener funciones trigonométricas inversas es necesario acotar las funciones, es decir, restringir el dominio de la función de manera que la función sea inyectiva en el dominio escogido. Así, por ejemplo, sea la función y=Senx

Se observa que la recta horizontal L corta a la función f(x) = Senx en más de un punto, por lo tanto no tiene inversa. Ahora restringimos el dominio
En la gráfica se observa que al restringir el dominio de la función f(x)=Senx en el intervalo

ésta sí posee función inversa.

De la misma manera como se ha procedido con la función seno, se restringen los dominios de las demás funciones trigonométricas para que de esta manera tengan función inversa. Las restricciones que se hacen para las funciones trigonométricas son las siguientes:

Notación inversa
Cuando se tiene la igualdad:(notación directa) y queremos expresar lo que significa . en dicha igualdad , podemos decir: es un arco cuya línea tangente vale
Lo cual equivale a:
(notación inversa)
En general :
si:
Así , por ejemplo:

Las funciones trigonométricas inversas se denotan o representan de la siguiente manera:

Luego podemos definir:

DOMINIO, RANGO Y GRÁFICA DE LAS
FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS
INVERSAS
A) Función Seno inverso:
y =ArcSenx

Ejemplo:
Halle :

Resolución:

b) Función coseno inverso:
y = ArcCosx

Ejemplos:

C) Función Tangente Inversa:
y=ArcTanx

Ejemplos:

PROPIEDADES
Propiedad 1 :
«La función directa anula la función inversa para todo valor de su dominio»

Ejemplos:
Indique la verdad o falsedad de las siguientes proposiciones:

Resolución:

Propiedad 2 :
«La función inversa anula la función directa para todo valor de su dominio»

Ejemplos:
Indique la verdad o falsedad de las siguientes proposiciones:

Resolución:

Estas igualdades son válidas para todo valor permitido de la variable.
Ejemplos:

Propiedad 5 :

Ejemplo 1 :
Calcule: E =ArcTan+ArcTan
Resolución:

Ejemplo 2 :
Calcule:
Resolución:

Propiedad 6 :

teorema:

demostración :
*Sea entonces :

Observe que en este intervalo , lo cual se va a utilizar cuando se despeje de la identidad que se muestra a continuación.
Sabemos que

Finalmente demostramos que :

OBSERVACIÓN :
Para la solución de los problemas es necesario tener presente algunos valores notables, como los que se muestran a continuación:

Ejemplo:
Calcule:

Resolución:
Se sabe que: ; entonces:

Se sabe que: ; entonces :

Como , entonces:
MÉTODO DEL CAMBIO DE
VARIABLE
Cuando los valores de las funciones trigonométricas inversas no son conocidos es frecuente hacer un cambio, tal como se indica a continuación:
Ejemplo 1 :

Reduce:
Resolución:
Haciendo el cambio de variable:
se convierte en:
Como
Luego se forma un triángulo rectángulo:

Ejemplo 2 :
Calcule:
Resolución

Haciendo:
Entonces:

grafica y = Aarcsen(Bx+C) +D
Sea la función y = A arcsen(Bx+C) +D; A, B >0 El dominio depende de B y C; así

El rango depende de A y d , así :

Como sabemos, del tema sobre las reglas de construcción de gráficos , el parámetro A estira o contrae verticalmente al gráfico de y=arcsenx. El parámetro B estira o contrae horizontalmente al gráfico de y=arcsenx
Los parámetros B y C, desplazan a la derecha o izquierda el gráfico de y=arcsen(Bx), una longitud
igual a (si respectivamente). El parámetro D desplaza hacia arriba o abajo el gráfico de y=Aarcsen(Bx+C) una longitud igual a (si D>0 ó D<0 respectivamente).
De manera análoga se aplican los criterios indicados en las demás funciones.
EJERCICIO 1 :

Graficar :

Resolución:

EJERCICIO 2 :

Graficar :

Resolución:

EJERCICIO 3 :
Determine el dominio , rango y gráfica de :

Resolución:
Dominio :

*Desplazamiento horizontal :
1 a la derecha
*Desplazamiento vertical :
p hacia arriba

Funciones Inversas
Si una función f es biyectiva (univalente y sobreyectiva), entonces existe su función inversa y se denota por f * o f-–1
* Para determinar la inversa de una función se intercambia “x” por “y” e “ y” por “x”. Así :
Df * = Rf Rf * = Df
Por ejemplo:
hallamos la función inversa de y = 2x – 1 cuyo dominio es [0 ; 3].
RESOLUCIÓN:

* Despejando x se tiene:
* Intercambiando variables:
* Graficando:

* Se observa: Df = [0 ; 3] y Rf = [–1;5]
* También: Df* = [–1 ; 5] y Rf* = [0 ; 3]
OBSERVACIÓN:
Las gráficas de f y f* son simétricas con respecto ala recta (y = x).

FUNCIONES TRIGOMÉTRICAS INVERSAS
* Como las funciones trigonométricas son periódicas, entonces no son inyectivas por lo tanto no tiene inversa en todo su dominio.
* Para que existan las inversas de dicha funciones, se debe restringir el dominio de modo que sean inyectivas.
A continuación se representan las gráficas de las funciones trigonométricas inversas.
Funciones Arco Seno

* Sea la función:
* Despejando x:
* Intercambiando variables: y = arcsenx
Además:

* La función es creciente e impar
* Graficando f y f *

Función Arco Coseno

Es una función decreciente.

Función Arco Tangente

* La función creciente e impar.

Función Arco Cotangente

FUNCIÓN SECANTE INVERSA O ARCO SECANTE

FUNCIÓN COSECANTE INVERSA ARCO COSECANTE

Análisis de las gráficas de funciones de la forma

OPUESTO DE LA GRÁFICA

Traslación Vertical
y = arcsenx + k ; y = arccosx + k La gráfica de la función básica se desplaza k unidades hacia arriba si k>0 y k unidades hacia abajo si k > 0.

Traslación Horizontal
* Si: y = arcsen(x – h) ; y = arccos(x – h)
La gráfica de la función básica se traslada h unidades a la derecha si h>0 , y h unidades a
la izquierda si h< 0.

Forma General: y=AarcsenB(x–h)+k

* A > 0 si la función es creciente.
* A < 0 si la función es decreciente.
Ejemplo: Determinar la ecuación de F.

RESOLUCIÓN:
* Partimos de: y=AarcsenB(x – h)+k

Como F es decreciente : A =–2
(*) Finalmente la ecuación es:

problema 57:
Calcule el valor de:

resolución:

Sea:

Como:

Graficamente:

* Graficamente:
Note que:

Luego en M:

RPTA : ‘‘B’’