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NUMEROS COMPLEJOS EJERCICIOS Y PROBLEMAS RESUELTOS EN PDF Y VIDEOS

NÚMEROs COMPLEJOS-cantidades imaginarias
Se llama número complejo a todo par ordenado de componentes reales, tales que la primera componente representa la parte real y la segunda componente la parte imaginaria.
OBJETIVOS :
*Conocer un nuevo campo numérico denominado
‘‘El Campo Complejo’’, así como desarrollar
habilidad operativa con los elementos de dicho
campo.
* Conocer los conceptos: unidad imaginaria, número complejo, parte real y parte imaginaria.

* Conocer la estructura analítica y algebraica de los números complejos y sus principales elementos(operaciones algebraicas y vectores en un plano)

* Representación de los complejos como puntos en un plano,representación polar , conjugado de un complejo ,módulo, distancia, raíces de un complejo.

* Pasar de forma binómica a forma polar y viceversa. Operar con complejos en forma polar (multiplicación, potenciación y división) e interpretarlo gráficamente.

* Conocer la fórmula de Moivre. Hallar todas las raíces n-ésimas de un complejo e interpretarlas gráficamente.

INTRODUCCIÓN :
Muchos conceptos en matemáticas tardaron varios años y hasta siglos en desarrollarse, desde el momento en que fueron descubiertos por primera vez, por alguna mente brillante, hasta la formalización de los mismos. El avance en el tiempo de la matemática fue un proceso lento, debido al caracter formal de esta ciencia: una de sus reglas es que cualquier objeto nuevo debe estar claramente definido para ser aceptado por toda la comunidad. Así pues, muchas ideas incompletas quedaron relegadas a la oscuridad y el olvido por no encajar en el sistema de razonamiento de la época, como fue el caso de los números complejos.
Fue en Italia, durante el periodo del renacimiento, cuando por vez primera los algebristas se dedican a investigar seriamente estos números y penetran el halo misterioso en que se hallaban envueltos desde la antiguedad.
Los complejos aparecen inicialmente en el libro Ars magna de Girolamo Cardano, publicado en 1545.
Pero ¿Cómo surge la idea de usar estos números? ¿Porque no aparecieron antes?
¿Quién era Cardano? Trataremos de contestar a estas interrogantes remontándonos a los orígenes del álgebra.
Podemos decir que los números complejos aparecieron muy temprano en el paisaje de las matemáticas, pero fueron ignorados sistemáticamente, por su caracter extraño, carentes de sentido e imposibles de representar. Aparecen entre las soluciones de las ecuaciones cuadráticas, que generan raíces cuadradas de números negativos.
Por ejemplo la ecuación: x2 + x + 5 = 0 no posee soluciones reales. Si empleamos la conocida fórmula de resolución de una ecuación de segundo grado, nos encontraremos con la raíz cuadrada de –19: Los matemáticos griegos, que conocían los métodos geométricos de resolución, consideraban este tipo de problemas irresolubles.
Es completamente incorrecto decir que la aparición de los números complejos se debió a la imposibilidad de resolver todas las ecuaciones cuadráticas, pues los matemáticos de entonces simplemente no se interesaban en ello. La motivación real de entenderlos, viene de las ecuaciones cúbicas, como veremos más adelante.
Recordemos que los griegos rechazaron el uso de los números negativos, por la falta de un equivalente dentro de la geometría. Para ellos, todo número representaba la longitud de un segmento o el área de una figura plana. La geometría era considerada entonces como el corazón de toda la matemática y esto, por supuesto, retardó considerablemente el desarrollo de los sistemas numéricos.
Con el surgimiento del álgebra durante la Edad Media, el concepto de número se amplía, para poder manipular las ecuaciones, desligadas ya de la influencia dominante de la geometría. El algebrista se va a mover en un mundo pleno de libertad e imaginación donde las ecuaciones y fórmulas serían el semillero de las grandes ideas que darían impulso a la matemática. Los números, de ahora en adelante, quedarían libres de sus equivalentes geométricos.

• Presentar algunos elementos de un nuevo sistema numérico que se genera como ampliación del sistema de los números reales. Estos elementos denominados CANTIDADES IMAGINARIAS, se generan históricamente de la resolución de la ecuación binomia:
x2n + 1 = 0 ; n Î , n ³ 1.
Cuya resolvente es:
• Hacer conocer que, de todas las cantidades imaginarias usuales en este nivel, la más importante es el número imaginario . Cuya simbolización universal , fue dada por K.F. Gauss en el siglo XIX, y se le denomina UNIDAD IMAGINARIA.
• También nos interesa exponer todas las propiedades que guarda la unidad imaginaria “i” y sus consecuencias diversas.
CANTIDADES IMAGINARIAS
Son aquellos números que resultan al extraer la raíz de aquellos radicales de índice par de cantidades subradicales reales negativas. Es decir, se trata de extraer las RAÍCES ALGEBRAICAS del radical , siendo
Veamos:

El problema consiste en hallar las “2n” raíces algebraicas del subradical (–1). Observemos los siguientes ejemplos:

y así sucesivamente.

APLICACIONES DIVERSAS:




Tener en cuenta que: y
son cantidades imaginarias, ya que provienen de radicales de índice par de cantidades subradicales negativas. Teniendo en cuenta que estos son elementos del conjunto de los números complejos.

UNIDAD IMAGINARIA
Es aquella cantidad imaginaria elemental que resulta al extraer la raíz cuadrada de (–1). Es decir:

Ejemplos :



POTENCIAS ENTERAS DE LA UNIDAD
IMAGINARIA
Nos interesa analizar la potencia enésima de in; . Considerando las definiciones:

Analicemos por inducción las potencias crecientes de in; n ³ 1. Veamos:

* i1 = i * i5 = 1 * i9 = 1
* i2 = –1 * i6 = –1 * i10 = –1
* i3 = –i * i7 = –i * i11 = –i
* i4 = 1 * i8 = 1 * i12 = 1

Se observa que las potencias de “i” se repiten cada cuatro veces y sólo asumen uno de los cuatro valores i, –1, i y 1. Teniendo en cuenta lo siguiente:

Luego generalizando se tiene:

Ejemplos diversos:

Se sabe que un número es múltiplo de cuatro, si sus dos últimas cifras son múltiplos de él. Veamos los siguientes ejemplos:

Calculemos ahora la potencia negativa de i:

Por lo tanto:
Generalizemos esto, mediante la siguiente propiedad:
i–k = (i–1)k = (–i)k = [(–1) i]k = (–1)kik

TEOREMA:

Ejemplos diversos:

Reducir :

Luego :

PROPIEDADES DIVERSAS:
1º) i + i2 + i3 + i4 = 0
2º) i4k + i4k+1 + i4k+2 + i4k+3 = 0;
3º) ik + ik+1 + ik+2 + ik+3 = 0;
4º) ;
5º)

APLICACIONES ELEMENTALES :
1. Calcular:

Por la segunda propiedad se tiene:

2. Calcular las siguientes potencias:

Aplicando la 4ta. propiedad en el 2do. factor:
B = (1) i4k = (1) (1) = 1

Como 3747 es un número impar, se tiene:
C = i4k–1 = i4k+3 = i4k · i3 = (1) (–i) = –i

3. Reducir:

4. Calcular:

Es evidente que:

Por lo tanto : R = 2i + 95

FORMA BINÓMICA O RECTANGULAR
DE UN NÚMERO COMPLEJO
Por definición, un número complejo es todo par ordenado de números reales. Donde la primera componente es la parte real y la segunda componente la parte imaginaria. Es decir:
Dado Z = (a; b) tal que
Siendo : a es la parte real de
b es la parte imaginaria de
En símbolos:

TEOREMA:
Todo número complejo Z = (a; b), tiene como equivalente la forma cartesiana Z = a + bi, denominada también binómica o rectangular.

Demostración:
Sea: Z = (a; b); tal que

Por adición de pares ordenados:
Z = (a; 0) + (0; b)
Z = a (1; 0) + b (0; 1)

Por definición :
(1;0) = 1 (unidad real)
(0; 1) = i (unidad imaginaria)

Luego: Z = a (1) + b (i)
Finalmente: Lqqd.

DIAGRAMA DE ARGAND DEL
COMPLEJO Z
Dado el complejo Z = a + bi

Ejemplo: Sea Z = 3 + 4i

OPERACIONES BÁSICAS EN LA FORMA
CARTESIANA
1) Adición y Sustracción en
Dados: Z = a + bi
W = c + di
Se definen:

2) Multiplicación en
Dados: Z = a + bi
W = c + di
Se define:

3) Inversa de Z
Dado el complejo: Z = a + bi ¹ 0
Se define:

4) División en
Se tienen los complejos: Z = a + bi y
W = c + di
Se define:

PROPIEDADES USUALES

1º) (1+i)2 = 1 + 2i + i2 ;
(1+i)2 = 1 + 2i – 1
Por lo tanto:

2º) (1–i)2 = 1 + 2i + i2 ;
(1–i)2 = 1 + 2i – 1
Por lo tanto:

3º) Como consecuencia de las propiedades anteriores

4º) Dado
Racionalizando el denominador, se tiene:

Por lo tanto:

5º) Dado
De la propiedad anterior:

Por lo tanto:

APLICACIONES ELEMENTALES

1. Simplificar:

2. Reducir:

Como: ; se tiene lo siguiente:

3. Efectuar:

Multiplicando los dos primeros factores, aplicando la propiedad distributiva:
T = (6 + 4i – 3i – 2i2) (8 – i) ; i2 = –1
Luego : T = (8 + i) (8 – i)
Entonces : T = 82 – i2 = 64 – (–1) = 65

4. Resolver la ecuación:

Como : 512i = 29 i9 = (2i)9, resulta:
(1 + i)n = (2 i)9
(1 + i)n = [ (1 + i)2 ]9
(1 + i)n = (1 + i)18 ®

5. Simplificar :

*
*
*
Por lo tanto:
13. La suma de dos números complejos es 3 – 2i, la parte real del primero es 5.Si el cociente del primero entre el segundo es un número real, ¿cuál es el segundo número complejo?

Rpta.:

14. Dados: Z1 = m + 7 + (m – 3)i
Z2 = n – 2 + (2n + 1)i
Z3 = p + 4 + (q – 5)i
donde: , se sabe que Z1 es un número real, Z2 es un número imaginario puro y Z3 es nulo.
Según esto, calcular (m + n + p + q).

Rpta.:

15. Si los números complejos: Z1 = (a + 4b) + 11i y Z2 = 6 + (4a + b)i son conjugados, entonces (a + b) es igual a:

Rpta.:

CARL FRIEDRICH GAUSS (1777 – 1855)

Matemático alemán conocido por sus diversas contribuciones al campo de la física, especialmente por sus estudios del electromagnetismo.
Nació en Braunschweig el 30 de abril de 1777 y estudió lenguas antiguas, pero a los 17 años comenzó a interesarse por las matemáticas e intentó dar una solución al problema clásico de la construcción de un heptágono regular, o figura de siete lados, con una regla y un compás. No solamente consiguió probar que esto era imposible, sino que siguió aportando métodos para construir figuras de 17, 257 y 65 537 lados. Durante estos estudios, probó que la construcción, con regla y compás, de un polígono regular con un número de lados impar sólo era posible cuando el número de lados era un número primo de la serie 3, 5, 17, 257 y 65 537 o un producto de dos o más de estos números. A raíz de este descubrimiento abandonó sus estudios de lenguas y se dedicó a las matemáticas.

Estudió en la Universidad de Gotinga desde 1795 hasta 1798; para su tesis doctoral presentó una prueba de que cada ecuación algebraica tiene al menos una raíz o solución. Este teorema, que ha sido un desafío para los matemáticos durante siglos, se sigue denominando teorema fundamental de álgebra (véase Álgebra; Teoría de Ecuaciones). Su tratado sobre la Teoría de números, Disquisitiones arithmeticae (1801), es una obra clásica en el campo de las matemáticas.
Más tarde, Gauss dirigió su atención hacia la astronomía. El asteroide Ceres había sido descubierto en 1801, y puesto que los astrónomos pensaban que era un planeta, lo observaron con mucho interés hasta que lo perdieron de vista. Desde sus primeras observaciones, Gauss calculó su posición exacta, de forma que fue fácil su redescubrimiento. También planeó un nuevo método para calcular las órbitas de los cuerpos celestes. En 1807 fue nombrado profesor de matemática y director del observatorio de Gotinga, ocupando los dos cargos hasta el 23 de febrero de 1855, fecha de su muerte.
Aunque Gauss hizo valiosas contribuciones tanto a la astronomía teórica como práctica, trabajó sobre todo en matemática y en física matemática, abarcando prácticamente todas sus ramas. En la teoría de números desarrolló el importante teorema de los números primos. Gauss fue el primero en desarrollar una geometría no euclídea, pero no publicó estos importantes descubrimientos ya que deseaba evitar todo tipo de publicidad. En la teoría de la probabilidad, desarrolló el importante método de los mínimos cuadrados y las leyes fundamentales de la distribución de la probabilidad. El diagrama normal de la probabilidad se sigue llamando curva de Gauss. Realizó estudios geodésicos y aplicó la matemática a la geodesia. Junto con el físico alemán Wilhelm Eduard Weber, Gauss realizó una intensa investigación sobre el magnetismo. Entre sus más importantes trabajos están los de la aplicación de la matemática al magnetismo y a la electricidad; una unidad de inducción magnética recibe su nombre. También llevó a cabo investigaciones en el campo de la óptica, especialmente en los sistemas de lentes.