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FORMAS INDETERMINADAS Y FUNCIONES HIPERBOLICAS EJERCICIOS RESUELTOS PDF

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Teorema de Cauchy – Reglas de L’Hospital
, Formas Indeterminadas Reductibles a: 0/0 ó infinito/infinito
, Funciones Hiperbólicas
, Derivadas de las Funciones Hiperbólicas
, Funciones Hiperbólicas Inversas
, Relaciones entre las funciones hiperbólicas inversas y las logarítmicas
, Derivada de las funciones hiperbólicas inversas ,
I n este capitulo trataremos las reglas de L’Hôpital, las cuales se emplean para
calcular límites de ciertas formas indeterminadas, y las funciones hiperbólicas, que
sirven para modelar algunas situaciones que involucran e x y e~x .
«). I T E O R EM A DE CAUCHY – REGLAS DE L ‘H O P IT A L
teorem a de C auchy. Si las funciones f , g : K —* M son:
.i) Continuas en el intervalo [a; b]
b) Derivables en (a: b)
c) g \ x ) 5= 0, V x £ (a: b)
I ntonces, existe por lo menos un punto c E (a: b) tal que
f ( b ) — f ( á ) .. f ‘ ( c )
g ( b ) – g ( a ) g \ c )
Dem ostración
Se observa que g ( a ) 7= ,g(6), pues si g ( a ) = g( b) , entonces g cumpliría las
condiciones del Teorema de Rolle y existiría c E (a; b) tal que £/’(c) = 0.
„ f í b ) – f ( a )
Sea K = —rrr—— — (1)
g( b) — g( a)
Entonces, f ( b ) – f ( a ) – K [ g ( b ) - g( a) ] = 0.
Consideremos la función auxiliar F ( x) definida por
F (x ) = f (x) – / ( a ) – K \ g ( x j – g ( a ) \ , x E [a: b\
Penemos que F es continua en [a:b], derivable en {a \ b ) y F ( b) — F ( a ) = 0.
Entonces. F satisface las condiciones del teorema de Rolle y, por tanto, existe
c E (a; b) tal que F ‘(c ) = f i e ) — Kg’{c) — 0.
f ‘ ( c )
(lo m o g ‘( c ) =p 0 , s e t i e n e K — ——— ( 2 )
9 (c)
Finalmente, de (1) y (2) se obtiene
f { b ) — f { a ) f \ c )
g í b ) – g ( a ) g ‘{ c)
c E (a; b )
TÓPICOS DE CÁLCULO – VOLUMEN I
Teorem a 1 (P rim era Regla De L ‘H ôpital: Form a jj)
Si las funciones / , g: IR -» E son:
a) Continuas en el intervalo [a;a + h], h > 0
b) Derivables en (a; a + h)
c) g \ x ) 0, V x £ (a ; a + h)
d ) / ( a ) = g (a) = 0
/ ‘ O O e) lim – — L (ó + co)
x—a g (x)
/ ( x ) / ‘( x )
Entonces, lim —— = lim ——— = L (ó ± oo)
x – a + g ( x ) x- a+g ‘( x)
Dem ostración
Se observa que g (x) 0, V x £ (a; a + /i), pues si x £ (a; a + /i), aplicando el
T.V.M. a la función g en el intervalo [a; x], se obtiene
í W – g ( a ) = (x – a)g’(c), (a < c < x)
Puesto que ,g(a) = 0 y ,g'(c) ^ 0 (hipótesis (d) y (c)), se tiene
g (x ) = (x — a ) g' (c ) ^ 0 , V x £ (a; a + h)
f i x )
En virtud de lo anterior, considerem os el co cien te ------ para x £ (a ; a -f h).
g í x )
Como / ( a ) = 5 (a ) = 0, el teorema de Cauchy nos permite escribir
/ ( x ) / ( x ) - / ( a ) / '( d )
——r = — :-------— = - . a < d < x
S W g ( x ) - g { a ) g (d)
Se observa que cuando x -» a + => d -»■ a +. Luego, en virtud de (e):
lim —/ c—o = lim m— — = .h. m. —r o—o
x-*a+g(x) d-a+ g ( d) x-a* g (x)
C orolario I
Sí ias condiciones del teorema se verifican en un intervalo [a — h;a]
(ó [a — h\ a + h ]), el teorema es verdadero cuando x -> a~ (ó cuando x —* a).
C orolario 2
Si las condiciones a), b) y c) se verifican en el intervalo 1 / • 3-1 \ — ; + o o ) ( O ( —oo; — – V
h \ n ‘
lim /(x) = lim g(x) = 0 (ó lim f ( x ) = lim o(x) = o ) , entonces x-»+co x-»-t-oo \ •<-4—oo * - » - co /
/ m r o o / , / ( x ) r ( x )
lim —— = lim , o lim , . — hm ,, ^
*-~+c° g ( x ) x - + c o g ( X) \ x — cp g ( X) *— ° ° s 0 0
siempre que el límite de! segundo término exista.
396
l ORM AS INDETERM INADAS Y FUNCIONES HIPERBÓLICAS
Demostración
Si x -* +oo, reem plazando x = las dos funciones f y g ^ tienen límite
cero cuando t -» 0+.
Definiendo f = g ^ = 0 para t — 0, obtenem os dos funciones continuas
en el intervalo [0; ft] que verifican las condiciones del teorema 1.
Aplicando este teorema, tenemos
lim . ,im £ § . . ,lm k M - ,,m z ^ 3 1
- r ( l ) - ,• r W
*™ °°3 '(x )
De manera similar, se demuestra cuando x -» -o o . En las aplicaciones no es
necesario hacer la sustitución.
Corolario 3
Si f ' ( a ) = g (a) = 0 y g' satisfacen las condiciones del teorema 1, entonces
/ c o ,. r e o / " ( x ) lim ■ --- - - = lim ■ ■ . ■ = lim — ——■
x->a+ g ( x ) x-*a+ g (x) x->a+g”(x)
siempre que el último límite existe. De esta manera, podemos continuar con el
método si la indeterminación persiste.
Observación 1
/ ‘ O O f { x )
Si no tiene límite cuando x -» a, no podemos concluir que — —
g ( x ) 5 (x)
tampoco tiene.
x 2 sen , x 0
.0 , x = 0
son tales que
Por ejemplo, las f u n c io ne s g ( x ) = sen x , /( x ) =
f(x ) x 2 s e n ( i ) / x n /1 \
— — = lim —————= lim ( ——– ) x sen (—) = 0
q ( x ) x -o sen x x-^o Vsen x> \ x )
lim
JC-0 ^(X)
/ ‘( x ) sen ( j ) – c°s ( j )
Sin embargo, lim —r— = lim —————————– no existe.
x->o g (x) *-*o cosx
3 9 7
TOPICOS DE CALCULO – VOLUMEN i
Teorem a 2 (Segunda Regla l)e L’H ôpital: Form a — )
00
Si dos (unciones f , g : W K& son:
a) Continuas en (a; a + h]
b) Derivables en (a; a + h)
c) g’ (x ) =£ 0, V x e (a: a + h)
d) lim f ( x ) = lim g ( x ) = oo
x-ȇ+ x->a+
f ( x )
e) lim —— – ■ = L (ó ± oo)
g (x )
f ( x ) f \ x )
Entonces, lim = lim ——- = L (ó ± oo)
x- a+ g ( x ) x~,a+g ( x )
D em ostración (Ejercicio para el lector)
O bservación 2
a) Es fácil demostrar, usando el T.V.M., que si lim f ( x ) = oo y l i m g ( x ) = oo,
x-*a ‘ x-’G
entonces l i m f ( x ) = oo y l im g ‘ ( x ) = oo. significa c,ue en un cierto
x->a x->a
subconjunto del dominio de f, f — (x-)- es nue vament e indeterminado
j ( * J
t’
si x —> a. Sin embargo, el cociente puede per mi ti r simplificaciones que
3
no p e r m i t e y , p o r tanto, f a c i l i t a el cálculo del l ímite c o r r e sp o nd ie n te .
X~1/4 ¡ OOs
Por ejemplo, al calcular lim ——- f o r m a — ),s e tiene
ln x v oo-7
x “ 1/4 ~ \ x ~Sh / 1
lim ———= lim ———-— = lim ( — x ~1/4 ) = —oo
ln x *->cr x _1 X-.0+V 4 /
oo 0
b) Para la f o r m a — se verifican los corolarios análogos a los dp ia f o r m a —.
oo 0
°o . f ‘ ( x ) f ( x )
cj En La f o r m a ■ —, si lim —7—- no existe, no se puede concluir que lim ———
00 x~*a g ( x ) x~>ag ( x )
no existe.
i 1 / 1\
Por ejemplo, si f ( x ) = – y g ( x ) = – + sen – , se cumple:
x x \xJ
f ‘ ( x ) – x ~ 2 1
lim — ■ = lim ——– ————- 7— = lim – r – (no e x i s t e )
*-»0 y<7 (x)J x-o - x_ ->2 (.y, l ,+ eos (1\1I x-o.1, -t. – eos f l \
f ( x ) x _1 1
No obstante, lim – = lim ————— = lim — ————— – r— = 1 (e xis te )
x ^ o g ( x ) x -o x _ i. + s e n g ) *”*° 1 + x s e n ( i )
3 9 8
FORMAS INDETERMINADAS Y FUNCIONES HIPERBÓLICAS
Ejem plo 1. Calcule lim-
*-3 sen (x — 3) ‘
Solución
0
liste limite es de la forma – .Aplicando la Regla de L’Hôpital, se tiene
e x ~3 — e 3~x e x~3 + e 3~x 1 + 1
lim ————-— = lim —————–= ———= 2
x-*3 sen (x — 3) x-3 eos (x — 3) 1
e x~2 + e 2~x — 2
Ejem plo 2. Calcule lim ——————— .
x- 2 1 — eos (x — 2)
Solución
0
Este límite es de la forma -.A plicando dos veces la Regla de L’Hôpital, tenem os
e x~2 + e 2~x — 2 e x~2 — e 2~x e x~2 + e 2~x
lim ———— ——-— = lim ————– — = lim —————–= 2
x – > 2 1 — cos(x — 2) x—2 sen(x — 2) x->2 eos (x — 2)
11 — C O S X —1 y X2
Ejem plo 3. Calcule lim ———– —– -— .
x – o * 4
Solución
0
El límite es de la forma — .Aplicando reiteradam ente la Regla de L’Hôpital, se tiene
1 —co sx —x2/2 s e n x —x c o s x —1 1
lim ——————-— = lim — — — = lim ——– -— = ——
x -> o x 4 x -> o 4 x J x – o \ 2 x ¿ 24
e – ü x
E jem plo 4. Calcule, si existe, lim ——-.
x – o x
Solución
Cuando x —> 0 , este límite es de la forma -0, Aplicando la Regla de L’Hôpital, se
tiene
Q — \jx p ~ ^ !x
lim ——- = lim ————–= lim
x -0 + X X-0+ 1 x -0 + X2
Se observa que si continuamos con el proceso, no se podrá levantar la
indeterminación. Por tanto, se puede reescribir como
e ~ 1/x y 00
lim ——- = lim —77- (Form a —)
x-*o+ x x -o 1- e 1/x co
Aplicando la Regla de L’Hópital al último límite, se obtiene
x -1 —x -2 1
lim —77- = lim —— _ , . = lim – 77- = 0 ( 1)
x-.o+ e 1/x x—»o-*” —x~ e ^ x -o + e 1/*
3 9 9
TOPICOS DI; CALCULO – VOLUMEN I
Por otro lado,
e -i/* i
lim ——- = lim — e 1′ x = —co [(—co)(+co) = —oo] (2) x – a ~ x x-*o~ x \ j i
e – l / x
Luego, de (1) y (2) se concluye que no existe lim ——-.
x-0 x
e~1/x – 1
Ejemplo 5. Calcule lim ——- t——
X-*-f-OCi 1
Solución
00
Este límite es de la forma —. Aplicando la Regla de L’Hôpital, se obtiene
e -1/*2 — i e ~ 1/x*2x~3
lim ——- ——- = lim X–TCO x-+o o- —-—–2 —x“J~ r — lim ) = – 1
X 2
Ejempl. o 6, . C„ a.l cul, e lim -I-n–(-s-e–n–x–)—– .
*~o+ ln(tan x)
Solución
OO
Este límite es de la forma —. Aplicando la Regla de L’Hôpital, se tiene
ln (s e n x ) c o tx
lim —— – ¡¡m —–^— = Jim cos^ x = 1
ln (tan x ) x-*o+ sec’- x x – o +
tan x
tan x
Ejemplo 7. Calcule lim
|t a n (3x)
Solución
Tenemos
.. tiadnii x (/ seenn xx \ //ceooss3 áxx \ seenn xx ¡c o s 3x
lirUr— 5— – lim ( ——— ) ———i = lim ——-— • lim -
tan 3x x-4 Vsen 3 x A eos x ) v^Esen3x xXJ-.L- cosx 2
El prim er límite es – l y el segundo límite es de la forma ^ . Aplicando ia Regla de
L’ Hópital a este límite, se tiene
eos 3x —3 sen 3x
lim ———= lim ————— = – 3
eos x – sen x
Portan,°’ !Lm5Srs=<-1)(-3) = 3-
4 0 0
IO R M A S INDETERM INADAS Y FUNCIONES HIPERBOLICAS
Xn
E je m p lo 8 . Calcule lim — .
X -* + cn Q x
Solución
OO
El límite es de la forma —OO. Como n £ N , aplicando sucesivamente (n veces) la
Regla de L'Hôpital, obtenemos
x n n x ” -1 n!
lim — = lim -------- = ... = lim — — 0
X —r + CO Q X X-*-t-CO Q X X -'- r C O Q X
X
Ejem plo 9. Calcule lim — , a > 0 y a g N.
X —*4 – 0 0 Q x
Solución
Como a es un número real positivo, existe n 6 Rj tal que n — l < a < n.
00
El límite es de la forma — . Aplicando la Regla de L'Hôpital n veces, tenem os
OO
x a a x “ -1 a ( a — 1 )... ( a — n 4- l ) x “ ~n
lim — = lim ---- — = = lim ---------- — -— --------- ;--------- = 0 X—* + 00 Q x X -+ + OO Q X JC-+ + OO C
pues a — n < 0 . Este resultado muestra que cuando x -> +co, la exponencial e x
es un infinito de “orden mayor que. cualquier potencia de x ”.
Si a E N , el resultado es el mismo porque el límite tiene la misma
indeterminación. Aplicando la Regla de L’Hôpital a veces, se tiene
x a a x “_1 a ( a — l ) x “~2 a!
lim — = lim —- -— = lim ——————-= ••• = lim — = 0
X —*”♦”OO g X X-*-t-CO Q x X — + CO £ X X —* OO £ X
Inx
E jem plo 10. Calcule iim —- , a > 0. a € N.
X-.-Í-00 X a
Solución
ÛO
Este límite es de la forma —. Aplicando la regla de L’Hôpital, se tiene
OO
ln x x _1 1
lim —–= lim ——– – = lim — – = 0
x-<+oo x a x-+ca a x a 1 x-*+oo a x a
Este resultado muestra que cuando x -» + 00. ln x es un infinito de "orden
inferior al orden de x a, si a > 0″.
Por ejemplo, para a = 1/3 se tiene
¡n x x ~ l 1
lim = Hm – = lim 7— = 0
X -> -rC O X ‘ X~* + CQ ~X XT-í’t-QO ~X x/ 3 3
401
9.2 FORM AS INDETERM INADAS REDUCIBLES A – ó —
0 00
0 X’
Las Reglas de L’Hópital solo se aplican a las formas — ó — . Sin embargo, las
O oo
otras formas indeterminadas se reducen a éstas mediante transformaciones
algebraicas simples. Estas formas son las siguientes:
1 ) 0 ‘o o [ I ) o o — oo I I I ) 0 o , o o ° y 1 “
O
Para transformarlos a las formas — ó — . se procede del siguiente modo:
O 00
I) Form a O • OO
Esta forma de indeterminación se presenta cuando se calcula el límite del
producto f ■ g , donde
lim / ( x ) = O y lim g { x ) = oo (a puede ser + co)
x-*a x-*a
Para calcular tal límite, se utiliza una de las siguientes trasformaciones, y luego
se aplica la Regla de L'Hópital.
f í ° \
/ • 9 = y (Form a - J (1) '
g
g ¡ °°\
f 9 = J (Form a —) (2)
7
O bservación 3
Cuando uno de Ios factores es una función trascendente con der ivada algebraica
(por ejemplo \ n x , arctan x, a rc s e c x , etc"), conviene conservar ese factor como
numerador. Por otro lado, los factores que poseen ¡imites diferentes de cero
pueden ser sustituidos directamente por estos.
E jem plo 1 1 . Calcule lim tan x ■ ln(sen x ) .
x - * 0 +
Solución
Para aplicar la Regla de L'Hópital a este límite, previamente se debe transformar a
cociente. Considerando la observación 3, es conveniente dejar ln(sen x ) como
numerador, esto es,
ln(sen x ) / oov
lim tan x ■ lnf sen x ) = lim ------------- Form a — )
x->o+ x->o-'- c o tx v oo/
c o tx
= lim -------— = — lim sen x eos x = O
x -*0 'f — CSCZX Jt->0+
TOPICOS DE CÁLCULO - VOLUMEN 1
4 0 2
PORMAS INDETERMINADAS Y FUNCIONES HIPERBOLICAS
II) Form a oo — oo
Esta forma se presenta cuando se calcula lim [/(x ) — g(x)], donde
x->a
li m / ( x ) = lim g ( x ) = oo
x-»a x->a
En este caso se utiliza la transformación
f – g = r – g ( ~ j ) O)
que lo convierte a la forma indeterminada del tipo O • oo y se-aplica el caso I.
E jem plo 12. Calcule lim^ ^—- esexj.
Solución
Este límite es de la forma oo — oo. Utilizando la transformación ( 3 ) , se tiene
Al aplicar la Regla de L’Hôpital al último cociente, se obtiene
/ I \ , co sx — 1
l i m —- esex | = iim ———————-
x-o + \x / x—o^ s e n x + x eos x
—sen x O
= lim ——————————– = – = O
co sx + co sx — x sen x 2
III) F orm as 0 o , oo“ y 1 “
Los límites de estas 3 formas indeterminadas se reducen a la forma O ■ co al
escribir la función dada como
[ / ( x ) P = e 9^x)\n(f(x)) (4 )
El límite que se obtiene en el exponente es de la forma O - oo, por lo que se
debe transformar a la forma 0/0 ó oo/co para aplicar la Regla de L'Hópital.
Ejem plo 13. Calcule !im (x + s e n x ) tan*.
x-»0+
Solución
. .. lim tan x ln(x-fsen x %,
Aplicando (4), se tiene lim (r-»0+ x 4- sen x ) ^ = e*-o+
Considerando la observación 3. el límite del exponente (forma 0 -ooj se
transformará a la forma 0/0. En la solución de este ejemplo, se aplicará la
recomendación dada en la observación antes indicada, en el sentido de que "los
límites (de los factores) diferentes de cero deben ser reemplazados directamente
por estos” . Trabajando sólo con el límite dei exponente, se tiene
4 0 3
1 + co sx
ln(seilX + X) r 4_ cpn r
hm tan x ln(x + sen x) = lim — ;----------------= lim —- - -
*-*o+ c o tx * -o + — csc2x
s e n 2x
= — lim (1 + eos x) ■ lim -------------
*-o+ x-o+ x + sen x
2 sen x eos x
= - 2 lim ——----- — = (—2 )(0 ) = 0
*-»o+ 1 + eos x
Por tamo, lim (x + sen x ) tanx = e° = 1.
AT-0 +
TT
Ejem plo 14. Calcule lim_(tan x)2~x.
x Jk
Solución
n
Aplicando (4), tenem os lim_(tan x ) 2 ~x = ex
Z~*2
Trabajando con el límite del exponente (es de la forma 0 • oo) y siguiendo las
pautas dadas en el ejemplo anterior, se tiene
TOPICOS DE CALCULO - VOLUMEN I
(Ti \ lnf tan x) v
lim_ ( — — x ) ln (tan x) = lim -:--------= lim I? — = lim
r - 4 k2 1 rj T 1 y_ r 1 v-JT
2 Ë T T 2 7ñ----------- ^
2- * ( 2 - x )
( f - x ) - 2 ( ~ - x )
= lim ) *------ — = lim — ------- = 0
X^ 1 ( l ) c o s x XS —s e n x
2 2
7Z_
Por tanto, lim_(tan x ) 2 ~x = e u = 1.
sec2x
( ? - )
sen x eos x
Ejemplo 15. Calcule lim (l -r x 2)*senx .
x-O
Solución
1 h in(l+x2)
Aplicando (4), se tiene lim (l + x 2)xsen* = e*-o ^senx
ln (l + x 2) 0
Como lim -------------- es de la forma se debe em plear *-o x sen x 0 la Regla de L'Hópitai.
Ai aplicar dicha regla de forma reiterada, se obtiene
2x
ln (l -i- x 2) 1 - r x 2 1 2x
lim --------------— lim ------------------------ = lim ---------t ■ lim
*-*o x s e n x i->o s e n x + x c o s x *-o 1 + x 2 *-o sen x + x eo sx
2 '
= 1 • lim --------------------------------= (1 )(1 ) = 1
aí->o eos x + eos x — x sen x
1
Por tanto, lim (l + x 2)xsenx = e .
x-»0
4 0 4
FORMAS INDETERM INADAS Y FUNCIONES HIPERBÓLICAS
Ejem plo 16. Calcule lim x x.
x - * 0 +
Solución
A«pil icandj o (í 4. )\ , se tiene lim x - ^= e*-o+x ln*
x->0 +
fil límite lim x ln x es de la forma 0 • oo. Para aplicar la Regla de L'Hôpital se
transforma a la forma oo/oo dejando ln x en el numerador.
ln x x
lim x ln x = lim —r— = lim ----- = lim (—x ) = 0
x - 0 + x -> 0 + _1 x - 0 + -—X X~“^ 2 xx--»»00 ++
X
Por tanto, lim x x = e° = 1.
*-.o+
Ejem plo 17 Calcule
vx"- — l ( a * —x l n a — co sx ) arcsen (8 x ) ln( 1 4- x 2)
i = h m ----- ------------------ ---------------- -— -■■■■ --------- :--------- -
x^° x B/ó sen 2x s e n ( v x 3 — x)
Solución
Tenemos
V x2 — lía * — x ln a — co sx ) arcsen (8 x ) ln (l + x 2)
L = lim ----------------------- ;----------------—- ■ ---------------------
x 8/'3 sen2x sen (V x 3 — x)
lim
a x — x ln a — c o sx
8 arcsen(8x) [ln (l + x 2)¡
X2 8x [ x 2 J
[sen x
2
sen ( v x 3 — x)
L X V x3 — X
Aplicando la Regla de L’Hôpital a los límites
a x — x ln a — c o sx ln (l + x 2)
lim --------------- r---------------------------------- = L. v lim ---------- -----------= L?
x -> 0 Xe
¡n a -i- x
se obtiene L, = ----------- v
1 2
’ — 1
Los otros límites son elementales y cada uno de ellos es igual a l.
Por consiguiente, L = ---- — _ . , „---------- = 4(ln2a + l ) .
( l ) ( l j
405
EJER C IC IO S
TOPICOS DE CALCULO - VOLUMEN I
Calcule los siguientes límites:
. , — 1 x — tan x
1) |imr m — a R- *-o ln ( l 4- x) x-o x — sen x 12 ) lim---- R. - 2
. . . . fe x — 1 „ . acx r—— {{a a++ 1i ))*~ , a , 3) lim —— — - R. 1 4) lim -----------— R. ln ( --- )
x - o x ( l - r x ) x - o X Va 4- l '
6) xl¡-nl? (Ur~i u--- ----X-- —X- t1 /) R .- 1 /2
x + sen(7rx) 1 4- n
5) lim ----------- — - R. ---------
x - o x — s e n ( 7 r x ) 1 — n
.. v Nl,„ ,, x - arcsen x
7) lim (e + x ) 1/x R. e ‘ 8) lim ------------------• R .- 1 / 6
x - o x - n sen3x
x e nx 2
9) lim ------------------ R. -
x-o 1 — eos (nx ) n
a x — x ln a — co sx 1
1 0 ) lim -------------- ------------ R. - (ln 2a + 1 )
x-o sen^x 2
x — X |
1 1 ) lim — -------- R. l n a — 1 1 2 ) l im ( ln x 4 — - j R. 4 - o c x - i ln x .'^ c \ x c í
x->—
13) vliJmEí' '—2 c o--s--x-- -- x t a n x )> R. 1 14) xl-iom+ (1 — e x ) ln(sen x) R. 0
/ t a n x x 1'*
im ------- R. 1 16) l i m ( x - 2 )
- 0 + \ X ) ’ x - 2 ^ ’
15) lim ( — — ) R. 1 16) lim (x - 2 )e IX R.
can x
R. 1
‘ 1 "1
17) lim í----------- c o tx ) R. 0 18) lim í - 'i x- 0 Vx eos x / x -0 + \xJ
i x s e n 2*
19) lim í- ----------) R. 0 20) lim (1 + x ) 1/xZ R. 0
x - 0 V i - C O S X / x - 0 ~
V 1 -4- X*'
21) lim (s e c x )i/x R. 1 22) lim ------------- R. I
X —>-rcc x
in x
23) lim —— R. 0 24) lim x ( ln |x |) 2 R. 0
’f0° V x x—o
25) iim |sen x \ x R. 1 26) lim (x 2 + a 2) 1'* 2 R. i x-*0 x —>co
/ 1 1 \ 1 / X 1 \ 1
27) lim -------------- - R. - 28) lim ------ ---------- R. -
x - oo \Vs esenn*2xx x 2/ 3 x - i Vx - 1 ln x / 2
4 0 6
V
I ( )RMAS INDETERMINADAS Y FUNCIONES HIPERBÓLICAS
p sen x — sen (p x )
29) lim —----------------- — -
x -o x (c o s x — eos (px)
se n 2x — s e n (x 2)
31) lim
33) l i m í - — —------
x-o Vx e x — 1/
ta n 2(x _1)
35) lim
co ln2( l + 4 x _1)
x sen (sen x)
R. - 30) lim ----------------------------- R. 2
3 *-*o 1 — eos (sen x)
cos(sen x) — co sx 1
R. 0 32) lim ----- -------- ----- ■------ R, -
x -o x 4 6
R. - 34) lim V x sen (x ~ 1/2) R. 0 / X—+ 00
R.
16
x 2 — 2 arctan (x 1)
36) X-l*im+o o ----- --------- ;— ----------------- - R .-2 X
x 2 4- 3x 4- 5 51 5a]
37) lim
x-0 sen x X
R. 3 38) X-l*im + oo eos —
x .
bx
R. 1
39) lim
x-0
1 1 1 ~ ” x
- ( – = = = – 1 ) R: 1
x V1 + x j
40) lim (x)i+2 ln x
’ X – 0 + 1 R. e 3/2
41) lim
x – 0
s e n y 4- s e n x
s e n y — s e n x
-J— / l 4- tan X \s e n x
R. e 50″}1 42) lim ————-
x—o VI 4- sen x )
R, 1
43) lim
x 4- 3x 4- 2x 4- 1
2 x 4 4- 5 x 4- 4
r 2- 2 x -
( ln x ) 2/3 4- (1 – x ) 3/4
4 4 ) lirn
[ s e n ( x - 1 )] 2 /3
R. 2
R. 1
45) ,l imí ———–1 ——— — –1- —- – 1
*“*° [ln(x 4- V i 4- x 2) ln ( l 4 - x)J
R. - 1 /2
46) lim (V i 4- s e n 3 x ) sen ^3x
x - o +
^2 U+i)3/5 _ i ) h _ COs [ ( x 4- l ) 7/ 9l] [ l n ( x 4- 2 )]17′ 15
47) lim — ——– ±———————————————————- –
x — i | 5 (x + i) / _ i j t a n 3 [ ( x 4- l ) s / 3] a r c s e n [ ( x 4- 1 ) 14/9]
R. 1
R. 4-oo
4 8 ) lim a—x
(a – x ) 13/15 c o s ( a – x ) 1/3 – e o s ( s e n 3 ( a – x ) s ] s e n ( 2 ( a — x ) 2/3)
¡e 2(a- *)*/*■ s e n [ 3 ( a — x ) 2 /3 ] 1 -
.
- e o s 2 1 s e n ( 4 ( a , – > x ) 3 )
R. 1 / 6
4 0 7
Las funciones hiperbólicas son combinaciones de ex y e~x y están definidas
como sigue:
TOPICOS DE CALCULO-VOLUM EN 1
9.3 FUNCIONES H IPERBÓ LICA S
a) / 0 0 = senh x
b) f ( x ) = coshx =
e* -r e
, x £
, ,, . , se n h * ex – e~x
e) f i x ) = tanh x = -7 7 7 7— = — — , x e
d) f i x ) = coth x ~
e) f ( x ) = sechx =
0 f i x ) = csch x =
coshx ex + e~x
cosh x ex + e^x
senh x ex — e~x
1 o
cosh x ex + e~x
1 o
senh x ex — e~x
(seno hiperbólico)
(coseno hiperbólico)
(tangente hiperbólica;
(co ta n g en te h ip erb ó lu
(secante h ip erb ó lica )
x * 0 (cosecante h ip erb ó lica )
Con la ayuda de las derivadas y límites, podemos graficar fácilmente estas
funciones. Sus gráficas se muestran en las siguientes figuras:
408
I ORMAS INDETERMINADAS Y FUNCIONES HIPERBÓLICAS
PRO PIED A D ES
Algunas propiedades de las funciones hiperbólicas son:
1) a) senh 0 = 0
b) cosh 0 = 1
c) tanh 0 = 0
2) Las funciones f i x ) — se nh x, g i x ) = tar.’n x , n (x) = cothx y j i x ) – cschx
son impares en sus respectivos dominios.
3) Las funciones f ( x ) = coshx y g i x ) = sechx son pares en sus dominios.
4) Los valores de las funciones seno hiperbólico y coseno hiperbólico están
relacionados con las coordenadas de los puntos de una hipérbola equilátera, de
manera similar a la que los valores de las correspondientes funciones
trigonométricas están relacionados con las coordenadas de los puntos de una
circunferencia (Fig. 9.7).
4 0 9
9.3.1 IDENTIDADES H IPER B Ó LIC A S
Las funciones hiperbólicas verifican ciertas identidades, similares a las que
satisfacen las funciones trigonométricas. Por ejemplo:
, 2 ,7 ( e x + e~x \ 2 / e x – e~x \ 2 2 + 2
coshrx – senh x = ^———— J – ^————-J = —- — = l
Ésta y otras identidades son las que a continuación se presentan, dejando al lector
la verificación de las mismas.
1) cosh2x — senh2x = 1
2) sech2x 4- ta n h 2x = 1
3) coth2x — csch2x = 1
4) senh(x ± y ) = senh x coshy ± coshx senh y
5) cosh(x + y ) = coshx coshy ± senh x senh y
tanh x ± tanh y
6) tan h (x ± y ) = ————————-
1 ± tanh x tan h y
7) sen h (2 x ) = 2 senh x c o s h x
8 ) cosh(2x) = cosh2x 4- senh2x
« . , t a + b \ ¡a — b \
senh a + senh b => 2 Senh [— cosh y—- — j
( á + Q\ / a - b\
i0 j cosh a + cosh o = 2 cosh ( —- — Jco sh^—- — j
, x
11) 2 senil“- - = cosh x 1
z
12) 2 cosh2 ~ = coshx 4-1
2 i
13) (senh x + c o s h x )" = sehh(?ix) + cosh (n x ) (Fórmula de De Moivre)
Ejem plo 18. Un m óvil describe un lugar geométrico dado por las ecuaciones
x = 2Vcosh 2 t + 4 e y = v 6 senh t — 1. Determine el lugar geométrico.
Solución
Tenemos
(x — 4 )2 (y -f i ) 2
---- ------= cosh 2 t = cosh2t 4- senh2t ...(1 ) A ------------= 2 senh2t ... (2)
(x — 4)2 (y 4- l ) 2
Efectuando (1) — (2), se obtiene----------------------------= 1.
4 3
Luego, el lugar geométrico que describe el m óvil es una hipérbola con centro en
( 4 ;— 1) y eje transverso sobre la recta y = —1.
TOPICOS DE CALCULO - VOLUMEN I
4 1 0
1
Ejem plo 19. Si tanh(ln x) = — —. halle el valor de x .
Solución
Se tiene
glnx — lnx x v*2 — i i
ta n h O n ») = + ° |
x + X
v'3
De la última igualdad, resulta 3x = 1 => x = — (pues x > 0).
I ORMAS INDETERMINADAS Y FUNCIONES HIPERBOLICAS
EJERCICIOS
1) En cada uno de los siguientes ejercicios, calcule el valor de x si
4 5 3
a) senh x = - b) c o sh x = - ; x > 0 c) tanh x = -
3 4 4
3 5
d) coth x = 2 e) csch x = — - f) coth x = — -
2) Demuestre que:
/ A — B \ senh A — senh B
a) tan h — — = -----— —¡------ — b) sech ( - x ) = seen x
V 2 / cosh A 4- cosh B
c) tan h ( - x ) = - tanh x /i! d) csch ( - x ) = - c s c h .
3) Demuestre que sen h 2x - sen h 2y = sen h (x 4- y )se n h (x — y).
4) Calcule el valor de x si
a) tan h (ln x) = - ^ . b) senh(ln 2x) = cosh (ln x)
9.4 DERIVADAS DE LAS FUNCIONES H IPER B O LIC A S
Las fórmulas de derivación para las funciones hiperbólicas se deducen fácilmente
aplicando las reglas de derivación a las funciones e x y e~x .
Así, por ejemplo,
d d ¡ e x — e~x \ e x + e
d x
t e *\ + e
(sen h *) = T x ( — j — ) = = COSI, x
La siguiente proposición presenta las derivadas de ¡as funciones hiperbólicas.
41 i
TÓPICOS DE CÁLCULO - VOLUMEN I
Proposición 1. Las funciones hiperbólicas son derivables en sus
correspondientes dominios. Se cumple:
a) / ( x ) = s e n h x , entonces / '( x ) = co sh x
b) / ( x ) = c o s h x , entonces / '( x ) = s e n h x
c) / ( * ) — t a n h x , entonces / '( x ) = sech2x
d) f ( x ) = c o th x , entonces f \ x ) = — csch2x
e) / ( x ) = s e c h x , entonces / '( x ) — - se c h x tan h x
f) / ( x ) = c s c h x , entonces / '( x ) = - csch x coth x
Demostración (Ejercicio para el lector).
A continuación, se muestra la versión de la regla de la cadena para las funciones
hiperbólicas.
Corolario 1. Sea u = u (x ) una función diferenciable. Entonces
a) /^ ( s e n h u ) = cosh u • Dx (u)
b) Dx ( c o s h x ) = senh u ■ Dx (u)
¡ c) Dx (tanh u ) = sech2u ■ Dx (u)
i d) Dx (coth u ) = —csch2u ■ Dx (u)
e) Dx ( s e c h u ) = — s e c h u • tanh u • Dx (u)
0 £>x (csch u ) = —csch u • coth u ■ Dx ( u )
Corolario 2 (Límites Hiperbólicos)
i) lim s e n h x = 0 ii) lim c o sh x = l
x —*0 x-*0
senh x tanh x
iii) lim ----------= 1 iv) lim ------ = 1
x-*0 X x —*0 X
1 —c o sh x 1 —c o sh x 1
v) lim ---------------= 0 vi) lim ------- ------ = ------
*-o x ¿ 2
Demostración
i) y ii) son elementales.
Los límites iii) y vi) son de la forma -0. Al aplicar la Regla de L Hôpital, se tiene
senh x co sh x
iii) lim ---------- = lim ----------= 1
*-»o x x->0 1
1 - c o sh x - s e n h x 1
vi) lim ------------------------ -= lim — = --
■ " ~ n.x 2
4 Î 2
FORMAS INDETERM INADAS Y FUNCIONES HIPERBÓLICAS
Ejem plo 20. Si / ( x ) = ln (se n h (x 4)), halle /'( * ) •
Solución
1 4 x 3 cosh (x 4) , , , , 4.
f i rv \ ___________ Isenhfx = -------------- t---- = 4 x 3 co th (x ), x ^ 0
f W ~ se n h (x 4) iSmh[pC sen h (x 4)
Ejem plo 21. Calcule lim n senh ( - ) , para x 0.
1 r n-*+oo v*n/
Solución
Este límite es de la forma 0 • oo. Al aplicar la Regla de L Hópital
transformación correspondiente, se obtiene
x senh ( £ } _ ^ - x 2n ~ 2 cosh g )
n s e n h ( - ) = hrn^ * „1™, - x n ~ 2
n
= lim x cosh ( - ) = x
n - » + c o \ n /
senh2x Vx tanh x
E jem plo 22. Calcule lim — , = ~ -
’ *-o x 2 Vcoshx —1
Solución
Al aplicar límites hiperbólicos, se obtiene
s e n h 2x V x t a n h x / s e n h x >
lim ------- , = Um ---------
*->o x 2 V c o s h x — 1 x~*° ' x ;
tanh x
* - = ( 1 ) 2
cosh x — 1
20x2
E’j emrp lo 23. Calcule *li-»mo -i- -—-- -v-,c oshx •
Solución
Al aplicar limites hiperbólicos, se obtiene
2 0 x 2 2 0 x 2 (1 + Vcosh x)
lim ------- ■— = lim ------ ;--------- Z--------
*-*o i — V coshx *"*0 1 co sh x
= lim 2 0 f - — ^ - 7— ) ( 1 + V co sh x ) = 2 0 ( - 2 ) ( 2 > - -
x->o \ 1 — c o s h x /
Ejemplo 24. Halle las asíntotas de / ( x ) — tanh x.
Solución
e x - e x
Como 7/ ( x ) = tanh x = pAx . p— A . se concluye:
a la
80
4 13
TÓPICOS DE CÁLCULO - VOLUMEN I
a) A síntotas Verticales: no tiene.
b) A síntotas H orizontales
1 — e 2x
i) !im ta n h * = lim = .l.i.m.. — -----— = 1
X -+ + CO x —* + ca Q x Q x X - * + o s 1 -4" 6 ^ X
- 1
ii) lim tanh * = lim
X-.-00 e x 4- e~ = limco
Q 4- 1 = - 1
Por lo tanto, tiene dos asíntotas horizontales: y = 1 A y =
c) A síntotas O blicuas: no tiene.
- 1.
E jem plo 25. Si / ( * ) ~
tanh x 4- senh x
senh x — tanh x
(x * 0) y
g ( x ) = tanh
1 + \Í2x + x 2
— I + 2arctan I ------- - I
W VI - W
ln I -------—-------- ) 4- 2arctan |
1 - \Í2x 4- ; '
, halle
a) / '( * )
b) g ' ( 0)
Solución
a) / ' O ) = K , donde
K
2 I tanh x 4- senh x
-\j senh x — tan h x
_ (senh x — tanh x)(sech2x 4- coshx) — (tanh x 4- senh x ) (cosh x — sech2x)
(senh x - tanh x ) 2
Simplificando y usando las identidades hiperbólicas, se obtiene
tan h x roo = - senh x — ta n h x , a: * 0
4 V2
b) a ' W = —1 4- x- s4e c h 2
1 4 -V2x 4-x 2\ / V 2v \ ]
ln ( ——- ————I 4- 2 arctan
1 – *j2x 4- x 2 1 – x 2
Luego, g ‘ { 0) = 4V2 sech2(0) = 4V2 .
Ejem plo 26. Si / ( x ) = co sh (2 x ) — senil2*, halle / (100^(x).
Solución
f ( x ) = co sh (2 x ) – sen h 2x = cosh2* 4- sen h 2* – se n h 2* = cosh2*
/ ‘( * ) = 2 c o sh * senh * = senh 2*
/ ” ( * ) = 2 cosh 2*
/ ” ‘( * ) = 2 2 senh 2*
4 1 4
I ORMAS INDETERM INADAS Y FUNCIONES HIPERBÓLICAS
f ^ \ x ) = 2 3 cosh 2*
f(n)r N _ (2n_1 c o s h 2 * , s i n e s p a r
l2 n_1 senh 2 * , si n es im par
Luego, / (100)(x) = 299 cosh 2*.
(V2 4- V i 4- cosh2*) , , „ ,
Ejem plo 27. Si /( * ) = — =—–. . • senh2* , halle f (*).
’ H V2 – VI 4- cosh2*
Solución
Para todo * £ Df = ¡R — {0}, se tiene
/ ( * ) = —(V2 4- V l 4- cosh2* )2
2(V2 4- V l 4- cosh2*)
f ( x ) = ———- —————- ——(senh * .co sh * )
V l 4- cosh2*
(V2 4- V l 4- cosh2* )sen h 2*
V l 4- cosh2*
y —se n h * r-
= V5 , halle y .
y 4- senh *
jy 4- senh *
Ejem plo 28. Si 1———- —
l y – s e n h *
Solución
Elevando al cuadrado ambos lados de la igualdad, obtenemos
y 4- senh * y — senh *
-y- –—– -s-e–n-h¡– *– – 1–y– -4—- -s-e–n-hL * = ^
Luego, derivando implícitamente, se obtiene
5 senh (2*)
y =■ 2y
n 5 cosh (2 * ) 2 5 sen h 2 (2*)
y y 4 y 3
x — 1
E jem plo 29. Si y = senh2* , halle la derivada de y respecto a ——- X ~h 1
Solución
x — 1
Haciendo u = ——- y aplicando la regla de la cadena, tenem os
* 4 – 1
d y
d y ¿ z 2 s e n h * c o s h * 1 _
J L = M – = ———- ———– = – ( x + 1) senh 2 x ‘
d u d u 2 2
d x (* 4- l ) 2
4 1 5
oo
Ejem plo 30. Si y = e (cosh*) Solución
Tomando logaritmo natural a ambos términos, obtenemos
00
ln y = ( c o s h x )tcosh*)'
Como la nueva igualdad contiene función exponencial, se aplica de nuevo
logaritmo a ambos términos para obtener
oo
ln (ln y ) = (c o s h x )(cosh:’0 • ln (co sh x ) = ln y • ln (c o sh x )
<=» ln (ln y ) = ln y • ln (co sh x )
Derivando implícitamente la última igualdad, obtenemos
y' y'
—— = — ln (c o sh x ) + ln y • ta n h x
y ln y y .
„ , y ln 2y ta n h x
De lo anterior, se deduce que y = ---------------------------.
1 — ln y ■ in(coshx)
E jem plo 31. Trace la gráfica de f ( x ) = tanh ^ ^ j e indique sus valores
extrem os y las ecuaciones de sus asíntotas.
Solución
i) Dr — (—oo; +oo)
ii) Asíntotas: la recta y = O es una asíntota horizontal, pues X-l*im±o o/ ( x ) = 0. No
tiene asíntotas verticales ni oblicuas.
ul’ r w = s e c h 2 ( ^ T T ) ( r T ^
Puntos críticos: x = — 1 y x = 1.
TOPICOS DE CÁLCULO - VOLUMEN I
En la tabla siguiente se muestra el análisis de los signos de f ' ( x ) .
Intervalos .Signo de f ' ( x ) Crecimiento Extremos
( - o o ;- 1 )
( - i ; i)

+
decreciente
creciente
decreciente—–
- / ( — 1) = —0,462 mín.
/ ( 1 ) = 0,462 máx.
La gráfica es simétrica respecto al origen. Ésta se muestra en la Fig. 9.8.
4 1 6
Ii IRMAS INDETERMINADAS V PUNCIONES IIIPERHOI ICAS
y
i
0,4
-1
v\ Ti y j 3 1 *x
-0,4
Ejem plo 32. Determine los valores extremos y las asíntotas de la función
f ( x ) = ta n h [x 1/3(x 4- 1 )2/3]
Solución
f ( x ) = ta n h [x 1/,3(x 4- l ) 2/í3] = ta n h (V x 3 + 2 x 2 4- x)
i) Df = R , /(O ) = O y / ( – l ) = O
ii) A síntotas H orizontales: y = 1 A y = — 1 , pues lim f ( x ) = ± 1
iii) f \ x ) = sech2 [V *3 + 2x2 + xj
Puntos críticos: x = — 1 , x = -
En ia tabla siguiente se muestra
3x -r 1
3 \ j x 2(x + 1)
- 1 /3 y x = 0
el análisis de los signos de /'(x ).
Intervalos ¡ Signo de f ' ( x ) i Crecimiento : Extremos
{ —oo; — 1) i 4-
( — l; — 1 /3 ) ;
( - 1 / 3 : 0 ) j +
: (0; 4-oo) ; 4-
decreciente C.1 , n
creciente------^ f \ ~ 3 ] — -0 ,9 1 9 7 mín.
creciente
La gráfica de la función se muestra en la Fig. 9.9.
Ejem plo 33. Dada f ( x ) = sech [x 2( l + x )2/3J, determine los valores extremos
y las ecuaciones de sus asíntotas.
Solución
i) Df = ¡R
ü) y = o es la única asíntota horizontal, pues lim f ( x ) — O
4 1 7
/ —2x(Ax 3)\
iii) f'(x') = sech u ■ tanh u • (— ----- ——- ) , donde u = x 2( 14- x )2/3
V 3(x + l ) 1' 3 /
Puntos críticos: x = —1, x = — 3 /4 y x = 0
En la tabla siguiente se muestra el análisis de los signos de f { x ) .
TOPICOS DE CÁLCULO - VOLUMEN I
intervalos Signo de f ( x ) Crecimiento Extremos
( - 00; - 1 ) + crecien te-------
<—l; —3 /4 ) _ decreciente - - - - * / ( —1) = 1 máx.
( - 3 / 4 : 0 ) • + creciente ' “/ ( —3 /4 ) = 0,9755 mín.
(0; + 00) - decreciente — / ( 0 ) = lm áx .
La gráfica se muestra en la Fig. 9.10.
Ejemplo 34. Estudie el crecimiento y los valores extremos de la función
( x 2 — 3 x + 2 \
/ ( x ) = cosh —r— — — -
J \ x 2 + 3x + 2J
Solución
i) Df = R - { - 2 ,- 1 }
ii) Asíntotas Verticales: x = — 2 , x = — 1
Asíntota Horizontal: y = c o s h (l) = 1,543
A 6 ( x - V 2 ) ( x 4- V2) , f(x - l) ( x - 2)]
111) f (x) = ————————=- • senh ——– ———–
(x + 2 )2(x + 1) [(x + 2)(x + 1)
Puntos críticos: x = —\f2, x = 1, x = V2 y x = 2
En la tabla siguiente se muestra el análisis de los signos de f ( x ) .
Intervalos Signo de f ( x ) Crecimiento Extremos
( - 00; - 2 )
( - 2 : —V2)
(—V 2 ;-l>
(- 1 ; l>
<1: V2)
(V2;2)
(2; + 00)
+ 1 + 1 + 1 +
creciente
decreciente - - -
creciente
decreciente
creciente
decreciente
creciente
' / ( - V 2) = 2,8 x 1014 mín.
' / ( 1 ) — 1 m in-
* /( V 2 ) = 1,0004 máx.
- f ( 2) = 1 mín.
La gráfica de y = / ( x ) se muestra en la figura 9.11.
4 1 8
11 IRM \S IN'DHTRMIN \DAS Y n !\ TC in\'F K IIIPF.RHOl.K.'AS
Fig. 9.11
Ejem plo 35. Determine los intervalos de crecimiento y los valores extremos de
(x 2 -f 5x + 4^
la función f ( x ) = tanh.((y•x2 — 5x + 4
Solución
¡) Df = K — {1,4}
ii) A síntota horizontal: y = ta n h ( l) . No tiene asíntotas verticales.
iü) / '( * )
10(4 - x 2)
(x 2 - 5x + 4 );
(x 4- 4 )(x + !) ]
.(* ‘- 4) (x —1)1
Puntos críticos: x = – 2 y x — 2.
En la tabla siguiente se muestra el análisis de los signos de / (x).
1 Intervalos ¡ Siano de f fx) ! Crecimiento Extremos
i ( – 00; – 2 ) i
i ( – 2 : 1 ) |
j
| (2 :4 )
i (4; +oo>
¡ decrece
4- j c re c e .-” ■
i 4- !¡ crece- — . . i
| – ! decrece – — 1
1 — ! decrece
‘ / ( – 2 ) = tan h ( – i ) mín. j
p ~ /( 2 ) = ta n h (—9) máx. ; i J
Para la gráfica (Fig. 9.12), se debe tener en cuenta que
lim f ( x ) = lim / ( * ) = 1 Y_ lim f ( x ) = lim _ /(x ) = – 1
* – .1 “ x —4 + x
4 1 9
TÓPICOS DF CALCULO – VOU JMEN !
y

y = cotgh I i
1
Ijll CO
i r iL ¡ ~2^~— n— ►X
Fig. 9.13
Ejem plo 36. Determine las asíntotas, lot valores extremos relativos y bosqueje la
gráfica de / ( * ) = coth j
Solución
i) Df = E – {±8, ±1}
( x 2 — 9x + 8
1 \ x 2 + 9x + 8
ii) A síntotas Verticales: x = 1 , x = 8
A síntota H orizontal: y — coth (1), pues lim x-»±oof (x) = coth (1).
También se observa que
x-l*im-8 – f { x ) – x-l*im-l + / ( x ) = 1 yx l-im’-8 ‘t’f ( x ) ~ limx— -f1(”x ) = – 1
üi ) / ‘( * ) =
18(x2 — 8) , ? (x – l)(x – 3)
:COsh‘
( x 2 + 9x + 8 )2 (x -t- l) ( x -r 8)
Puntos críticos: x = —2V2 y x = 2V2
En la tabla siguiente se muestra el análisis de los signos de /’(*)■
Intervalos Signo de f ‘ ( x ) j Crecimiento Extremos
(—oo; —8)
(—8; —2V2)
{—2a/2; —1)
( – 1 : 1 )

(2V 2;8)
(8: + 00)
— i decrece
— • i d e c r e c e – - – - .
4- ¡¡ crece – __
+ ¡ crece
— ; decrece
— I decrece
-— En x = —2V2 hay min.
•i’O-l-
^ En x — 2V2 hay máx.

L a g r á f i c a d e y = f ( x ) se m u e s t r a e n la f i g u r a 9 .1 3 .
EJERCICIOS
Del ejercicio 1 al 18, calcule los límites que se indican.
senh 8x „ „ n ,
l j lim ———– R. 8 2) lim s e n h x R.+oo x->0 X X-. + 00
senh 9 x – senh 5x senh x
3) lim ————————– R. 4 4) lim ——————————————- R. *->o x c o s h x sen x
ta n h x —s e n h x 1 1 —c o sh a x a 2
5)1 x~l*imo ———x- 3=- ——— R . – -2 6) xl-i>mo ——-x–¿- —— R ~ T¿
1 – cosh (5x) 25 ^ 1 – eos (senh x) 1
7) x-l*iom 1- -—–■ -c–o–s-h– ( —7x)- R- 7479: 8) *li-»mo –s–e-n- 52 7(-s-e–n-hu 2x) R a
x — senh 4 x 1 senh(7r – x ) I
9) lim —————- R. – - 10) lim — ———— R. -
x-o x + senh 5x 2 x-*n x ( n — x)
s e n h (l — x) Vx x 2
11) lim —— pr——— R .- 2 12) lim ————- R. 2
x-*i V i —1 *-*° ta n h x v i — se c h x
se n h 2x Vx tan h x V i + se c h x – V2
13) lim ——– — R- V2 14) lim —— . – R. – -
*-o x 2V coshx — 1 xV coshx — 1
FORMAS INDETERMINADAS Y FUNCIONES HIPERBÓLICAS
15) lim f —–t-t———–r ——-r ) R- 9
x-»o\senh2x c o sh x —1 / 2
2 — V coshx — cosh x 3
16) lim ————– i————- R’ _ I x-*o x 2 4
17) lim (c o sh x )1/x2 R. e 1/2 18) U m (l + s e n h x ) coth* R.e
x-»0
d y
Del ejercicio 19 al 37. halle y ‘ = — de las funciones dadas.
19) y = coth ( 1 ) R. y ‘ = csch2 ( – )
20) y = arcsen (sen h X2)
21) y = sech2x + 3 csch2x
|!
1 + sen x
2V> y = J 1 – senh x
421
1
TOPICOS DE CÁLCULO – VOLUMEN I
23) y = ln arcsec
eos (tanhV * 4- v x )
f x \ 1 , i í x \ 1 /X \
( 2 ) 2 tan ( 2 ) R . 3
‘ ‘ ■ í s“ h ( 2 )
1 . V2 ( \ + V2 tanh x
25) y = – t a n h x 4- — In
1 — \Í2 tanh x
( 2 3 \
26) y – ( V–c-o- srr^r—x + -c-o–s)h s‘exn/ h .
R. y ‘
R. y ‘
1
1 — sen h 4x
27) y -
28) y =
senh x ■ co sh x
Va cosh2x + b sen h 2x
a + b tanh (
a — b tanh
R. y ‘ =
coshsx cosh x
ab
( a cosh ( ^ ) – b senh
senh(a — b + c)x senh (a 4- h – c)x senh ( a – b – c ) x senh(a + b + c)x zy) y ————————–1——————– ————————– 1_______ 1________i_
a — b + c a + b — c a — b — c a + b 4- c
R. y’ = 4cosh(ax) cosh(bx) cosh (x)
csch x + coth x
30) y = ———————
csch x – coth x
31) y = sen h (x — y)
32) tanh y = 3 x 2 4- tan h (x 4- y)
33) coth(xy) 4- x y = 0
34) cosh(x 4- y) = y senh x
35) y = se n h (c o sh (x 2 4- y 2))
36) y — ^jsenh x 4- V senh x 4- v se n h x 4- ■••00
00
37) y = ( c o s h x y cosh*)tcoshJ:)
38) Halle la derivada de / ( x ) = sen h (V x ) respecto a 4- 1 j.
1 — cosh (senh 3x)
39) Halle la derivada de / ( x ) =
se n h 2(senh 3x) respecto a senh(3x).
I ORMAS INDETERM INADAS Y FUNCIONES HIPERBOLICAS
40) Si y = a senh(Ax) 4- b cosh (A x ), calcule el valor de k si
d 2y
k -
d x 2
A2y.
41) Si y =
c — x”
, halle el valor de k si
c o sh x — x
k = (cosh x — x )y ‘ 4- y senh x — y 4- 2x
R. k = 0
R. k = 0
42) Si A = y ‘c o th x • cosh2x A y
halle A.
ta n h 2x 4- lta n h 2x 4- v ta n h 2x 4- V Z ,
43) Determine los valores extremos, los puntos de inflexión, intervalos de
crecimiento, intervalos de concavidad y las asíntotas de las siguientes
funciones hiperbólicas.
a) / ( x ) = senh x b) / ( x ) = cosh x c) / ( x ) = tanh x
d) / ( x ) = sech x e) / ( x ) = coth x f) / ( x ) = csc h x
Para cada una de las siguientes funciones, halle los intervalos de crecimiento y
decrecimiento y los valores extremos. Además, bosqueje su gráfica indicando sus
asíntotas.
44) / ( x ) = ta n h [x 2/3(x 4- 1)2/3]
( \ 4- x 4- x 2”
46) / ( x ) = tanh
45) f { x ) = co th (x 2 — 4)
\ 1 – I 4 X ‘
— x 4- x 2
48) f i x ) = coth , ,
J 1 \ 1 4- X 4- X 2
50) f i x ) = sech[x(x 4- 1 )2/'3]
52) / W = « * l> (í t J + V + l )
47) f i x ) = cosh
49) f i x ) = tanh (
51) f i x ) = coth
lOx 4- 9
54) / ( x ) = tanh
56) f i x ) = senh
58) f i x ) – tanh
(x – l ) 2
x 2 4- lO x 4- 9
2 – 18x 4- 32
\ x 2 4- 18x 4- 32
x 2 4- 7x 4- 10
;x 2 —7×4- 10
53) f i x ) = csch
55) f i x ) = ta n h (x — \ ¡ x 3 4- 16)
57) f i x ) = sech[(x 4- 2)V= x]
1 – x + x 2
59) f i x ) = senh
1 4-x 4 -x 2
4 2 3
TOPICOS DE CALCULO – VOLUMEN I
9.5 FUNCIONES H IPER B Ó LIC A S INVERSAS
En la sección anterior, hemos visto que las funciones hiperbólicas senh x, ta n h x .
coth x y c sc h x son inyectivas en sus dominios respectivos (por ser crecientes o
decrecientes) y, por lo tanto, admiten función inversa.
Las funciones hiperbólicas c o sh x y se c h x no son inyectivas. Para hallar sus
funciones inversas, se restringe el dominio al intervalo [0; +co).
9.5.1 F U N C IÓ N IN V E R S A D E L SENO H IP E R B Ó L IC O
La función f ( x ) = senh x es una función inyectiva y, por consiguiente, tiene
función inversa, la cual se define como
y = f ~ 1( x) = sen h _1x <=> x = senh y
Df -1 = 1 y Rf - 1 = ¡Rt
La gráfica de y = se n h _1x se muestra en la Fig. 9.14.
9.5.2 F U N C IÓ N IN V E R S A D E L C O S E N O H IP E R B Ó L IC O
En ei caso de la función coseno hiperbólico, para definir su función inversa se
restringe el dominio al intervalo [0; + °°), es decir,
/ ( x ) = cosh x , x 6 [0; + 00)
I
Su función inversa está definida por
y = / - 1 (x) = cosh-1 x «=> x = cosh y
Df-1 = [1; +co) y Rf -i = [ 0 ; + 00)
L a g rá fic a d e y = c o s h _1x se m u e s tr a e n la fig u ra 9 .1 5 ( d e re c h a ).
4 2 4
FORMAS INDETERMINADAS Y FUNCIONES HIPERBÓLICAS
9.5.3 F U N C IÓ N IN V E R S A DE L A T A N G E N T E H IP E R B Ó L IC A
La función f ( x ) = ta n h x es inyectiva en todo su dominio y, por consiguiente,
tiene una función inversa, que se define como
y = f - 1 ( x ) = ta n h _1x <=> x = tanh (y)
Df - 1 = ( - 1 ; 1) y Rf - 1 = K
La gráfica de y = ta n h _1(x) se muestra en la figura 9.16.
9.5.4 F U N C IÓ N IN V E R S A D E L A C O T A N G E N T E H IP E R B Ó L IC A
La función inversa de la función f ( x ) = co th x está definida como
y = / -1 (x) = co th -1 x <=> x = coth y
Df - 1 = < - 00; - 1 ) U (1; + 00) y Rf-t = K — {0}
La gráfica de y = coth- 1 (x) se muestra en la figura 9.17.
4 2 5
Al igual que en el caso del coseno hiperbólico, restringimos el dominio la función
al intervalo [0; + 00), esto es,
y = f ( x ) - se c h x , x e [ 0 ; 4-oo)
La función inversa de / ( x ) está definida como
y = / -1 (x) = sech-1x <=> x = sech y
Df - 1 = (0; 1J y Rf - 1 = [0; + 00)
La gráfica de y = sech-1 (x) se muestra en la figura 9.18 (derecha).
TOPICOS DE CÁLCULO - VOLUMEN I
9.5.5 FUNCIÓN INVERSA DE LA SECANTE H IPE R B Ó L IC A
9.5.6 FUNCIÓN INVERSA DE LA C O SEC A N TE H IPE R B Ó L IC A
La función inversa de la función / ( x ) = csch x está definida como
y = csch-1 x <=> x = csch y
Df - 1 = R — {0} y R f - 1 = R — {0}
La gráfica de y = csch_1(x) se muestra en la figura 9.19.
426
9.6 R E L A C IO N E S EN TRE LAS FU N CIO N ES H IPE R B Ó L IC A S
INVERSAS Y LAS L O G A R ÍTM IC A S
En vista de que las funciones hiperbólicas se definen en términos e x y e ~x, las
funciones hiperbólicas inversas pueden ser expresadas en términos de la función
logaritmo natural, como se muestra en la siguiente proposición.
FORMAS INDETERMINADAS Y FUNCIONES HIPERBÓLICAS
Proposición 2
1) se n h -1 x = ln (x + V x2 + l ) , V x 6 R
2) cosh-1 x = ln (x 4- V x2 — 1 ) , x > 1
1 / I + x \
3) tanh x = - l n ^ , |x | < 1
1 (X + 1 \
4) coth l x = - ln ^ —y j , |x | > 1
— , 0 < x < 1
/ 1 i 1 \
- + 1 + 1
/
5) sech
/1 4- V1
-1x = !n ( —
D em ostración
1) Sea y = sen h _1x , x E R , y 6 R. Entonces, por definición, tenemos
e y — e~y
x = senh y = ----- ------ «=* (e y) 2 — 2 x (e y) — 1 = 0
2x ± v 4 x 2 4- 4 — -
<^=> e y — --------------------- =» e y = x 4- yj x 2 4- 1 , pues e y > C
Tomando logaritmo a ambos términos de la última igualdad, obtenemos
y = ln(x 4- v x 2 4- 1) .
Por tanto, sen h -1 x = !n(x 4- Vx2 4- 1).
e y - e~>’
3) y = ta n h -1x, con | x | > l A y 6 R = > x = tanh y = ^ ^ _ y
, x 4- 1
<=> e 2y — 1 = x e v 4- x <=> e y = -------
1 - x
( X + 1 \ 1 /x 4 1 \
1 /X 4- 1\
Por tanto, tanh (x) = - in -------
2 VI - x !
La verificación de las otras propiedades queda como ejercicio para el lector.
427
TÓPICOS DE CÁLCULO - VOLUMEN I
9.7 DERIVADAS DE LAS FUNCIONES H IPER B O LIC A S INVERSAS
Proposición 3. Las funciones hiperbólicas inversas son derivables. Se cumple:
a) / ( * ) = se n h - 1(x) , entonces / '( x ) = .
V x2 4- 1
1 1
b) / ( * ) = cosh * ( x ) , entonces / '( x ) = - = = , x > 1
V x2 - 1
1
c) / ( x ) = tanh *(x) , entonces / '( x ) = ------- - , |x| < 1
1 — x ¿
d) / ( x ) = coth_ 1(x) , entonces / '( x ) = --------- , Ixl > 1
1 — x ¿
1
e) / ( x ) = sech 1(x) , entonces / '( x ) = ------ , , 0 < x < 1
x V l - x 2
0 / ( * ) = csch_1( x ) , entonces / '( x ) = -------- , , x ^ 0
|x |V l + X2
Demostración
a) Como / ( x ) = sen h _1(x) = ln(x + V x2 4- 1), entonces
/ ' ( * ) = ------- - ( l 4 - - —
x + V x2 + 1 ^ V x2 + 1 ' V x2 4- 1
Para demostrar esta propiedad también se puede usar derivación implícita y
proceder de manera similar a la efectuada para las funciones trigonométricas
inversas. La demostración de las otras propiedades queda como ejercicio para
el lector.
Corolario. Sea u = u (x ) es una función diferenciable de x. Entonces
a) Dx (senh 1u) = —
yju2 + 1
Dx (u)
b) Dx(cosh i¿) = — , u > 1
v u 2 - 1
Dx (u)
c) D a ta n ti 1u ) = ------ , |u | < 1
D J u )
d) Dx (coth u ) = -1- —-- -u--2j - ¡u l > 1
I . , A t(u )
! e) Dx (sech au ) = ........................... , O < u < 1
u V l - u 2
¡ f) Djr(csch_1w) = ------------------------------- — , u ^ O
I l u i v m ?
4 2 8
Ejemplo 37. Si f { x ) = coth- 1(e* 2-4), halle
a) D o m (/) b) /'(x ) c) D o m (/')
Solución
a) D o m (/) = [x / e* 2-4 > l} = {x / x 2 — 4 > 0} = (—oo; —2) U (2; 4-°°)
2 x e x2-4
FORMAS INDETERMINADAS Y FUNCIONES HIPERBÓLICAS
b) = 1 _ g 2**-8
c) D o m (/') = D o m (/)
Ejemplo 38. Si / ( x ) = coth” 1(sen 6x) y g ( x ) = ta n h _1(sen 6x ), halle, si
existen: / '( x ) , D o m ( /') , g ' { x ) y Dom(,g').
Solución
i) Como |sen 6x| < 1, entonces D o m ( J ) = 0. Luego, no existe / ni / '.
ii) Dom(,g) = {x £ IR / ¡sen 6x| < 1}
= jx £ IR. / 6x t — + k n , k £ ¡zj
( nn kn i
jx £ IR / X 9= — 4- — , k £
(. 12 6 J
6 eos 6x
. — sen 2 6;
D o m (g ') = Dom(flO
iii) g ' ( x ) = ---------- 7— = 6 sec 6x
l - s e n 26x
, x ‘
E jem plo 39. Sea / ( x ) = sech 1 — — 1, a > 0.
a) Determine D o m (/) b) Halle / '( x ) y determine D o m (/')
Solución
a) D o m ( f ) = | x £ K / 0 < ¡— - 1 < 1 ^ = [-V 2 a ; —a) U (a; V2a]
CLX
b) f ‘ i x ) = – — —— — y D o m (/’) = < -V 2a; - a ) U (a; V2a>
( x 2 — a 2)V 2 a2 — x ‘
E jem plo 40. Sea f ( x ) = X i / x 2 4- c2 + c2senh-1 c > 0.
a) Determine D o m (/) b) Halle / ‘ ( x ) y determine D o m (/’)
Solución
a) D o m ( f ) = US
4 2 9
b) / ‘( x ) = + – * ! _ + C2 -jM L
J x ^ T c 2 i f x \ 2
TOPICOS DE CÁLCULO – VOLUMEN i
Luego, f ( x ) = 2V x2 + c 2 y D o m (/') = E.
Ejemplo 41. Si / ( x ) = ln + y tanh_1 , halle /'( x ) .
Solución
1 1
/ ( * ) = g ln (x - 1) - g ln(x + 1) + — ta n h -1 j
Luego de aplicar las reglas de derivación y de simplificar la expresión, se obtiene
/ '( * ) = -
3 (x 4 - 3 x 2 + 2)
tanh-1x
Ejemplo 42. Calcule lim _
x-o e 2x — 1
Solución
0
Este límite es de la forma - . Aplicando la Regla de L'Hôpital, se obtiene
1
tan h 1x i _ r 2 1
lim —T-— — = lim - — ^ - = -
*->o e 2x — 1 *->o 2 e 2* 2
Ejemplo 43. Sea / ( x ) = tanh-1
( x 2 – l l x 4- 10\
i^x2 + l l x + 10 /
Halle sus asíntotas, sus valores extremos y esboce su gráfica
Solución
i) D o m ( f ) = j x e E /
x 2 – l l x + 10
x 2 + l l x + 10 < 1 1 = ( 0 ; + o o )
/ x 2 — l l x + 1 0 \
ii) Como / ( x ) = ta n h “ 1 entonces / ( 1 ) = / ( 1 0 ) = 0.
Se observa que xl-i»r0n+ / ( x ) = + oo ,p u es Uli-ml- tanh-1 (u ) = -foc.
Por tanto, x = 0 es asíntota vertical.
No tiene asíntotas oblicuas ni horizontalés.
x 2 - 1 0 _
iü) f ' ( x ) = 2x■ (x2 + 10) . El único punto crítico de f es x’ = VIO.
4 3 0
FORMAS INDETERM INADAS Y FUNCIONES HIPERBÓLICAS
El análisis de los signos de / '( x ) se muestra en la tabla siguiente.
Intervalo Signo de f ' ( x ) Crecimiento Extremos
(0: VÏÔ)
(VTÔ; +oo) +
decrece............
crece " "
- '/ ( V I Ô ) = 0,2767 mín.
La gráfica de / ( x ) se muestra en la figura 9.20.
Ejemplo 44. Sea / ( x ) = sen h -1 (V x 3 + 2 x 2 + x).
a) Halle D o m (/).
b) Determine los valores extremos de / .
c) Esboce la gráfica de / .
Solución
a) D o m ( f ) = E
3x + 1 1
b) Í ( X ) ~ 3(x + 1 )V 3x 2/3 ' V i + (x3 + 2x ^ 1 p f
Puntos críticos: x = - 1 , x = - 1 / 3 y x = 0.
El análisis de los signos de / '( x ) se muestra en la tabla siguiente.
Intervalo Signo de f ' i x ) Crecimiento Extremos
(-oo; - 1 )
( - 1 ; - 1 / 3 )
+
decrece
/ V4\
( - 1 /3 :0 ) + “• / (—1/3) = senh 1 í — — [ mín.
(0; +oo) + crece V 3 /
c ) L a g rá fic a se m u e s tra e n la fig u ra 9 .2 1 .
431
Del ejercicio 1 al 13, halle y' = de las funciones que se indican.
1) y = se n h -1 (e*) + ta n h -1 ^
2) y = se n h -1 (ln x ) + ln (tan h -1 (x ))
3) y = ta n h - 1 [2log2(s*2+2)]
.*, , í 3 + s e n x i
4) y = ta n h " l í ^ s s d R. 10*
5) y = [senh-1 (2 x )]2
6) y — x e - *cosh-1 ( l - x)
7) y = 3 a 2tanh-1 ( [——— ) R. - Ü Z L t . 4* 2
\ y x + a j Vax + x 2
8) y = tanh-1 ( ^ j + tanh-1 ^
9) y = a cosh-1 ( l - í ) + J x 2 - 2a x , a > 0
10) y = senh-1 ( í ) + — ~ * , a > 0
‘■a’ x
11) y = s e n h -1 -y/2 – V2x + cosh-1 (V 2 – V2x)
12) tanh-1 (x + y ) = -[ta n h -1 (x) + tanh-1 (y)J
13) tanh-1 x + x cosh-1y = senh-1 (x + y)
J a 2
— — 1 – Va 2 – y 2 (a > 0) se llama tractriz.
Demuestre que la pendiente a la curva en cualquier punto (x; y) es
y
yja2 – y 2
15) Dadas las funciones
/ ( * ) = – 2 + tanh(x – 1 ), ,g(x) = 4 – arccot (- _ ^ 2) + arccot ^ ,
K x ) = tanh-1 ( j – | l n ( | ) – 2 y y(x) = 4 4- senh-1(x 4- 2).
TÓPICOS DE CÁLCULO – VOLUMEN I
EJER C IC IO S
4 3 2
FORMAS INDETERM INADAS Y FUNCIONES HIPERBÓLICAS
Halle el área del rectángulo tal que su primer vértice es el punto de inflexión
de f ( x ) , el segundo es el punto de máximo relativo de g ( x ) , el tercero es el
punto de extremo relativo de /i(x) y el cuarto es el punto de inflexión de
;( x ) . R- 18 u 2
16) Dadas las funciones
. ( x 2 + lOx 4- 9 \ 1 / 3 \
m = – 3 + ta n h – _ l 0 i + – j l n ( 5 ) y
g ( x ) = 4 + arctan ( | +^ 2j – arctan ( – j
Halle el área del triángulo cuyo primer vértice es el punto ( 1 ; – 3 ) , el
segundo es un extremo relativo de / (x) y el tercero es el máximo relativo de
g (x). R. 14 u 2
Del ejercicio 17 al 36, para cada una de las siguientes funciones, halle los
intervalos donde la función es creciente o decreciente, los extremos relativos y las
asíntotas (si existen). Además, bosqueje la gráfica de cada una de ellas.