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DATOS Y AZAR EJERCICIOS RESUELTOS DE MATEMATICA 2 SECUNDARIA – MEDIA PDF

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PROPÓSITO DE LA UNIDAD
El año anterior se estudiaron las medidas de tendencia central y posición. Este año estos tópicos se
complementan con las medidas de dispersión. Con ellas, y lo aprendido anteriormente, los alumnos
y las alumnas tienen las herramientas para comparar dos o más conjuntos de datos. En este mismo
contexto, se introducen los conceptos de homogeneidad y heterogeneidad.
También se aborda de manera conceptual el muestreo aleatorio simple, con el fin de que los alumnos
y las alumnas se vayan familiarizando con este concepto.
Se retoma la regla de Laplace para el cálculo de probabilidades, pero en esta oportunidad se le
entrega herramientas de conteo con el fin de que los alumnos y alumnas puedan resolver ejercicios
de mayor complejidad.
Por último, se ven dos propiedades importantes de las probabilidades: la regla de la suma y la regla
del producto.
A pesar de que constantemente presenciamos situaciones sujetas a variabilidad,
por ejemplo: el clima, el precio del pan, el tiempo que demoramos de ir un
punto a otro, etc., en general la varianza no es un concepto que se maneje
cotidianamente. Es recomendable introducir este concepto con ejemplos simples
que ayuden a sus estudiantes a entender la importancia de considerar la variabilidad
de un evento o situación. Analicen qué consecuencias pueden haber si no se
toma en cuenta en un contexto de toma de decisiones.
Si bien la medida de dispersión más utilizada es la desviación estándar (y en su
defecto la varianza), siempre se presenta primero el rango, pues es una medida
fácil de calcular y que grafica claramente lo que es la variabilidad de un conjunto
de datos.
Para introducir el concepto de la probabilidad de la unión, la sección se desarrolla
utilizado un ejemplo donde es fácil reconocer los distintos eventos y la unión
de ellos. La idea es ir construyendo, en conjunto con los alumnos y las alumnas
y utilizando la regla de Laplace, la formula para la probabilidad de la unión.
En esta sección, se ve también el caso de la probabilidad del complemento.
Se sugiere destacar su importancia utilizando ejemplos (a continuación, se
sugieren dos) donde sea más fácil calcular la probabilidad del complemento
que la probabilidad del evento en sí.
Medidas de dispersión
ANALICEMOS…
Aldo es dueño de un almacén y últimamente sucede que o no hay suficientes
salchichas para satisfacer la demanda o sobran demasiado. Cada semana,
debe botar todas las salchichas que han vencido. Aldo compra cada paquete
de salchichas a $ 640 y la vende al público a $ 830, es decir, por cada
paquete de salchichas vendido gana $ 190.
Aldo revisó la cantidad de paquetes de salchichas que ha vendido durante
las últimas siete semanas. Observa.
Una posibilidad es calcular la media de la venta realizada:
x–= = 55,0
Es decir, la media de la venta semanal de salchichas es de 55 paquetes.
Ahora, si Aldo hubiera comprado todas las semanas 55 paquetes, en las
semanas 1, 4, 5 y 6 habría perdido venta y habría dejado de ganar $ 11 400.
Por otra parte, en las semanas 2, 3 y 7 habría tenido excedentes, perdiendo
$ 38 400. Considerando ambas situaciones, habría perdido $ 49 800 en total.
Según esto, ¿te parece adecuado recomendar a Aldo que compre 55 paquetes
de salchichas semanalmente?, ¿cuántos paquetes debería comprar para evitar
perder tanto dinero?
57 + 50 + 43 + 62 + 73 + 88 + 12
7
• Si Aldo debe botar 20 paquetes al final de la semana, ¿cuánto dinero
pierde?
• Si él nota que podría haber vendido 15 paquetes más, pero ya no le
quedaban, ¿cuánto dinero pierde por esto?
• ¿Qué le conviene más, tener muchas salchichas, aunque luego le sobren,
o tener pocas, para no tener que botar las salchichas al final? Justifica tu
respuesta.
• ¿Cuántos paquetes de salchichas debiera comprar Aldo cada semana
para satisfacer la demanda?, ¿cómo lo calculaste?
• ¿Qué otras variables o elementos se deben considerar?
• ¿Podemos decir que la demanda de salchichas en el almacén de Aldo es
un experimento aleatorio?, ¿por qué?
• La media, x–, se calcula
x– = ,
donde x1, x2, … xn
son n observaciones.
• Si no se sabe con exactitud el
resultado de un experimento, pero
sí se conoce el conjunto de todos
los posibles resultados, entonces es
un experimento .
x1 + x2 + … xn
n
RECUERDA QUE…
GLOSARIO
actitud o predisposición
de adquirir bienes y/o servicios para
satisfacer las necesidades por parte
de uno o más consumidores.
Semana 1 2 3 4 5 6 7
Venta (paquetes) 57 50 43 62 73 88 12
219
Unidad 6
Este ejemplo muestra que, si bien la media, y también la mediana y la
moda, son útiles para describir un conjunto de datos, estas por sí solas no
son suficientes, ya que esconden información sobre la variabilidad de las
observaciones. En muchos casos, considerar solo esta información puede
inducir a tomar decisiones erróneas o poco eficientes.
Observa ahora que, en las últimas siete semanas, la menor cantidad de
paquetes de salchichas vendidos fueron 12 y la mayor cantidad, 88.
Podemos calcular el rango de la demanda de paquetes de salchichas de la
siguiente manera:
rango = 88 – 12 = 76 paquetes
Es decir, el rango de una variable es la diferencia entre el valor máximo y el
valor mínimo de las observaciones.
Las medidas de dispersión, como el rango y otras medidas, indican qué tanto
se dispersan o distribuyen, alrededor de su media, un conjunto de datos.
Observa los siguientes gráficos:
Gráfico 1 Gráfico 2
Se llama a cualquier
característica de un conjunto
de individuos u objetos que interese
estudiar.
RECUERDA QUE…
Ambos conjuntos de datos tienen la misma media: 15; sin embargo, como
se observa en los gráficos, las observaciones del gráfico 2 se encuentran
más cercanas a la media que las del gráfico 1.
Si x1, x2,…, xn son n observaciones de una variable y su media es x ,
entonces una medida de dispersión en torno a la media es calcular la suma
de las diferencias entre cada una de las observaciones y la media. Esto es:
(x1 – x ) + (x2 – x ) + … (xn – x )
donde xi – x se conoce como la desviación de la -ésima observación
de la media.
Calculando esta expresión con los datos de venta de salchichas, se obtiene:
Semanas 1 2 3 4 5 6 7
Venta (paquetes) 57 50 43 62 73 88 12
(xi – x ) 2 –5 –12 7 18 33 –43
0 5 10 15 20 25 30 0 5 10 15 20 25 30
Luego,
(x1 – x ) + (x2 – x ) + … (xn – x ) = 2 + (–5) + (–12) + 7 + 18 + 33 + –43 = 0
El resultado es siempre 0; compruébalo con otros conjuntos de datos.
Luego, se define la siguiente medida de dispersión, conocida como varianza.
La varianza, que se denota por S2
x , de un conjunto de n datos es el promedio
de los cuadrados de las desviaciones de las observaciones respecto de su media.
S2
x =
(x1 – x )2 + (x2 – x )2 + … + (xn – x )2
n
La expresión (xi – x )2 garantiza que siempre estaremos sumando valores
positivos, y este resultado es 0 solo si todos los datos son iguales.
Ejemplo
Calculemos la varianza con los datos de venta de salchichas.
Semanas 1 2 3 4 5 6 7
Venta (paquetes) 57 50 43 62 73 88 12
(xi – x) 2 –5 –12 7 18 33 –43
(xi – x)2 4 25 144 49 324 1089 1849
Luego,
S2
x= = = 497,7
Entonces, si queremos resumir el comportamiento de la venta semanal de
salchichas del almacén de Aldo, podemos decir que tiene una media de
55 paquetes y una varianza de 497,7… ¿Qué le falta a esta afirmación?
Dado que al calcular la varianza se consideran las desviaciones al cuadrado,
su unidad corresponde a la de las observaciones, pero al cuadrado, es decir,
en este caso, la afirmación correcta es: “La venta semanal de salchichas del
almacén de Aldo tiene una media de 55 paquetes y una varianza de
497,7 paquetes cuadrados.”
Pero esto dificulta la adecuada interpretación de los resultados. Por ello, se
usa otra medida de dispersión, la desviación estándar, Sx , definida por
. Es decir, la desviación estándar es la raíz cuadrada de la varianza.
La ventaja de utilizar la desviación estándar como medida de dispersión es
que está expresada en las mismas unidades que las observaciones.
Para el caso de la venta de salchichas, sabemos que la varianza es de
497,7 paquetes cuadrados. Luego, la desviación estándar es de 22,3 paquetes.
348
7
4 + 25 + 144 + 49 + 324 + 1 089 + 1 849
7
Cuando se estudia una variable,
es fundamental indicar la unidad de
medición de las observaciones y, en
consecuencia, todas las medidas de
resumen que se utilicen deben
estar acompañadas de la unidad
correspondiente.
NO OLVIDES QUE…
Sx = Sx2
221
Unidad 6
EN TU CUADERNO
• Las medidas de dispersión: el rango, la varianza y la desviación estándar cuantifican la variabilidad
de un conjunto de observaciones.
• Por definición, el rango, la varianza y la desviación estándar son siempre valores positivos.
• El rango es la diferencia entre la observación de mayor valor y la de menor valor, razón
por la cual su valor se ve alterado si existe un valor extremadamente grande o pequeño.
• La unidad de medida del rango es la misma que la de la variable.
• La varianza de un conjunto de n observaciones se calcula:
(x1 – x)2 + (x2 – x)2 + … + (xn – x)2
n
Lo que es equivalente a:
y su unidad de medida igual a la variable observada al cuadrado.
• La desviación estándar es la raíz cuadrada de la varianza y su unidad de medida es la misma de
la variable observada.
• Si en un conjunto de datos todos tienen el mismo valor, entonces el rango, la varianza
y la desviación estándar son 0.
EN RESUMEN
1. Comenta con tus compañeros y compañeras cuál es la relevancia de las medidas de dispersión.
2. ¿Qué se puede decir de un conjunto de datos si solo sabemos que su media es 67 y que tanto su rango
como su varianza son 0?
3. Al lanzar un dado 6 veces, se observó que siempre se obtuvo el número 4. Sin calcular, ¿cuál es la
varianza de este conjunto de observaciones?
4. ¿Qué limitación puede tener el rango como medida de dispersión?
5. Considera el siguiente conjunto de observaciones, que corresponde al tiempo de secado (en horas) de
una pintura esmaltada:
a. Calcula e interpreta, en cada caso: el rango, la varianza y la desviación estándar.
b. Con estos datos muestra que:
Sx
2= =
(x1 – x )2 + (x2 – x )2 + … + (xn – x )2
n
(x1
2 + x2
2 + … + xn
2) – nx 2
n
3,4 2,8 4,4 2,5 3,3 4,0 4,8 5,6 5,2 2,9 3,7 3,0 3,6 2,8 4,8
Sx
2 =
Sx
2 =
(x1
2 + x2
2 + … + xn
2) – nx 2
n
Los estándares de calidad de una fábrica de baterías exigen que la duración
de una batería sea, en promedio, de 30 horas, pero además estipulan que al
menos el 75% de la producción debe estar entre 20 y 40 horas de duración.
Con el fin de analizar si las baterías cumplen las normas exigidas, Pedro
estudia el comportamiento de 40 baterías obteniendo la siguiente información:
Clase (horas de duración) Frecuencia (ni) Marca de clase (Mi)
[20, 25[ 10 22,5
[25, 30[ 9 27,5
[30, 35[ 10 32,5
[35, 40[ 7 37,5
[40, 45[ 4 42,5
Lo primero que verifica Pedro es la media que, en este caso, es:
x= = 30,8
Entonces, en promedio, las baterías tienen una duración de 30,8 horas.
De acuerdo a este valor, la fábrica cumple con la primera condición. ¿Qué pasa
con el segundo requerimiento? ¿Qué esperaríamos de la distribución de los datos
en torno a la media? ¿Cómo debería ser el rango y la varianza en este caso?
Cuando los datos están agrupados, el rango se calcula como el mayor valor
de la última clase menos el menor valor de la primera clase:
rango = 45 – 20 = 25 horas
Por otra parte la varianza se calcula como:
(n1M1
2 + n2M2
2 + … + nkMk
2) – nx 2
n
Para los datos de Pedro:
Sx
2 = (10 · 22,52 + 9 · 27,52 + 10 · 32,52 + 7 · 37,52 + 4 · 42,5) – 40 · 30,82
40
Sx
2 = 38,86 horas2
10 · 2,25 + 9 · 2,75 + 10 · 3,25 + 7 · 3,75 + 4 · 4,25
40
Medidas de dispersión para datos agrupados
• La (Mi) corresponde
al punto medio de una clase.
• La en
una tabla de frecuencias con k
clases se calcula:
RECUERDA QUE...
ANALICEMOS...
• ¿Cuánto duran, en promedio, las baterías observadas?, ¿satisface los
estándares de la fábrica?, ¿cómo lo sabes?
• ¿Cómo se puede decidir si también cumple con los estándares de calidad
exigidos?
• ¿Qué otros cálculos puede realizar Pedro para validar estos criterios?
• ¿Cuál es el rango de este conjunto de datos?, ¿cuál es su varianza?
Sx
2 =
x
n M n M n M
n
= k k
1⋅ 1+ 2 ⋅ 2 +…+ ⋅
1. En la fábrica donde trabaja Pedro se realizaron
ajustes en la producción, con el fin de garantizar el
cumplimiento de los estándares de calidad. Después
de un tiempo, se hizo un nuevo seguimiento a
40 baterías, obteniendo la siguiente información:
a. Calcula la media, la varianza y la desviación estándar y escribe tus conclusiones.
b. ¿Se cumple ahora con las exigencias de calidad de la fábrica?
EN TU CUADERNO
223
Unidad 6
Y entonces la desviación estándar es 6,23 horas. ¿Qué puedes concluir?
Una regla es que, en general, al menos un 75% de las observaciones se
encuentran en un intervalo cuyo límite inferior es el valor de la media
menos el doble de la desviación estándar y cuyo límite superior es el valor
de la media más el doble de la desviación estándar. Para el ejemplo:
[(30,8 – 2 · 6,23), (30,8 + 2 · 6,23)] = [18,34, 43,26]
Es decir, al menos el 75% de las baterías producidas en la fábrica donde
Pedro trabaja están entre 18,34 y 43,26 horas de duración.
En conclusión, aunque en términos de la duración promedio, la fábrica cumple
la norma, respecto a la variabilidad no la cumple, porque es mayor de la exigida,
pues el límite inferior del intervalo es 18,34 horas, menor que el 20 exigido.
Cuando tenemos datos agrupados:
• El rango se calcula como la diferencia entre el mayor valor de la última clase menos el menor
valor de la primera clase.
• La varianza se calcula:
Sx
2 =
(n1M1
2 + n1M1
2 + … + nkMk
2) – nx–2
n
donde n1 + n2 + … + nk = n
• La desviación estándar continúa siendo la raíz de la varianza.
EN RESUMEN
Clase (horas) ni Marca de Clase (Mi)
[20, 25[ 2 22,5
[25, 30[ 9 27,5
[30, 35[ 15 32,5
[35, 40[ 10 37,5
[40, 45[ 4 42,5
Comparación de dos o más conjuntos de datos
ANALICEMOS…
Ximena plantea que el tabaquismo incide sobre los patrones de sueño de
las personas. Por ello, observó el tiempo, en minutos, que demoran en
quedarse dormidos 12 pacientes fumadores y 12 no fumadores, obteniendo
la siguiente información:
Fumadores:
No fumadores:
Observa los valores obtenidos para ambos grupos de la media, la varianza y
la desviación estándar.
Para los fumadores, se tiene que:
x = 43,7 minutos
Sx
2 = 262,7 minutos2
Luego, la desviación estándar es 16,2 minutos.
Para los no fumadores, se tiene que:
x = 30,7 minutos
Sx
2 = 50,3 minutos2
Y la desviación estándar es de 7,1 minutos.
También se puede calcular la mediana y los cuartiles para ambos grupos
para observar si hay diferencias significativas entre los dos grupos.
La mediana para los fumadores es 47,9, es decir, el 50% de los fumadores
se demora a lo más 47,9 minutos en dormirse. Por otra parte, para
los no fumadores la mediana es 30,2, es decir, el 50% de los no fumadores
se demora a lo más 30,2 minutos en dormirse.
Luego, se tiene que Q1 para los fumadores es 28,8 minutos y para
los no fumadores es 27,4 minutos. Mientras que Q3 para los fumadores es
54,8 minutos y para los no fumadores es 37,0 minutos.
• ¿Cómo puede Ximena verificar su hipótesis con los datos obtenidos?
• Si la media de ambos grupos fuera similar, aunque la desviación estándar
sea distinta, ¿cómo se interpreta en este contexto?
• En cambio, si tienen una desviación estándar similar, pero la media es
distinta, ¿cómo se interpreta esto?
• ¿Qué otras medidas se podrían calcular con los datos obtenidos para
justificar mejor la hipótesis de Ximena?
69,3 53,2 60,2 56,0 48,1 43,8 22,1 52,7 23,2 47,6 34,4 13,8
28,6 29,8 30,6 36,0 25,1 28,4 31,8 37,9 26,4 38,5 41,6 13,9
La es aquel valor tal que
bajo él se concentran al menos el
50% de las observaciones.
Para datos no agrupados, la mediana
se determina ordenando las
observaciones de menor a mayor.
Si hay un número de datos, la
mediana es el valor que se encuentra
exactamente en la mitad.
Para un número de datos, la
mediana corresponde al promedio de
los dos valores centrales.
RECUERDA QUE…
1. Se realizó un experimento para comparar el efecto de tres regímenes alimenticios sobre el aumento
de peso. Se formaron tres grupos, uno con 10 individuos, otro con 12 y el tercero con 16. El primer
grupo fue sometido a la dieta A, el segundo a la dieta B y el tercero a la dieta C. Después de 15 días se
observaron los aumentos de peso, en kilogramos, observando los siguientes resultados:
Dieta A:
1,0 0,0 2,1 3,1 3,3 4,3 5,2 5,5 5,0 6,8
Dieta B:
3,0 4,0 5,7 6,0 6,9 7,0 7,2 7,3 2,8 3,5 5,0 6,0
Dieta C:
3,1 0,0 2,1 3,1 3,1 4,3 5,2 5,5
5,0 6,8 1,5 1,1 2,6 3,2 3,8 4,8
• Compara las tres dietas. ¿Cuál de las tres te parece más efectiva?, ¿por qué?
EN TU CUADERNO
• Una de las principales aplicaciones de las medidas de tendencia central, de posición y de dispersión,
es la comparación de dos o más conjuntos de datos. La media y la mediana nos permiten ver cómo
se comportan en promedio estos grupos, mientras que la varianza y la desviación estándar nos
permiten comparar cómo se comportan estos valores en torno a su media.
• No es necesario que los grupos a comparar tengan el mismo número de observaciones.
EN RESUMEN
225
Unidad 6
Basándose en todos estos resultados, se puede concluir que efectivamente
se observa una alteración en el patrón de sueño de los fumadores, pues
estos, en promedio, se demoran en dormirse 13 minutos más que los no
fumadores. Además, el 50% de los fumadores se demora 17,7 minutos más
en dormirse que el 50% de los no fumadores. Algo similar se observa
al comparar el tercer cuartil, en este caso, se observa una diferencia de
18,6 minutos. Por otra parte, en términos de variabilidad, la desviación
estándar de los fumadores es mayor que la de los no fumadores. Se puede
concluir, entonces, que el patrón de sueño de los no fumadores es más
estable que el de los fumadores.
Calcular Q1, para datos no agrupados,
es lo mismo que calcular la mediana
del 50% de los valores más bajos.
Calcular Q3, para datos no agrupados,
es lo mismo que calcular la mediana
del 50% de los valores más altos.
RECUERDA QUE…
Homogeneidad y heterogeneidad
Silvia es entrenadora de natación y es responsable de dos equipos de seis
nadadores. Los ha entrenado con metodologías distintas y quiere saber cuál
de ellas es más efectiva. A continuación, se muestran los tiempos
obtenidos, en segundos, por cada uno de los participantes en la prueba de
100 metros libres que organizó Silvia para evaluar sus avances.
Tanto para el equipo A como para el equipo B la media de las observaciones
es de 90 segundos. La mediana del primer equipo es 85, mientras que la del
segundo es 90. Entonces, para el equipo A el 50% de los nadadores se
demora al menos 85 segundos, y para el equipo B, al menos 90 segundos.
El rango del equipo A es 90 segundos mientras que el rango del equipo B
es 30 segundos. Por último, la desviación estándar del equipo A es
28,9 segundos y la desviación estándar del equipo B es 9,1 segundos.
Ambas medidas son menores para el equipo B. Esto nos indica que
su desempeño fue más parejo, es decir, no hay tanta diferencia en
los resultados de sus integrantes como en el equipo A.
Al comparar dos o más conjuntos de datos, mientras menor es la desviación
estándar o la varianza de un conjunto, se dice que su comportamiento es
más homogéneo (o regular) que los otros. Del mismo modo, mientras
mayor es su desviación estándar o la varianza, se dice que es más
heterogéneo (o irregular). Por ejemplo, el equipo A tiene una desviación
estándar de 28,9 segundos, esto se debe principalmente a que en ese
equipo está el nadador más lento (con 150 segundos), pero también está
el más rápido (con 60 segundos). En cambio, los tiempos del equipo B son
más parejos. Como, en promedio, tienen igual rendimiento, se puede
concluir que la metodología aplicada en el equipo B es más efectiva.
ANALICEMOS…
• Para comparar estos resultados, ¿qué medidas puedes calcular?
¿Qué información es importante revisar?
• ¿Cuál equipo tiene nadadores más rápidos?, ¿y cuál tiene al nadador más
rápido?, ¿es el mismo?, ¿por qué?
• ¿Cuál equipo tiene los tiempos de sus nadadores más parejos?,
¿cómo lo calculaste?
• ¿Qué puedes concluir con respecto al rendimiento de los equipos?
Nadadores 1 2 3 4 5 6
Equipo A 90 150 60 70 90 80
Equipo B 90 75 105 85 95 90
La homogeneidad y la heterogeneidad son conceptos que se encuentran asociados a la variabilidad
de un conjunto de datos. Mientras menor sea la varianza y, en su defecto, la desviación estándar y
el rango, más homogéneo es el grupo de observaciones que estamos estudiando. Al contrario, si la
varianza es mayor, entonces más heterogéneo es el grupo.
Si es mejor la heterogeneidad o la homogeneidad, esto guardará estricta relación con el caso que se
esté analizando. Por ejemplo, si la media de las notas obtenidas en un examen de Matemática fue
un 3,0, lo deseable es que la varianza fuera alta, pues si la varianza es baja, significa que a todo
el curso le fue mal. En cambio, en el problema de calibración de termómetros se desea que
la varianza sea pequeña, pues lo contrario indicaría que los termómetros están mal calibrados.
EN RESUMEN
227
Unidad 6
1. Marcos Pérez es ejecutivo de una AFP (Administradora de Fondos de Pensiones) y su responsabilidad
es asesorar a los afiliados sobre en qué fondo invertir. Un nuevo cliente debe decidir entre el fondo A
y el fondo B. Si se sabe que, en los últimos cinco meses, la rentabilidad del fondo A, en porcentaje, fue
la siguiente: 12, 10, 13, 9 y 11, mientras que la rentabilidad del fondo B fue 13, 12, 14, 10 y 6, ¿cuál de
estos fondos debe Marcos recomendar a su cliente?, ¿por qué?
2. En un curso se midió la altura de todos los alumnos y alumnas. Para su análisis, la información se dividió
en dos grupos, hombres y mujeres. Se observó que la desviación estándar de las mujeres fue de 10,5 cm,
mientras que la de los hombres fue de 17,8 cm. ¿Cómo se interpreta esto?, ¿qué se puede decir de cada
uno de los grupos?
3. Daniela está calibrando dos termómetros, diseñados para medir la temperatura ambiente. Ella sabe que
la temperatura real es de 16 ºC. Con cada termómetro realiza nueve mediciones y anota la diferencia
de las temperaturas registradas con la real, medidas en grados Celsius:
• ¿Cuál de los dos termómetros es más preciso?, ¿por qué?
4. Supón que existen dos conjuntos de datos con el mismo rango y media, pero uno tiene mayor varianza
que el otro.
a. Representa estos datos en un gráfico.
b. ¿Cómo serían?, ¿qué diferencias debieran observarse?
5. ¿Qué piensas que es mejor, que haya homogeneidad o heterogeneidad?, ¿por qué?
EN TU CUADERNO
Termómetro 1 –0,26 –0,63 0,30 –0,2 0,45 0,07 0,91 –0,47 0,37
Termómetro 2 0,79 –0,27 0,60 0,23 0,92 –1,09 0,79 1,11 –0,89
Muestreo aleatorio simple
ANALICEMOS…
Margarita está escribiendo su tesis para graduarse de nutricionista. Para
ello, realiza un estudio del peso de los estudiantes entre los 14 y 18 años en
un colegio que le fue asignado.
En particular, a Margarita le interesa conocer el peso promedio de estos
estudiantes y cómo se comporta la variabilidad de su peso. En este colegio
hay 800 alumnos y alumnas en este rango de edad, pero, por presupuesto,
Margarita solo tiene recursos para tomar el peso de 100 estudiantes.
En el caso del ejemplo, la población corresponde a todos los niños y niñas
entre 14 y 18 años del colegio y la muestra corresponde a los 100 estudiantes
que Margarita debe escoger.
Ahora, cuando se selecciona una muestra, se debe tener cuidado de que
esta refleje la composición de la población, según la característica que se
desee estudiar. En el caso de Margarita, se debe evitar subconjuntos que:
• Tengan solo niños.
• Tengan solo niñas.
• Tengan solo niños o niñas de 14 años.
• Tengan solo niños o niñas de 15 años, etc.
Un método que ayuda a evitar estos casos es el muestreo aleatorio simple.
El muestro aleatorio simple se puede entender de la siguiente manera:
Supón que todos los elementos de la población se enumeran desde el 1 hasta
el 800, esto porque, en este caso, hay 800 niños y niñas entre 14 y 18 años en
el colegio.
Por otra parte, se tiene una urna con 800 fichas, también numeradas del
1 al 800. Seleccionar una muestra aleatoria, por ejemplo, de tamaño 3,
equivale a extraer sin reposición 3 fichas de esta urna. De esta manera,
se garantiza que todos los elementos de la población tienen la misma
probabilidad de ser seleccionados.
Luego, si los números extraídos son el 3, el 99 y el 127, significa que
en la muestra están los estudiantes correspondientes a estos números.
• ¿Cómo puede Margarita escoger a los 100 estudiantes para que
representen fielmente a los 800 estudiantes que ella necesita incluir
en el estudio?
• ¿Qué consideraciones debe tener al seleccionar este grupo?,
¿qué debe evitar?
• ¿Qué método o de qué manera puede seleccionarlos, para asegurarse
que sea un grupo representativo?
GLOSARIO
: totalidad de las
observaciones que interesa analizar.
: cualquier subconjunto
de la población.
229
Unidad 6
Utilizando el dato del peso de estos niños, se puede calcular el peso promedio y
obtener una aproximación del peso promedio de los niños entre 14 y 18 años
del colegio.
1. Para el caso de Margarita, ¿de qué otra manera piensas que se puede seleccionar la muestra, de modo
que se garantice que estén representados ambos sexos y todos los rangos de edad?
2. Junto con un compañero o compañera realicen el siguiente ejercicio:
a. Realicen una encuesta a todos sus compañeros y compañeras de curso para reunir la información
de sus pesos. Con esta información, calculen el peso promedio de su curso.
b. En papeles independientes y del mismo tamaño, anoten cada uno de los pesos obtenidos.
c. Pongan los papeles en una bolsa y seleccionen 10 de ellos al azar. Calculen el promedio y
compárenlo con el peso promedio del curso completo. ¿Qué pueden concluir?
d. Repitan lo anterior, pero escojan ahora 20 papeles, y luego 30. ¿Qué ocurre con el peso promedio
a medida que sacan más papeles? Comparen sus resultados con los de otros compañeros y
compañeras.
3. Define las poblaciones correspondientes a las siguientes muestras:
a. Se llama por teléfono a personas de 200 casas en la comuna de Antofagasta y se les pide nombrar al
candidato a alcalde por el que votarían en la próxima elección municipal.
b. Se lanzó 100 veces una moneda y se obtuvo sello en 34 lanzamientos.
4. El número de multas emitidas por ocho oficiales, por infracciones de tránsito, durante el fin de semana
es 5, 4, 7, 7, 6, 3, 8 y 6. Si estos valores corresponden al número de multas obtenidas en una muestra
aleatoria de 8 oficiales de la comuna de Puente Alto, define una población correspondiente.
EN TU CUADERNO
Una muestra aleatoria simple es un subconjunto de la población, elegida por medio de algún
método que garantiza que todos los elementos de la población tienen la misma probabilidad de ser
seleccionados para formar parte de la muestra. Un requisito importante para el muestreo aleatorio es
que la población sea finita.
A través de la muestra, se puede obtener información importante sobre el comportamiento de la
población, como, por ejemplo, el valor promedio de un determinado atributo y su variabilidad.
El muestreo se utiliza, en general, cuando la población es muy grande y es costoso obtener
la información de la totalidad de ella.
EN RESUMEN
Utilizando una planilla de cálculo como Excel, además de algunas fórmulas sencillas y las funciones, puedes
calcular el rango, la varianza y la desviación estándar de un conjunto de datos.
Los siguientes datos corresponden a 52 mediciones de la emisión diaria, en toneladas, de óxido de azufre de
una planta industrial.
Copia los datos en la columna A de la planilla.
Para calcular el rango, primero se debe identificar la menor y la mayor observación.
En B1 se escribe Mínimo y en C1 se escribe =MIN(A1:A52) (pues hay 52 datos). Presiona enter y se obtiene
el valor de la menor observación que, en este caso, es 6,2.
En B2 se escribe Máximo y en C2 se escribe =MAX(A1:A52). Presiona enter y se obtiene el valor de la
mayor de las observaciones que, en este caso, es 31,8.
En B3 se escribe Rango, y en C3 se escribe =C2 – C1 (es decir, la diferencia entre la mayor y la menor
observación) y se obtiene el rango que, en este caso, es 25,6.
Para calcular la varianza, en B5 se escribe Varianza y en C5 se escribe =VARP(A1:A52). Luego, presiona enter
y se obtiene el resultado que, en este caso, es aproximadamente 40,5.
La imagen muestra los pasos realizados hasta ahora.
HERRAMIENTAS TECNOLÓGICAS
6,2 19,4 7,7 20,0 8,3 20,1 9,0 20,1 9,0 20,1 9,0 20,1 13,5
12,3 22,3 12,8 22,5 13,2 22,7 13,3 22,7 13,3 22,7 13,3 22,7 16,9
15,8 24,6 15,9 24,6 16,2 24,8 16,2 24,8 16,2 24,8 16,7 25,7 18,5
18,0 29,6 18,1 29,6 18,1 31,8 18,1 31,8 18,1 31,8 18,4 9,4 20,4
231
Unidad 6
Para calcular la media, escribe =PROMEDIO(A1:A52).
Para calcular la mediana, escribe =MEDIANA(A1:A52).
Para calcular un percentil, ten cuidado de escribir el percentil a calcular dividido por 100. Por ejemplo, para el
percentil 35 se escribe =PERCENTIL(A1:A52;0,35).
Para calcular la desviación estándar hay dos formas posibles:
En B6 se escribe Desv. estándar, y en C6 se escribe =DESVESTP(A1:A52). Luego, presionas enter y se obtiene
el resultado que, en este caso, es aproximadamente 6,364.
Otra forma es utilizar la función “RAÍZ” que calcula la raíz cuadrada de un número. Realiza este cálculo en C8
escribiendo =RCUAD(C5) y comprueba que el resultado sea el mismo número.
En este caso, la media es 18,7 toneladas y la mediana es 18,3 toneladas.
Luego, la planta industrial, en promedio, emite 18,7 toneladas de óxido de azufre diariamente.
El 50% de los días emitió a lo más 18,3 toneladas.
El rango es de 25,6 toneladas, la varianza es de 40,5 toneladas2 y tiene una desviación estándar de
6,364 toneladas.
Ejercicio
Ahora utiliza las funciones de la planilla de cálculo para analizar el siguiente caso:
Se plantaron dos muestras de 10 plantones de roble rojo norteño en un invernadero: una que contenía
plantones tratados con nitrógeno y, la otra, plantones sin tratamiento. El peso, en gramos, de los tallos
se registraron después de 140 días:
La finalidad del experimento consiste en determinar si el uso del nitrógeno tiene influencia sobre el
crecimiento de las raíces.
a. ¿Qué puedes decir al respecto?, ¿hay o no influencia?
b. Utiliza todo lo aprendido hasta ahora: medidas de tendencia central y medidas de dispersión.
c. Calcula algunos percentiles que te parezcan relevantes y que te permitan comparar y concluir.
Sin nitrógeno 0,35 0,53 0,28 0,37 0,47 0,43 0,36 0,42 0,38 0,43
Con nitrógeno 0,26 0,43 0,47 0,49 0,52 0,75 0,79 0,86 0,62 0,46
MI PROGRESO
CRITERIO PREGUNTA EJERCICIOS CORRECTOS
• Revisa tus respuestas y, luego, escribe la cantidad de ejercicios correctos en tu cuaderno.
¿Cómo voy?
Calcular e interpretar medidas de tendencia central
y de dispersión para datos no agrupados.
1 y 2 / 10
2 a) / 2
3 / 1
2 c) / 1
Calcular cuartiles para datos no agrupados.
Identificar la población asociada a una muestra.
Comparar datos usando medidas de tendencia central,
de posición y dispersión.
1. Un fabricante de neumáticos quiere determinar si las medidas de un neumático cumplen los requisitos
de calidad. Idealmente, el diámetro interior es de 570 mm. Los datos son los siguientes:
572, 572, 573, 568, 569, 575, 565, 570
a. Calcula la media y la mediana de la muestra.
b. Calcula la varianza, la desviación estándar y el rango de la muestra.
c. Considerando los valores obtenidos, ¿qué puedes concluir acerca de la calidad de los neumáticos?
2. En 40 automóviles se tomaron las emisiones de hidrocarburos, en partes por millón (ppm), separados
por modelos de 1980 y 1990.
Modelos 1980
141 359 247 940 882 494 306 210 105 880
200 223 188 940 241 190 300 435 241 380
Modelos 1990
140 160 20 20 223 60 360 20 95 70
220 400 217 58 235 380 85 200 175 65
a. Calcula para ambos grupos la media, la mediana y los cuartiles Q1 y Q3.
b. Calcula para ambos grupos el rango, la varianza y la desviación estándar.
c. Considerando los valores obtenidos, ¿existe evidencia para afirmar que cambiaron las emisiones de
1980 a 1990?
3. Se probaron 200 pares de un nuevo tipo de calzado deportivo en un torneo de tenis profesional y,
en promedio, duraron 4 meses. Define la población adecuada para la muestra.
233
Conjuntos Unidad 6
ANALICEMOS…
Un conjunto es una colección de objetos. Por ejemplo, hablamos del conjunto
de los números naturales, el conjunto de los números racionales, el conjunto
de los números reales, etc.
Usualmente, los conjuntos se representan con una letra mayúscula, y se llama
elemento a cada objeto que forma parte de un conjunto. De esta manera,
si A es un conjunto, y a, b, c, d, e son todos sus elementos, es común escribir
A = {a, b, c, d, e}. Y si un elemento x pertenece a un conjunto A, se escribe
esta relación como x ∈A.
El conjunto que contiene a todos los elementos a los que se hace referencia
recibe el nombre de conjunto Universal y se denota por la letra U. Para el
ejemplo anterior, el universo es el conjunto de la letras del abecedario.
La cardinalidad de un conjunto, denotado por #, corresponde a la cantidad
de elementos que pertenecen a él. Por ejemplo, si
B = {Juan, Diego, Javiera, Viviana, Ignacio}, entonces #B = 5.
El conjunto que tiene cardinalidad 0 (es decir, no tiene elementos) es llamado
conjunto vacío y se denota por .
Un conjunto A es subconjunto de otro conjunto B, si todo elemento de A es
también elemento de B. Así, para el conjunto de los y las estudiantes de un
curso se puede definir, por ejemplo, el subconjunto de estudiantes que están de
cumpleaños en abril, el subconjunto de estudiantes que practican deporte, etc.
Se denota A  B.
Dados dos conjuntos A y B, existe un único conjunto llamado unión de A y
B, formado por todos los elementos de A más los de B. Se denota por A U B.
• ¿Cómo se representan estos conjuntos?
• ¿Hay números que pertenezcan a los tres conjuntos a la vez? Da tres
ejemplos.
• ¿Hay algún número que pertenezca a uno de estos conjuntos, pero no a
otro? Justifica.
U
U
A
A B
A  B
A U B
B
• Un conjunto es una colección de objetos.
• La cardinalidad de un conjunto es el número de elementos del conjunto.
• Dados conjuntos A y B, existen conjuntos llamados unión e intersección de A y B, denotados por
A U B y A ∩ B, respectivamente.
• Dado un conjunto universal U, el complemento de A es el conjunto de elementos de U que no
pertenecen a A.
EN RESUMEN
1. Escribe los elementos de:
a. el conjunto de los días de la semana. c. los números impares menores de 11.
b. el conjunto de las estaciones del año. d. los números pares mayores que 10 y menores que 20.
2. Sean A = {1, 3, 5}, B = {2, 3, 4, 5}, C = {2, 4, 6}, U = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}. Se pide obtener
los siguientes conjuntos:
a. A U B b. A ∩ B c. Ac d. Bc e. (A U B)c f. Ac ∩ Bc
3. Susana dice que los siguientes conjuntos se pueden representar utilizando los conjuntos A = {1, 3, 5},
B = {2, 3, 4, 5}, C = {2, 4, 6}, U = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}. Determina si eso es correcto, en cada caso.
Justifica tu respuesta.
a. A U B U C = {1, 2, 3, 4, 5, 6} c. A ∩ B ∩ C = {4} e. Ac ∩ B ∩ Cc = {0, 3, 5}
b. A ∩ (B U C) = {1, 3, 5} d. A U Bc U C = U
EN TU CUADERNO
El conjunto A ∩ B, llamado intersección de A y B, está formado por los
elementos que están tanto en A como en B simultáneamente. Si dos
conjuntos A y B son tales que A ∩ B = , entonces A y B son conjuntos
disjuntos, es decir, no hay ningún elemento de A que esté en B, y viceversa.
El complemento de un conjunto A es el conjunto de los elementos que
pertenecen al universo pero no pertenecen a A, que lo representaremos por Ac.
Para representar gráficamente estas situaciones, se usan los diagramas
de Venn.
U
U
A
A
B
A ∩ B
Ac
235
Técnicas de conteo Unidad 6
ANALICEMOS…
Desde el lunes 3 de septiembre de 2007, en todo el país, debutaron las
nuevas patentes vehiculares únicas:
“La nueva placa patente única está disponible en todas las oficinas del
Registro Civil y apunta a tener una mayor cantidad de combinaciones
posibles, porque tiene cuatro letras y dos dígitos, a diferencia de las
anteriores, que tenían dos letras y cuatro dígitos”, dijo el ministro de Justicia,
Carlos Maldonado.
Para sus nuevas combinaciones no se utilizarán vocales, para evitar la
formación de palabras, ni las consonantes “Ñ” y “Q”, que se pueden
confundir con la letra “N” y el número cero, respectivamente.
(Fuente: www.cooperativa.cl, publicado en septiembre de 2007)
Una forma de calcularlo sería escribir una a una todas las combinaciones,
por ejemplo, la primera sería BBBB00 y, luego BBBB01, BBBB02, BBBB03…
y así sucesivamente. Aunque no son infinitas, pues sabemos que la última
es ZZZZ99, sí se demoraría un buen rato escribir cada combinación para
luego contarlas. ¿Entonces cómo calcular cuántas patentes son? Esto se
puede resolver utilizando las técnicas de conteo, que nos permiten contar, y
son especialmente útiles cuando la cantidad de posibilidades es muy grande.
Observa otras situaciones, que ejemplifican las técnicas de conteo:
Martín tiene mucha sed y quiere comprar algo para beber. En el almacén
hay cuatro tipos de bebidas y dos tipos de jugos. ¿Cuántas opciones tiene
Martín? Como puede tomar bebida o jugo, entonces tiene 4 + 2 = 6 opciones.
Este es un ejemplo de la regla de la suma, que dice lo siguiente: Supón
que un evento tiene m posibilidades de suceder y que otro evento tiene n
posibilidades. Entonces hay m + n maneras de que ocurra un evento o el otro.
• ¿Cuántas patentes distintas se podían construir con el sistema anterior?
• ¿Cuántas patentes se podrán construir con el nuevo diseño?, ¿en cuál
de los casos hay más patentes?
• ¿Es lo mismo la patente BC1234 que la patente CB1234?, ¿por qué?
Al contar las ramas de la segunda etapa del árbol, se cuenta cuántos posibles
menús hay. Observa que, por otra parte, 8 = 2 · 4.
Este es un ejemplo de la regla del producto, que dice lo siguiente:
Supón que un evento tiene m posibilidades de suceder y otro evento
tiene n posibilidades. Entonces hay m · n maneras de que ocurran ambos
eventos simultáneamente.
En el caso de las patentes, primero se eligen letras y, luego, números, y como
ocurren simultáneamente, se aplica la regla del producto. También podríamos
utilizar el diagrama de árbol, pero con 20 letras este sería demasiado grande.
Otra técnica es utilizar casilleros como se muestra a continuación:
En cada casillero se ubica la cantidad de posibilidades en cada caso. Las
cuatro primeras corresponden a las letras y las dos últimas a los números.
Los valores asignados a cada casillero, en este caso, se pueden repetir.
Entonces se tienen 20 · 20 · 20 · 20 · 10 · 10 = 16 000 000 posibles patentes.
Ingrid almuerza en el casino de la fábrica. Todos los días hay dos variedades
de entrada y cuatro de platos de fondo. ¿Cuántos menús distintos puede
escoger?
En este caso, hay un evento que sucede antes que otro. En situaciones como
esta, dibujar un diagrama de árbol como el siguiente puede ser muy útil:
Entradas
Platos de fondo Platos de fondo
1 2 3 4 1 2 3 4
20 20 20 20 10 10
237
Unidad 6
Otro ejemplo: hay ocho personas postulando a una empresa para ocupar
las vacantes de cuatro puestos distintos. ¿De cuántas maneras se puede
hacer la selección final?, ¿dos?, ¿cuatro? Observa.
Para el primer puesto, se puede escoger entre las ocho personas, pero para
el segundo puesto se debe escoger entre siete personas, pues una de ellas
ya está asignada al puesto anterior y no se puede repetir.
Luego, hay 8 · 7 · 6 · 5 = 1 680 formas de seleccionar a los postulantes.
Ahora, la expresión 8 · 7 · 6 · 5 = =
A esta expresión al denotaremos por P4
8 y representa el número de
permutaciones que se pueden hacer con cuatro elementos seleccionados
de ocho elementos distintos.
En general, el número de permutaciones de k elementos que pueden ser
construidas a partir de n elementos distintos se denota por Pk
n =
Si, en cambio, los cuatro puestos disponibles fueran equivalentes, ¿de cuántas
maneras se pueden seleccionar?
Ya sabemos que hay 1 680 = formas de seleccionarlos, pero como ahora
no importa el orden y existen 4! maneras de ordenar 4 elementos, luego
hay = 70 formas de seleccionar a los postulantes.
El número se denota por C4
8.
En general, el número de combinaciones de k elementos que pueden ser
construidas a partir de n elementos distintos se denota por Ck
n =
y se conoce como número combinatorio.
n!
k!(n – k)!
8!
4!
n!
(n – k)!
8!
4!
(8 · 7 · 6 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1)
(4 · 3 · 2 · 1)
GLOSARIO
n! se lee “n factorial” y corresponde
al producto de todos los números
naturales menores o iguales que n.
Es decir, n! = n · (n – 1) · (n – 2) · … · 1
4!
8!
4!
4!
8!
4!
GLOSARIO
Se llama a una
secuencia ordenada de elementos.
Si no importa el orden, solo los
elementos que componen un
conjunto o grupo, entonces se habla
de .
8 7 6 5
• Las técnicas de conteo permiten determinar el número de casos posibles de un determinado
evento.
• Si un evento tiene m posibilidades y otro evento tiene n posibilidades, entonces:
• hay m + n maneras de que ocurra un evento o el otro (regla de la suma).
• hay m · n maneras de que ocurran ambos eventos simultáneamente (regla del producto).
• Una permutación es una secuencia ordenada de elementos.
• En general, hay Pk
n = maneras de ordenar k elementos que se pueden seleccionar de
n elementos distintos.
• Una combinación es un conjunto de elementos en que solo importa cuáles son sus elementos,
no su orden.
• En general hay Ck
n = combinaciones de k elementos que pueden ser construidas a partir
de n elementos distintos.
n!
(n – k)!
n!
k!(n – k)!
EN RESUMEN
1. Calcula el número de patentes que se podrían formar con tres letras y tres dígitos, sin considerar vocales
ni la Ñ ni la Q.
2. ¿De cuántas maneras pueden sentarse cinco personas en una fila de ocho sillas?
3. Un cargamento de cajas de manzanas contiene 20 cajas. De estas, hay tres cajas que están malas.
El supervisor realiza el control de calidad del cargamento seleccionando dos cajas.
a. ¿De cuántas maneras puede seleccionarlas?
b. ¿De cuántas maneras puede seleccionar una caja mala y una caja buena?
4. Los números de teléfono de la empresa tienen un prefijo seguido de cuatro cifras, como por ejemplo
678-XXXX. La empresa necesita instalar 10 001 teléfonos. ¿Tendrá números suficientes para asignar
uno diferente a cada teléfono?
5. ¿Cuántas sumas de dinero diferentes se pueden hacer con una moneda de $ 5, una de $ 10,
una de $ 50 y una de $ 100 utilizando siempre al menos una moneda?
6. Determina cuántas palabras de k letras (considera k<–
5) se pueden formar con las letras a, b, c, d y e,
de modo que:
a. no se repita ninguna letra.
b. la letra c aparezca solo una vez y las otras letras se puedan repetir.
c. la letra c aparezca al menos una vez y las otras letras se puedan repetir.
7. Para la misma cantidad de elementos, ¿hay más permutaciones que combinaciones o al revés?
EN TU CUADERNO
239
Unidad 6
Hace algunos años, el Loto se jugaba escogiendo 6 números de un total de 36.
Después, esto cambió, ahora se escogen 6 números, pero de un total de 39.
Se define el evento A: ganarse el Loto seleccionando 6 números de 36, y el
evento B: ganarse el Loto seleccionando 6 números de 39.
Para determinar el total de resultados, en el primer caso, se deben seleccionar
6 números de un total de 36. Como el orden, en este caso, no importa, lo que
se necesita calcular es el número de combinaciones de 6 elementos elegidos
de un total de 36, es decir, C6
36.
C6
36 = = = 1 947 792
Es decir, hay 1 947 792 formas de elegir 6 números de 36.
En el segundo caso, se necesita calcular el número de combinaciones
de 6 elementos elegidos de un total de 39, es decir, C6
39.
C6
39 = = = 3 262 623
Es decir, hay 3 262 623 maneras de elegir 6 números de 39.
Si solo se juega una vez, esto significa que estaríamos eligiendo solo una de
las posibles combinaciones. Por otra parte, se asume que todos los números
tienen la misma probabilidad de ser seleccionados, entonces:
P(A) =  5,13 · 10–7
P(B) =  3,06 · 10–7
Luego, es más probable ganarse el Loto eligiendo 6 números de 36 que 6 de 39.
1
3 262 623
1
1 947 792
36!
6! · 30!
36!
6! · (36 – 6)!
39!
6! · 33!
39!
6! · (39 – 6)!
ANALICEMOS…
• ¿Qué crees tú, es más probable acertar a 6 números de 36 o a 6 de 39?
• En el juego del Loto, ¿importa el orden en que se sortean los números?
• ¿Cuál es el total de formas posibles de escoger 6 números de 36?, ¿y en
el caso de escoger 6 de 39?
El número de combinaciones de k
elementos seleccionados de un total
de n elementos es:
Ck
n =
n!
k!(n-k)!
RECUERDA QUE…
Un experimento es cuando:
• Se puede repetir indefinidamente
pudiéndose obtener resultados
distintos en cada repetición.
• En cada prueba se obtiene un
resultado que pertenece al
conjunto de todos los resultados
posibles del experimento.
• Antes de realizar una nueva prueba
del experimento no se puede
predecir el resultado que se obtendrá.
RECUERDA QUE…
Regla de Laplace
GLOSARIO
posibilidad de que un
suceso ocurra o no. Se asigna un valor
entre 0 y 1.
GLOSARIO
la probabilidad
de un suceso se calcula como el
cuociente entre los casos favorables
y los casos posibles.
• De acuerdo a la regla de Laplace, la probabilidad de un evento A está dada por:
P(A) =
• La condición necesaria para aplicar esta regla es que el espacio muestral asociado al experimento
sea equiprobable.
• Cuando usamos esta regla para calcular probabilidades, las técnicas de conteo resultan de mucha
utilidad.
número de resultados favorables al evento
número total de resultados
EN RESUMEN
1. Si se creara un nuevo Loto, donde se elijan 6 números de 42, ¿cuál será la probabilidad de ganar con este
nuevo Loto?
2. En una baraja de naipe inglés, calcula la probabilidad de que al sacar cinco cartas, se obtenga:
a. cinco cartas de igual pinta.
b. cuatro cartas de igual valor.
c. tres cartas de un valor y dos de cualquier otro valor.
3. En una bolsa se colocan bolitas marcadas con todos los números de 5 cifras que se pueden formar con
los dígitos: 1, 2, 3, 4 y 5, sin repetir ningún dígito.
a. ¿Cuántas bolitas hay al interior de la bolsa?
b. ¿Cuál es la probabilidad de sacar una bolita con un número par?
c. ¿Cuál es la probabilidad de sacar una bolita con un número menor que 20 000?
d. ¿Cuál es la probabilidad de sacar una bolita con un número que termine en 1 ó en 5?
4. Cinco mujeres y cinco hombres compran diez asientos consecutivos de una fila del teatro. Si eligen
al azar dónde sentarse, calcula la probabilidad de que:
a. hombres y mujeres se sienten en sillas alternadas.
b. todas las mujeres se sienten juntas.
5. Dos dígitos se eligen al azar del 1 al 9. Si la suma es par, calcula la probabilidad de que ambos números
sean impares.
6. Cinco cartas, marcadas 1, 2, 3, 4 y 5, son sacadas aleatoriamente y colocadas en una fila. Evalúa
la probabilidad de los siguientes eventos.
a. Que la carta 1 aparezca en la primera posición.
b. Que la carta 1 sea seguida inmediatamente por la carta 2.
c. Que haya exactamente tres cartas que coincidan con su posición en la fila.
EN TU CUADERNO
241
Probabilidad de la unión Unidad 6
ANALICEMOS…
Marta, Juan y Diego están jugando a extraer una ficha de una caja que
tiene ocho fichas numeradas del 1 a 4, cuatro rojas y cuatro azules. Marta
apuesta a que la ficha extraída tendrá un número par, Juan apuesta a que
la ficha será azul y Diego apuesta a que la ficha será azul o tendrá
un número par.
El espacio muestral de este experimento lo podemos representar
de la siguiente forma: Ω = {1, 2, 3, 4, 1, 2, 3, 4}
El espacio muestral es equiprobable, pues todas las fichas tienen la misma
probabilidad de ser seleccionadas. El número total de casos es ocho.
• Si A: la ficha muestra un número par, entonces A = {2, 4, 2, 4}
• Si B: la ficha es azul, entonces B = {1, 2, 3, 4}
• Si C: la ficha muestra un número par o es azul, entonces C = {2, 4, 1, 2, 3, 4}
Observa que el evento C es equivalente al A ∪ B.
Por otra parte, A ∩ B es: {2, 4}
Observa que #C = #A + #B – #(A ∩ B)
Utilizando la regla de Laplace tenemos que:
P(A) = y P(B) = .
P(C) = P(A ∪ B) = = = + –
= P(A) + P(B) – P(A ∩ B)
Cuando dos eventos, A y D, son mutuamente excluyentes se tiene que:
P(A ∪ D) = P(A) + P(D)
Si A es un evento, entonces todo espacio muestral, Ω, se puede escribir como:
Ω = A ∪ Ac
#(A ∩ B)

#B

#A

#A + #B – #(A ∩ B)

6
8
4
8
4
8
• ¿Quién de los tres tiene mayor probabilidad de ganar su apuesta?
• ¿Cómo calcula la probabilidad de cada uno de estos eventos?
• ¿Cómo es el espacio muestral de este experimento?
• ¿Es válido utilizar la regla de Laplace en estos casos?
• ¿Qué relación hay entre las apuestas de Diego con las de Marta y Juan?
La (#) de un conjunto es
la cantidad de elementos contenidos
en él.
RECUERDA QUE…
GLOSARIO
Dado que A∩D = se dice que
Ay D son eventos
, pues no pueden ocurrir
simultáneamente.
En este caso, P(A∩D) = 0.
GLOSARIO
conjunto formado
por todos los resultados posibles de
un experimento aleatorio. El espacio
muestral es si todos los
sucesos pertenecientes al espacio
muestral, tienen igual probabilidad.
elemento de un
espacio muestral de un experimento
aleatorio.
La probabilidad de un evento
es siempre un número entre 0 y 1.
La probabilidad del espacio muestral
es 1.
RECUERDA QUE…
Se tiene que para todo evento A y Ac son eventos mutuamente excluyentes,
luego: P(Ω) = P(A ∪ Ac) = P(A) + P(Ac), entonces, P(A) + P(Ac) = 1 y de
aquí se obtiene que P(Ac) = 1 – P(A).
Esta regla es de mucha utilidad, pues en muchos casos es más fácil calcular
la probabilidad del complemento que la del evento en sí.
Se cumple que
(A∪B) ∪C = (A ∪ B) ∪(B∪C)
RECUERDA QUE…
• La probabilidad de la unión de dos eventos es igual a la suma de las probabilidades de cada uno
de los eventos menos la probabilidad de su intersección.
• Si los eventos son mutuamente excluyentes, entonces la probabilidad de la unión es la suma de las
probabilidades.
• La probabilidad del complemento de un evento A es igual a 1 menos la probabilidad del evento.
EN RESUMEN
1. Ignacio está recién titulado. Después de tener entrevistas en dos compañías, él evalúa la probabilidad
que tiene de lograr empleo en la compañía A como 0,8, y la de obtenerlo en la compañía B como 0,6.
Si, por otro lado, considera que la probabilidad de que reciba ofertas de ambas compañías es 0,5,
¿cuál es la probabilidad de que obtendrá al menos una oferta de empleo?
2. En una clase de 100 estudiantes graduados de bachillerato, 54 estudiaron matemáticas, 69 historia y
35 cursaron matemáticas e historia. Utilizando diagramas de Venn, determina, seleccionando al azar
uno de estos estudiantes, la probabilidad de que el estudiante:
a. haya cursado matemáticas o historia.
b. no haya cursado ninguna de estas materias.
c. haya cursado historia pero no matemáticas.
3. a. Con el apoyo de diagramas de Venn muestra que:
P(A ∪ B ∪ C) = P(A) + P(B) + P(C) – P(A ∩ B) – P(A ∩ C) – P(B ∩ C) + P(A ∩ B ∩ C)
b. En un grupo de 500 universitarios se encuentra que 210 fuman, 258 consumen bebidas gaseosas,
216 comen entre comidas, 122 fuman y consumen bebidas gaseosas, 83 comen entre comidas y
consumen bebidas gaseosas, 97 fuman y comen entre comidas y 52 tienen esos tres malos hábitos.
Si se selecciona al azar a un miembro de este grupo, encuentra la probabilidad de que el estudiante:
i. fume pero no consuma bebidas gaseosas.
ii. coma entre comidas y consuma bebidas gaseosas.
iii. ni fume ni coma entre comidas.
EN TU CUADERNO
243
Probabilidad de la intersección Unidad 6
ANALICEMOS…
Toda fábrica tiene un departamento de control de calidad, cuya función es
garantizar que sus productos cumplan con las especificaciones de producción
correspondientes. Es su responsabilidad minimizar la producción de piezas
defectuosas y, por otra parte, garantizar que estas piezas no salgan de la fábrica.
Una empresa soporta un índice de defectos del 10%, es decir, el 10% de las
unidades producidas en la fábrica no cumplen las especificaciones. Según
esto, si se selecciona una pieza de la producción y se define D: la pieza es
defectuosa, entonces P(D) = 0,1.
Generalizando, si se define Di como: la i-ésima pieza seleccionada es
defectuosa, entonces E = D1 ∩ D2. Luego, lo que debemos calcular es
P(E) = P(D1 ∩ D2).
Por otra parte, el evento “la primera pieza seleccionada no es defectuosa”
es equivalente al evento D1
C.
Luego P(D1
C) = 1 – P(D1
C) = 1 – 0,1 = 0,9.
Observa que el experimento de seleccionar una pieza y luego otra es secuencial,
es decir, un evento ocurre después del otro.
Primera etapa Segunda etapa
Seleccionar una pieza Seleccionar otra pieza
D2
D1
D2
C
D2
D1
C
D2
C
• Si luego se seleccionan dos piezas, ¿cuál es la probabilidad de que ambas
sean defectuosas?
• ¿Cómo se puede calcular la probabilidad solicitada?
• En este caso, ¿se puede utilizar la regla de Laplace?
• Sea el evento E: la primera y segunda pieza son defectuosas, ¿cómo
se puede escribir este evento en función de eventos elementales?
• ¿Cuál es la probabilidad de que se seleccione una pieza que no sea
defectuosa?
• Un evento elemental es aquel cuya
cardinalidad es igual a 1.
• En lenguaje de conjuntos, la
condición “que se cumplan ambas”
equivale a hablar de intersección.
• P(AC) = 1 – P(A).
RECUERDA QUE…
0,1
0,1
0,9
0,9
0,9
0,1
La probabilidad de la intersección estará dada por el producto de las
probabilidades de cada rama, es decir, P(D1 ∩ D2) = 0,1 · 0,1 = 0,01.
Observa que, en este caso, se tiene que P(D1 ∩ D2) = 0,1 · 0,1 = P(D1) · P(D2)
y entonces se dice que D1 y D2 son eventos independientes, es decir, que la
ocurrencia de un evento no afecta la ocurrencia del otro.
Por otra parte, si dos eventos A y B son independientes, entonces:
P(A ∩ B) = P(A) · P(B)
Análogamente se tiene, por ejemplo, que la probabilidad de seleccionar la
primera pieza defectuosa y la segunda no defectuosa está dada por:
P(D1 ∩ D2
C) = 0,1 · 0,9 = 0,09
Considera ahora el siguiente ejemplo:
Una caja contiene seis caramelos de menta y cuatro de limón. Se extrae
uno al azar. Si es de menta, se lo reemplaza por dos de limón, y viceversa.
Luego se vuelve a extraer un caramelo. ¿Cuál es la probabilidad de haber
obtenido en la primera extracción un caramelo de menta y en la segunda
extracción un caramelo de limón?
Se define como Ai: se obtiene un caramelo de menta en la i-ésima extracción.
Luego Ai
C es: se obtiene un caramelo de limón en la i-ésima extracción.
Interesa calcular P(A1 ∩ A2
C).
El diagrama de árbol asociado a este experimento es el siguiente:
Luego, la P(A1 ∩ A2
C) =
18
55
6 de menta
4 de limón
5 de menta
6 de limón
8 de menta
3 de limón
de menta
de limón
de menta
de limón
de menta
de limón
6
10
4
10
5
11
6
11
8
11
3
11
GLOSARIO
dos sucesos
son independientes, si la ocurrencia
de uno de ellos no afecta de
ninguna manera la ocurrencia del
otro suceso.
245
Unidad 6
En años anteriores, se ha visto que se puede calcular probabilidades a partir
de información resumida en tablas de frecuencia. A partir de estas tablas
también podemos calcular probabilidades de intersección. Observa el
siguiente caso:
En un experimento para estudiar la relación de la hipertensión arterial con
los hábitos de fumar, se reúnen los siguientes datos de 180 individuos.
No fumadores
Fumadores Fumadores
moderados empedernidos
Hipertensión 21 36 30
Sin hipertensión 48 26 19
Si se selecciona un individuo al azar, encuentra la probabilidad de
que la persona:
a) sea no fumador.
b) sea fumador moderado e hipertenso.
Sea A: la persona es no fumadora:
P(A) = = =
Sea B: la persona es fumador moderado e hipertenso:
P(B) = =
1
5
36
180
23
60
69
180
21 + 48
180
• Para calcular la probabilidad de la intersección de dos o más eventos se puede construir el
diagrama de árbol asociado, asignando a cada rama la probabilidad correspondiente. Una vez
dibujado, se deben identificar las ramas que representan el caso de interés y, multiplicando
las probabilidades correspondientes, se obtiene la probabilidad deseada.
• Un evento es independiente de otro si la ocurrencia de uno no afecta la ocurrencia del otro.
• Si dos o más eventos son independientes, entonces la probabilidad de la intersección de ellos
es el producto de sus probabilidades.
• También se puede calcular la probabilidad de la intersección a partir de tablas de frecuencia,
identificando las celdas donde se encuentra la información de interés.
EN RESUMEN
1. Una persona va de su oficina a su casa el 75% de las veces en metro y las restantes en micro. Cuando
se va en metro, llega a su casa antes de las 17:30 h el 80% de las veces. Si se va en micro, solo el 60%
de las veces llega antes de las 17:30 h. ¿Cuál es la probabilidad de que se vaya en metro y llegue después
de las 17:30 h?, ¿cómo lo calculaste?
2. Un fabricante de una vacuna para la gripe se interesa en analizar la calidad de su suero. Tres
departamentos diferentes procesan los lotes de suero y tienen tasas de rechazo de 0,1; 0,08 y 0,12,
respectivamente. Las inspecciones de los tres departamentos son secuenciales e independientes.
a. ¿Cuál es la probabilidad de que un lote de suero sobreviva a la primera inspección, pero sea
rechazado por el segundo departamento?
b. ¿Cuál es la probabilidad de que un lote de suero sobreviva a las tres inspecciones?
3. Una urna contiene 20 fichas rojas, 30 blancas y 50 azules. Calcula la probabilidad de obtener:
a. una ficha roja y luego una azul al extraer dos fichas con reposición.
b. una ficha roja y luego una azul al extraer dos fichas sin reposición.
c. una ficha roja, luego una azul y por último una blanca al extraer tres fichas sin reposición.
4. Se encuestaron a 200 adultos y se clasificaron por sexo y nivel de educación:
Se elige una persona al azar de este grupo. Calcula la probabilidad de que:
a. sea hombre y tenga educación básica.
b. sea mujer y tenga educación universitaria.
c. sea mujer.
d. tenga educación media.
5. En una empresa funcionan tres impresoras. La probabilidad de que cada una de ellas esté fuera
de servicio es 0,2; 0,25 y 0,3, respectivamente. La secretaria de la empresa necesita imprimir un
informe y se encuentra con que todas están malas. ¿Cuál es la probabilidad de que esto suceda?
EN TU CUADERNO
Educación Hombre Mujer
Básica 38 45
Media 28 50
Universitaria 22 17
247
Unidad 6
1. Samuel va a armar un computador. Tiene la opción de comprar los chips entre dos marcas, un disco duro
de cuatro marcas, la memoria de tres marcas y un conjunto de accesorios en cinco tiendas locales. ¿De
cuántas maneras diferentes puede Samuel comprar las partes?
2. Este año, se otorgarán tres premios (al mejor rendimiento, asistencia y mejor compañero o compañera)
en un curso de 25 estudiantes. Si cada estudiante puede recibir como máximo un premio, ¿cuántas
selecciones posibles habrá?
3. Un club de básquetbol dispone de diez jugadores de los cuales juegan cinco a la vez. Si cada jugador puede
ocupar todas las posiciones, ¿cuántos equipos distintos de cinco jugadores puede formar el entrenador?
4. Si se toman tres libros al azar de un librero que contiene cinco novelas, tres libros de poema y un
diccionario, calcula la probabilidad de que:
a. se seleccione el diccionario.
b. se seleccionen dos novelas y un libro de poemas.
5. Se escriben al azar las cinco vocales. ¿Cuál es la probabilidad de que la e sea la primera y la o sea la última?
6. En una región, la proporción de personas que tienen una cierta enfermedad es 0,01. En un test de
diagnóstico, la probabilidad de que a una persona sana se le diagnostique la enfermedad es 0,05 y para
una persona enferma es 0,2. Si a una persona de la región se le aplica el test, ¿cuál es la probabilidad de
que esté enferma y sea diagnosticada como sana?
7. Un fabricante de automóviles está preocupado por el posible retiro de uno de sus modelos. Si hubiera
un retiro, existe una probabilidad de 0,25 de que haya un defecto en el sistema de frenos, de 0,18 en la
transmisión, de 0,17 en el sistema de combustible y de 0,4 en alguna otra área.
a. ¿Cuál es la probabilidad de que el defecto esté en los frenos o en el sistema de combustible
si la probabilidad de defectos simultáneos en ambos sistemas es de 0,15?
b. A partir de la respuesta anterior, ¿cuál es la probabilidad de que no haya defecto en los frenos o en el
sistema de combustible?
MI PROGRESO
CRITERIO PREGUNTA EJERCICIOS CORRECTOS
• Revisa tus respuestas y, luego, escribe la cantidad de ejercicios correctos en tu cuaderno.
¿Cómo voy?
Aplicar las técnicas de conteo. 1, 2 y 3 / 3
4 y 5 / 3
6 y 7 / 3
Calcular probabilidades usando la regla de Laplace.
Calcular la suma y producto de probabilidades.
Cómo resolverlo
248 EN TU CUADERNO
1. En Ciudad Gótica se publican tres diarios: A, B y C. Los estudiantes de Ciudad Gótica dan la siguiente
probabilidad de leer dichos diarios:
P(A) = 0,15 P(B) = 0,2 P(C) = 0,22 P(A ∩ B) = 0,02
P(A ∩ C) = 0,08 P(B ∩ C) = 0,1 P(A ∩ B ∩ C) = 0,003
Calcula la probabilidad de que un estudiante de Ciudad Gótica:
a. no lea ningún diario.
b. lea al menos un diario.
c. lea solo los diarios A y C.
Problema resuelto 1
Sean las siguientes probabilidades:
( ) = 0,7, ( ) = 0,6, ( ) = 0,5, ( ∩ ) = 0,4, ( ∩ ) = 0,3,
( ∩ ) = 0,2 ( ∩ ∩ ) = 0,1.
Calcula utilizando diagrama de Venn y las reglas de probabilidad
estudiadas:
a. P(B ∪ C) b. P(A ∪ B ∪ C) c. P(AC ∩ BC ∩ C)
Solución:
a. Utilizando la regla aditiva, se tiene que:
P(B ∪ C) = P(B) + P(C) – P(B ∩ C)
Remplazando, P(B ∪ C) = 0,6 + 0,5 – 0,2 = 0,9
b. Utilizando la regla aditiva para la intersección de tres eventos:
P(A ∪ B ∪ C) =
P(A) + P(B) + P(C) – P(A ∩ B) – P(A ∩ C) – P(B ∩ C) + P(A ∩ B ∩ C)
Remplazando,
P(A ∪ B ∪ C) = 0,7 + 0,6 + 0,5 – 0,4 – 0,3 – 0,2 + 0,1 = 1
c. Utilizando diagrama de Venn se tiene que:
P(AC ∩ BC ∩ C) = P(C) – P(A ∩ C) – P(B ∩ C) + P(A ∩ B ∩ C)
Se debe sumar P(A ∩ B ∩ C), pues al restar P(A ∩ C) y P(B ∩ C), se está
restando dos veces lo correspondiente a P(A ∩ B ∩ C).
Remplazando, P(AC ∩ BC ∩ C) = 0,5 – 0,3 – 0,2 + 0,1 = 0,1
A B
C
249
Unidad 6
Problema resuelto 2
Hay dos urnas. La urna roja contiene dos fichas negras y tres blancas. La
urna azul contiene dos fichas negras y dos blancas. Se selecciona una urna
al azar y de ella se seleccionan dos fichas sin reposición.
¿Cuál es la probabilidad de que exactamente una de las fichas extraídas
sea blanca?
Solución:
Se selecciona una urna al azar, cada una tiene probabilidad .
Urna azul, casos totales: C4
2= = 6
Sea A: exactamente una de las fichas es blanca.
Se identifican los casos favorables en el árbol. Observa que hay dos casos que
son excluyentes, pues uno corresponde a la urna roja y el otro a la azul. Luego,
por la regla aditiva, se suman las probabilidades de ambos casos.
Entonces, P(A) = · + ·
P(A)= + =
1
2
19
30
4
6
2
6
1
2
3
10
1
2
6
10
4!
2!2!
Urna roja, casos totales: C5
2= = 10
5!
2!3!
Primero se dibuja el diagrama.
Observando las probabilidades
en el diagrama de árbol.
1
2
1
10 3
10
6
10
1
2
roja
NN
BB
BN
1
6 1
6
4
6
NN
BB
BN
azul
EN TU CUADERNO
1. Se lanza una moneda con probabilidad 0,5 que el resultado sea cara. Si aparece una cara, se extraen
dos fichas secuencialmente de una urna que contiene dos fichas rojas y tres verdes. Si el resultado
es sello, las fichas se extraen de otra urna que contiene dos fichas rojas y dos verdes.
a. ¿Cuál es la probabilidad de que la primera ficha sea roja?
b. ¿Cuál es la probabilidad de que las fichas sean de distinto color?
250 En terreno
El IPC
El IPC (Índice de Precios al Consumidor) es un indicador desarrollado por el Instituto
Nacional de Estadísticas con el fin de calcular mensualmente la evolución de la inflación.
En otras palabras, el IPC representa el valor del costo de la vida, ya que es un índice que
recoge la variación que han tenido cada mes los precios de los bienes y servicios
consumidos por los hogares chilenos.
De esta forma, si un conjunto de productos o servicios aumenta de precio, la misma
cantidad de dinero no alcanzará para comprarlos. A eso se le denomina que el poder
adquisitivo del dinero se pierde con la inflación, que es lo que se refleja a través del IPC.
1. Averigua los valores del IPC de los últimos seis meses. ¿Qué productos o bienes tuvieron las mayores alzas
en este período?, ¿por qué?
2. Investiga cómo se calcula el IPC y qué bienes son considerados para su cálculo. ¿Cuál es su unidad
de medición?
3. ¿Qué consecuencias se pueden observar cuando el aumento del IPC de un mes a otro es considerable?
INVESTIGUEMOS…
Ahora trabajen en grupos de dos personas.
1. En la página de Internet del Instituto Nacional de Estadísticas (INE), www.ine.cl, pueden encontrar
información estadística de distinta naturaleza: económica, agropecuaria, social y cultural, entre otras.
Ingresen a la sección Chile Estadístico, luego Estadísticas de Precios e Índice de Precios al Consumidor.
2. Aquí encontrarán información del IPC del año 1993 en adelante, en el ítem Series Históricas. Solo desde
1999 se encuentra la información abierta por mes. También podrán ver que existe un índice general e
índices por rubro, tales como alimentación, vestuario, entre otros.
3. Seleccionen dos años que se encuentren completos y abiertos por mes y un índice que les interese.
Calculen para cada año:
a. la media y la mediana.
b. identifiquen el valor mínimo y máximo.
c. el rango, la varianza y la desviación estándar.
EN TU CUADERNO
251
Unidad 6
d. Comparen los resultados obtenidos
para cada año, ¿qué pueden concluir?
e. Se asume que el IPC es un indicador
relacionado a un fenómeno aleatorio.
¿Por qué se puede afirmar esto?
¿Qué factores pueden influir en la
variación del IPC?
f. Para realizar los cálculos, utilicen las
funciones estadísticas que se
encuentran incorporadas en Excel.
4. Ahora realicen el mismo ejercicio, pero considerando solo el 2009 y los indicadores de vivienda y
alimentación. Con las medidas que ya conoces, ¿qué puedes concluir de sus comportamientos?
5. Investiguen qué puede haber ocurrido el 2009 que haya incidido en cada uno de estos indicadores y que
explique por qué uno de ellos tiene mayor variabilidad que el otro.
6. Para cada una de las actividades, redacten un pequeño informe donde se destaquen las conclusiones más
importantes.
EVALUEMOS NUESTRO TRABAJO
• ¿Qué aprendieron acerca del cálculo del IPC?
• ¿Las medidas de posición y dispersión que calcularon les ayudaron a entender el comportamiento del IPC?
• ¿Lograron establecer las diferencias entre el IPC de vivienda y el IPC de alimentación?
• ¿Pudieron determinar cuáles fueron los factores que influyeron en los distintos índices?
• Comparen su trabajo con el de sus compañeros y compañeras. ¿Encontraron ellos algo distinto a lo que
ustedes encontraron?, ¿qué les faltó?
252 Síntesis de la Unidad
A continuación, se presentan los conceptos fundamentales trabajados en la unidad. Construye
con ellos un mapa conceptual en tu cuaderno. No olvides agregar las palabras de enlace que
indican las relaciones que hay entre los conceptos.
1 Determina si las expresiones siguientes son verdaderas o falsas. Justifica tu respuesta.
a. La unidad de medición de la varianza es la misma que la de la variable que se está estudiando.
b. El muestreo aleatorio simple es aplicado a poblaciones que no son finitas.
c. Si dos conjuntos de datos tienen la misma media, entonces podemos decir que tienen el mismo
comportamiento.
d. Si un grupo de datos es homogéneo, entonces su varianza es alta.
e. El rango es una medida de dispersión.
f. La desviación estándar cuantifica qué tan dispersos están los datos en torno a su media.
g. La varianza puede ser negativa.
h. El rango se puede ver alterado si existe un valor extremadamente grande o pequeño.
i. Si en un conjunto de datos todas las observaciones son iguales, entonces la varianza es 0.
j. Para un mismo número de elementos, siempre hay más combinaciones que permutaciones.
Datos y azar
Medidas de dipersión
Regla del producto
Homogeneidad
Heterogeneidad
Desviación estándar
Técnicas de conteo
Regla de Laplace
Probabilidades
Comparación de datos
Combinación
Regla de la suma
Permutación
Rango
Varianza
Probabilidad de
la intersección
Eventos
excluyentes
Eventos
independientes
Probabilidad
de la unión
253
Unidad 6
k. Si un evento puede ocurrir de 5 maneras y otro evento puede ocurrir de 8 maneras, entonces
hay 40 maneras de que ocurra un evento o el otro.
l. En una permutación importa el orden, mientras que en una combinación no.
m. Si dos eventos son excluyentes, entonces P(A ∪ B) = 0.
n. Para todo par de eventos A y B, se cumple que P(A ∪ B) = P(A) + P(B).
ñ. Siempre se cumple que P(A ∩ B) = P(A) · P(B).
2 Aplica lo que aprendiste en la unidad para desarrollar las siguientes actividades:
a. En un estudio acerca de la condición física de los empledos de una oficina, se tomaron
mediciones del peso de 40 empleados, obteniéndose los siguientes resultados:
Mujeres (kg): 58 48 54 51 67 58 67 63 59 64 54 60 55 59 57 75 56 62 62 65
Hombres (kg): 58 62 62 50 64 63 59 58 63 60 54 60 60 57 58 63 58 61 90 65
Usando medidas de tendencia central, posición y dispersión, compara cómo se comporta
la variable peso en cada grupo. ¿Cuál de los dos grupos es más homogéneo?
b. Un consumidor ordena, según sus preferencias, seis productos distintos.
i. ¿Cuántos ordenamientos posibles hay?
ii. Si se ordenan al azar, ¿cuál es la probabilidad de que dos de los productos ocupen siempre
los primeros lugares?
c. Determina la probabilidad de que en una reunión de 40 personas, al menos dos cumplan años
el mismo día.
d. En un proceso productivo de chips para computador, un 20% son defectuosos. En un test de
calidad, todos los chips buenos pasan, pero también pasan un 10% de los chips malos. ¿Cuál es
la probabilidad de que un chip esté bueno y pase el test?
e. En la fabricación de baldosines de cerámica, se ha detectado que pueden presentarse dos tipos
de fallas, A y B; A con probabilidad 0,15 y B con probabilidad 0,08. Suponiendo independencia
entre los dos tipos de fallas, calcula la probabilidad de que un baldosín:
i. no tenga ambas fallas.
ii. no tenga fallas.
iii. tenga una sola falla.
f. La probabilidad de que un hombre viva 20 años más es y la de que su mujer viva 20 años
más es . Calcula la probabilidad de que:
i. ambos vivan 20 años más.
ii. el hombre viva 20 años más y su mujer no.
iii. ambos mueran durante los próximos 20 años.
1
1 4
3
254 Evaluación de la Unidad
1. El rango, la varianza y la desviación estándar
del siguiente conjunto de datos son,
respectivamente:
6 9 10 19 19 12 2 12 3 19
A. 6, 1, 12, 2
B. 3, 19 y 12
C. 17, 36,8 y 6,1
D. 36,8, 17 y 6,1
E. 19, 0 y 0
2. El rango, la varianza y la desviación estándar
del siguiente conjunto de datos son,
respectivamente:
4 4 4 4 4 4 4 4 4 4
A. 0, 4 y 2
B. 0, 0 y 0
C. 7, 6 y 10
D. 11, 12 y 13
E. 0, 1 y 2
3. ¿Cuántos cartones distintos posibles de Kino
hay? (recuerda que el Kino consiste en acertar
a 14 números elegidos de un total de 25).
A. 4 457 400
B. 3 159 987
C. 87 178 291 200
D. 25
E. 7,11701 · 1012
4. Se va a elegir a un presidente y a un tesorero
de un club estudiantil compuesto por
50 personas. ¿Cuántas opciones diferentes de
funcionarios son posibles?
A. 25 D. 1 225
B. 50 E. 2 256
C. 2 450
5. Se escoge un número al azar entre 1 y 4,
y posteriormente se lanza una moneda
equilibrada tantas veces como el número
escogido. La probabilidad de no observar
sellos es:
A. D.
C.
6. Se sacan dos cartas sucesivamente, sin
remplazo, de una baraja de 52 cartas. ¿Cuál
es la probabilidad de que ambas cartas sean
mayores que 2 y menores que 8?
A. D.
C.
7. Considera las siguientes afirmaciones:
I. Si dos eventos son independientes,
entonces P(A ∩ B) = P(A) · P(B).
II. Si dos eventos son excluyentes,
entonces P(A U B) = P(A) + P(B).
III. Si dos eventos son excluyentes
entonces P(A U B) = P(A) · P(B).
Son verdaderas:
A. Solo I
B. Solo II
C. Solo III
D. I y II
E. I y III
25
663
95
663
100
663
1
2
15
16
15
64
B. E.
31
64
1
4
B. E.
2
663
40
663
Resuelve los siguientes ejercicios en tu cuaderno y selecciona la alternativa correcta en cada caso.
255
Unidad 6
8. Un sistema consta de tres componentes.
Se sabe que la probabilidad de que una
componente falle es 0,3, que dos fallen es
0,12 y que las tres fallen es 0,05. Entonces,
la probabilidad de que ninguna falle es:
A. 0,47 D. 0,53
B. 0,41 E. 0,23
C. 0,59
9. De las siguientes afirmaciones, son
verdaderas:
I. la probabilidad de que llueva mañana
es 0,4 y la de que no llueva es 0,52.
II. al sacar una carta de una baraja, la
probabilidad de seleccionar
corazones es .
III. las probabilidades de que una
impresora cometa 0, 1, 2, 3 ó 4 o más
errores al imprimir un documento son
0,19; 0,34; –0,25; 0,43 y 0,29.
A. Solo I
B. Solo II
C. Solo III
D. I y II
E. II y III
10. La población asociada a la siguiente
situación es: en cinco ocasiones distintas,
una abogada demoró 21, 26, 24, 22 y
21 minutos desde su casa hasta su oficina
en el centro de la ciudad.
A. Las casas de una cierta localidad.
B. Las oficinas del centro.
C. Todos los posibles tiempos que demora
esta abogada desde su casa hasta la oficina.
D. Las veces que la abogada va de su casa a
la oficina.
E. Los minutos.
11. Una villa tiene un carro de bomberos y una
ambulancia disponibles para emergencias.
La probabilidad de que el carro de
bomberos esté disponible cuando se
necesite es 0,98 y la probabilidad de que la
ambulancia esté disponible es 0,92. En el
caso de que haya heridos de un edificio en
llamas, ¿cuál es la probabilidad de que tanto
la ambulancia como el carro de bomberos
estén disponibles?
A. 1,9
B. 0,06
C. 0,9
D. 0,8
E. 0
12. Si las probabilidades de que un mecánico
automotriz dé servicio a 3, 4, 5, 6, 7, 8 o
más vehículos en un día de trabajo dado
son 0,12; 0,19; 0,28; 0,24; 0,1 y 0,07,
respectivamente. ¿Cuál es la probabilidad
de que dé servicio al menos a 5 vehículos?
A. 0,28
B. 0,59
C. 0,41
D. 0,31
E. 0,69
13. Si P(A) = 0,2, P(B) = 0,4 y P(A ∩ B) = 0,2,
entonces la P(A U B) es:
A. 0,6
B. 0,8
C. 0,4
D. 0,16
E. 0,84
1
4
Recuerda lo que aprendiste en años anteriores y resuelve en tu cuaderno.
1. Los siguientes datos corresponden al contenido de nicotina,
en miligramos, de once cigarrillos:
1,09 1,74 1,58 2,1 1,64 1,79 1,37 1,75 1,92 2,03 1,47
a. Calcula la media del contenido de nicotina.
b. Calcula la mediana del contenido de nicotina.
c. Calcula el primer y tercer cuartil.
2. La siguiente tabla resume los datos de
la duración, en años, de 30 bombas
de combustible:
a. Estima la frecuencia acumulada.
b. Estima la media de la duración
de las bombas de combustible.
c. Estima la mediana de las bombas
de combustible.
d. Estima el primer cuartil y el tercer cuartil.
3. Se lanzan dos dados:
a. Describe el espacio muestral de este experimento.
b. Describe en forma extensa cada uno de los siguientes eventos:
A: la suma de los dados es par.
B: la suma de los dados es múltiplo de 5.
C: el producto de los dados es menor o igual que 15.
4. Redondea los siguientes números decimales a la décima y explica
cómo lo hiciste:
a. 45,687 c. 142,856 e. 0,6757
b. 8,7777 d. 63,354 f. 23,7323
5. Redondea los siguientes números decimales a la centésima y explica
cómo lo hiciste:
a. 68,6789 c. 54,3245 e. 12,7456
b. 43,3991 d. 38,0875 f. 24,2322
6. Resuelve los siguientes ejercicios con números decimales:
a. 7,4 + 78,0 d. 1,5 : 88,1
b. 4,070 – 0,303 e. 37,4 + 9,6 – 0,9 – 0,7 · 1,045
c. 6,20 · 4,30 f. 3 · (7,8 – 32,16) + 36,43 : 0,18
Clase (años) Frecuencia
[0, 1[ 8
[1, 2[ 10
[2, 3[ 7
[3, 4[ 2
[4, 5[ 3
• La media de un conjunto de datos se calcula sumando todos los datos y luego dividiendo por el
número de observaciones.
• La frecuencia acumulada de una clase es la suma de las frecuencias de esa clase y de todas las
clases anteriores.
• La media, para datos agrupados en k clases, se calcula usando la siguiente expresión:
• La fórmula de cálculo para percentiles, si se tienen datos agrupados, es:
Donde: Lp: límite inferior de la clase donde se encuentra el p-ésimo percentil.
Np: frecuencia acumulada de la clase que precede a la clase del p-ésimo percentil.
np : frecuencia de la clase del p-ésimo percentil.
C: amplitud de la clase del p-ésimo percentil.
n: número de observaciones.
La clase del p-ésimo percentil es la primera cuya frecuencia acumulada es mayor o igual a .
• El primer cuartil, la mediana y el tercer cuartil son casos particulares de los percentiles, con
p = 25, 50 y 75, respectivamente.
• El espacio muestral de un experimento es el conjunto de todos los resultados posibles.
• Un evento es cualquier subconjunto del espacio muestral, es decir, cualquier posible resultado de
un experimento aleatorio.
• Para aproximar por redondeo un número decimal, basta con observar la cifra de la derecha de este.
– Si esta es mayor o igual que 5, entonces se aumenta en 1.
– Si esta es menor que 5, entonces se mantiene el decimal.
p · n
100
¿QUÉ DEBES RECORDAR?
7. Resuelve los siguientes ejercicios con fracciones:
a. d.
b. e.
c. f.
Compara tus respuestas con las de tus compañeras y compañeros.
¿Te equivocaste en alguna?, ¿cuál fue el error? Explícalo y resuelve
correctamente el ejercicio.

270
Página 225
1. Dieta C, x– = 3,45 y desviación estándar = 1,7277.
Página 227
1. El fondo A es más homogéneo.
2. La estatura de las mujeres es más homogénea y la de
los hombres, más heterogénea.
3. El termómetro 1 entrega datos más homogéneos.
4. b. Los de un conjunto serían menos homogéneos
que el otro conjunto.
5. Depende de cada caso.
Página 229
3. a. Todas las personas de Antofagasta con teléfono
en la casa.
b. Los 100 lanzamientos de la moneda.
4. Todos los oficiales de tránsito de Puente Alto.
Página 232
1. a. 570,5 y 571 b. 8,75; 2,958 y 10
2. a. Modelos 1980: x– = 385,6; mediana = 273,5;
Q1 = 207,5; Q3 = 449,75.
Modelos 1990: x– = 160,15; mediana = 150;
Q1 = 63,75; Q3 = 220,75.
b. Modelos 1980: rango = 835, varianza = 73225,872,
desviación estándar = 270,602.
Modelos 1990: rango = 380; varianza = 13580,7675;
desviación estándar = 116,53655.
c. Sí existe.
3. Todos los pares de zapatillas nuevas de ese tipo.
Página 234
1. a. {lunes, martes, miércoles, jueves, viernes, sábado,
domingo}
b. {otoño, invierno, primavera, verano}
c. {1, 3, 5, 7, 9}
d. {12, 14, 16, 18}
2. a. {1, 2, 3, 4, 5} c. {0, 2, 4, 6} e. {0, 6}
b. {3, 5} d. {0, 1, 6} f. {0, 6}
3. a. Correcto c. Incorrecto e. Incorrecto
b. Incorrecto d. Correcto
Página 238
1. 8 000 000 patentes.
2. 6 720 maneras.
3. a. 380 maneras. b. 102 maneras.
4. No.
5. 15 sumas.
6. a. 325 palabras. c. 2101 palabras.
b. 1593 palabras.
7. Más permutaciones