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DATOS AGRUPADOS Y PROBABILIDAD EJEMPLOS RESUELTOS DE MATEMATICA 8 – OCTAVO AÑO PDF


Datos cuantitativos discretos y
continuos
• Intervalo de clase
• Marca de clase
• Media aritmética y moda para datos
agrupados
• Construcción de gráficos con datos
agrupados
• Métodos de muestreo
• Experimentos aleatorios equiprobables
• Regla de Laplace
• Verificación de una probabilidad
Resolución de problemas
En esta unidad aprenderás a:
Identificar datos cuantitativos continuos.
Construir intervalos de clase y calcular marcas de clase.
Calcular la media y la moda de datos agrupados.
Leer, interpretar y construir tablas y gráficos con datos agrupados.
Identificar y verificar experimentos equiprobables.
Aplicar la regla de Laplace para calcular probabilidades.
Métodos de muestreo
En una pequeña comunidad de 2 500
habitantes se ha construido una pequeña
sala de proyecciones y la administración se
dispone a comprar la película que inaugurará
la instalación. Antes de comprarla, planean
hacer una encuesta en la comunidad para
elegir el género de la película.
ff¿Será imprescindible encuestar a la totalidad de la población si no
se cuenta con los recursos necesarios para ello?
Como no se cuenta con suficientes recursos, para realizar la elección
de la película habrá que aplicar la encuesta a una muestra representativa
de la población.
Una muestra es un subconjunto de individuos de una población
que contiene datos representativos de ella. Las muestras se utilizan
para realizar inferencia estadística, que no es más que utilizar
las características de la muestra para establecer características
generales de la población que representan.
ff¿Cómo seleccionamos a las personas que serán encuestadas?
Existen dos técnicas de muestreo, el muestreo probabilístico o aleatorio
y el no probabilístico.
La técnica de muestreo probabilístico es más aconsejable si se
desea dar representatividad a la muestra y obtener resultados más
confiables.
En el problema planteado, es aconsejable seleccionar al azar a un grupo
de habitantes de la comunidad en cuestión y consultar por el tipo de
película que desearían ver en el estreno de la sala de proyecciones.
Existen varias técnicas de muestreo probabilístico, algunas de ellas
son las que están en el cuadro de la página siguiente.
Muestreo probabilístico o aleatorio: es aquel en el que la muestra
analizada es elegida al azar y, por lo tanto, permite esperar un
alto grado de representatividad de la población que se estudia.
Muestreo intencional u opinático: es aquel en el que el encuestador
intenta dar representatividad a la muestra seleccionándola a
partir de su propia opinión subjetiva.
El método de muestreo
no probabilístico llamado
bola de nieve consiste en
localizar a algunos individuos,
los que conducen a
otros, y estos a otros, y
así sucesivamente, hasta
conseguir un tamaño de
muestra suficiente. Este
método se ocupa para poblaciones
marginales, como
delincuentes, miembros de
sectas, etc.
Archívalo
Ejercicios grupales
Realicen en grupos de tres estudiantes una investigación sobre los muestreos a. no probabilísticos,
resumiendo las principales características de cada uno de ellos y especificando en qué situaciones
podrían ser utilizados.
b. Profundicen en el estudio de los tipos de muestreos probabilísticos o aleatorios estudiados y
creen diferentes situaciones en las que sea factible aplicar cada uno de ellos. Luego, discutan
sobre las ventajas de usar un método probabilístico en lugar de uno no probabilístico.
c. Estimen el promedio de notas en la próxima prueba de Matemática de dos maneras:
- Seleccionando al azar a 10 estudiantes previamente y calculando el promedio de sus notas
en la prueba en cuestión.
- Seleccionando a los 5 estudiantes que llevan las mejores notas en Matemática hasta el momento
y los 5 que llevan las peores notas, y calcular el promedio de las notas que obtengan
en la prueba en cuestión.
Respondan:
a) ¿Qué técnica de muestreo representa cada una de las técnicas descritas?
b) ¿Cuál de las dos técnicas creen qué es más confiable?
c) Una vez realizada la prueba, comparen los promedios obtenidos mediante las dos técnicas y
el promedio real obtenido por el curso. ¿Cuál de los dos métodos resultó más certero? ¿Era
el esperado? Nombren los sesgos que pueden haber influido en el experimento.
Experimentos aleatorios
equiprobables
Cuando no se puede predecir con certeza el resultado
de un experimento, se dice que es un experimento
aleatorio. Dado un experimento aleatorio, se define su
espacio muestral y los sucesos que lo conforman.
Se llama espacio muestral de un experimento aleatorio, al conjunto
de todos los resultados posibles de dicho experimento. Se
designa con la letra E.
Se llama evento o suceso a cada subconjunto del espacio muestral.
Se designa con una letra mayúscula.
ff¿Cuál es el espacio muestral del experimento “lanzar un dado”?
El espacio muestral del experimento que consiste en “lanzar un
dado” es:
E = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
ff¿Cómo expresamos el suceso “salir un número par”?
El evento “salir un número par” se escribe como:
S = {2, 4, 6}
Como puedes ver, se cumple que S es un subconjunto de E, es decir,
este evento es subconjunto del espacio muestral.
Un experimento aleatorio equiprobable es aquél en que la probabilidad
de cada uno de los resultados unitarios posibles del experimento
es la misma. Es decir, si realizamos el experimento muchas
veces, las frecuencias de los resultados unitarios posibles
serán similares.
ff¿El exper imento “lanzar un dado” es un exper imento
equiprobable?
Sí es equiprobable, ya que la probabilidad de cada suceso unitario
es la misma y vale 1
6
.
Llamando P(A) a la probabilidad de que ocurra el suceso A, constatamos
que:
P(1) = P(2) = P(3) = P(4) = P(5) = P(6)
La suma de las probabilidades
de todos los
resultados posibles de un
experimento equiprobable
es siempre igual a 1.
A los fenómenos o procesos
aleatorios también
se les llama estocásticos.
Un proceso estocástico
corresponde al desarrollo
y evolución en el tiempo de
un fenómeno aleatorio.
Archívalo
Ejercicios individuales
Expresa como conjuntos los espacios muestrales de l a. os siguientes experimentos:
a) Lanzar una moneda y observar la marca que indica.
b) Lanzar dos monedas y observar las marcas que indican.
c) Lanzar dos dados y observar sus caras superiores.
d) Lanzar una tómbola con 4 colores (azul, amarillo, verde, rojo) y observar el color obtenido.
e) Jugar dos personas al “cachipún” y observar el resultado.
f) Lanzar dos dados de 4 caras, cada una de ellas marcadas con las letras A, B, C, D; y observar
las marcas de sus caras superiores.
b. Demuestra que al jugar al “cachipún” con un amigo o amiga los eventos ganar, perder o empatar
son equiprobables, independiente de si elijes tijera, papel o piedra. Para ello, escribe los
elementos de cada evento.
Ejercicios grupales
a. Reunidos en grupos de dos estudiantes supongan que en una urna hay 10 bolitas de igual tamaño
y peso. Las 10 bolitas están numeradas del 1 al 10. Hay 2 bolitas amarillas, 3 rojas, 1 blanca y 4
azules. El espacio muestral del experimento “sacar una bolita de la urna” se ha definido de las
dos siguientes maneras:
E1 = {Amarillo, Rojo, Blanco, Azul}
E2 = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}
a) ¿Cuál de los dos espacios muestrales definen al
experimento “sacar una bolita de la urna” como equiprobable?
b) ¿En qué se diferencian los dos espacios muestrales?
b. Los hermanos Antonia y Claudio decidieron que lavará los platos aquel que pierda al lanzar una
moneda. Ninguno de los dos tiene una moneda pero Antonia recordó que tenía un dado. ¿De
qué forma podrían transformar el experimento “lanzar un dado” en el experimento “lanzar una
moneda”?
c. Indiquen cuál o cuáles de los siguientes experimentos aleatorios son equiprobables (E) y cuál
o cuáles no (N):
a) _____ Extraer una bolita desde una urna que contiene 8 bolitas, 2 azules, 5 rojas y 1 verde; y
observar su color.
b) _____ Extraer una bolita desde una urna con 5 bolitas, 1 roja, 1 verde, 1 azul, 1 amarilla y 1
blanca; y observar su color.
c) _____ Lanzar un dado de 5 caras marcadas con los números 1, 2, 3, 4 y 5; y observar el número
de su cara superior.
d) ____ Lanzar un dado de 6 caras, cuatro de ellas marcadas con el número 1, y las otras dos
con los números 2 y 3, respectivamente; y observar el número de su cara superior.
Regla de Laplace
Observa la ruleta, en la que todos sus sectores circulares son iguales.
ff¿Es equiprobable el experimento de lanzar la ruleta y ver el número
que indica?
El experimento aleatorio “lanzar la ruleta” es equiprobable si la
ruleta no está sesgada, es decir, si la flecha indica con iguales posibilidades
una posición del disco o cualquier otra. En el ejemplo, es igual
de posible obtener cada uno de los ocho números, por lo tanto:
P(1) = P(2) = P(3) = P(4) = P(5) = P(6) = P(7) = P(8)
ff¿En qué caso el lanzamiento de la ruleta no es aleatorio
equiprobable?
Si la ruleta está sesgada, es decir, si indica algunos sectores más
frecuentemente que otros (ya sea por su propia naturaleza o por ciertas
imperfecciones), entonces estamos frente a un experimento aleatorio no
equiprobable. Por ejemplo, si el sector que contiene al número 1 es irregular
y dificulta que la flecha se detenga en él, entonces el experimento
de “lanzar la ruleta” no será equiprobable, ya que la probabilidad de que
salga 1 será diferente a la probabilidad de que salgan los otros números.
La regla de Laplace se aplica a los experimentos del primer tipo,
es decir, a los equiprobables, que serán con los que trabajaremos a
continuación.
ff¿Cuál es la probabilidad de que al lanzar la ruleta salga 3?
La regla de Laplace indica que la probabilidad de un suceso S en
un experimento aleatorio equiprobable es:
P(S) =
Número de resultados favorables al suceso S
Número de resultados posibles del experimento
Los resultados posibles de este experimento son todos los que
pertenecen al espacio muestral, por lo tanto, el número de resultados
posibles es 8, mientras que el número de casos favorables de que ocurra
el suceso “obtener el número 3” es 1, entonces:
P(3) =
1
8
= 0,125
De la misma forma, para los demás números se tiene:
P(2) = P(3) = P(4) = P(5) = P(6) = P(7) = P(8) =
1
8
= 0,125
La probabilidad de ocurrencia
de cualquier suceso
es siempre un número
entre 0 y 1. Para expresar
esta probabilidad como un
porcentaje, este número se
debe multiplicar por 100.
1
8
7
6
5
4
3
2
Pierre Simon de Laplace
(1749 – 1827) fue un matemático,
astrónomo y
físico francés. Durante la
Revolución Francesa fue
nombrado miembro de
la Comisión de Pesos y
Medidas que estableció el
sistema métrico decimal.
En su obra Mecánica Celeste,
realizó un acabado
análisis matemático de la
teoría de gravitación desarrollada
por Isaac Newton.
En su Teoría analítica de las
probabilidades, realizó una
introducción a los métodos
de análisis matemático
aplicados a los fenómenos
aleatorios.
La Historia
Enlace con…
Ejercicios individuales
Calcula la probabilidad del suceso que se indica en cada experimento a. equiprobable. Exprésala
como fracción, como número decimal y como porcentaje.
Ejercicios grupales
a. En grupos de tres estudiantes analicen la tómbola de la figura, donde la parte del perímetro del
círculo que corresponde al sector circular amarillo mide 20 cm, la que corresponde al sector
circular de color verde mide 14 cm, la que corresponde al sector circular de color azul mide 10
cm y la que corresponde al sector circular de color rojo mide 24 cm.
a) ¿Cuál es la probabilidad de que al hacerla girar, la tómbola indique el color rojo?
a) Experimento: lanzamiento de una moneda.
Suceso: obtener cara.
Número de casos totales =
Número de casos favorables =
Probabilidad = =
Probabilidad como porcentaje =
b) Experimento: lanzamiento de un dado.
Suceso: obtener un número impar.
Número de casos totales =
Número de casos favorables =
Probabilidad = =
Probabilidad como porcentaje =
c) Experimento: lanzamiento de un dado.
Suceso: obtener un número menor que 2.
Número de casos totales =
Número de casos favorables =
Probabilidad = =
Probabilidad como porcentaje =
d) Experimento: lanzar un dado de 12 caras.
Suceso: obtener un número mayor que 8.
Número de casos totales =
Número de casos favorables =
Probabilidad = =
Probabilidad como porcentaje =
b) ¿Cuál es la probabilidad de que la tómbola indique
el color verde?
c) ¿Cuál es la probabilidad de que la tómbola indique el
color amarillo?
d) ¿Cuál es la probabilidad de que la tómbola indique el
color azul?
P (Rojo) =
P (Verde) =
P (Amarillo) =
Resolución de problemas
Problema modelo
En una urna hay un total de 16 bolitas de igual tamaño y peso.
De estas bolitas, una es blanca, dos son rojas, tres son azules,
cuatro son verdes y seis son amarillas. Calcula la probabilidad
de que al sacar una bolita de la urna, esta sea de cada uno de
los colores mencionados.
e) Comprueba: aplica otra estrategia para comprobar el resultado
• Suma las probabilidades de todos los eventos y comprueba que el resultado es 1.
a) Entiende: ¿qué sabes del problema?
• Hay 16 bolitas iguales de distintos colores: una es blanca, dos son rojas, tres son azules,
cuatro son verdes y seis son amarillas.
• El experimento consiste en sacar una bolita y consta de 16 resultados posibles.
b) Planifica tu estrategia: ¿cómo puedes resolver el problema?
• Como todas las bolitas son iguales, la probabilidad de sacar cada una de las bolitas es la
misma. Se trata de un experimento equiprobable.
• Podemos aplicar la regla de Laplace para calcular las probabilidades.
d) Responde: contesta las preguntas del problema
• P (Blanca) = 0,0625
• P (Azul) = 0,1875
• P (Amarilla) = 0,375
• P (Roja) = 0,125
• P (Verde) = 0,25
c) Resuelve: desarrolla el problema para llegar a una respuesta
• Probabilidad de que la bolita sea blanca:
Número de casos favorables = 1
P(Blanca) =
1
16
= 0,0625
• Probabilidad de que la bolita sea azul:
Número de casos favorables = 3
P(Azul) =
3
16
= 0,1875
• Probabilidad de que la bolita sea roja:
Número de casos favorables = 2
P(Roja) =
2
16
= 0,125
• Probabilidad de que la bolita sea verde:
Número de casos favorables = 4
P(Verde) =
4
16
= 0,25
• Probabilidad de que la bolita sea amarilla:
Número de casos favorables = 6
P(Amarilla) =
6
16
= 0,375
Problema 1
José, Francisco y Jorge decidirán quién lavará los platos jugando
al popular juego “Al cargar la mata”. El juego consiste en poner la
palma de la mano hacia arriba o hacia abajo en un momento determinado.
Perderá el que esté en minoría respecto de los demás.
Si hay empate, los tres lavarán los platos. Si José pondrá la palma
hacia arriba, entonces:
¿Cuál es la probabilidad d a) e que José lave los platos?
b) ¿Cuál es la probabilidad de que José no lave los platos?
Problema 2
La cantidad de horas que los estudiantes de un curso dedican a
estudiar durante la semana son las siguientes:
a) Agrupa los datos en 5 intervalos de clase.
b) Construye una tabla de frecuencias.
c) ¿Cuál es la media aritmética de los datos? ¿Y la moda?
21 19 18 12 15
1 20 12 11 10
10 7 11 10 17
3 9 10 3 9
2 9 9 10 8
4 10 8 6 7
5 7 8 5 4
Problema 3
Los sueldos de los empleados de una empresa se han organizado
en la tabla de frecuencias que está al costado:
Calcula la media y la moda de los sueldo de los empleados de la
empresa.
a) ¿Cuál es la marca de clase de cada intervalo?
b) ¿Cuál es la media aritmética de los sueldos?
c) ¿Cuál es la moda de los sueldos?
Sueldos ($) f
[150 000-155000[ 23
[155 000-160 000[ 27
[160 000-165 000[ 5
[165 000-170 000[ 7
[170 000-175 000[ 30
[175 000-180 000[ 9
[180 000-185 000[ 12
[185 000-190 000] 32
Problema 4
Macarena lanza dos dados de seis caras. Antes de observar los
números que salieron, decide calcular mediante la regla de Laplace
la probabilidad de obtener algunos sucesos posibles. Ayúdala. Los
eventos que le interesan son:
a) S1: obtener doble 1.
b) S2: la suma de los números obtenidos es 8.
c) S3: el producto de los números obtenidos es 6.
3. La siguiente tabla de datos agrupados corresponde a un control de la velocidad de vehículos en
la carretera realizado durante una hora:
a Margarita tiene un dado de ocho caras numeradas
del 1 al 8. Si la probabilidad de que
salga cualquier cara es la misma, ¿cuál es
la probabilidad de que salga el número 5?
a)
1
8
b)
1
5
c)
1
3
d) 1
5 Se llama intevalo de clase modal a:
a) El intervalo de clase que tiene mayor
frecuencia.
b) El intervalo de clase que tiene menor
frecuencia.
c) El primer intervalo de clase.
d) Ninguna de las anteriores.
b El número de pasajeros de un bus es un
dato:
a) Cualitativo.
b) Cuantitativo continuo.
c) Cuantitativo discreto.
d) Ninguno de los anteriores.
6 La medida del área de una ventana es un
dato:
a) Cuantitativo continuo.
b) Cuantitativo discreto.
c) Cualitativo.
d) Ninguna de las anteriores.
c Un experimento consta de tres sucesos A, B
y C. Si P(A) = 1, P(B) = P(C) = 0; entonces:
a) El experimento es aleatorio equiprobable.
b) El experimento es aleatorio no equiprobable.
c) El experimento es determinístico.
d) El experimento puede tener solo dos
resultados.
7 El conjunto de todos los resultados posibles
de un experimento se llama:
a) Intervalo de clase.
b) Evento.
c) Espacio muestral.
d) Suceso.
4 Si el dato mayor de una muestra es 34, el
dato menor es 10 y se desean construir 6
intervalos de igual longitud. ¿Cuál debe ser
la longitud de cada intervalo?
a) 10
b) 4
c) 6
d) Ninguna de las anteriores.
8 Aquellos experimentos aleatorios en que la
probabilidad de cada uno de sus resultados
posibles es la misma se llaman:
a) Experimentos aleatorios cuantitativos.
b) Experimentos verificables cuantitativos.
c) Experimentos aleatorios verificables.
d) Experimentos aleatorios equiprobables